第二章 三角恒等变换（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

第二章 三角恒等变换（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（22-23高一下·甘肃·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·福建泉州·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·湖南张家界·期中）在中，分别为角的对边），则的形状可能是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 7．（23-24高一下·福建福州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·福建泉州·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·广东汕尾·期中）已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．关于直线对称 C．的最小值为1 D．任区间上单调递减 10．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·全国·期中）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则 C．若是与垂直的单位向量，则 D．当取得最大值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一上·福建厦门·期末） ． 13．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，．若，则的值为 ． 14．（24-25高一上·福建福州·期末）已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一下·广东茂名·期中）已知角，，求下面式子的值: (1)； (2)； (3). 16．（15分）24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 17．（15分）（23-24高一下·江苏镇江·期中）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于、两点，且，已知点的坐标为． (1)写出角与角之间的等量关系； (2)求的值； (3)求的值． 18．（17分）（22-23高一下·福建泉州·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)若，求的值． 19．（17分）（23-24高一下·浙江台州·期中）的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 三角恒等变换（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（22-23高一下·甘肃·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的正弦公式 【分析】利用诱导公式和倍角公式化简. 【详解】. 故选：D 2．（22-23高一下·福建泉州·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】原式 . 故选：D. 3．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数平方关系可得，利用两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】，，， . 故选：B. 4．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、半角公式、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用三角恒等变换和同角三角函数关系得到，利用凑角法和正切差角公式求出答案. 【详解】因为，所以且， 所以， 又，所以. 故选：C 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可． 【详解】由已知可得， 解得 ， ， ， ， 故选：D． 6．（23-24高一下·湖南张家界·期中）在中，分别为角的对边），则的形状可能是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【知识点】sin2x的降幂公式及应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降幂公式及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即，即， 由正弦定理可得， 所以，得， 在中，所以， 又，所以，即三角形为直角三角形. 故选：B. 7．（23-24高一下·福建福州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据条件，利用正弦和正切的和差角公式，化简得到，再平方即可求出结果. 【详解】因为 ， ，得到， 故选：A. 8．（22-23高一下·福建泉州·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、二倍角的正弦公式、比较正弦值的大小 【分析】根据三角恒等变换进行化简求值即可. 【详解】因为, 所以 , 因为, 所以, 即, , 因为在单调递增， 所以, 即,即, 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·广东汕尾·期中）已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．关于直线对称 C．的最小值为1 D．任区间上单调递减 【答案】AD 【知识点】二倍角的余弦公式、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的最值、求cosx型三角函数的单调性 【分析】先化简，然后利用余弦函数的性质即可逐一解答 【详解】 对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，，是的最小值，故B正确； 对于C，由B选项可知，的最小值为1，故C正确； 对于D，当时，，此时为增函数，故D错误， 故选：AD 10．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】二倍角的正弦公式、逆用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】对于A，由化简求解，对于B，利用两角和的正切公式计算判断，对于C，求出，的值代入计算判断，对于D，利用正弦的二倍角公式化简判断. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，因为 ，， 所以，所以C错误， 对于D， ，所以D错误. 故选：AB 11．（24-25高一上·全国·期中）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则 C．若是与垂直的单位向量，则 D．当取得最大值时， 【答案】AD 【知识点】向量垂直的坐标表示、数量积的坐标表示、数量积的运算律、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】设，，利用向量的减法的几何意义可判定A；利用向量的数量积运算法则转化为，可判定B；根据垂直关系的向量表示可以否定C；结合三角函数的基本关系式与辅助角公式即可得解即可判定D. 【详解】∵，∴是单位向量， 设，， 则，当，方向相反， 即时取等号，∴的最大值为，故A正确； 等价于， 即，即， ∴，故B错误； ，， ，不垂直，故Ｃ错误； ，其中，， 故当时，取得最大值， 此时，故D正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一上·福建厦门·期末） ． 【答案】/0.5 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的正弦公式 【分析】由诱导公式及二倍角公式即可求解； 【详解】， 故答案为： 13．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，．若，则的值为 ． 【答案】/0.8 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义可得，进而由图可得，利用二倍角公式即可化简求解 【详解】由于的坐标为，故，故在单位圆上，设终边所对角为， 由于，故,， 所以，故， ， 故答案为： 14．（24-25高一上·福建福州·期末）已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】首先得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】都是锐角，所以， 由， 可得， 由基本不等式有， 所以， 可得或（舍） 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一下·广东茂名·期中）已知角，，求下面式子的值: (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正切公式、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系计算可得； （2）首先求出，再由两角和的正切公式计算可得； （3）由两角和的正切公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以； （3）因为，， 所以. 16．（15分）24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】数量积的坐标表示、正、余弦齐次式的计算、向量垂直的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】（1）由，得，利用向量垂直坐标运算列式，进而解出的值即可； （2）由题意解出，进而弦化切得出，再根据角的范围解出即可. 【详解】（1）由，得，所以，即， 因为，所以，所以或，解得或. （2）由题得，，化简得 即， 整理得， 因为，所以，齐次化后得， 即， 即， 解得 因为， 所以. 17．（15分）（23-24高一下·江苏镇江·期中）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于、两点，且，已知点的坐标为． (1)写出角与角之间的等量关系； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】诱导公式五、六、利用定义求某角的三角函数值、任意角的概念、二倍角的正切公式 【分析】（1）根据，可得，然后即可表示出； （2）由任意角的三角函数的定义可得，，分析可得，利用诱导公式可求得的值，由此可得出的值； （3）利用诱导公式求出的值，可求得的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值． 【详解】（1）， ， ； （2）由三角函数的定义可得，， 由（1）可知，， 故． 故． （3）由（1）可知，且， 故， 根据二倍角公式得． 18．（17分）（22-23高一下·福建泉州·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的余弦公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后求最值即可； （2）根据得到，然后利用诱导公式和二倍角公式求即可. 【详解】（1）依题意，， 当时，， 则当，即时，， 所以当时，. （2）因为，则由（1）知，，即， 所以 . 19．（17分）（23-24高一下·浙江台州·期中）的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、二倍角的正弦公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【详解】（1）由题设及正弦定理得， ∵，∴， [法一]∵，∴或 当时，，，符合 当时，，即，得，舍 综上，. [法二]∵，， ∴， 又∵，∴化简得， ∵，则，∴，∴ （2）由（1）知，又，∴， 正弦定理得， ∵为锐角三角形，∴，∴， ∴， ∴，∴，∴， 从而，即面积的取值范围是. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$