精品解析：湖北省黄石市实验中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

黄石市实验中学 2025年 2月九年级阶段性测试 数学试题卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若某件商品销售“盈利”记作，则表示（ ） A. 亏损 B. 亏损 C. 盈利 D. 盈利 2. 鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是广泛流传的益智玩具．如图是鲁班锁中的一个部件，它从前面看，得到的图形是（　　） A. B. C. D. 3. 不等式组，的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某射击爱好者的8次射击成绩（单位：环）依次为7，9，10，8，9，8，10，10，则下列结论正确的是（ ） A. 众数是9环 B. 中位数是9环 C. 平均数是8环 D. 方差是1.2环 6. 将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平面内两个正方形与正五边形都有一条公共边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若，则为（ ） A. 6 B. 9 C. 27 D. 48 9. 如图，是直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于x的方程无实数根．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11 化简：_______． 12. 如图一次函数与的图象交于点，则方程组的解______． 13. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为_________． 14. “爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为，则依题意可列方程为______． 15. 如图，D是的边BC上一点，沿翻折，C点落在点E处，与相交于F点，若，，，则______． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算：． 17. 如图，是平行四边形的一条对角线，，垂足分别是E、F．求证： （1） （2）四边形是平行四边形． 18. 为降低空气污染，某市公交公司计划购买节能环保的新能源A型和B型两种公交车更换全市公交车，已知若购买1辆A型公交车和2辆B型公交车，需花费400万元；若购买2辆A型公交车和1辆B型公交车，需花费350万元．求每辆A型公交车和每辆B型公交车单价分别多少万元？ 19. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 21. 如图，是的直径，点是上一点，过点的切线与弦的延长线交于点，过点的直线交线段于点，且． （1）求证：直线与相切； （2）已知的半径是，，求阴影部分的面积． 22. 六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销售量为50千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设水蜜桃售价为x元/千克（x≥15，且x为正整数）． （1）若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？ （2）若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值； （3）为更好地促进果农的种植积极性，市政府加大对果农的补贴，每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过910元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于900元，请直接写出所有符合题意的a的值． 23. 【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则 ． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄石市实验中学 2025年 2月九年级阶段性测试 数学试题卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若某件商品销售“盈利”记作，则表示（ ） A. 亏损 B. 亏损 C. 盈利 D. 盈利 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：若某件商品销售“盈利”记作，则表示亏损， 故选：A． 2. 鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是广泛流传的益智玩具．如图是鲁班锁中的一个部件，它从前面看，得到的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从不同的方向看几何体，根据从前面看到的图形画图即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：它从前面看到的图形是， 故选：． 3. 不等式组，的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，进而判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 在数轴上表示如图： ， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零指数幂的意义可判断A，根据平方差公式可判断B，根据单项式与单项式的除法除法法则可判断C，根据积的乘方法则可判断D． 【详解】解：A．不一定成立，如当时，原式无意义，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了零指数幂意义，平方差公式，单项式与单项式的除法除法，以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 某射击爱好者的8次射击成绩（单位：环）依次为7，9，10，8，9，8，10，10，则下列结论正确的是（ ） A. 众数是9环 B. 中位数是9环 C. 平均数是8环 D. 方差是1.2环 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，根据众数、中位数、平均数、方差的求法进行计算，再逐项判断即可． 【详解】解：将8次射击成绩从小到大排列为：7，8，8，9，9，10，10，10， 可知众数为10环，故A错误，不符合题意； 中位数为：环，故B正确，符合题意； 平均数为：，故C错误，不符合题意； 方差：，故D错误，不符合题意， 故选：B． 6. 将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．正确理解题意是解题关键．由角的和差即可求出，再利用平行线的性质可求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7. 如图，平面内两个正方形与正五边形都有一条公共边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和三角形的内角和定理，根据正五边形和正方形的内角的度数进行计算即可． 【详解】解：如图， 正五边形的每个内角是，正方形的每个内角是， ， ， 故选：A． 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若，则为（ ） A. 6 B. 9 C. 27 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的判定与性质；根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的直径，， ∴，，则， ∴， 故选：A． 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于x的方程无实数根．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与y轴的正半轴相交， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴2， ∴， ∴， ∴， 故结论①错误，不符合题意； ∵二次函数图象经过点， ∴， ∴， 故结论②正确，符合题意； ∵二次函数图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴可因式分解为， 故结论③错误，不符合题意； ∵可因式分解为， ∴方程可化为， ∴， 即， ∴ ， ∵，， ， 即方程有实数根， 故结论④错误，不符合题意， ∴正确的结论为②， 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的减法．原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】解： ， 故答案为： 12. 如图一次函数与的图象交于点，则方程组的解______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与二元一次方程组的解，从数与形两个方面来理解两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解关系是解题关键．由交点坐标，代入求出的值，再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标求出方程组的解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴， ∴的解是． 故答案为：． 13. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种，由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种， ∴小灯泡发光的概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键． 14. “爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为，则依题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由甲、乙两人速度之间的关系可得出乙的速度为每小时，利用时间=路程÷速度，结合甲比乙提前20min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：解：∵甲、乙的速度比是，，甲的速度为， ∴乙的速度为每小时， 根据题意，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15. 如图，D是的边BC上一点，沿翻折，C点落在点E处，与相交于F点，若，，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】设，则，由折叠的性质得：，再由，可得，可证明，从而得到，继而得到关于x的方程，即可求解． 【详解】解：设，则， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 即， 解得：或15（舍去）， ∴． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，证明是解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根和立方根的意义化简，再算乘法，后算加减． 【详解】解： ． 17. 如图，是平行四边形的一条对角线，，垂足分别是E、F．求证： （1） （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： （1）先由平行四边形的性质得到，进而得到，再由垂直的定义得到，由此即可证明； （2）先由全等三角形的性质得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 18. 为降低空气污染，某市公交公司计划购买节能环保的新能源A型和B型两种公交车更换全市公交车，已知若购买1辆A型公交车和2辆B型公交车，需花费400万元；若购买2辆A型公交车和1辆B型公交车，需花费350万元．求每辆A型公交车和每辆B型公交车单价分别多少万元？ 【答案】每辆A型公交车的单价为100万元，每辆B型公交车的单价为150万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解题的关键；设每辆A型公交车的单价为x万元，每辆B型公交车的单价为y万元，根据等量关系：若购买1辆A型公交车和2辆B型公交车，需花费400万元；若购买2辆A型公交车和1辆B型公交车，需花费350万元；列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每辆A型公交车的单价为x万元，每辆B型公交车的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：每辆A型公交车的单价为100万元，每辆B型公交车的单价为150万元． 19. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1），见解析 （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【答案】（1）反比例函数表达式，一次函数表达式为 （2）或 （3） 【解析】 分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得，当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 21. 如图，是的直径，点是上一点，过点的切线与弦的延长线交于点，过点的直线交线段于点，且． （1）求证：直线与相切； （2）已知的半径是，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】（1）连接、，由是的直径，与相切于点，得，推导出，进而推导出，即可证明直线与相切； （2）先证明，再根据的半径是，，求得，，，则是等边三角形，所以，，求得，，则，由，求得，进而求得， ，则， ，而，则． 【小问1详解】 证明：连接、，则， ∵是的直径，与相切于点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线与相切． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的半径是，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴4，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 22. 六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销售量为50千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设水蜜桃售价为x元/千克（x≥15，且x为正整数）． （1）若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？ （2）若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值； （3）为更好地促进果农的种植积极性，市政府加大对果农的补贴，每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过910元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于900元，请直接写出所有符合题意的a的值． 【答案】（1）20元/千克 （2）W＝﹣2x2+80x，W最大值是800元，W最小值是600元 （3）108，109，110 【解析】 【分析】（1）设该日水蜜桃的单价为x元，根据单价与日销售量关系列方程，即可求解； （2）根据题意W＝x[50﹣2（x﹣15）]﹣2（x﹣20）2+800，变形得W＝﹣2（x﹣20）2+800，而15≤x≤30，且x为正整数，可得x＝20时，W有最大值，x＝30时，W有最小值； （3）由900≤﹣2x2+80x+a≤910，又只有5种不同的单价使日收入不少于900元，可知x的取值为18，19，20，21，22；当x＝18或22时，﹣2x2+80x＝792，当x＝19或21时，﹣2x2+80x＝798，当x＝20时，﹣2x2+80x＝800，根据补贴后不超过910元，可得当a＝108或109或110时符合题意． 【小问1详解】 解：设该日水蜜桃的单价为x元/千克， 由题意得：50﹣2（x﹣15）＝40， 解得：x＝20， 答：该日水蜜桃的单价为20元/千克； 【小问2详解】 解：根据题意得：W＝x[50﹣2（x﹣15）]＝﹣2x2+80x， 转化为顶点式为：W＝﹣2（x﹣20）2+800， ∵政府将销售价格定为不超过30元/千克， ∴15≤x≤30，且x为正整数， ∵﹣2＜0， ∴x＝20时，W有最大值是800， x＝30时，W有最小值是﹣2（30﹣20）2+800＝600； 答：W＝﹣2x2+80x，W最大值是800元，W最小值是600元； 【小问3详解】 解：由题意得：900≤﹣2x2+80x+a≤910， ∵二次函数W＝﹣2x2+80x+a的对称轴为x＝20，又只有5种不同的单价使日收入不少于900元，5为奇数， ∴由二次函数的对称性可知，x的取值为18，19，20，21，22； 当x＝18或22时，﹣2x2+80x＝792， 当x＝19或21时，﹣2x2+80x＝798， 当x＝20时，﹣2x2+80x＝800， ∵补贴后不少于900元且不超过910元，，， ∴， ∵a为正整数， ∴当a＝108或109或110时符合题意． 答：符合题意的a的值是108，109，110． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，列出日销售额与日单价的函数关系式是解决本题的突破点，第3问需要结合函数图象的对称性找出x的取值，有一定难度． 23. 【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答． （1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解； （2）构造矩形，延长交于点G，由（1）中结论可得：，，设，，则，，，，再证明，则，即可求出，即可求解； （3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，，根据，得出，设，则，，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形平行四边形，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G， 由（1）中结论可得：， ∵， ∴设，， ∵点为的中点， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴，则，， 解得：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； （3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 设， 则，， ∴，整理得：， ∴， 由（1）中结论可得：． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 【答案】（1）①；② （2）1 【解析】 【分析】（1）①将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可； ②先求出，从而得到，，再结合已知条件，得到，过点作轴，求出，，即可得到点D的坐标． （2）由题意可得对称轴为直线，，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，即当点在上时，有最小值为，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①抛物线与x轴交于点，， ，解得：， 该抛物线的解析式为； ②抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， ， ，， ， ，， 如图，过点作轴，则， ， ， ， 点D的坐标为． 【小问2详解】 解：， 抛物线，对称轴为直线， 令，则， ， 如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 即当点在上时，有最小值为， 的最小值为， ， 在中，，， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 即a的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质求最短线段，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$