第六章 整式的运算（3易错+7压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第六章 整式的运算 易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　“不含”问题 1 易错题型二　错解还原 1 易错题型三　规律性问题 2 压轴题型一　最值问题 3 压轴题型二　“无关”问题 3 压轴题型三　信息丢失问题 3 压轴题型四　图形与乘法公式 4 压轴题型五　完全平方公式变形 6 压轴题型六　错误相减 7 压轴题型七　阅读材料题 9 02 易错题型 易错题型一　“不含”问题 例题：若多项式与多项式的差不含二次项，则m等于（    　　） A．2 B． C．3 D． 巩固训练 1．若的展开式中不含x项，则实数m的值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 2．若关于的代数式的展开式不含的二次项，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 3．若式子中不含项，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．1 易错题型二　错解还原 例题：有这样一道题：有两个整式A，B，已知B为．试求．马虎同学误将看成，结果算得的答案是，则的正确答案是（） A． B． C． D． 巩固训练 1．小明同学做一道数学题时，误将求“”看成求“”，结果求出的答案是，已知，请你帮助小明同学求出应为（ ） A． B． C． D． 2．某同学在做计算时，误将“”看成“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为（　　） A． B． C． D． 3．一同学做一道数学题：“已知两个多项式，，其中，求”，这位同学却把看成，求出的结果是，那么多项式是（   ） A． B． C． D． 易错题型三　规律性问题 例题：如图，多边形的边上按规律排列着部分点，第1个图形中有3个点，第2个图形中有8个点，第3个图形中有15个点，第4个图形中有24个点，按照此规律，第m个图形中点的个数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．观察这列关于的单项式：，，，，，，，按照这种规律，第个多项式为（   ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的单项式：，，，…，则第7个单项式是（   ） A． B． C． D． 3．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律第个图案中涂有阴影的小正方形个数为（用含有的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 03 压轴题型 压轴题型一　最值问题 例题：已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是5．依此方法，代数式的最小值是 ． 巩固训练 1．已知整数，，满足，则的最小值为 ． 2．若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 3．若，，则的最小值为 ． 压轴题型二　“无关”问题 例题：已知整式的值与的大小无关，求代数式的值． 巩固训练 1．试说明的值与x的取值无关． 2．已知，，且的值与x无关，求m的值． 3．已知多项式的值与x的取值无关，求代数式的值． 压轴题型三　信息丢失问题 例题：如图是三张写有整式的卡片A，B，C，小芳发现A，B，C之间其中两个整式相加等于第三个整式，但B卡片中一单项式不小心被墨水污染了． (1)小芳推测，请你帮助小芳判断她的推测是否正确，并说明理由； (2)根据三个整式，求出被墨水污染的部分． 巩固训练 1．下面是小莉做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把污渍弄到了上面： ，阴影部分即被污渍弄污的部分，求被污渍遮住的一项． 2．下面是小明不小心被撕毁的整式化简的作业，小明询问同学后，得知该整式化简后的结果为．    (1)求被撕掉的多项式； (2)若，为的相反数，求被撕掉的多项式的值． 3．小明同学在写作业时，不小心将一滴墨水滴在卷子上，遮住了数轴和之间的数据（如图），设遮住的最大整数是a，最小整数是b． (1)求的值； (2)若，求的值． 压轴题型四　图形与乘法公式 例题：如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 巩固训练 1．如图1，正方形的边长分别为，且． (1)用两个种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积为______；（用含的代数式表示） (2)将一个种和一个种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为______或______，从而可以得到一个乘法公式为______． (3)如图4，将正方形拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（2）的思路进行思考，直接写出所得到的等式______． (4)用正方形画出恰当的图形，说明 2．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 3．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；    【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　； ②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)． 【拓展】计算的结果为　　　　． 压轴题型五　完全平方公式变形 例题：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： (1)的值； (2)的值． 巩固训练 1．（1）问题探究：已知，，可利用完全平方公式得：______． （2）自主推导：______． 根据上面的公式计算：已知，，求______ ． （3）问题解决：已知，，求的值． 2.我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式“”变形成或等形式， 问题：若x满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，，则， 即：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． 3．已知a+b＝﹣4，ab＝3，求+的值． 解：∵a+b＝﹣4， ∴＝． 即+＝16． ∵＝3， ∴+＝10． 参考上述过程解答： （1）已知＝﹣3，＝﹣2．求式子（）（+）的值； （2）若，＝﹣12，求式子的值． 压轴题型六　错误相减 例题：下给出求的值的方法． 解：设（1）， 将等式两边同时乘2得（2）， 将（2）式和（1）式左右两边分别相减， 此时，即． 请你仿照此法计算： (1)求的值为　　　（结果用含幂的式子表示）； (2)求（其中n为正整数）的值（结果用含n的式子表示）． (3)求的值（结果用含幂的式子表示）． 巩固训练 1．计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． 2．计算 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的倍，如果将上式各项都乘以，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②-①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决． 下面请你观察算式是否具备上述规律？若是，请你尝试用“错位相减”法计算上式的结果． 3．材料一：因为，所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以， 即， 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：_________，_________； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 压轴题型七　阅读材料题 例题：材料阅读： 小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，如果一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则通常记这个三位数为，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能够被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除，即就能被3整除． 应用材料解答下列问题： (1)是一个三位数，这个三位数能够被9整除需要满足的条件是： ； (2)是一个三位数，猜想这个三位数满足什么条件时，它可以被5整除，并说明理由； (3)是一个四位数，直接写出这个四位数满足什么条件时它能够被4整除． 巩固训练 1．阅读下列材料，我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果_______； (2)若已知，求的值； (3)拓展探索：已知，求的值． 2．阅读材料，解答问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值保持不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中两个字母交换位置，可得到，因为，所以是对称式．而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)①；②；③，其中是对称式的是______；（填序号） (2)写出一个只含有字母，且次数为3的多项式，使该多项式是对称式：______； (3)已知，，求，并判断所得结果是否是对称式． 3．阅读材料并回答问题： 对任意一个三位数为整数），若其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数为M的“格致数”． 例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数，，所以154的“格致数”为387． (1)填空：当时， ________；当时，_______； (2)求证：对任意的“万象数”M，其“格致数”都能被9整除； (3)已知某“万象数”M的“格致数”为，既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M（完全平方数：如，…，我们称0，1，4，9，16…为完全平方数） / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 整式的运算 易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　“不含”问题 1 易错题型二　错解还原 3 易错题型三　规律性问题 4 压轴题型一　最值问题 6 压轴题型二　“无关”问题 9 压轴题型三　信息丢失问题 11 压轴题型四　图形与乘法公式 13 压轴题型五　完全平方公式变形 20 压轴题型六　错误相减 24 压轴题型七　阅读材料题 29 02 易错题型 易错题型一　“不含”问题 例题：若多项式与多项式的差不含二次项，则m等于（    　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减，直接利用整式的加减运算法则得出，进而得出答案． 【详解】解： ， 多项式与多项式的差不含二次项， ， 解得：． 故选 ：D． 巩固训练 1．若的展开式中不含x项，则实数m的值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘以多项式展开式子，合并同类项，不含项，就是项系数为0，进而求出的值． 【详解】解： ， 又展开式中不含项， ， 即； 故选：D． 2．若关于的代数式的展开式不含的二次项，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据结果中不含的二次项，即含的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵关于的代数式的展开式不含的二次项， ∴， ∴， 故选：A． 3．若式子中不含项，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，理解不含项，则该项的系数为0，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． 根据题意，先去括号，再合并同类项，由不含项，则该项的系数为0，由此列式求解即可． 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得，， 故选：A ． 易错题型二　错解还原 例题：有这样一道题：有两个整式A，B，已知B为．试求．马虎同学误将看成，结果算得的答案是，则的正确答案是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，，即，解得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，即， 解得，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减运算．解题的关键在于正确的运算． 巩固训练 1．小明同学做一道数学题时，误将求“”看成求“”，结果求出的答案是，已知，请你帮助小明同学求出应为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将答案减去，即得到，再根据多项式的减法计算即可． 【详解】依题意，， 故选A． 【点睛】本题考查了整式的加减法，根据题意求得多项式是解题的关键． 2．某同学在做计算时，误将“”看成“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出关系式，去括号合并同类项即可求解． 【详解】根据题意得： ． 故选：A． 3．一同学做一道数学题：“已知两个多项式，，其中，求”，这位同学却把看成，求出的结果是，那么多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，代入计算即可求出A的值． 【详解】解：∵， 由题意知：， 则：A＝， A＝， ＝， 故选：A 易错题型三　规律性问题 例题：如图，多边形的边上按规律排列着部分点，第1个图形中有3个点，第2个图形中有8个点，第3个图形中有15个点，第4个图形中有24个点，按照此规律，第m个图形中点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的规律，发现图形变化规律与图形序号的关系是解题的关键． 先根据已有图形观察、归纳图形变化规律与图形序号的关系，即可发现规律． 【详解】解：第一个图形中点数为， 第二个图形中点数为， 第三个图形中点数为， 第四个图形中点数为 …… 第m个图形中点数为， 故选：C． 巩固训练 1．观察这列关于的单项式：，，，，，，，按照这种规律，第个多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的有关概念和规律型探求，解决本题的关键是分别找出单项式的系数和次数的变化规律．当一列有规律的单项式的符号是正、负交替出现时，一般用解决． 【详解】解：，，，，，， 根据规律可知第个多项式为． 故选：D． 2．按一定规律排列的单项式：，，，…，则第7个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的规律探索，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键．根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断． 【详解】由，，，…，可得， 奇数项为负，偶数项为正， 其系数的数字为， 指数为， ∴第7个单项式是， 故选：C． 3．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律第个图案中涂有阴影的小正方形个数为（用含有的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可，观察出“后一个图案比前一个图案多4个基础图形”是解题的关键． 【详解】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为， ， 第个图案涂有阴影的小正方形的个数为． 故选：C． 03 压轴题型 压轴题型一　最值问题 例题：已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是5．依此方法，代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式对代数式进行变形是解题的关键． 先用完全平方公式对代数式进行变形，然后确定其最小值即可． 【详解】解：， 则的最小值为． 故答案为． 巩固训练 1．已知整数，，满足，则的最小值为 ． 【答案】118 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质．根据，得出，从而得出，，，然后再进行运算，得出结论即可． 结论． 【详解】解：， ， ，，， ， 即， 故答案为：118． 2．若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，首先找到驻点，确定的取值范围，分类讨论确定和的值，再计算的值，运用分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵当时，； 当时，，； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式及二次函数的性质，熟练掌握完全平方公式及二次函数的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据完全平方公式及非负数的性质，可进行求解． 【详解】解：∵，即，， ∴ ， ∵， ∴， ∴最小值为； 故答案为：． 压轴题型二　“无关”问题 例题：已知整式的值与的大小无关，求代数式的值． 【答案】3 【分析】此题考查了整式加减的无关性问题，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先化简为，然后根据题意得到，求出，然后利用平方差公式化简为，然后代入求解即可． 【详解】 ∵整式的值与的大小无关， ∴ ∴ ∴ ． 巩固训练 1．试说明的值与x的取值无关． 【答案】见解析 【分析】根据整式的四则运算、完全平方公式及平方差公式，求解即可． 【详解】解：方法一  分别利用公式展开 ， 所以原式的值与x的取值无关． 方法二  整体利用公式化简 原式， 所以原式的值与x的取值无关． 2．已知，，且的值与x无关，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了无关型问题．熟练掌握整式的加减运算，无关部分系数为0，解一元一次方程，是解题的关键． 先将A、B代入中进行化简合并，再令x的系数为0解出m值即可． 【详解】解：∵， ∴ 又∵的值与x无关 ∴ ∴ 3．已知多项式的值与x的取值无关，求代数式的值． 【答案】10 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，整式的加减—无关题型，先求出，，再将化简代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 由多项式的值与x的取值无关可得，， 解得，， ． 当，时，原式． 压轴题型三　信息丢失问题 例题：如图是三张写有整式的卡片A，B，C，小芳发现A，B，C之间其中两个整式相加等于第三个整式，但B卡片中一单项式不小心被墨水污染了． (1)小芳推测，请你帮助小芳判断她的推测是否正确，并说明理由； (2)根据三个整式，求出被墨水污染的部分． 【答案】(1)不正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握计算法则是解此题的关键． （1）根据题意和题干中的多项式，求出，再与题干中的进行比较即可得出答案； （2）根据题意，可以列出三个等式，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：不正确．理由如下， 由题知，，， 若，则， ∵不是单项式， ∴小芳的推测不正确； （2）解：由（1）可得：当时，，与题意不符合，舍去； 当时，， 与题意不符，舍去； 当时，， ∵为单项式， ∴符合题意， ∴被墨水污染的部分是． 巩固训练 1．下面是小莉做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把污渍弄到了上面： ，阴影部分即被污渍弄污的部分，求被污渍遮住的一项． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算； 先去括号，再合并同类项，求出结果即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴被污渍遮住的一项是． 2．下面是小明不小心被撕毁的整式化简的作业，小明询问同学后，得知该整式化简后的结果为．    (1)求被撕掉的多项式； (2)若，为的相反数，求被撕掉的多项式的值． 【答案】(1)被撕掉的多项式为 (2)被撕掉的多项式的值为 【分析】本题考查了整式的化简求值； （1）根据题意计算，即可求解； （2）将，，代入（1）中化简结果，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：被撕掉的多项式为； （2）解：由题意可得，当，时， ． 3．小明同学在写作业时，不小心将一滴墨水滴在卷子上，遮住了数轴和之间的数据（如图），设遮住的最大整数是a，最小整数是b． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)13 (2)， 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，整式的加减化简求值，熟练掌握整式的加减化简求值是解答本题的关键． （1）在数轴上找出在和之间的数中的最大整数和最小整数，即为a，b的值，再代入计算即得答案； （2）先化简代数式的值，然后利用a，b的值求出m，n的值，再代入化简后的代数式计算即得答案． 【详解】（1）在和之间的数中， 最大的整数是2，则， 最小的整数是，则， ； （2）原式 ， ， ， 原式． 压轴题型四　图形与乘法公式 例题：如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】(1)； (2)； ． 【分析】本题主要考查了全平方公式的几何意义，解决本题的关键是根据图形的面积关系得到两个完全平方公式之间的关系，再利用这个关系解决问题． 根据图形中的阴影面积可以用大正方形的面积减去长方形的面积表示为，也可根据小长方形的摆放位置用代数式表示出阴影正方形的边长，利用正方形的面积公式直接表示出阴影的面积为，根据两种表示方法表示的是同一个图形的面积，可得； 由可知，把和代入计算即可求出的值； 从图中两个正方形的位置可以得出，从而可得，根据中得到的公式可知，两边同时开方求出的值，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可知：阴影正方形的边长为， 阴影的面积为：， 阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为、宽为的长方形的面积， 阴影的面积也可以表示为：， 可得到关于，的等量关系为， 故答案为：； （2）解：由可知， 当，时， ， 故答案为：； 解：如下图所示， 四边形和四边形为正方形，且边长分别为和， ，， ， ， 由可知， 或(舍去)， ． 巩固训练 1．如图1，正方形的边长分别为，且． (1)用两个种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积为______；（用含的代数式表示） (2)将一个种和一个种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为______或______，从而可以得到一个乘法公式为______． (3)如图4，将正方形拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（2）的思路进行思考，直接写出所得到的等式______． (4)用正方形画出恰当的图形，说明 【答案】(1) (2)，； (3) (4)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）由题意得大正方形的边长为，根据面积公式即可表示； （2）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式； （3）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （4）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的边长为，则面积为， 故答案为：； （2）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：，；； （3）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为， 故答案为：； （4）解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， 所以． 2．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，图形见解析 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得正方形面积为，由拼成了一个正方形可得是一个完全平方式，即可得，据此即可求解； 情境三：能构成长方形，则能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解； 本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：情境一： 如图，设等腰梯形的高为， ∴， ∴， ∴图的面积为， 图的面积为， ∵， ∴， ∴可以得到的乘法公式为：； 情境二： 拼成的正方形面积为， ∵拼成的是一个正方形， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三： 赞同丁同学的说法． 理由：∵不能进行因式分解，即转化不了长乘以宽， ∴三种木片不能拼出一个面积为的长方形， 去掉一块以后，面积为， ∴该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图所示： 3．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；    【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　； ②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)． 【拓展】计算的结果为　　　　． 【答案】探究：（1），；（2）；应用：①12；②；拓展：． 【分析】探究：（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； 应用：①根据上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得； ②利用两次平方差公式即可得； 拓展：将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得． 【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为， 故答案为：，； （2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：， 故答案为：； 应用：①， 故答案为：12； ②原式， ， ； 拓展：原式， ， ， ， ， ． 故答案是：． 压轴题型五　完全平方公式变形 例题：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用． （1）先将整理得，再仿照阅读内容求出的值，最后再根据完全平方公式求出的值即可； （2）先求出的倒数得，再将（1）中所求得的的值整体代入即可． 熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 【详解】（1） ， 整理得：， ， ； （2）的倒数为， ， ． 巩固训练 1．（1）问题探究：已知，，可利用完全平方公式得：______． （2）自主推导：______． 根据上面的公式计算：已知，，求______ ． （3）问题解决：已知，，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）根据，代入可得答案； （2）由多项式乘多项式法则可得，将已知代入可得的值； （3）根据题意可知：，进而得到的值，代入可得答案； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ， ∵，， ∴， ∴, ∴， 故答案为：，； （3）∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 答：的值是 2.我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式“”变形成或等形式， 问题：若x满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，，则， 即：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． 【答案】(1)120 (2)2021 【分析】（1）设，，再求的值，然后借助完全平方公式求值． （2）设，，再求出的值，然后借助完全平方公式求值． 【详解】（1）设，， 则， 所以， （2）设，， 则 所以， 3．已知a+b＝﹣4，ab＝3，求+的值． 解：∵a+b＝﹣4， ∴＝． 即+＝16． ∵＝3， ∴+＝10． 参考上述过程解答： （1）已知＝﹣3，＝﹣2．求式子（）（+）的值； （2）若，＝﹣12，求式子的值． 【答案】(1)-15    (2)76 【分析】（1）利用完全平方公式，先求出（a2+b2）的值，再计算（a-b）（a2+b2）的值； （2）把m-n-P=-10变形为[（m-p）-n]，利用完全平方公式仿照例题计算得结论． 【详解】解：（1）因为（a-b）2=（-3）2， 所以a2-2ab+b2=9， 又∵ab=-2 ∴a2+b2=9-4=5， ∴（a-b）（a2+b2） =（-3）×5 =-15 （2）∵（m-n-p）2=（-10）2=100， 即[（m-p）-n]2=100， ∴（m-p）2-2n（m-p）+n2=100， ∴（m-p）2+n2=100+2n（m-p） =100+2（-12） =76． 压轴题型六　错误相减 例题：下给出求的值的方法． 解：设（1）， 将等式两边同时乘2得（2）， 将（2）式和（1）式左右两边分别相减， 此时，即． 请你仿照此法计算： (1)求的值为　　　（结果用含幂的式子表示）； (2)求（其中n为正整数）的值（结果用含n的式子表示）． (3)求的值（结果用含幂的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是读懂题意． （1）根据所给的解答方式进行求解即可； （2）仿照所给的解答方式进行求解即可． （3）仿照所给的解答方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题知， 设， 则， 得，， 则， 所以． 故答案为：． （2）解：令①， 则②， 得，， 则， 所以． （3）解：令①， 则②， 得，， 则， 所以． 巩固训练 1．计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查等式的规律探索，有理数乘方运算，解题的关键是根据题意找到规律进行求解． （1）设，则，根据即可求出结果； （2）设，将等式两边同时乘以2，得，将以上两式相减得：，即可得出； （3）设，将等式两边同时乘以5得出，将以上两式相减得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得：， ∴； （2）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得： ， 即， ∴； （3）解：设， 将等式两边同时乘以5，得： ， 将以上两式相减，得： ， 则， 即， ∴． 2．计算 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的倍，如果将上式各项都乘以，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②-①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决． 下面请你观察算式是否具备上述规律？若是，请你尝试用“错位相减”法计算上式的结果． 【答案】． 【分析】由题中的例子知从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，等式两边同乘以5，观察知算式从第二项起，每项都是它前面一项的，运用类比的方法，等式两边同时乘以，再利用错位相减法即可求得结果． 【详解】此式具备上述规律 设S=，① 则 ② ①−②得 解得S=. 即. 3．材料一：因为，所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以， 即， 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：_________，_________； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查的是乘方的应用，理解乘方的含义与阅读部分提示的求和方法是解本题的关键； （1）直接利用乘方的含义可得答案； （2）先根据规律得到，再结合阅读部分的求和方法可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）①∵第一格放一粒米，第二格放二粒即粒，第三格放四粒即粒，第四格放八粒即粒，， ∴国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒； ②由题意可得：， ∴， 两式相减可得：； 压轴题型七　阅读材料题 例题：材料阅读： 小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，如果一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则通常记这个三位数为，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能够被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除，即就能被3整除． 应用材料解答下列问题： (1)是一个三位数，这个三位数能够被9整除需要满足的条件是： ； (2)是一个三位数，猜想这个三位数满足什么条件时，它可以被5整除，并说明理由； (3)是一个四位数，直接写出这个四位数满足什么条件时它能够被4整除． 【答案】(1)可以被9整除 (2)或5时，能被5整除 (3)当能被4整除时，能被4整除 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用． （1）把三位数化为，根据整除的性质得出结论； （2）把三位数化为，根据整除的性质得出结论； （3）把四位数化为，根据整除的性质得出结论． 【详解】（1）解： ， ∴这个三位数能够被9整除需要满足的条件是可以被9整除， 故答案为：可以被9整除； （2）解∶ ， ∵能被5整除， ∴当c能被5整除时，即或5时，能被5整除； （3）解∶ ， ∵能被4整除， ∴当能被4整除时，能被4整除． 巩固训练 1．阅读下列材料，我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果_______； (2)若已知，求的值； (3)拓展探索：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了整式的化简求值，关键是注意去括号时符号的变化． （1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式可化为，整体代入即可； （3）将原式去括号整理成，再整体代入进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 2．阅读材料，解答问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值保持不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中两个字母交换位置，可得到，因为，所以是对称式．而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)①；②；③，其中是对称式的是______；（填序号） (2)写出一个只含有字母，且次数为3的多项式，使该多项式是对称式：______； (3)已知，，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③； (2)； (3)，是对称式． 【分析】本题是新定义问题，考查了整式的加法运算，灵活运用的能力，关键是读懂材料． （1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及题目的要求即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得A+2B，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【详解】（1）解：根据加法交换律知，，故它是对称式；同理，，故也是对称式；但中字母a、b交换后变为，； 故它不是对称式； 故答案为：①③； （2）解：由题意得：所要求的对称式为； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴ ； 它是对称式． 3．阅读材料并回答问题： 对任意一个三位数为整数），若其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数为M的“格致数”． 例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数，，所以154的“格致数”为387． (1)填空：当时， ________；当时，_______； (2)求证：对任意的“万象数”M，其“格致数”都能被9整除； (3)已知某“万象数”M的“格致数”为，既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M（完全平方数：如，…，我们称0，1，4，9，16…为完全平方数） 【答案】(1)532，783 (2)见解析 (3)682或286 【分析】本题考查了完全平方数和新定义，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意进行求解即可； （2）设“万象数”M为，则N为，则，进而化简成9的倍数的式子即可证明； （3）由是72的倍数，可得是8的倍数，结合为整数，得出符合条件的值，再根据题意求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，，∴， 故答案为：532，783； （2）证明：设“万象数”M为，则N为，则， ∵， ∴， ∴其“格致数”都能被9整除； （3）解：∵是72的倍数， ∴是8的倍数， ∴是8的倍数， ∵为整数， ∴， ∵， ∴， ∴或或或或， ∴或或或或或， ∵， ∴的值为或144或360或72或576或288， ∵是完全平方数， ∴的值为144或576， ∴M的值为682或286． / 学科网（北京）股份有限公司 $$