第4章 三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版2024）

第4章 三角形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，已知BF＝CE，∠B＝∠E，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AC＝DF 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、根据SAS即可证明三角形全等，故此选项不符合题意； B、根据ASA即可证明三角形全等，故此选项不符合题意； C、根据AAS即可证明三角形全等，故此选项不符合题意； D、SSA无法判断三角形全等，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF的是（　　） A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F 【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案． 【详解】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE， ∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：C． 3．（3分）如图，点A在DE上，AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于（　　） A．DC B．AB C．AD D．AB+AE 【分析】设AB与CD交于点F，由等式的性质1及三角形的内角和定理可得∠D＝∠B，由等式的性质1可得∠ACB＝∠ECD，利用AAS可证得△ABC≌△EDC，于是可得DE＝AB，据此即可得出答案． 【详解】解：如图，点A在DE上，AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，∠AFD＝∠BFC，设AB与CD交于点F， ∴180°﹣∠1﹣∠AFD＝180°﹣∠2﹣∠BFC， ∴∠D＝∠B， ∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD， ∴∠ACB＝∠ECD， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（AAS）， ∴DE＝AB， 故选：B． 4．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A．AF＝BF B．DF⊥AB C．∠BAF＝∠CAF D．∠BAF＝∠EBC 【分析】由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，利用线段的垂直平分线的性质一一判断即可． 【详解】解：由作图可知：DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC， A、由作图可知DF垂直平分线段AB，所以AF＝BF，故不符合题意； B、由作图可知DF垂直平分线段AB，所以DF⊥AB，故不符合题意； C、由作图痕迹无法得出AF平分∠BAC，根据已知条件无法证明∠BAF＝∠CAF，所以∠BAF＝∠CAF不一定正确，故符合题意． D、由作图可知BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC，又因为AF＝BF，则∠BAF＝∠ABE，所以∠BAF＝∠EBC，故不符合题意； 故选：C． 5．（3分）如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，∠E＝∠B，EF＝BC，∠EAC＝100°，∠BAF＝10°，则∠EAB的度数为（　　） A．60° B．40° C．45° D．30° 【分析】由题意易得△AEF≌△ABC（SAS），则有∠EAF＝∠BAC，然后可得∠EAB＝∠CAF，进而问题可求解． 【详解】解：在△AEF和△ABC中， ， ∴△AEF≌△ABC（SAS）， ∴∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，即∠EAB＝∠CAF， ∵∠EAC＝100°，∠BAF＝10°， ∴； 故选：C． 6．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（　　） A．AC⊥BD B． C．△ABD≌△CBD D．AO+DO＝BO 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BD是AC的垂直平分线，可判断A，B；再根据“边边边”证明C；能否确定三者之间的关系判断D． 【详解】解：∵AD＝CD，AB＝BC， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴， 所以A，B正确，不符合题意； ∵AD＝CD，AB＝BC，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， 所以C正确，不符合题意； 不能确定AO，DO，BO之间的关系， 所以D不正确，符合题意． 故选：D． 7．（3分）如图，把两个45°角的直角三角板放在一起，点B在CE上，A、C、D三点在一条直线上，连接AE，DB延长线交AE于点F．若AE＝8，DF＝11.2，则△ABE的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 【分析】由△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，得AC＝BC，EC＝DC，可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，得∠AEC＝∠BDC，AE＝BD＝8，则∠DFE＝∠EAC+∠BDC＝∠EAC+∠AEC＝90°，再求得BF＝DF﹣BD＝3.2，则S△ABEAE•BF＝12.8，于是得到问题的答案． 【详解】解：把两个45°角的直角三角板放在一起，点B在CE上，A、C、D三点在一条直线上， ∴△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，EC＝DC， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠AEC＝∠BDC，AE＝BD＝8， ∴∠DFE＝∠EAC+∠BDC＝∠EAC+∠AEC＝90°， ∴BF⊥AE， ∵DF＝11.2， ∴BF＝DF﹣BD＝11.2﹣8＝3.2， ∴S△ABEAE•BF8×3.2＝12.8， 故选：B． 8．（3分）如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，从三角形全等的角度分析，这样测量的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．HL 【分析】根据SAS证明△ACB≌△ACD，即可得出结论． 【详解】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°， 在△ACB和△ACD中， ， ∴△ACB≌△ACD（SAS）， ∴AD＝AB， 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　70°　． 【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED， ∵∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CED＝65°， ∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°， 故答案为：70°． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝97°，∠B＝31°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，点B落在B′处，若B′D//AC，则∠BDC＝　116°　． 【分析】依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到∠BCD的度数，再根据三角形内角和定理，即可得出结论． 【详解】解：由折叠可得∠B'＝∠B＝31°， ∵B′D∥AC， ∴∠ACB'＝∠B'＝31°， 又∵∠ACB＝97°， ∴∠BCB'＝66°， 由折叠可得，∠BCD∠BCB'＝33°， ∴△BCD中，∠BDC＝180°﹣31°﹣33°＝116°． 故答案为：116°． 11．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝13厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　2或3　厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等． 【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则 BP＝2t，CP＝8﹣2t， ∵∠B＝∠C， ∴当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等， 此时，6＝8﹣2t， 解得 t＝1， ∴BP＝CQ＝2， 此时，点 Q 的运动速度为 2÷1＝2 （厘米/秒）， 当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等， 此时，2t＝8﹣2t， 解得t＝2， ∴点Q的运动速度为6÷2＝3 （厘米/秒）， 故答案为：2或3． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，点E为△ABC内一动点，点F为DE中点，AC＝6，BC＝2DE＝8，当AE+BF最小时，则∠EAC的度数为 　45　°． 【分析】取BD的中点H，连接AH、EH，因为AC＝6，BC＝2DE＝8，所以DE＝DB＝DC＝4，DH＝DF＝2，则HC＝6＝AC，而∠C＝90°，所以∠HAC＝∠AHC＝45°，可证明△DHE≌△DFB，得EH＝BF，由AE+EH≥AH，得AE+BF≥AH，当点E落在AH上时，AE+BF的值最小，此时∠EAC＝∠HAC＝45°，于是得到问题的答案． 【详解】解：取BD的中点H，连接AH、EH， ∵AC＝6，BC＝2DE＝8，D为BC的中点，F为DE中点， ∴DE＝DB＝DCBC＝4， ∴DHDB＝2，DFDE＝2， ∴DH＝DF，HC＝DH+DC＝2+4＝6， ∵∠C＝90°，AC＝HC＝6， ∴∠HAC＝∠AHC＝45°， 在△DHE和△DFB中， ， ∴△DHE≌△DFB（SAS）， ∴EH＝BF， ∵AE+EH≥AH， ∴AE+BF≥AH， ∵当点E落在AH上时，AE+EH的值最小，此时AE+BF的值最小， ∴AE+BF最小时，∠EAC＝∠HAC＝45°， 故答案为：45． 13．（3分）如图，在△ABC中，BC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，BE⊥AD，垂足为E，EF∥BC交AC于F，如果四边形DCFE和△BDE的面积都为6，那么△ABC的面积为 　20　． 【分析】依据BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，即可得到AE＝DE，进而得出△BDE的面积与△ABE的面积均为6，再根据EF是△ACD的中位线，即可得出△ACD的面积为8，即可得到△ABC的面积为6+6+8＝20． 【详解】解：由BD＝AB可知BE是∠ABC的平分线， ∵BE⊥AD， ∴AE＝DE， ∴△BDE的面积与△ABE的面积均为6， 又∵EF∥BC ∴△AEF∽△ADC， ∴S△ACD＝4S△AEF， ∵四边形CDEF的面积为6， ∴△ACD的面积为8， ∴△ABC的面积为6+6+8＝12． 故答案为：20． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC分别交AC，CD于点E，F．已知∠BCF＝40°，求∠BFC的度数． 【分析】在Rt△ABC中，根据两角互余得到∠ABF，根据BE平分∠ABC得到∠CBF，在△BFC中，根据三角形内角和定理得到∠BFC的度数 【详解】解：∵CD⊥AB，∠BCF＝40°， ∴∠CDB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BCF＝90°﹣40°＝50°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBF25°， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣25°﹣40°＝115°． 15．（7分）如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BE＝CF，BF和CE相交于点D．求证：AD平分∠BAC 【分析】（1）利用AAS证明△BED≌△CFD，得DE＝DF；根据角平分线的判定定理可证明结论． 【详解】证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°． 在△BDE和中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF． 又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴AD平分∠BAC． 16．（8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 【分析】（1）由AB∥DE得∠B＝∠DEF，根据BE＝CF得BC＝EF，可证明△CAE≌△DAE（SAS），根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证得结论； （2）由全等三角形的性质得到∠DEF＝65°，∠ACB＝35°，根据三角形内角和定理即可求出∠EOC． 【详解】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF； （2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F， ∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°， ∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°． 17．（8分）如图，点C，E，F，B在同一条直线上，点A，D在BC两侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．求证： （1）AB＝CD； （2）BF＝CE． 【分析】（1）首先由AB∥CD得到∠B＝∠C，然后证明出△ABE≌△DCF（AAS），即可得到AB＝CD； （2）由△ABE≌△DCF得到CF＝BE，进而证明即可． 【详解】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴AB＝CD； （2）由（1）得：△AEB≌△DFC， ∴CF＝BE， ∵点C，E，F，B在同一条直线上， ∴BF＝BE﹣EF，CE＝CF﹣EF， ∴BF＝CE． 18．（9分）如图，点D在BE上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）说明△ABD≌△ACE的理由； （2）若∠BAD＝25°，∠ACE＝30°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）根据∠BAC＝∠DAE推出∠BAD＝∠CAE，即可根据SAS得出△ABD≌△ACE； （2）根据△ABD≌△ACE，得出∠ABD＝∠ACE＝30°，再根据三角形的外角定理得出∠ADE＝∠BAD+∠ABD＝55°，则∠ADE＝∠AED＝55°，即可求解． 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：由（1）可知：△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE＝30°， ∴∠ADE＝∠BAD+∠ABD＝25°+30°＝55°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝55°， ∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝180°﹣2×55°＝70°． 19．（12分）如图，分别以AB，AC为边作△ABD和△ACE，AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE．G，F分别是DC，BE的中点． （1）求证：DC＝BE； （2）若∠DAB＝70°，求∠AFG的度数； （3）若∠DAB＝α，直接写出∠AFG与α的关系． 【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE知∠DAC＝∠BAE，又DA＝AB，AE＝AC，所以△ADC≌△ABE，由此可得：DC＝BE； （2）证△ADC≌△ABE可得CG＝EF；又AE＝AC，∠AEF＝∠ACG，EF＝CG，所以△AEF≌△AGC．可得AF＝AG，且∠EAF＝∠CAG，所以∠AFG＝∠AGF，∠FAG＝∠EAC＝70°从而可求∠AFG（180°﹣70°）＝55°； （3）由（2）知：∠AFG＝90°． 【详解】（1）证明：∵∠DAB＝∠CAE，∠DAC＝∠DAB+∠BAC，∠BAE＝∠CAE+∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE， 又∵DA＝AB，AE＝AC， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴DC＝BE； （2）解：∠DAB＝70°， ∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， 即∠DAC＝∠BAE， 在△ADC与△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴DC＝BE，∠AEF＝∠ACG， ∵G、F分别是DC与BE的中点， ∴CG＝EF， 连接AG， 在△AEF与△AGC中， ， ∴△AEF≌△AGC（SAS）， ∴AF＝AG，且∠EAF＝∠CAG， ∴∠AFG＝∠AGF，∠FAG＝∠EAC＝70°， ∴∠AFG（180°﹣70°）＝55°； （3）解：由（2）知∠GAF＝∠EAC＝∠DAB，∠AFG＝∠AGF， ∵∠DAB＝α， ∴∠GAF＝α， ∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°， ∴α+2∠AFG＝180°， ∴∠AFG＝90°． 20．（12分）学科实践 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部点A恰好在点B的正北方向，测量方案如下表： 实践课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点B沿正东方向走到点C处，此时恰好测得∠ACB＝45° 观测者从点B沿正东方向走到点E，点O是BE的中点，然后从点E沿垂直于BE的正南方向走，直到A，O，F三点在同一条直线上． 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽AB的长度就是线段　BC　的长度； （2）第二小组的方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为河宽AB的长度就是线段EF的长度，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，并说明方案的可行性． 【分析】（1）判定△ABC是等腰直角三角形，即可得到BC＝AB， （2）由ASA证明△ABO≌△FEO，推出EF＝AB， （3）由ASA证明△ABC≌△DBC，推出BD＝AB． 【详解】解：（1）∵AB⊥BC，∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AB， ∴河宽AB的长度就是线段BC的长度． 故答案为：BC； （2）第二小组的方案可行， 理由：∵点O是BE的中点， ∴OB＝OE， ∵AB⊥BE，EF⊥BE， ∴∠ABO＝∠FEO＝90°， 在△ABO和△FEO中， ， ∴△ABO≌△FEO（ASA）， ∴AB＝FE， ∴河宽AB的长度就是线段FE的长度， ∴第二小组的方案可行； （3）答案不唯一，如第三小组测量方案：观测者从点B 沿正西方向走到点C处，使用测量角度的仪器测得 ∠DCB＝∠ACB＝65°，CD交AB的延长线于点D见表格， 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45° 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上. 观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠ACB＝65°，CD交AB延长线于D， 测量示意图 只要测出BD的长，就能推算出河宽AB长，理由如下： ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝∠DBC＝90°， 在△ABC和△DBC中， ， ∴△ABC≌△DBC（ASA）， ∴AB＝DB． ∴河宽AB的长度等于线段DB的长度． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 三角形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，已知BF＝CE，∠B＝∠E，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AC＝DF 2．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF的是（　　） A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F 3．（3分）如图，点A在DE上，AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于（　　） A．DC B．AB C．AD D．AB+AE 4．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A．AF＝BF B．DF⊥AB C．∠BAF＝∠CAF D．∠BAF＝∠EBC 5．（3分）如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，∠E＝∠B，EF＝BC，∠EAC＝100°，∠BAF＝10°，则∠EAB的度数为（　　） A．60° B．40° C．45° D．30° 6．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（　　） A．AC⊥BD B． C．△ABD≌△CBD D．AO+DO＝BO 7．（3分）如图，把两个45°角的直角三角板放在一起，点B在CE上，A、C、D三点在一条直线上，连接AE，DB延长线交AE于点F．若AE＝8，DF＝11.2，则△ABE的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 8．（3分）如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，从三角形全等的角度分析，这样测量的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．HL 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　 　． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝97°，∠B＝31°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，点B落在B′处，若B′D//AC，则∠BDC＝　 　． 11．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝13厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　 　厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，点E为△ABC内一动点，点F为DE中点，AC＝6，BC＝2DE＝8，当AE+BF最小时，则∠EAC的度数为 　 　°． 13．（3分）如图，在△ABC中，BC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，BE⊥AD，垂足为E，EF∥BC交AC于F，如果四边形DCFE和△BDE的面积都为6，那么△ABC的面积为 　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC分别交AC，CD于点E，F．已知∠BCF＝40°，求∠BFC的度数． 15．（7分）如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BE＝CF，BF和CE相交于点D．求证：AD平分∠BAC 16．（8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 17．（8分）如图，点C，E，F，B在同一条直线上，点A，D在BC两侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．求证： （1）AB＝CD； （2）BF＝CE． 18．（9分）如图，点D在BE上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）说明△ABD≌△ACE的理由； （2）若∠BAD＝25°，∠ACE＝30°，求∠DAE的度数． 19．（12分）如图，分别以AB，AC为边作△ABD和△ACE，AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE．G，F分别是DC，BE的中点． （1）求证：DC＝BE； （2）若∠DAB＝70°，求∠AFG的度数； （3）若∠DAB＝α，直接写出∠AFG与α的关系． 20．（12分）学科实践 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部点A恰好在点B的正北方向，测量方案如下表： 实践课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点B沿正东方向走到点C处，此时恰好测得∠ACB＝45° 观测者从点B沿正东方向走到点E，点O是BE的中点，然后从点E沿垂直于BE的正南方向走，直到A，O，F三点在同一条直线上． 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽AB的长度就是线段　 　的长度； （2）第二小组的方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为河宽AB的长度就是线段EF的长度，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，并说明方案的可行性． / 学科网（北京）股份有限公司 $$