第六章 整式的运算知识归纳与题型突破（10题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第六章 整式的运算知识归纳与题型突破（10题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1：单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 2：多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 3：合并同类项 1.同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 2.合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 合并同类项的一般步骤： 1）准确找出同类项； 2）利用法则，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变； 3）写出合并后的结果，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列，注意不要漏项. 4：整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 5：幂运算 1）幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2）幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 3）积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 6：整式的乘法运算 1）单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2）单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3）多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 7：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 8：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 03 题型归纳 题型一　单项式的系数与次数 例题： 1．单项式的系数是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 2．单项式的系数是（   ） A． B．3 C． D． 3．下列关于单项式的说法正确的是（    ） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 4．单项式的系数和次数分别是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 5．单项式的次数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型2　多项式相关概念 例题： 6．下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．它是三次三项式 B．它的次数是7 C．它的最高次项是 D．它的常数项是1 巩固训练 7．多项式的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．5，1 B．4， C．4， D．3， 8．多项式的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．多项式的次数及最高次项的系数分别是（　　） A． B． C． D． 10．多项式 的项数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型3　幂的运算 例题： 11．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 12．计算的值为（   ） A． B． C． D． 13．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 14．已知，，则的值是（    ） A．6 B．18 C．36 D．72 15．计算（   ） A．1 B． C． D． 题型4　多项式乘多项式 例题： 16．若，则的值为（   ） A． B．2 C． D．8 巩固训练 17．已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（    ） A． B．3 C． D．0 18．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 19．计算：（    ） A． B． C． D． 20．计算：（   ） A． B． C． D． 题型5　乘法公式 例题： 21．下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 22．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 23．如果等式成立，那么、的值分别是（   ） A．0， B．0， C．1， D．，0 24．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 25．的计算结果为（    ） A． B． C． D． 题型6　整式除法 例题： 26．计算的结果是（   ） A． B． C． D．1 巩固训练 27．计算：（    ） A． B． C． D． 28．若，，则的值为（   ） A． B． C． D．19 29．计算：（    ） A． B． C． D． 30．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型7　完全平方式 例题： 31．若式子是一个完全平方式，则k= ． 巩固训练 32．如果多项式（）是一个完全平方式，则的值是 ． 33．已知多项式是完全平方式，则m的值为 ． 34．若是一个完全平方式，则的值等于 ． 35．二次三项式是一个完全平方式，则k的值是 ． 题型8　整体代入 例题： 36．若代数式的值是，则代数式的值是 ． 巩固训练 37．已知x2﹣2x﹣5=0，则2x2﹣4x的值为 ． 38．已知，则的值为 ． 39．已知x2+3x﹣1＝0，则2x2+6x+2008＝ ． 40．如果，那么 ． 题型9　化简求值 例题： 41．先化简，再求值：，其中． 巩固训练 42．化简求值：，其中． 43．先化简，再求值．，其中，． 44．先化简，再求值：，其中，满足，． 45．化简并求值：，其中，． 题型10　几何图形与乘法公式 例题： 46．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形    (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法 方法 (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则 ． 巩固训练 47．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是______； A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知：，，求的值； 48．（一）动手探究：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． （1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； （2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，求证：； （二）知识应用：利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足，，求斜边c的值．    49．乘法公式的探究及应用．      (1)如图1，阴影部分的面积可表示为______（用含字母，的式子表示） (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．（均用含字母，的代数式表示） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________；（用式子表达） (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 50．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 整式的运算知识归纳与题型突破（10题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1：单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 2：多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 3：合并同类项 1.同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 2.合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 合并同类项的一般步骤： 1）准确找出同类项； 2）利用法则，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变； 3）写出合并后的结果，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列，注意不要漏项. 4：整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 5：幂运算 1）幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2）幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 3）积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 6：整式的乘法运算 1）单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2）单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3）多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 7：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 8：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 03 题型归纳 题型一　单项式的系数与次数 例题： 1．单项式的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的有关概念，掌握单项式的系数的概念是解题的关键．根据单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数即可解答． 【详解】单项式的系数是， 故选：B． 巩固训练 2．单项式的系数是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数概念，单项式中的数字因数叫作单项式的系数，系数包括它前面的符号．根据系数的定义即可求解． 【详解】解：单项式的系数是． 故选：C． 3．下列关于单项式的说法正确的是（    ） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 【答案】A 【分析】本题考查了单项式有关的概念：数与字母的积叫做单项式，其中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数；根据单项式相关概念判断即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是4，故A正确； 故选：A． 4．单项式的系数和次数分别是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【分析】本题考查单项式中的系数和次数，根据系数和次数的概念求解即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故答案为：B 5．单项式的次数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：单项式的次数是． 故选B． 题型2　多项式相关概念 例题： 6．下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．它是三次三项式 B．它的次数是7 C．它的最高次项是 D．它的常数项是1 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．据此作答即可． 【详解】解：多项式的次数是4，有3项，是四次三项式，故A、B错误； 它的最高次项是，故C正确； 它常数项是，故D错误． 故选：C． 巩固训练 7．多项式的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．5，1 B．4， C．4， D．3， 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的有关定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的次数，系数的意义，即可解答． 【详解】解：多项式的次数为， 最高项为，则系数为， 故选：B． 8．多项式的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的项的系数、常数项等，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据多项式的相关概念进行解答即可得． 【详解】多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选B． 9．多项式的次数及最高次项的系数分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的相关定义，解题的关键是掌握多项式的相关定义．根据多项式的次数，系数的定义，即可解答． 【详解】多项式的次数为， 最高次项为，系数为， 故选：C． 10．多项式 的项数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式的知识，解决本题的关键是掌握多项式的次数和多项式的项数的定义；多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，多项式的项数是组成多项式的单项式的个数，不含字母的项叫做常数项，常数项的次数最低，进行解答，即可． 【详解】解：多项式 是一个三次三项式， 多项式 的项数和次数分别，， 故选：C． 题型3　幂的运算 例题： 11．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的乘方运算进行计算即可求解． 本题主要考查了幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 巩固训练 12．计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加, 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 13．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方．根据积的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 14．已知，，则的值是（    ） A．6 B．18 C．36 D．72 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 15．计算（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的逆用，由公式得，即可求解；掌握是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 题型4　多项式乘多项式 例题： 16．若，则的值为（   ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法，理解整式乘法运算法则是解答关键． 将变形为，再根据等式的性质求解． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 巩固训练 17．已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的乘法，先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解：； ∵结果中不含的一次项， ∴， 解得：； 故选C． 18．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式乘多项式，原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 故选：B． 19．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式法则，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．要熟记单项式与多项式的每一项都相乘，不要漏项． 根据单项式乘以多项式法则，对各选项计算后利用排除法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 20．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘单项式的法则求解即可． 【详解】解：． 故选B． 题型5　乘法公式 例题： 21．下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．根据平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； B、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； C、，符合平方差公式特点，能用平方差公式； D、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式． 故选：C． 巩固训练 22．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 23．如果等式成立，那么、的值分别是（   ） A．0， B．0， C．1， D．，0 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．将等式右边进行展开，再与左边进行对比即可得到答案． 【详解】解：由题知， ， ， 即， ，． 故选：A． 24．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式进行整式乘法运算，两次利用平方差公式进行运算，即可求解；掌握是解的关键． 【详解】解：原式 ； 故选：B． 25．的计算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运算法则． 【详解】解：， 故选：B． 题型6　整式除法 例题： 26．计算的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，熟知同底数幂除法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 巩固训练 27．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 28．若，，则的值为（   ） A． B． C． D．19 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算公式的逆用，由同底数幂的除法得，即可求解；能逆用（）进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 29．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的除法．利用多项式除以单项式的运算法则即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 30．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式，其运算法则是：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，据此求解即可． 【详解】解：， 故选D． 题型7　完全平方式 例题： 31．若式子是一个完全平方式，则k= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 巩固训练 32．如果多项式（）是一个完全平方式，则的值是 ． 【答案】6 【分析】运用完全平方式的结构特征进行求解． 【详解】解：∵， ， ∴（负值舍去）， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了完全平方式概念的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 33．已知多项式是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 34．若是一个完全平方式，则的值等于 ． 【答案】3或-1/-1或3 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值，即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴2（m-1）=±2×2， 解得：m=3或-1 故答案为：3或-1 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 35．二次三项式是一个完全平方式，则k的值是 ． 【答案】4或 【分析】这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故，求解即可． 【详解】解：∵和是一个完全平方式， ∴或， ∴或 故答案为：4或 【点睛】本题考查完全平方公式的特征．利用完全平方公式是解答本题的关键． 题型8　整体代入 例题： 36．若代数式的值是，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的计算问题，将所求代数式变形，整体代入是解题的关键．将已知条件转化为等式，再将所求代数式变形，整体代入即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 巩固训练 37．已知x2﹣2x﹣5=0，则2x2﹣4x的值为 ． 【答案】10 【详解】试题分析：由x2﹣2x﹣5=0得，x2﹣2x=5，所以代入2x2﹣4x=2（x2﹣2x）即可求得它的值． 解：∵x2﹣2x﹣5=0， ∴x2﹣2x=5， 又知：2x2﹣4x=2（x2﹣2x） =2×5 =10． 故答案为10． 考点：一元二次方程的解． 38．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件得到，再把整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 39．已知x2+3x﹣1＝0，则2x2+6x+2008＝ ． 【答案】2010 【分析】先由x2+3x﹣1＝0，得x2+3x＝1，再把2x2+6x+2008化为2（x2+3x）+2008，运用整体代入法求解． 【详解】解：已知x2+3x﹣1＝0， 则x2+3x＝1， 所以2x2+6x+2008 ＝2（x2+3x）+2008 ＝2×1+2008 ＝2010， 故答案为：2010． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． 40．如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据有理数的加减运算法则适用于代数式的运算， 连减多个数，等于减去这几个数的和，依次即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 题型9　化简求值 例题： 41．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式将式子进行化简，再将代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 巩固训练 42．化简求值：，其中． 【答案】原式，当时，原式 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解决问题的关键是掌握解题步骤．步骤如下：一化：通过去括号、合并同类项将整式化简；二代：把已知字母的值代入化简后的式子；三算：依据有理数的混合运算顺序和法则进行计算．先用去括号、合并同类项对原式进行化简，然后将代入求值即可． 【详解】解：， ， ； 当时， 原式， ． 43．先化简，再求值．，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】解：原式， 当，时， 原式． 44．先化简，再求值：，其中，满足，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减运算，先去小括号，然后合并同类项，最后把，代入化简的整式，即可． 【详解】解： ， 把，代入得，． 45．化简并求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先将原式去括号，合并同类项后得出最简结果，然后将，代入最简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 题型10　几何图形与乘法公式 例题： 46．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形    (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法 方法 (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则 ． 【答案】(1) (2)， (3) (4)29 【分析】本题主要考查我们的公式变形能力，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键． （1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即； （2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系； （4）将，，代入三个代数式之间的等量关系即可求出的值． 【详解】（1）解：图2中的阴影部分的正方形的边长等于； （2）解：方法一、阴影部分的面积； 方法二、阴影部分的边长；故阴影部分的面积． （3）解： 三个代数式之间的等量关系是：； （4）解：． 故答案为：、；；29． 巩固训练 47．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是______； A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知：，，求的值； 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，掌握图形面积的不同求法是解题关键． （1）根据图中阴影部分面积的不同计算方式即可求解； （2）由（1）中所得结论即可求解． 【详解】（1）解：由左图可知：阴影部分的面积； 由右图可知：阴影部分的面积； 故可以验证的等式是B 故答案为：B （2）解：， 由（1）知， ， ∴ 48．（一）动手探究：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． （1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； （2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，求证：； （二）知识应用：利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足，，求斜边c的值．    【答案】；（2）见解析；（二）知识应用： 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，将公式进行适当的变形是解决问题的关键． （一）动手探究：（1）阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案； （2）中间的是边长为c的正方形，因此面积为，也可以从边长为的正方形面积减去四个直角三角形的面积即可； （二）知识应用：利用（2）中的结论，代入计算即可． 【详解】解：（一）动手探究：（1）方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即； 方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即， 由面积相等得， 故答案为：； （2）中间正方形的边长为c，面积为，也可以看作从边长为的正方形面积减去四个两条直角边分别a、b的面积，即， 化简得， 所以； （二）知识应用：，， ， ， 答：斜边的长为13． 49．乘法公式的探究及应用．      (1)如图1，阴影部分的面积可表示为______（用含字母，的式子表示） (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．（均用含字母，的代数式表示） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________；（用式子表达） (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】(1) (2)       (3) (4)见解析． 【分析】（1）根据，即可求得答案． （2）结合图1和图2即可得到答案． （3）根据图1和图2表示的面积相等，即可写出答案． （4）运用得到的公式，将题目适当变形，求解即可． 【详解】（1）解：，即． 故答案为：． （2）观察图形可知，阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是． 故答案为：      ． （3）图1和图2表示的面积相等，可得 ． 故答案为：． （4）① ② 【点睛】本题主要考查平方差公式，即，理解平方差公式的几何意义是解题的关键． 50．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】(1)（a+b）2＝a2+2ab+b2 (2)76 (3)8 【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式； （2）根据完全平方公式变形即可求解； （3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论． 【详解】（1）解：（1）用大正方形面积公式求得图形的面积为：（a+b）2；用两个小正方形面积加两个长方形面积和求出图形的面积为：a2+2ab+b2． 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）解：（2）∵a+b＝10，ab＝12， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76； （3）解：（3）设8﹣x＝a，x﹣2＝b， ∵长方形的两邻边分别是8﹣x，x﹣2， ∴a+b＝8﹣x+x﹣2＝6， ∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20， ∴ab＝8， ∴这个长方形的面积＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$