精品解析：江西省上饶市鄱阳县2024-2025学年上学期八年级月考数学试卷（三）

八年级训练（三）数学 说明：1．范围：上册第十一章至第十四章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 点关于轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 多项式中各项的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 利用因式分解计算等于（ ） A. 1 B. C. 2024 D. 2025 5. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 已知值为10，那么代数式的值是（ ） A. 2030 B. 2020 C. 2040 D. 2010 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 对代数式进行因式分解，结果是_____． 8. 计算：的结果是______． 9. 如图，一次强台风中一棵垂直于地面生长的大树在离地面处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树折断前的高度为_______． 10. 如果，，那么______． 11. 某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是______． 12. 如图，与关于直线l对称，连接与，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是____(填序号)． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）因式分解：． （2）计算：． 14. 如图，在中，，．求和的度数． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A、B、M、N均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的线段MN上确定一点P，使PA+PB的值最小． （2）在图②中的线段MN上确定两点C、D，使CD=2，且AC+CD+DB的值最小． 17. 聪聪和明明分别计算同一道整式乘法题：．聪聪由于抄错了第一个多项式中a前面的符号，得到的结果为，明明由于漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果为． （1）你能否知道式子中a，b的值各是多少？ （2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 19. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为点． （1）在图中画出及其关于x轴对称的图形，并写出点的坐标． （2）在x轴上找一点P，使的值最小，则点P的坐标为 ． 20. 已知代数式值与x的取值无关． （1）求a，b的值； （2）当为何值时有最小值？并求出最小值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，面且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（ ）； A．提取公因式法 B．完全平方公式法 C．平方差公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解结果不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果； （3）请你用换元法对多项式进行因式分解． 22. 如图，为等边三角形，；点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． （1）如图1，当点D是线段中点时， ， ． （2）如图2．当点D在的延长线上时，求证：； （3）在（2）的条件下探索三条线段的长度有何关系？并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 聪聪学习多项式并研究了多项式的值为0的问题，发现当或时．多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式，则此多项式的零点为_____． （2）已知多项式有一个零点为2，求多项式B另一个零点； （3）聪聪继续研究多项式，，等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3系多项式”．若多项式是“3系多项式”，求a与c的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级训练（三）数学 说明：1．范围：上册第十一章至第十四章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 点关于轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化，解题的关键是掌握关于轴的对称点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：点关于轴的对称点是． 故选：C． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算．根据完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方运算法则逐项进行计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意， 故选：D． 3. 多项式中各项的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义解答即可，熟练掌握公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故选：B． 4. 利用因式分解计算等于（ ） A. 1 B. C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据提公因式法计算即可得解，熟练掌握提公因式法是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 5. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，根据是以为腰的等腰直角三角形，进行作图，即可作答． 【详解】解：∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： 综上：满足是以为腰的等腰直角三角形的点P有个， 故选：A 6. 已知的值为10，那么代数式的值是（ ） A. 2030 B. 2020 C. 2040 D. 2010 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求代数式，对代数式作恒等变形，对代数式作变形，用已知的代数式表示，代入求值，用已知的代数式表示是解题的关键． 【详解】解：∵的值为10， ∴ ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 对代数式进行因式分解，结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用完全平方公式即可直接得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 计算：的结果是______． 【答案】7000 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，根据平方差公式计算即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：7000． 9. 如图，一次强台风中一棵垂直于地面生长的大树在离地面处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树折断前的高度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质．根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【详解】解：根据题意， ∵，， ∴， ∴． 则这棵大树在折断前的高度为． 故答案为：． 10. 如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法运算法则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据整式的混合运算法则计算出结果，再根据题意即可得出“？”处的数字． 【详解】解：， 根据题意得，， 即“？”处的数字是2024， 故答案为：2024． 12. 如图，与关于直线l对称，连接与，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是____(填序号)． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案：①②③． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）因式分解：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解及整式的运算． （1）根据完全平方公式进行因式分解； （2）先计算积乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14. 如图，在中，，．求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，，由三角形外角的定义及性质可得，即可得解． 【详解】解：，， ． ， ． 又， ， ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先利用平方差公式和多项式乘以多项式运算法则计算，合并同类项后，进行除法运算，再代值计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 16. 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A、B、M、N均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的线段MN上确定一点P，使PA+PB的值最小． （2）在图②中的线段MN上确定两点C、D，使CD=2，且AC+CD+DB的值最小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意做对称点，转换成两点间线段最短的问题即可作图， （2）作法同上一问，先做出对称点，再作平行线即可完成图形； 【详解】（1）如图所示． （2）如图所示． 【点睛】此题考查了尺规作图的方法，涉及到求几条线段和的最小值，主要利用对称作图即可． 17. 聪聪和明明分别计算同一道整式乘法题：．聪聪由于抄错了第一个多项式中a前面的符号，得到的结果为，明明由于漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果为． （1）你能否知道式子中a，b的值各是多少？ （2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出与的值是解题的关键． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于、的二元一次方程，再求出与的值； （2）把与的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ， ， 所以①，② 由②得，代入①得， 所以 所以 所以； 【小问2详解】 解：由（1）知这道整式乘法题为：， 则 ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）利用完全平方公式计算即可得解； （2）利用完全平方公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：， ． ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ． 19. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为点． （1）在图中画出及其关于x轴对称的图形，并写出点的坐标． （2）在x轴上找一点P，使的值最小，则点P的坐标为 ． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交x轴于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 则； 【小问2详解】 解：如图，连接，交x轴于点P，连接，则， 此时， ∴最小值为， ∴点P坐标为． 20. 已知代数式的值与x的取值无关． （1）求a，b的值； （2）当为何值时有最小值？并求出最小值． 【答案】（1），． （2）， 【解析】 【分析】（1）根据整式的乘法运算以及加减运算法则进行化简，然后令含的项的系数为零即可求出答案． （2）先把原式整理，根据非负性得出结论，即可作答． 本题考查多项式乘多项式法则、非负性以及完全平方公式的变形运算，本题属于基础题型． 【小问1详解】 解： ， 此代数式的值与的取值无关， ∴ ，． 【小问2详解】 解：，， ， 由于，， 故当，时， 即时， 此代数式有最小值为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，面且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（ ）； A．提取公因式法 B．完全平方公式法 C．平方差公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果； （3）请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，完全平方公式进行因式分解，能正确运用完全平方公式进行分解因式是解此题的关键，注意：，． （1）根据完全平方公式得出即可； （2）根据完全平方公式得出即可； （3）先换元，再分解因式，再代入，最后求出即可． 【小问1详解】 解：依题意，第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：B； 【小问2详解】 解：依题意，， 【小问3详解】 解：依题意，设 ∴原式 把代入上式， 得． 22. 如图，为等边三角形，；点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． （1）如图1，当点D是线段的中点时， ， ． （2）如图2．当点D在的延长线上时，求证：； （3）在（2）的条件下探索三条线段的长度有何关系？并说明理由． 【答案】（1）6， （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，得到，，进而得到，再根据线段中点，求出，即可得到的长； （2）根据等边三角形的性质，即可证明； （3）由（2）可知，，得到，由等边三角形的性质，得到，即可得到结论． 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【小问1详解】 解：为等边三角形，，以为边作等边， ，，， ，即， 和中， ， ，， ， 点是直线上一点，且点为线段的中点， ， ， 故答案为：6，； 【小问2详解】 证明：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； 【小问3详解】 解：、、三条线段的长度关系为，理由如下： 由（2）可知， ， 是等边三角形， ， ， ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 聪聪学习多项式并研究了多项式的值为0的问题，发现当或时．多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式，则此多项式的零点为_____． （2）已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； （3）聪聪继续研究多项式，，等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3系多项式”．若多项式是“3系多项式”，求a与c的值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用及解二元一次方程组： （1）根据多项式的零点的定义即可求解； （2）根据多项式零点的定义将代入，求得，再解一元二次方程即可求解； （3）令，求得的一个零点为5，根据“3系多项式”的定义求得方程的两个零点为和，再代入方程构建二元一次方程组即可求解． 【小问1详解】 解：令， ∴或， ∴或， 则此多项式的零点为或； 【小问2详解】 解：∵多项式有一个零点为2， ∴将代入，得， 解得， ∴， 令，解得， ∴多项式B的另一个零点为； 【小问3详解】 解：∵是“3系多项式”， 令，解得，即的一个零点为5， ∴设的另一个零点为y，则，解得， 即时，，则，即， 则多项式的两个零点为和， ∴，， ∵， ∴，， 得：， ∴， 将代入得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$