精品解析：辽宁省鞍山市岫岩满族自治县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024~2025上学期第十五周周检测 九年级数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是(　　) A. 30° B. 60° C. 55° D. 75° 5. 如图，直线y＝m与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，则△ABC的面积为（　　） A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 6. 如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到正方形AEFG，DB的延长线交EF于点H，则∠DHE的大小为 （　 　） A. 90° B. 95° C. 100° D. 105° 7. 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将会爆炸；为了安全，气球的体积应该（ ） A. 不小于 B. 小于 C. 不大于 D. 小于 8. 如图，是一个圆形人工湖，弦是湖上的一座桥．已知的长为10，圆周角，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ） A. 64° B. 120° C. 122° D. 128° 10. 如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④点在二次函数图象上，若，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向左平移1个单位长度，得到的解析式为______． 12. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是__________．（用“”号连接） 13. 某火龙果果园去年栽种果树600株，现计划扩大栽种面积，使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年（包括去年）的总栽种量为2503，求这个相同的百分数．若设这个相同的百分数为x，则根据题意，可列方程为_______． 14. 如图，，，分别与相切于点，，三点．若，则的周长为_____． 15. 如图，等边三角形ABC的边长为4， 点O是的中心， ∠FOG = 120°， 绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、 E两点，连接DE，给出下列四个结论:①OD= OE;②;③四边形ODBE的面积始终等于;④周长的最小值为6.上述结论中正确的有_________(写出序号) 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 17．列方程解应用题 17. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 18. 已知是圆O的直径，半径于点E，的度数为． （1）求证：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 19. 排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． （1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由． （2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 20. 如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 22. 在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为_______； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，过点E作于M，请直接写出的值． 23. 已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且． （1）求抛物线的对称轴； （2）求的值； （3）直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点． ①求的值； ②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025上学期第十五周周检测 九年级数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论． 【详解】解：A、，故有两个不相等的实数根，不合题意； B、，故有两个不相等的实数根，不合题意； C、，故有两个不相等的实数根，不合题意； D、，故没有实数根，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解决问题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的识别进行判定即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、不是轴对称图形是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、是轴对称图形不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选A． 3. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解题的关键； 直接利用二次函数图象经过的图象得出a、b的值的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案，逐项判断即可． 【详解】A、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故选项不符合题意； B、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意； C、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意； D、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项符合题意； 故选：D 4. 如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是(　　) A. 30° B. 60° C. 55° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可． 【详解】连接OB，OD， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOD＝＝120°， ∴∠BPD＝∠BOD＝60°， 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角，难度不大．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 5. 如图，直线y＝m与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，则△ABC的面积为（　　） A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得A，B两点坐标，进而得出AB=，再根据面积公式即可求出△ABC的面积. 【详解】解：由题意，得： A，B两点纵坐标为m， 代入反比例函数，得： A点坐标为（，m），B点坐标（-，m）， ∴AB=， ∴S△ABC=××m=4． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，两点间距离公式以及三角形求面积，利用数形结合的思想解决本题是关键. 6. 如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到正方形AEFG，DB的延长线交EF于点H，则∠DHE的大小为 （　 　） A. 90° B. 95° C. 100° D. 105° 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据四边形AEHB的四个内角和为360°即可求解． 【详解】解：∵将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到正方形AEFG， ∴∠BAE=35°，∠E=90°，∠ABD=45°， ∴∠ABH=135°， ∴∠DHE=360°-∠E-∠BAE-∠ABH=360°-90°-35°-135°=100°． 故选C． 【点睛】此题考查了正方形的性质、旋转角、多边形的内角和定理，正确找出旋转角是解题关键． 7. 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将会爆炸；为了安全，气球的体积应该（ ） A. 不小于 B. 小于 C. 不大于 D. 小于 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查反比例函数的应用．由题意设，把代入得到，推出，当时，，由此即可判断． 【详解】解：根据题意可设， 由题图可知，当时，， 把代入得到， 解得：， ， 当时，， 为了安全起见，气球内的气压应不大于， ． 故选：A． 8. 如图，是一个圆形人工湖，弦是湖上的一座桥．已知的长为10，圆周角，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了弧长计算以及圆周角定义，正确掌握弧长公式是解题关键．根据圆周角定理可得，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，，则， ， ， ， 是等边三角形， ， 弧的长为：． 故选：B． 9. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ） A. 64° B. 120° C. 122° D. 128° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数． 【详解】在⊙O中， ∵∠CBD=32°， ∴∠CAD=32°， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAC=64°， ∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°， ∴∠BEC=180°-58°=122°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数． 10. 如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④点在二次函数图象上，若，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号．熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号是解题的关键． 由图象开口向上，可得，由对称轴是直线，可得，则，可判断②的正误；当时，，则，可判断①的正误；当时，，由，可得，，则，可判断③的正误；若，由于两点与对称轴的位置关系不确定，则不一定成立，可判断④的正误． 【详解】解：由图象开口向上，可得， 又对称轴是直线， ∴，，故②错误； 当时，， ∴，故①正确； 当时，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由题意，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 若，由于两点与对称轴的位置关系不确定， 不一定成立，故④错误． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向左平移1个单位长度，得到的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．根据“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：向左平移1个单位长度即为， 故答案为：． 12. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是__________．（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例反比例函数的函数值的大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵点在反比例函数的图象上，且：， ∴； 故答案为：． 13. 某火龙果果园去年栽种果树600株，现计划扩大栽种面积，使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年（包括去年）的总栽种量为2503，求这个相同的百分数．若设这个相同的百分数为x，则根据题意，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是一道增长率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用．正确掌握题意，正确的列出方程是关键．由题意，找出题目的等量关系，然后列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得今年的栽种量为，明年的栽种量为， ∴三年的总栽种量为：． ∴． 故答案为：． 14. 如图，，，分别与相切于点，，三点．若，则的周长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．根据的周长为：，结合，，，代换计算即可． 【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，， ，，， 的周长为：， 故答案为：5． 15. 如图，等边三角形ABC的边长为4， 点O是的中心， ∠FOG = 120°， 绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、 E两点，连接DE，给出下列四个结论:①OD= OE;②;③四边形ODBE的面积始终等于;④周长的最小值为6.上述结论中正确的有_________(写出序号) 【答案】①③④ 【解析】 【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对①进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=S△ABC=，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，计算出S△ODE=OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断． 【详解】解：连接OB、OC，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵点O是△ABC的中心， ∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30° ∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°， 而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°， ∴∠BOD=∠COE， 在△BOD和△COE中 ∴△BOD≌△COE， ∴BD=CE，OD=OE，所以①正确； ∴S△BOD=S△COE， ∴四边形ODBE的面积=S△OBC=S△ABC==,所以③正确； 作OH⊥DE，如图，则DH=EH， ∵∠DOE=120°， ∴∠ODE=∠OEH=30°， ∴OH=OE，HE=OH=OE， ∴DE=OE， ∴S△ODE=•OE•OE=OE2， 即S△ODE随OE的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误； ∵BD=CE， ∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE， 当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE= ， ∴△BDE周长的最小值=4+2=6，所以④正确． 故答案为①③④ 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据直接开方法进行计算即可； （2）根据公式法进行计算即可． 【小问1详解】 解： ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 解得． 17．列方程解应用题 17. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【答案】29元． 【解析】 【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价． 【详解】解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 18. 已知是圆O的直径，半径于点E，的度数为． （1）求证：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：连接 ∵ ∴ ∴ 又 是等边三角形， ∴ ∴是菱形， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）连接，推导是菱形，根据菱形的对角线互相平分解题即可； （2）根据解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，垂径定理，扇形面积公式，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 19. 排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． （1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由． （2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 【答案】（1）①； ②能， 当时，则， ∴能； （2）没有， 令，则， 解得（舍），， ∵， ∴没有出界． 【解析】 【分析】（1）①由表中数据可得抛物线顶点，则设，再把表格中其它任意一组数据代入即可求出a值， ②当时，求得，再与球网高度比较即可得出答案． （2）令，求出抛物线与x轴的交点，再比较即可． 【小问1详解】 解：①由表中数据可得抛物线顶点， 设 ， 把代入得， ∴所求函数关系为， ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． 20. 如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 22. 在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为_______； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，过点E作于M，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下： 过点作于点， 由旋转的性质得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况，过点作，求出，即可． 【详解】解：（1）过点作延长线于点， 由旋转的性质得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图，当点在延长线上时，过点作延长线于点， 由（2）得， ， ， ； 当点在延长线上时，过点作于点， 同理可得：， ， ， ， ， 综上所述，或． 23. 已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且． （1）求抛物线的对称轴； （2）求的值； （3）直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点． ①求的值； ②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式． 【答案】（1）对称轴为直线：； （2） （3）①，②的最大值为，抛物线为； 【解析】 【分析】（1）直接利用对称轴公式可得答案； （2）如图，由，可得在的左边，，证明，可得，设，建立，可得：，，再利用待定系数法求解即可； （3）①如图，当时，与抛物线交于，由直线，可得，可得，从而可得答案；②计算，当时， 可得，则，，可得，可得当时，的最小值为，再进一步求解可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线：； 【小问2详解】 解：∵直线过点， ∴， 如图， ∵直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且， ∴在的左边，， ∵在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：①如图，当时，与抛物线交于， ∵直线， ∴， ∴， 解得：， ②∵， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为， ∴此时， ∵对于任意的，均有成立， ∴的最大值为， ∴抛物线为； 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $