第一单元 圆柱和圆锥-2024-2025学年北师大版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第一单元 圆柱和圆锥 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱 圆柱的易错知识点 易错知识点01：圆柱的基本特征 易错点：混淆圆柱的底面与侧面。需明确圆柱有两个底面，是两个大小相同的圆；侧面是一个曲面。 圆柱的高：两个底面间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高且长度相等。 易错知识点02：圆柱的侧面积 公式：S侧=Ch或S侧=πdh或S侧=2πrh（C为底面周长，d为底面直径，r为底面半径，h为高）。 易错点：计算时不注意单位统一，或错误地使用底面直径或半径计算侧面积。 易错知识点03：圆柱的表面积 公式：S表=S侧+2S底=2πrh+2πr²（S侧为侧面积，S底为底面积）。 易错点：忽视圆柱体的实际应用情况，如计算无盖水桶的表面积时，只计算一个底面和侧面的面积之和。 易错知识点04：圆柱的体积 公式：V=Sh或V=πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算过程中，容易混淆底面积和高，导致计算结果错误。 圆锥的易错知识点 易错知识点05：圆锥的基本特征 易错点：混淆圆锥的底面与侧面，以及圆锥的高。需明确圆锥有一个底面，是一个圆；侧面是一个曲面；圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 易错知识点06：圆锥的体积 公式：V=(1/3)Sh或V=(1/3)πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算圆锥体积时，容易忘记乘以(1/3)，导致计算结果错误。 易错知识点07：圆锥的高的测量 方法：把圆锥放在水平面上，在圆锥的顶点上放一个平面的东西（如木板），并与底面平行，测量这两个平面间的距离，即为圆锥的高。 易错点：测量时不注意保持圆锥和水平面的稳定，导致测量结果不准确。 综合应用中的易错点 易错知识点08： 圆柱与圆锥的关系 易错点：只有在等底等高的条件下，圆柱的体积才是圆锥体积的3倍，圆锥的体积才是圆柱体积的(1/3)。忽视这一条件，容易导致错误判断。 易错知识点09：实际问题的求解 易错点：在解决实际问题时，容易忽视题目中的实际情况，如计算圆柱形物体的表面积时，需要根据物体的具体形状（如是否有盖、是否空心等）来确定计算哪些面的面积。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.47（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）（2024•梁子湖区）一个长方形的长是，宽是。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是　　 A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 【思路点拨】利用圆柱的侧面积底面圆的周长高，圆柱的表面积上下底面面积侧面积，圆柱的体积底面积高分别进行计算即可。 【规范解答】解：圆柱甲的底面积， 圆柱甲的侧面积， 圆柱甲的表面积， 圆柱甲的体积； 圆柱乙的底面积， 圆柱乙的侧面积， 圆柱乙的表面积， 圆柱乙的体积， 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱的侧面积，表面积和体积的应用。解决这类问题的关键是熟练记忆公式，并能灵活运算。 2．（2分）（2024•高密市）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差3.14立方厘米，它们的体积的和是　　 A．4.71立方厘米 B．6.28立方厘米 C．7.85立方厘米 D．9.42立方厘米 【思路点拨】根据等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍可知，假设圆锥的体积是1份，则圆柱的体积是3份，由于“一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差3.14立方厘米”，所以3.14立方厘米就是2份的体积，而它们的体积之和是4份，于是可以求出它们的体积之和． 【规范解答】解：（立方厘米） （立方厘米）； 答：它们的体积之和是6.28立方厘米． 故选：． 【考点评析】此题考查了等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，即等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍，据此关系可解决相关的实际问题． 3．（2分）（2024•鹿城区）把一个底面直径高的圆柱体木块加工成一个等底等高的圆锥。下面说法正确的是　　 A．去掉的体积是圆锥体积的2倍。 B．圆锥的底面积是。 C．去掉的体积是圆柱体积的。 D．圆锥和圆柱体积的比是。 【思路点拨】依据题意可知，圆锥的体积圆柱的体积，圆锥的底面积圆锥的底面积，由此解答本题。 【规范解答】解：（厘米），底面积：，圆锥的体积圆柱的体积，圆锥和圆柱体积的比是，去掉的体积是圆柱体积的，去掉的体积是圆锥体积的2倍。 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 4．（2分）（2024•灵宝市）如图所示，赵磊把一个底面直径是，高为的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则　　（圆周率取 A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 【思路点拨】依据题意可知，方法一增加的面积等于2个长是4分米，宽是3分米的长方形的面积，方法二增加的面积是2个直径是4分米的圆的面积，由此解答本题。 【规范解答】解：（平方分米） （分米），（平方分米） 答：两种方法表面积增加的一样多。 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱表面积的应用。 5．（2分）（2024•乾安县）如图，把一个体积是的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】通过观察图形可知，每个圆锥的底面积与圆柱的底面积相等，每个圆锥的高是圆柱高的一半，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以每个圆锥的体积是圆柱体积一半的。据此解答。 【规范解答】解： （立方分米） 答：每个圆锥的体积是12立方分米。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 6．（2分）（2024•潍坊）如图，将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，　　正好倒满。（单位： A． B． C． 【思路点拨】根据圆柱体积底面积高，圆锥体积底面积高，分别计算出水的体积和各选项圆锥形容器的容积即可。 【规范解答】解： ． ． ． 将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，选项的圆锥形容器正好倒满。 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 二．细心读题，准确填空（共7小题，满分15分） 7．（2分）（2024•黎城县）圆柱和圆锥的底面积比是，高的比是，它们的体积比是　8　　 　． 【思路点拨】设圆柱的底面积为，高为，则圆柱的体积，圆锥的体积，用圆柱的体积除以圆锥的体积就能求得它们的体积比． 【规范解答】解：设圆柱的底面积为，高为， 则圆柱的体积，圆锥的体积， 体积比：； 答：它们的体积比是． 故答案为：． 【考点评析】解答此题的关键是：设出底面积和高，再据二者的底面积和高的大小关系，利用公式推导即可． 8．（2分）（2024•沧州）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，该圆柱的高和底面半径的比是 　　。 【思路点拨】根据圆柱侧面积展开图的特征，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：； 答：该圆柱的高与底面半径的比是。 故答案为：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，比的意义及应用。 9．（2分）（2024•山阳县）一个圆锥与一个和它等底等高的圆柱的体积之差是60立方厘米，则这个圆锥的体积是 　30　立方厘米，圆柱的体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】圆锥与圆柱等底等高，所以圆锥的体积是圆柱体积的，所以圆柱的体积比圆锥的体积多，知道了它们的体积差是60立方厘米，所以圆柱的体积就是，用求出的圆柱体积乘，就是圆锥的体积。 【规范解答】解： （立方厘米） （立方厘米） 答：圆锥的体积是30立方厘米，圆柱的体积是90立方厘米。 故答案为：30；90。 【考点评析】本题考查等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，重点是知道它们之间存在着的数量关系。 10．（2分）（2024•尧都区）如图：把一个底面直径10厘米，高12厘米的圆柱等切成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 　120　平方厘米，该圆柱的体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】依据题意可知，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径的长方形的面积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了120平方厘米，该圆柱的体积是942立方厘米。 故答案为：120，942。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 11．（2分）（2024•南山区）如图，将一个长3厘米、宽2厘米的长方形，绕着长旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是 　62.8　平方厘米，体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】依据题意结合图示可知，这个圆柱的底面半径是2厘米，高是3厘米，利用圆柱的表面积底面半径底面半径底面半径高，圆柱的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：这个圆柱的表面积是62.8平方厘米，体积是37.68立方厘米。 故答案为：62.8，37.68。 【考点评析】本题考查的是圆柱的表面积、体积公式的应用。 12．（2分）（2023•鼓楼区）一个圆锥和圆柱底面积相等，体积的比是。如果圆锥的高是5.6厘米，圆柱的高是 　2.8　厘米，如果圆柱的高是4.16厘米，圆锥的高是 　　厘米。 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，设圆锥和圆柱的底面积为平方厘米，据此列比例解答。 【规范解答】解：（1）设圆锥和圆柱的底面积为平方厘米，圆柱的高为厘米，圆锥的高为 （2）设圆锥和圆柱的底面积为平方厘米，圆锥的高为厘米， 答：圆柱的高是2.8厘米，圆锥的高是8.32厘米。 故答案为：2.8，8.32。 【考点评析】此题主要考查圆锥的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是熟记公式。 13．（3分）（2022•德阳）一个正方体密封盒子的棱长是，它的表面积是 　486　；盒子里放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是 　　；如果用这个盒子装下一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是 　　。 【思路点拨】根据正方体的表面积公式：，求出正方体的表面积即可；如果在这个盒子放入一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆柱的侧面积公式：，把数据代入公式解答；如果用这个盒子装下一个最大的圆锥，也就是圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （平方厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：正方体的表面积是486平方厘米，圆柱的侧面积是254.34平方厘米，圆锥的体积是190.755立方厘米。 故答案为：486；254.34；190.755。 【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、圆柱的侧面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024•沈河区）两个底面都是圆形，且侧面是一个曲面的立体图形，一定是圆柱。 　　（判断对错） 【思路点拨】从圆柱的定义入手进行分析：两个底面都是圆形，侧面是一个曲面的立体图形，不一定都是圆柱，圆柱上下两个底面面积相等，否则就不是圆柱。 【规范解答】解：根据圆柱的定义：圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。可知原题没有强调上下两个底面相等，说法不严密，所以错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了圆柱的特征的掌握能力。解题关键是牢记圆柱上下底面是大小相等的两个圆。 15．（2分）（2024•定州市）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高与底面直径的比值等于．　　（判断对错） 【思路点拨】因为“圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高”并结合题意可得：圆柱的底面周长等于圆柱的高，设圆柱的底面直径是，根据“圆的周长”求出圆柱的底面周长，进而根据题意求解即可． 【规范解答】解：设圆柱的底面直径为，则： ． 答：这个圆柱的高与底面直径的比值等于． 故答案为：． 【考点评析】解答此题应明确：圆柱的侧面展开后是一个正方形，即圆柱的底面周长等于圆柱的高，进而解答即可． 16．（2分）（2024•邢台）同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。 　　（判断对错） 【思路点拨】体积是指物体所占空间的大小；同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），都只是形状改变，但所占空间的大小不变，即体积不变，据此判断即可。 【规范解答】解：由分析可知：同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。原题干说法正确。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥、长方体的体积的应用。 17．（2分）（2024•腾冲市）一个圆锥的体积是36立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是12立方厘米。 　　（判断对错） 【思路点拨】依据题意可知，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由此解答本题。 【规范解答】解：（立方厘米） 答：圆柱的体积是108立方厘米，本题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是圆柱，圆锥的体积公式的应用。 18．（2分）（2024•新城区模拟）一块长方形铁皮长25.12厘米、宽15.7厘米，配上直径为5厘米的圆形铁皮，做成的圆柱形容器容积最大。 　×　（判断对错） 【思路点拨】依据题意可知，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，利用圆的周长＝3.14×直径，圆柱的体积＝π×底面半径×底面半径×高，由此解答本题。 【规范解答】解：3.14×5＝15.7（厘米） 5÷2＝2.5（厘米） 3.14×2.5×2.5×25.12＝492.98（立方厘米） 半径：25.12÷3.14÷2＝4（厘米），3.14×4×4×15.7＝788.768（立方厘米）， 所以一块长方形铁皮长25.12厘米、宽15.7厘米，配上直径为8厘米的圆形铁皮，做成的圆柱形容器容积最大，本题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 四．看图列式计算（共2小题，满分8分，每小题4分） 19．（4分）（2024春•龙里县期中）求下面图形的表面积和体积。 【思路点拨】图形的表面积是大圆柱的表面积加上小圆柱的表面积减去小圆柱的一个底面积；图形的体积是大圆柱的体积加上小圆柱的体积。 【规范解答】解：表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 【考点评析】明确图形表面积与体积的组成部分是解决本题的关键。 20．（4分）（2024春•平舆县期中）有一个半圆柱形的木块（如图），求它的表面积和体积。 【思路点拨】依据题意结合图示可知，木块的表面积等于直径是10厘米的圆的面积加上直径是10厘米，高是15厘米的圆柱侧面积的一半，再加上长是15厘米，宽是10厘米的长方形的面积，木块的体积等于圆柱的体积的一半，由此解答本题。 【规范解答】解： 答：木块的表面积是，体积是。 【考点评析】本题考查的是圆柱的表面积、体积公式的应用。 五．静心审题，解决问题（共10小题，满分55分） 21．（6分）（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图，表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图，表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图，那么削去部分的体积是多少？ 【思路点拨】依据题意可知，圆柱形木块，如果沿直径切成4块，增加的面积等于4个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径的长方形的面积；切成3个圆柱，增加的面积等于4个底面圆的面积， （1）利用圆的面积半径半径，结合题中数据计算即可； （2）依据（1）结合分析去计算； （3）削去部分的体积圆柱的体积，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）（平方厘米），则半径是3厘米。 答：底面半径是3厘米。 （2）底面直径：（厘米） （厘米） 答：这个圆柱形木块的高是4厘米。 （3） （立方厘米） 答：削去部分的体积是75.36立方厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 22．（5分）（2024•黔江区）小冬用橡皮泥捏成了一个高2厘米，底面半径为6厘米的圆柱，捏好后不小心掉到地上摔了，小冬把弄脏的一部分丢掉后，把剩余的橡皮泥改捏成一个底面半径为6厘米，高2厘米的圆锥，请问丢掉部分的体积是多大？ 【思路点拨】根据圆柱的体积：，圆锥的体积：，分别代入数据，求出圆柱和圆锥的体积，再相减，就是丢掉部分的体积。据此解答。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：丢掉部分的体积是150.72立方厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 23．（6分）（2024•定远县）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号运载火箭在卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。26日航天员叶光富、李聪、李广苏成功入驻空间站。 （1）长征二号运载火箭的总长约58.3米，小强收藏了这一型号的火箭模型（如图，模型的高度与实际高度的比是，这一模型的高度是多少厘米？ （2）整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。图2是某型号运载火箭整流罩模型示意图，圆柱的底面直径是2分米，该模型的体积是多少立方分米？ 【思路点拨】（1）依据题意结合比例尺的知识可知，这一模型的高度实际高度比例尺，由此列式计算，注意单位统一； （2）模型的体积圆柱的体积圆锥的体积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合图中数据计算即可。 【规范解答】解：（1）58.3米厘米 （厘米） 答：这一模型的高度是58.3厘米。 （2）（分米） （立方分米） 答：该模型的体积是15.7立方分米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 24．（6分）（2024•兴化市）千垛景区菜籽油现榨坊内有一种油菜籽榨油机，它的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成。（如图）底面周长是18.84分米，圆柱和圆锥的高都是6分米。取 （1）这个漏斗的容积是多少立方分米？（漏斗的厚度忽略不计） （2）张阿姨家的垛田去年共收获油菜籽800千克，如果这批油菜籽的出油率是至，这批油菜籽最少可以榨出多少千克菜籽油？ 【思路点拨】（1）依据题意结合图示可知，漏斗的容积圆柱的体积圆锥的体积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可； （2）这批油菜籽最少可以榨出菜籽油重量油菜籽重量，由此解答本题即可。 【规范解答】解：（1）（分米） （立方分米） 答：这个漏斗的容积是226.08立方分米。 （2）（千克） 答：这批油菜籽最少可以榨出336千克菜籽油。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 25．（5分）（2024•广信区）一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有一些水，一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中。当取出铅锤时，水面下降了1厘米，铅锤的高是多少厘米？ 【思路点拨】依据题意结合图示可知，铅锤的体积等于底面直径是20厘米，高是1厘米的圆柱的体积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （厘米） 答：铅锤的高是12厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 26．（5分）（2024•晋中）如图演示的是圆柱体积计算公式的推导过程。 （1）推导过程中运用了 　转化　思想，圆柱的 　　变了，　　不变。 （2）回顾小学数学学习历程，你还能举出其它运用上面数学思想解决问题的例子吗？写在下面。 【思路点拨】（1）依据题意结合图示可知，推导过程中运用了转化思想，圆柱的表面积变了，体积不变； （2）依据题意结合自己学习情况去解答。（答案不唯一） 【规范解答】解：（1）推导过程中运用了转化思想，圆柱的表面积变了，体积不变。 （2）将小数乘法转化为整数乘法，分数除法转化为分数乘法，将圆的面积转化为长方形面积。（答案不唯一） 故答案为：转化，表面积，体积。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积的应用。 27．（6分）（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦 【思路点拨】依据题意结合图示可得：，，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题意去解答。 【规范解答】解：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 假设圆柱的底面积为，高为，如图： ，图①中两个圆锥的体积之和，图②中圆锥的体积，所以图①中两个圆锥的体积等于图②中圆锥的体积等于圆柱体积的。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 28．（6分）（2024•历下区）已知冰融化成水后，体积会减少，现有一块的冰，经过一段时间后，全部融化成水。 （1）这块冰融化成水后，水的体积是多少立方厘米？ （2）一张长方形铁皮如图所示，把图中阴影部分剪下，刚好做成一个带盖的圆柱形铁桶（接缝忽略不计），底面圆的直径为。现将问题（1）的水全部倒入这个圆柱形铁桶中，请问是否能全部容纳？取 【思路点拨】（1）水的体积冰的体积，由此计算即可； （2）依据题意结合图示可知，圆柱的高是厘米，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（1）（立方厘米） 答：水的体积是282.6立方厘米。 （2）（厘米） （厘米） （立方厘米） 答：能全部容纳。 【考点评析】本题考查的是圆柱体积公式的应用。 29．（5分）（2024春•榕城区期中）一个装有水的圆柱形玻璃杯，从里面量得它的直径是20厘米，杯中水面距杯口3厘米。如果把一个高12厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，水会溢出20毫升。这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【思路点拨】根据题意可知，把这个圆锥形铅锤完全浸没在水中，这个铅锤的体积等于圆柱形玻璃杯内无水部分的体积加上溢出水的体积，根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：20毫升立方厘米 （平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是240.5平方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 30．（5分）（2024•鄢陵县）往一个底面直径是，高是的圆柱形容器中装水，里面浸没一个底面直径，高的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里水面下降了多少厘米？ 【思路点拨】先求出圆锥形铅锤的体积，也就是下降的水的体积，然后用下降的水的体积除以圆柱的底面积，即是下降的水的高度． 【规范解答】解：圆锥的体积是： ， ， ， （立方厘米）； 圆柱形容器的底面积是： ， ， （平方厘米）； 水面下降了：（厘米）； 答：水面下降了0.9厘米． 【考点评析】此题的解答思路是：先求出圆锥形铅锤的体积，再求圆柱形容器的底面积，用体积除以圆柱的底面积，即为所求 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第一单元 圆柱和圆锥 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱 圆柱的易错知识点 易错知识点01：圆柱的基本特征 易错点：混淆圆柱的底面与侧面。需明确圆柱有两个底面，是两个大小相同的圆；侧面是一个曲面。 圆柱的高：两个底面间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高且长度相等。 易错知识点02：圆柱的侧面积 公式：S侧=Ch或S侧=πdh或S侧=2πrh（C为底面周长，d为底面直径，r为底面半径，h为高）。 易错点：计算时不注意单位统一，或错误地使用底面直径或半径计算侧面积。 易错知识点03：圆柱的表面积 公式：S表=S侧+2S底=2πrh+2πr²（S侧为侧面积，S底为底面积）。 易错点：忽视圆柱体的实际应用情况，如计算无盖水桶的表面积时，只计算一个底面和侧面的面积之和。 易错知识点04：圆柱的体积 公式：V=Sh或V=πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算过程中，容易混淆底面积和高，导致计算结果错误。 圆锥的易错知识点 易错知识点05：圆锥的基本特征 易错点：混淆圆锥的底面与侧面，以及圆锥的高。需明确圆锥有一个底面，是一个圆；侧面是一个曲面；圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 易错知识点06：圆锥的体积 公式：V=(1/3)Sh或V=(1/3)πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算圆锥体积时，容易忘记乘以(1/3)，导致计算结果错误。 易错知识点07：圆锥的高的测量 方法：把圆锥放在水平面上，在圆锥的顶点上放一个平面的东西（如木板），并与底面平行，测量这两个平面间的距离，即为圆锥的高。 易错点：测量时不注意保持圆锥和水平面的稳定，导致测量结果不准确。 综合应用中的易错点 易错知识点08： 圆柱与圆锥的关系 易错点：只有在等底等高的条件下，圆柱的体积才是圆锥体积的3倍，圆锥的体积才是圆柱体积的(1/3)。忽视这一条件，容易导致错误判断。 易错知识点09：实际问题的求解 易错点：在解决实际问题时，容易忽视题目中的实际情况，如计算圆柱形物体的表面积时，需要根据物体的具体形状（如是否有盖、是否空心等）来确定计算哪些面的面积。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.47（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）（2024•梁子湖区）一个长方形的长是，宽是。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是　　 A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 2．（2分）（2024•高密市）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差3.14立方厘米，它们的体积的和是　　 A．4.71立方厘米 B．6.28立方厘米 C．7.85立方厘米 D．9.42立方厘米 3．（2分）（2024•鹿城区）把一个底面直径高的圆柱体木块加工成一个等底等高的圆锥。下面说法正确的是　　 A．去掉的体积是圆锥体积的2倍。 B．圆锥的底面积是。 C．去掉的体积是圆柱体积的。 D．圆锥和圆柱体积的比是。 4．（2分）（2024•灵宝市）如图所示，赵磊把一个底面直径是，高为的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则　　（圆周率取 A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 5．（2分）（2024•乾安县）如图，把一个体积是的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024•潍坊）如图，将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，　　正好倒满。（单位： A． B． C． 二．细心读题，准确填空（共7小题，满分15分） 7．（2分）（2024•黎城县）圆柱和圆锥的底面积比是，高的比是，它们的体积比是　 　　 　． 8．（2分）（2024•沧州）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，该圆柱的高和底面半径的比是 　　。 9．（2分）（2024•山阳县）一个圆锥与一个和它等底等高的圆柱的体积之差是60立方厘米，则这个圆锥的体积是 　　立方厘米，圆柱的体积是 　　立方厘米。 10．（2分）（2024•尧都区）如图：把一个底面直径10厘米，高12厘米的圆柱等切成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 　　平方厘米，该圆柱的体积是 　　立方厘米。 11．（2分）（2024•南山区）如图，将一个长3厘米、宽2厘米的长方形，绕着长旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是 　　平方厘米，体积是 　　立方厘米。 12．（2分）（2023•鼓楼区）一个圆锥和圆柱底面积相等，体积的比是。如果圆锥的高是5.6厘米，圆柱的高是 　　厘米，如果圆柱的高是4.16厘米，圆锥的高是 　　厘米。 13．（3分）（2022•德阳）一个正方体密封盒子的棱长是，它的表面积是 　　；盒子里放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是 　　；如果用这个盒子装下一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是 　　。 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024•沈河区）两个底面都是圆形，且侧面是一个曲面的立体图形，一定是圆柱。 　　（判断对错） 15．（2分）（2024•定州市）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高与底面直径的比值等于．　 　（判断对错） 16．（2分）（2024•邢台）同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。 　　（判断对错） 17．（2分）（2024•腾冲市）一个圆锥的体积是36立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是12立方厘米。 　　（判断对错） 18．（2分）（2024•新城区模拟）一块长方形铁皮长25.12厘米、宽15.7厘米，配上直径为5厘米的圆形铁皮，做成的圆柱形容器容积最大。 　 　（判断对错） 四．看图列式计算（共2小题，满分8分，每小题4分） 19．（4分）（2024春•龙里县期中）求下面图形的表面积和体积。 20．（4分）（2024春•平舆县期中）有一个半圆柱形的木块（如图），求它的表面积和体积。 五．静心审题，解决问题（共10小题，满分55分） 21．（6分）（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图，表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图，表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图，那么削去部分的体积是多少？ 22． （5分）（2024•黔江区）小冬用橡皮泥捏成了一个高2厘米，底面半径为6厘米的圆柱，捏好后不小心掉到地上摔了，小冬把弄脏的一部分丢掉后，把剩余的橡皮泥改捏成一个底面半径为6厘米，高2厘米的圆锥，请问丢掉部分的体积是多大？ 23．（6分）（2024•定远县）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号运载火箭在卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。26日航天员叶光富、李聪、李广苏成功入驻空间站。 （1）长征二号运载火箭的总长约58.3米，小强收藏了这一型号的火箭模型（如图，模型的高度与实际高度的比是，这一模型的高度是多少厘米？ （2）整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。图2是某型号运载火箭整流罩模型示意图，圆柱的底面直径是2分米，该模型的体积是多少立方分米？ 24．（6分）（2024•兴化市）千垛景区菜籽油现榨坊内有一种油菜籽榨油机，它的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成。（如图）底面周长是18.84分米，圆柱和圆锥的高都是6分米。取 （1）这个漏斗的容积是多少立方分米？（漏斗的厚度忽略不计） （2）张阿姨家的垛田去年共收获油菜籽800千克，如果这批油菜籽的出油率是至，这批油菜籽最少可以榨出多少千克菜籽油？ 25．（5分）（2024•广信区）一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有一些水，一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中。当取出铅锤时，水面下降了1厘米，铅锤的高是多少厘米？ 26．（5分）（2024•晋中）如图演示的是圆柱体积计算公式的推导过程。 （1）推导过程中运用了 　　思想，圆柱的 　　变了，　　不变。 （2）回顾小学数学学习历程，你还能举出其它运用上面数学思想解决问题的例子吗？写在下面。 27．（6分）（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦 28．（6分）（2024•历下区）已知冰融化成水后，体积会减少，现有一块的冰，经过一段时间后，全部融化成水。 （1）这块冰融化成水后，水的体积是多少立方厘米？ （2）一张长方形铁皮如图所示，把图中阴影部分剪下，刚好做成一个带盖的圆柱形铁桶（接缝忽略不计），底面圆的直径为。现将问题（1）的水全部倒入这个圆柱形铁桶中，请问是否能全部容纳？取 29．（5分）（2024春•榕城区期中）一个装有水的圆柱形玻璃杯，从里面量得它的直径是20厘米，杯中水面距杯口3厘米。如果把一个高12厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，水会溢出20毫升。这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 30．（5分）（2024•鄢陵县）往一个底面直径是，高是的圆柱形容器中装水，里面浸没一个底面直径，高的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里水面下降了多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$