专题01 直角三角形重难点题型专项训练（7大题型+14道培优题提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（湘教版）

专题01 直角三角形重难点题型专项训练 7大题型 题型一 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在△ABC中，，是△ABC的高，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，，于，，，则 °． 3．如图，，，，求的度数．        题型二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4．如图，在△ABC中，，，点为斜边上的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是 ． 6．如图，直角△ABC中，，．点是线段上一点，过点作的垂线，交直线于点，连接，取的中点，连接，． (1)当点在线段上时，试写出与的关系，并说明理由； (2)当点在线段外时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请举出反例；若成立，请画出图形，并说明理由． 题型三 含30°角的直角三角形的有关计算 7．如图，中，是斜边上的高，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 8．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是 m． 9．在△ABC中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为、． (1)当点在的什么位置时，，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，求的长． 题型四 利用角度判定直角三角形 10．在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，D为上一点，，． (1)判断△ABC的形状； (2)判断是否与垂直． 题型五 利用勾股定理解三角形 13．如图，在长方形中，点是的中点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 14．如图，△ABC中，于点，则的长为 ． 15．如图，工作人员在某山峰上适当的位置确定一点修建索道口，经测量的垂直高度，在山下点处也修建一个索道口，，从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走0.1km，那么多少分钟后才能到达山顶？ 题型六 与勾股数有关的问题 16．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．，，2 C．1，1，2 D．9，12，15 17．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 18． 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 19．我们把满足方程的正整数的解叫做勾股数，如就是一组勾股数． (1)请你再写出两组勾股数：（ 、 、 ），（ 、 、 ）； (2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，，，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明． 题型七 勾股定理与折叠问题 20．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则△BDE的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 21．如图，在△ABC中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕的长等于 ．    22．如图，在△ABC中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1) 求的长； (2) 求的长． 培优训练 1．如图，△ABC中，，，，，求． 2．如图所示，在△ABC中，． 求证：是直角三角形． 3．如图，已知△ABC和均为直角三角形，其中，E为的中点，求证：． 4．如图，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为，飞行高度米，则飞机到目标B的距离是多少米？ 5．如图，中，∠B=90°． (1)尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 6．广安市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，其中，则购买这种草皮至少需要多少元． 7．如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 8．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离为，求底部边缘A处与E之间的距离的长．      9．如图，在△ABC中，，是△ABC的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 10．（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 11．我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 12．下图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口的正北方向，入口和出口在同一条直线上，，测得，，． (1)求摩天轮到淘气堡的距离； (2)现要在距离摩天轮45m的处修建游乐项目旋转木马，点，，在同一条直线上，此时恰好，求淘气堡到旋转木马的距离． 13．如图，在△ABC中，，点E在上，将△ABC沿折叠，使点B落在边上的点F处． (1)求的长； (2)判断是什么特殊三角形． 14．如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点E．已知．（长方形的对边相等，四个角都为直角） （1）求证：； （2）求的长； （3）请直接写出中上的高为_______． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直角三角形重难点题型专项训练 7大题型 题型一 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在△ABC中，，是△ABC的高，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由，得到，由高得到，再根据直角三角形两个锐角互余即可求出，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，△ABC中，，于，，，则 °． 【答案】16 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质．先根据得出，再由可得出，由可得出的的度数，进而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 3．如图，，，，求的度数．        【答案】． 【分析】本题考查了垂直的定义以及直角三角形的性质．分别求出和以及的度数，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴． 题型二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4．如图，在△ABC中，，，点为斜边上的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】解：△ABC中，，，点为斜边上的中点， ； 故选：C 5．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出斜边长为，再根据三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是， ∴斜边长为， ∵直角三角形斜边上的高是， ∴直角三角形的面积为． 故答案为：． 6．如图，直角△ABC中，，．点是线段上一点，过点作的垂线，交直线于点，连接，取的中点，连接，． (1)当点在线段上时，试写出与的关系，并说明理由； (2)当点在线段外时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请举出反例；若成立，请画出图形，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)成立，理由见详解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键在于掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）当点在线段上时，观察知道在直角中，，在直角中，，即可证明出结果； （2）当点在线段外时，（1）中的结论还成立，画出图形同理应用第（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在直角中，，取的中点， ， 过点作的垂线， ， 又在直角中，取的中点， ， ； （2）解：成立，图形如下： 理由如下：，， ， 在直角中，取的中点， ， 过点作的垂线， ， 又在直角中，取的中点， ， ． 题型三 含30°角的直角三角形的有关计算 7．如图，中，是斜边上的高，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，在中，是斜边上的高，可以得到，由此可以推出，然后利用所对的直角边等于斜边的一半分别求出，． 【详解】解：在中，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是 m． 【答案】4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质．作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则，   ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：4． 9．在△ABC中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为、． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)当点在的中点时，；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）当点在的中点时，，根据等腰三角形的性质得出平分，再根据角平分线的性质即可得到结论； （2）由题意得，进而得出，，得到，，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当点在的中点时，，理由如下， 如图，连接， 是的中点， 平分， ，， ； （2）解：是的中点，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型四 利用角度判定直角三角形 10．在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 11．直角三角形的判定定理：有两个角 的三角形是直角三角形． 【答案】互余 【分析】根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，进行作答即可． 【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形； 故答案为：互余． 【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，D为上一点，，． (1)判断△ABC的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)△ABC是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型五 利用勾股定理解三角形 13．如图，在长方形中，点是的中点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，根据长方形的性质可得，，再结合E是的中点，即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，从而得到结果． 【详解】∵长方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ， ． 故选：C． 14．如图，△ABC中，于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，工作人员在某山峰上适当的位置确定一点修建索道口，经测量的垂直高度，在山下点处也修建一个索道口，，从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走0.1km，那么多少分钟后才能到达山顶？ 【答案】17分钟 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出索道的长度，再根据时间=路程速度求解． 先在，根据勾股定理求出的长度，此长度即为从山下到山顶的路程，再用路程除以速度得出到达山顶所需时间． 【详解】解：在中，，， ，（分） 答：17分钟后才能到达山顶． 题型六 与勾股数有关的问题 16．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．，，2 C．1，1，2 D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、∵，∴不能构成勾股数，不符合题意； D、∵，∴能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 17．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 故选：A 18．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【答案】37 【分析】本题考查勾股定理，根据勾为偶数，弦与股相差为2，设弦为，则：股为，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设弦为，则：股为， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：37． 19．我们把满足方程的正整数的解叫做勾股数，如就是一组勾股数． (1)请你再写出两组勾股数：（ 、 、 ），（ 、 、 ）； (2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，，，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明． 【答案】(1)； (2)详见解析 【分析】此题考查勾股逆定理的证明，勾股数的规律探究： （1）根据，即可得出、是勾股数； （2）根据勾股定理的逆定理，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是勾股数； ∵， ∴， ∴是勾股数； 故答案为：；； （2）证明：∵，， ∴ ， 即为勾股数． ∴以为三边的三角形为直角三角形． 题型七 勾股定理与折叠问题 20．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则△BDE的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．证出，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】∵四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故选B． 21．如图，在△ABC中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕的长等于 ．    【答案】 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质求线段的长度等知识与方法，熟练掌握这些基础知识点是解题的关键． 由勾股定理得，由折叠得，确定，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ， ∴， ∵把△ABC沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处， ， ∴， 设，则， ， 解得：， ∴， ∴ 故答案为：． 22．如图，在△ABC中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，∴． 培优训练 1．如图，△ABC中，，，，，求． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形内角的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是本题的关键．根据平角的定义，求得，由于，，，根据直角三角形的性质求得，即可求得． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 2．如图所示，在△ABC中，． 求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，可证明．在中，已知，等量代换可证是直角三角形，熟记直角三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， 是直角三角形． 3．如图，已知△ABC和均为直角三角形，其中，E为的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形的性质证明，，即可得出结论． 【详解】证明：∵，E为的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 4．如图，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为，飞行高度米，则飞机到目标B的距离是多少米？ 【答案】2400米 【分析】根据题意得：，根据含角的直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵俯角， ∴ ∵米， ∴米， 即飞机到目标B的距离是2400米． 【点睛】本题考查了直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角的直角三角形的性质． 5．如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、中线的作法、含的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握中线的作法，并熟练运用相关知识解决问题． （1）直接利用线段垂直平分线的尺规作图方法作出直线交于点即可得解； （2）利用含的直角三角形的性质求出，再利用直角三角形斜边上中线的性质得到的长； 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）∵， ∴， 由（1）作图可知，为边上的中线． ∴． 6．广安市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，其中，则购买这种草皮至少需要多少元． 【答案】购买这种草皮至少需要元 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形面积计算，过点C作交延长线于H，求出，则可求出的长，再计算出的面积即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作交延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴购买这种草皮至少需要元． 7．如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，直角三角形特征，熟练掌握平行线的判定，同角的余角相等是解题的关键； （1）根据垂直的定义和直角三角形特征可得，再通过等量代换即可求出； （2）根据同角的余角相等可得，再通过等量代换可得，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． 8．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离为，求底部边缘A处与E之间的距离的长．      【答案】底部边缘A处与E之间的距离的长为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：底部边缘A处与E之间的距离的长为． 9．如图，在△ABC中，，是△ABC的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)图中有3个直角三角形，分别是，， (2)，理由见解析 【分析】（1）由题中已知条件，是高，可以得到、、都是直角． （2）由（1）得到，，是直角三角形，且、、是直角，所以，由此可以得到． 【详解】（1） ，是高， ， 图中有个直角三角形，分别是，，； （2） ∆，，是直角三角形，且、、是直角， ，， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形高的定义，熟练掌握直角三角形的定义是解题的关键． 10．（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析；（2），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析 【分析】（1）计算，，是否满足即可解答； （2）计算，，是否满足即可解答． 【详解】（1）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴，，都是正整数， ∵， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数； （2）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴，，是三个正整数， ∵， ∴， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方． 11．我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 【答案】(1)24，26 (2)证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明． （1）依据材料所给公式，代入计算即可； （2）再任意举例计算即可证明． 【详解】（1）解：当a为10，则，， 故答案为：24，26； （2）解：若最小数， 则，， ∵ ∴猜想成立． 12．下图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口的正北方向，入口和出口在同一条直线上，，测得，，． (1)求摩天轮到淘气堡的距离； (2)现要在距离摩天轮45m的处修建游乐项目旋转木马，点，，在同一条直线上，此时恰好，求淘气堡到旋转木马的距离． 【答案】(1)75m (2)60m 【分析】本题考查了勾股定理解三角形的应用． （1）根据已知角度和边长，利用三角函数求出长度，进而得出摩天轮到淘气堡的距离； （2）先根据已知条件求出其他线段长度，再利用勾股定理求出淘气堡到旋转木马的距离． 【详解】（1）， ． ，， ． ，点，均在点的正北方向，即点，，在同一条直线上， ． 答：摩天轮到淘气堡的距离为 （2）； ， ，， ， 答：淘气堡到旋转木马的距离为60m． 13．如图，在△ABC中，，点E在上，将△ABC沿折叠，使点B落在边上的点F处． (1)求的长； (2)判断是什么特殊三角形． 【答案】(1)BE=4－4； (2)等腰直角三角形 【分析】本题考查勾股定理；图形折叠的性质；等腰直角三角形的判定 （1）先由勾股定理求出的长，由折叠可得为直角三角形，，设，根据勾股定理可得答案； （2）由（1）可得，可得是等腰直角三角形 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在边上的点F处， ∴，，， ∴为直角三角形， ∴， 设，则， 则， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形 14．如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点E．已知．（长方形的对边相等，四个角都为直角） （1）求证：； （2）求的长； （3）请直接写出中上的高为_______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据翻折的性质与平行线的性质可得，进而根据等边对等角即可证明； （2）设，根据（1）的结论，在中，勾股定理即可求得的长，进而可得的长； （3）先根据勾股定理求得的长，设中上的高为，根据等面积法求解即可 【详解】（1）证明：四边形是长方形，四个角都为直角， ，∠B=90°， 翻折， （2）设， 在中 即 解得 （3）在中，， 设中上的高为，则， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$