1.4.2 向量线性运算的坐标表示（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版选择性必修第二册 1.4 向量的分解和坐标表示 1.4.2 向量线性运算的坐标表示 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第1章平面向量及其应用 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 向量线性运算（加法、减法、数乘）的坐标表示方法及其应用。 平面直角坐标系中向量坐标的求法。 难点 3 理解向量平行（共线）的坐标条件及其推导过程。 运用向量线性运算的坐标表示解决实际问题，如求点的坐标、判断三点共线等。 理解向量线性运算（加法、减法、数乘）的坐标表示方法。 掌握如何利用坐标表示向量的和、差、数乘运算，并能应用这些知识解决简单几何问题。 熟悉平面直角坐标系中向量坐标的求法，以及向量平行（共线）的坐标条件。 一、向量线性运算的坐标表示 新课讲授 新课导入 问题1：同学们，我们在前面的学习中已经了解了向量的加法、减法和数乘运算， 那么这些运算在坐标表示下会有什么样的规律呢？ 今天我们就来一起探究这个问题。 一、向量线性运算的坐标表示 新课讲授 新课导入 用坐标表示向量后，向量的和、差、数乘等线性运算又如何用坐标来表示呢？ 一、向量线性运算的坐标表示 新课讲授 新课导入 一、向量线性运算的坐标表示 新课讲授 新课导入 二、向量数乘的坐标表示 新课讲授 新课导入 二、向量数乘的坐标表示 新课讲授 新课导入 二、向量数乘的坐标表示 新课讲授 新课导入 二、向量数乘的坐标表示 新课讲授 新课导入 二、向量数乘的坐标表示 新课讲授 新课导入 问题3：如果向量 a 和 b 平行（共线），那么它们的坐标之间有什么关系呢？请同学们结合例8进行思考和讨论。 学后总结 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 知识点二　平面向量共线的坐标表示 文字 符号 数乘向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝_________ (λx，λy) 前提条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 结论 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是______________ x1y2－x2y1＝0 学后总结 知识点三  两个向量共线条件的表示方法 13 学以致用 14 学以致用 2.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________． 2 解析　因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，所以λ＝2. 15 学以致用 3．(多选)已知A(3，－6)，B(－5，2)，且A，B，C三点在一条直线上，则点C的坐标可能是(　　) A．(－9，6) B．(－1，－2) C．(－7，－2) D．(6，－9) 16 学以致用 4．(2024·河北承德高新区第一中学高一下月考)已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1，2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：由题意得，平面内的任一向量c都可以唯一表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则a，b一定不共线，所以1×(3m－2)≠2×m，解得m≠2，所以实数m的取值范围是(－∞，2)∪(2，＋∞)．故选D. 17 学以致用 5．已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________． 18 课堂小结 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 平面向量加、减运算的坐标表示 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 如图1.4 - 6，设 是一组标准正交基， 向量 ， 在基 下的坐标分别是 ， ，则 所以 的坐标为 。 所以 的坐标为 。 又 ， 故 的坐标为 。 由上可知， 于是，我们有：两个向量 ， 的和(或差)的坐标 等于这两个向量相应坐标的和(或差)， 即 。 一个实数 与向量 的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标， 即 。 问题2：在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标，即 .请同学们思考，如何利用这个结论求解向量的坐标呢？ 在图1.4 - 6中，由于 ， 因此 的坐标为 。 于是，我们有： 在平面直角坐标系中，向量 的坐标等于终点 的坐标 减去起点 的坐标 ， 即 。 根据起点和终点坐标写出向量坐标，就可以利用向量运算研究平面图形的性质。 例6 如图1.4 - 7，已知 的三个顶点为 ， ， ，求顶点 的坐标。 解：因为 所以点 的坐标是 。 例7 如图1.4 - 8，已知 ， ， 是直线 上一点， 且 ，求点 的坐标。 解：由题意可知， ① ① ②得 。 又已知 ，所以 。 从而 因此，点 的坐标为 。 特别地，当 时得到线段 的中点坐标公式 。 向量 ， 平行(也就是共线)，可以直接用 来表示。 这意味着其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，因此 成立， 即 。 例8 已知 ， ， 三点共线，求 的值。 解：因为 ， ， 三点共线，所以 与 共线。 而 ， 。 所以 ， 整理得 ， 解得 。 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， ①当b≠0时，a＝λb； ②x1y2－x2y1＝0； ③当x2y2≠0时，eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，即两向量的相应坐标成比例． 1．已知平面向量a＝(－2，0)，b＝(－1，－1)，则eq \f(1,2)a－2b＝(　　) A．(1，2) B．(－1，－2) C．(－1，2) D．(1，－2) 解析：eq \f(1,2)a－2b＝(－1，0)－(－2，－2)＝(1，2)． 解析：设C(x，y)，则eq \o(AC,\s\up14(→))＝(x－3，y＋6)，eq \o(AB,\s\up14(→))＝(－8，8)．∵A，B，C三点在同一条直线上，∴8×(x－3)－(－8)×(y＋6)＝0，即x＋y＋3＝0，将四个选项分别代入x＋y＋3＝0验证可知，A，B，D均符合．故选ABD. 解析：因为a∥b，所以2×4－λ×5＝0，解得λ＝eq \f(8,5). eq \f(8,5) $$