专题02 直角三角形重难点题型专训练（8大题型+16道培优题提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（湘教版）

专题02 直角三角形重难点题型专项训练 题型一 勾股定理的证明问题 1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故A选项可以证明勾股定理； B、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理， 故选：D． 2．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 ＋ ，化简后即为 ．      【答案】 【分析】用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题即可． 【详解】解：根据题意，得 = =， ∵， ∴； 故答案为，，. 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用图形的面积得出结论是解题关键． 3．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 【答案】(1)5； (2)见详解 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）根据梯形的面积等于三个直角三角形面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴该直角三角形的面积为； 故答案为5；； （2）解：由图可知： ， 整理得：． 题型二 勾股定理与网格问题 4．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：D． 5．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 是直角三角形，故点符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 故答案为：． 6．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)△ABC的形状是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和勾股定理可以求得、和的值； （2）先判断，然后根据（1）中的结果和勾股定理的逆定理，即可说明理由； 【详解】（1）解：、，，， 故答案为：，，； （2）解：△ABC的形状是直角三角形； 理由如下： ∵ ，，；且 ∴△ABC的形状是直角三角形． 题型三 以弦图为背景的勾股问题 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键． 由正方形性质和勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：设大正方形的边长为，则大正方形的面积是， ， ， ， ， 小正方形的面积为：， 即， ， ， ， 故选D． 8．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出较长的直角边的边长，从而得出空白小正方形的边长，即可得解． 【详解】解：由勾股定理可得：较长的直角边的边长为：， ∴空白小正方形的边长为， ∴空白小正方形的面积为， 故答案为：． 9．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)，，， (2)13 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是． 故答案为：，，， （2）解：根据题意得：空白部分的面积为 当，时，原式． 题型四 利用边证明直角三角形的有关计算 10．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．，，9 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可． 【详解】解：A、∵， ∴该三角形不存在，故此选项不符合题意； B、∵， ∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴该三角形不存在，故此选项不符合题意； 故选：C． 11．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 三角形是直角三角形． ∵， ∴， ∴这个三角形的面积是， 故答案为：． 12．如图，在△ABC中，D为边上的一点，连接，过点A作交的延长线于点E．已知，，，． (1)求线段的长． (2)判断△ABC是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】(1)25 (2)直角三角形，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理逆定理即可解答． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴△ABC是三角形． 题型五 勾股定理的实际应用 13．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理得应用，设绳索长x尺，由题意并结合勾股定理即可列出方程，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设绳索长x尺， 由题意并结合勾股定理可得：， 故选：A． 14．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面米处折断，大树顶部落在距离大树底部米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意画出符合题意的图形，然后根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， 由勾股定理得：， ∴这棵树折断之前的高度为， 故选：． 15．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 16．如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．利用平移的性质知，当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵△ABC是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：7． 17．在《九章算术》中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？译文：一根竹子原高一丈，从处折断，其竹稍恰好抵地，为尺，试问：折断处离地面有多高？（注：丈尺） 【答案】折断处离地面尺． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于的方程，此题得解． 【详解】解：由题意可得，， ∴，， ∴，即 解得 ∴折断处离地面尺． 18．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 19．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴， ∴ ， ∴， 解得：x＝16， 则煤栈E应距A点16km． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 20．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【答案】小鸟至少飞行了10米 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米， 过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB， ∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米）， ∴AE=AC-EC=10-4=6（米）， 在中，（米）， 答：小鸟至少飞行了10米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键． 21．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型六 利用勾股定理求最短路径 22．某打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高，则龙头部分的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平面展开——最短路径问题，勾股定理．正确画出图形是解题关键．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可． 【详解】解：如下图，则， ， 即龙头不符的长为， 故选：． 23．如图，有一长方体容器（无盖），，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点的最短爬行路程是 ． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键．分两种情况画出展开图，根据勾股定理求出的长度，即可求解． 【详解】解：在长方体容器，，，， ∴， 当从正面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图， 在中 ． 当从下面和后面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图， 在中 ． ∵， ∴从点A爬到点的最短爬行路程是10． 故答案为：10． 24．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 题型七 直角三角形全等的性质与判定 25．如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为7，则的长为（    ） A．4 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识．由三角形面积求出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，的面积， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：B． 26．人们常用两个三角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，使两个三角尺的一直角边分别与重合，移动三角尺使两个直角顶点分别与重合，三角尺的另两条直角边相交于点，作射线，可证得，从而得是的平分线．在上述过程中，判定两个三角形全等的方法是 ． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，再得出答案即可． 【详解】解：由题意知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 27．如图，已知，，垂足分别为，，与交于点，． (1)写出与的数量关系，并说明理由； (2)若是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明，即可得出结论； （2）由（1）得，得到，根据等角对等边可得，结合是的中点，再利用线段垂直平分线的判定，即可得证． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：由（1）得，， ， ， 点在边的垂直平分线上， 又是的中点， ， 在边的垂直平分线上， 线段所在直线是边的垂直平分线． 题型八 角平分线的性质及其计算 28．如图，平分，在上取一点，过作，若，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点P作，垂足为E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求解即可． 【详解】解：过点P作，垂足为E， ∵平分，，， ∴， ∴点到的距离为， 故选：B． 29．如图所示，直线，直线分别与，相交于点．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的基本作图，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由得到，根据作图步骤得到，进而得到，即可得到． 【详解】解：， ， 根据作图步骤可知平分， ， ， ， 故答案为： ． 30．如图，△ABC中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于，于，由题意可得平分，由角平分线的性质定理可得，即可得证； （2）设，由（1）得：，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作于，于，如图： ， 平分， 又，， ， 平分的平分线，，， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：设， 由（1）得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 1．义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键．根据，列出等式并整理可证． 【详解】证明：连接， 由图形可知， 则 ． ∴． 2．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用如图证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2． 【答案】见解析 【分析】利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a， ∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab， 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）， ∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）， ， 即a2+b2＝c2． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点均在格点上. (1)是直角三角形吗?请说明理由； (2)求四边形的面积. 【答案】(1)是，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出，，,再根据勾股定理的逆定理，即可得到结论； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， ， , ， ， ， 是直角三角形； （2）解：四边形的面积 ． 4．（1）在图中画出三边的长分别为、、的； （2）该三角形的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查作图﹣复杂作图、勾股定理与网格问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合勾股定理画图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求， （2）， 故答案为． 5．在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用这个图形证明勾股定理； (2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)52 【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明； （2）设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有，，利于整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题． 【详解】（1）证明：∵正方形的边长为c， ∴正方形的面积等于， ∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成的， ∴正方形的面积为：， ∴； （2）解：设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c， 根据题意得，，， 又∵ ∴， 故徽标的外围周长为：． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边c的长，是解题的关键． 6．已知，，是三边的长，且，满足关系式． (1)求，的值； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定： （1）根据可得，由非负数的性质即可求出答案； （2）由（1）可得，再证明，得到．则是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：∵，得 ∴ ∴， ，， ∴，； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ，． ， ， ． ． 是等腰直角三角形． 7．若，，为的三条边，且，，满足． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了二次根式的应用以及三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理计算即可得到为直角三角形； （2）先求出、的值，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴根据解析（1）可知：， 即， ∵， ∴，， ∴，， ∵是直角三角形，且斜边为， ∴的面积为． 8．教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 (1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ (2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 【答案】(1)米 (2)株 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出的长即可； （2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，分别求出的面积，计算即可得到答案． 【详解】（1）解如图，连接 ， （米） 至少需要米装饰彩带； （2）解：，，， ， 是直角三角形， （平方米）， （平方米）， （株）， 共需要种植株花卉． 9．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C 受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见详解 (2)能，理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案； （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 勾股定理求得，根据等腰三角形的性质进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 所以， ∵， ∴着火点C受洒水影响． （2）如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 则， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 10．如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，，； (1)一只蚂蚁从点出发，沿小杯子外表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 【答案】(1)如方法一的路线最短，最短路线为 (2)筷子的最大长度是 【分析】（1）分别讨论将面和面展开，将面和上底面展开两种情况，再利用勾股定理计算，进而比较即可求解； （2）当筷子沿倾斜放的时候，能够放的最长，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）方法一：将面和面展开，如图， ∵，， ∴， 由勾股定理得； 方法二：将面和上底面展开，如图， ∵，， ∴， 由勾股定理得； 所以，如方法一的路线最短，最短路线为； （2）如图，当筷子沿倾斜放的时候，能够放的最长， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， 所以，筷子的最大长度是． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ (1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？ (2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 【答案】(1)50cm (2)300cm 【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为 的长，圆柱的高即为 的长，求出 的长即为葛藤绕树的最短路程． （2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高． 【详解】（1）解：如图， 树干的周长即底面圆的周长为30cm cm 葛藤升高40cm cm 由勾股定理得 cm 所以，葛藤爬行的路程是50cm （2）解： 树干的周长即底面圆的周长为40cm cm 葛藤绕一圈爬行50cm cm 由勾股定理得绕行1圈的高度 爬行10圈到达树顶 树干高 cm 所以，树干高为300cm 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，解题关键是要弄清底面圆的周长即为矩形的边 的长． 12．如图，，垂足分别为C、D，与相交于E，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理： （1）利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，则由三角形外角的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．已知：如图，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F．求证：； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②）写出此时与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论． （1）由得，根据证明得，由代入可得结论； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，根据证明得，再由得出结论． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，（1）中的结论不成立，有，理由是： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 14．如图，如图在中，利用尺规作图． (1)画出的角平分线，线段的垂直平分线，保留作图痕迹； (2)在（1）中，所画角平分线与垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作角的平分线、作线段的垂直平分线的方法，作出的平分线、线段的垂直平分线即可； （2）先证明，由∠，根据三角形内角和定理得，即可求得． 【详解】（1）解：如图，射线是的平分线，直线是线段的垂直平分线． （2）解：如图，与交于点F， ∵平分， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查尺规作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出的平分线及线段的垂直平分线是解题的关键． 15．已知，是一条角平分线． (1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点A作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴________．（ ） ∴________， 又∵， ∴． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角的平分线，与的延长线交于点．求证：． 【答案】(1)，角平分线的性质， (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线性质定理，三角形的面积公式： （1）先判断出，再利用三角形的面积公式即可得出结论； （2） 过点D作，交的延长线于点E，，交的延长线于点F，过点A作于点G；由角平分线的性质得，再利用三角形的面积公式即可得出结论；． 【详解】（1）解：过点作于点，于点，过点A作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴．（角平分线的性质） ∴， 又∵， ∴． 故答案为：；角平分线的性质；； （2）证明：如图2， 过点D作，交的延长线于点E，，交的延长线于点F， ∵是的外角平分线， ∴是的角平分线， ∴， ∴， 过点A作于点G， ∴， ∴． 16．【综合与实践】 如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下： A B C 图（1） 4 4 8 图（2） ______ 9 13 图（3） 9 ______ 34 （1）在表格中的横线上填空． 【提出问题】 （2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______． 【解决问题】 （3）根据（2）中的发现，解决以下问题： 一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？ 【答案】（1）4；25；（2）；（3）16尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，勾股定理的证明： （1）根据网格的特点，结合正方形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求得到，即； （3）根据（2）的结论求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，图（2）中正方形A的边长为2，则其面积为4； 图（3）中正方形B的边长为5，则其面积为25； 故答案为：4；25； （2）由（1）所求可得， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，由题意得，尺，尺，， ∴， ∴尺或尺（舍去）， ∴木杆折断之前有尺， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直角三角形重难点题型专项训练 题型一 勾股定理的证明问题 1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 2．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 ＋ ，化简后即为 ．      3．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 题型二 勾股定理与网格问题 4．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 5．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ． 6．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断△ABC的形状，并说明理由． 题型三 以弦图为背景的勾股问题 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 8．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为 ． 9．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 题型四 勾股定理逆定理的有关计算 10．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．，，9 11．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是 ． 12．如图，在△ABC中，D为边上的一点，连接，过点A作交的延长线于点E．已知，，，． (1)求线段的长． (2)判断△ABC是什么特殊三角形，并说明理由． 题型五 勾股定理的实际应用 13．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（   ） A． B． C． D． 14．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面米处折断，大树顶部落在距离大树底部米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（   ） A． B． C． D． 15．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 16．如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 17．在《九章算术》中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？译文：一根竹子原高一丈，从处折断，其竹稍恰好抵地，为尺，试问：折断处离地面有多高？（注：丈尺） 18．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 19．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 20．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 21．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少多少秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 题型六 利用勾股定理求最短路径 22．某打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高，则龙头部分的长为（   ） A． B． C． D． 23．如图，有一长方体容器（无盖），，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点的最短爬行路程是 ． 24．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 题型七 直角三角形全等的性质与判定 25．如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为7，则的长为（    ） A．4 B． C． D．7 26．人们常用两个三角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，使两个三角尺的一直角边分别与重合，移动三角尺使两个直角顶点分别与重合，三角尺的另两条直角边相交于点，作射线，可证得，从而得是的平分线．在上述过程中，判定两个三角形全等的方法是 ． 27．如图，已知，，垂足分别为，，与交于点，． (1)写出与的数量关系，并说明理由； (2)若是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 题型八 角平分线的性质及其计算 28．如图，平分，在上取一点，过作，若，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 29．如图所示，直线，直线分别与，相交于点．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则线段的长为 ． 30．如图，△ABC中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 1．义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 2．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用如图证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点均在格点上. (1)是直角三角形吗?请说明理由； (2)求四边形的面积. 4．（1）在图中画出三边的长分别为、、的； （2）该三角形的面积为 ． 5．在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用这个图形证明勾股定理； (2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 6．已知，，是三边的长，且，满足关系式． (1)求，的值； (2)若，判断的形状，并说明理由． 7．若，，为的三条边，且，，满足． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的面积． 8．教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 (1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ (2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 9．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C 受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 10．如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，，； (1)一只蚂蚁从点出发，沿小杯子外表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 11．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ (1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？ (2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 12．如图，，垂足分别为C、D，与相交于E，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．已知：如图，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F．求证：； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②）写出此时与之间的数量关系，并说明理由． 14．如图，如图在中，利用尺规作图． (1)画出的角平分线，线段的垂直平分线，保留作图痕迹； (2)在（1）中，所画角平分线与垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是多少？ 15．已知，是一条角平分线． (1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点A作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴________．（ ） ∴________， 又∵， ∴． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角的平分线，与的延长线交于点．求证：． 16．【综合与实践】 如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下： A B C 图（1） 4 4 8 图（2） ______ 9 13 图（3） 9 ______ 34 （1）在表格中的横线上填空． 【提出问题】 （2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______． 【解决问题】 （3）根据（2）中的发现，解决以下问题： 一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？ 学科网（北京）股份有限公司 $$