专题05导数基础思维核心应用（12题型+提分快招）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题05导数基础思维核心应用 目录 题型01 计算思维 1 题型02 定义思维 3 题型03 切线法基础：过点切线思维---2单3空 5 题型04 切线法：“过点”切线条数思维---4单1空 8 题型05 切线法：“过点”切线条数求参思维---3单2空 10 题型06 切线法：切线逼近求零点思维--5单 12 题型07 切线法：切线分界求参思维--4单 16 题型08 切线法：数形结合公式思维 20 题型09 切线法：切线逼近整数解 23 题型10 公切线：求公切线方程 27 题型11公切线：公切线求参数---3单2空 29 题型12 基础思维压轴小题---5空 31 题型01 计算思维 【解题规律·提分快招】 导数计算技巧： 1. 任何导数值，都是具体的数，求导时候，可以作为常数对待。 2. 复杂函数求导，可以利用整体代换法来换元对待。 【典例1-1】 （2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设,则，可得，而，利用等比数列的项的性质即可求得. 【详解】设， 则，， 所以，. 因为是等比数列，且，， 于是， 故， 所以，. 故选：A. 【典例1-2】 （24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）已知函数的导数为，且，则（    ） A． B．1 C．1 D．e 【答案】B 【分析】对函数求导并带入求得，可得解析式，进而求函数值. 【详解】由，得， 当时，，解得， 所以，则. 故选：B 【变式1-1】 （23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，解得，对函数求导，令，解得，即可求得. 【详解】令，得，解得， 所以， 令，得，解得， 所以，所以，所以. 故选：D 【变式1-2】 （23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知函数，求（    ） A．0 B． C． D．120 【答案】B 【分析】令，则，求导后赋值即可. 【详解】令，则，两边求导得到，令，得到. 故选：B. 【变式1-3】 （23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数，则（    ） A．11520 B．23040 C．11520 D．23040 【答案】A 【分析】令，则，对函数求导后结合导数的定义可得结果. 【详解】令， 则，则， 所以 . 故选：A 题型02 定义思维 【解题规律·提分快招】 导数的几何意义，在实际做题思维中，有两个方向： 1. 导数就是切线斜率。需要注意的是原函数增减，不仅仅对应着导函数正负，还要适当的对比，原函数的上凸下凹，还对应着导函数函数值的绝对值大小，可以适当借鉴物理学中的加速度来让学生理解。 2. 导函数作为切线斜率，还要用极限思想，对应着割线的斜率。注意对应的极限逼近数值逼近思维。 【典例1-1】 （20-21高二下·陕西西安·期中）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲线的变化趋势可判断函数的单调性，结合函数的导数的几何意义，数形结合，即可判断出答案. 【详解】由函数的图象可知为单调递增函数， 故函数在每一处的导数值，即得， 设，则连线的斜率为， 由于曲线是上升的，故， 作出曲线在处的切线，设为，连线为， 结合图象可得的斜率满足， 即， 故选：B 【典例1-2】 （20-21高二下·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 【详解】由函数的图像可知，当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， .故选：A. 【变式1-1】 （20-21高二下·天津南开·期中）已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断与、与，及其与0的大小关系. 【详解】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：，而， 故选：B. 【变式1-2】 （高二下·河南鹤壁·阶段练习）如图，函数的图象在P点处的切线方程是,若点的横坐标是5，则 (　　) A． B．1 C．2 D．0 【答案】C 【详解】试题分析：函数的图象在点P处的切线方程是，所以，在P处的导数值为切线的斜率，2，故选C． 考点：本题主要考查导数的几何意义． 点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值． 【变式1-3】 （24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义及直线的斜率公式结合图形可得结果. 【详解】根据导数的几何意义， 如图，分别表示在点处切线的斜率, 又，由图可知，故选：B. 题型03 切线法基础：过点切线思维 【解题规律·提分快招】 求“过点”型，如下图， 求导过程与计算如下，切线条数判断经验型标准：有几个切点，即有几条切线 【典例1-1】 （24-25高三上·天津武清·阶段练习）若直线 与曲线 相切，则 （    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得直线斜率. 【详解】设直线与曲线相切于点， 求导可得，因此切线斜率， 又切线过原点，可得，化简可得， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 因此可得，即可得.故选： 【典例1-2】 （2020高三·全国·专题练习）已知曲线C：，若过曲线C外一点引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由点斜式得到切线方程，再由点A在切线上得到关于切点横坐标的方程，求得两切点，再由两切点处的导数互为相反数求得a的值． 【详解】设切点坐标为，由题意知，， 切线的斜率为，① 所以切线方程为，② 将点代入②式得：， 解之得：或， 分别将和代入①式，得：和， 由题意知它们互为相反数，得：. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 【变式1-1】 （23-24高二下·安徽滁州·期末）过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】利用导数求出抛物线的切线方程，再利用点到直线的距离以及弦长即可求解. 【详解】因为，即，所以，设点，则切线斜率为， 所以切线方程为，即令，解得 所以点坐标为，因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为所以，即， 解得（负值已舍），所以点坐标为.故答案为：. 【变式1-2】 （22-23高三上·山西·阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据求曲线过某点的切线方程的步骤，先设出切点坐标，再根据两点求斜率即可求解. 【详解】设切点为，则， 得，则切点为， 切线方程为，即． 故答案为：. 【变式1-3】 （2023·云南大理·模拟预测）过点作曲线的切线，则切线方程是 ． 【答案】 【分析】求解导函数，设切点坐标，求解，从而设出切线方程，代入点计算，即可求出答案. 【详解】函数定义域为，， 设切点为，， 所以切线方程为， 代入，得， 解得：，所以切线方程为， 整理得：． 故答案为： 题型04 切线法：“过点”切线条数思维 【解题规律·提分快招】 【典例1-1】 （20-21高二下·天津蓟州·期中）函数的斜率等于1的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 【答案】B 【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，可得切线的条数. 【详解】由，得，设切点为，则切线的斜率为， 所以，得，所以切点为或，当切点为时，切线方程为，即；当切点为时，切线方程为，即. 所以函数的斜率等于1的切线有条.故选：B 【典例1-2】 （2025届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）曲线过点的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意，设切点，利用导数求得切线方程，进而，设，利用导数研究函数的零点个数，即为所求切线条数. 【详解】首先判断点是否在已知曲线上.因为，所以点不在函数的图象上. 由题意知，，设曲线过点的切点为，则     (1)     (2)切线的方程为，因为切线过点，代入切线方程：     (3)由得 整理得.设，则，令，或，所以在上单调递减，在、上单调递增， 则的极大值为，极小值为， 且， 故的图象与轴有3个不同的交点，即方程有3个不同的根， 所以曲线过点的切线有3条.故选：D 【变式1-1】 （21-22高二下·天津南开·期中）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在切点处的导数值等于切线斜率，即可求解切点坐标，检验不重合即可. 【详解】由得，设点，则，将代入中即可得 故;当时，切线方程为，不符合，舍去.所以点. 故选：D 【变式1-2】 （24-25高二上·山西·期末）经过点所作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为：的根的个数，结合根的判别式判定即可. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程为. 将代入，得. 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0， 所以方程共有3个不同的根， 即经过点所作曲线的切线有3条. 故选：C. 【变式1-3】 （19-20高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，则过点可以作出 条图象的切线. 【答案】二 【解析】设出曲线的切点坐标，对函数求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，把点坐标代入切线方程中，求出方程的根进行判断即可. 【详解】设切点的坐标为：，，因此切线方程为：，把的坐标代入切线方程中，化简得：或，所以过点可以作出二条的切线. 故答案为：二 【点睛】本题考查了曲线切线的条数问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力. 题型05 切线法：“过点”切线条数求参思维 【解题规律·提分快招】 “过点”型切线条数求参，有如下几个方向： 1. 如果有可能，可以简单求导画出图像，根据图像凸凹情况“目测”型判断（但易误判） 2. 可以采取“参变分离”方法，转化为水平线与函数图像交点求最值（极值）型 3. 可以采取求导分类讨论型求解，此时要注意一些题型会有可能需要处理“隐零点”的转化。 【典例1-1】 （2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 【典例1-2】 （17-18高二上·江西南昌·期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线， 则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，将点代入切线方程，可得关于的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得，令，利用导数求出的单调性和极值，则根据与有三个不同的交点，即可得到的取值范围． 【详解】解：由，得，设切点为，所以切线的斜率，曲线在点处的切线方程为，因为该切线过点，所以，即， 过点可作曲线的三条切线， 关于的方程有三个不同的根， 令， ，解得或， 当时，，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 关于的方程有三个不同的根，等价于与的图象有三个不同的交点， ，，实数的取值范围为．故选：A． 【变式1-1】 （2022·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导分析的图象可得，再设切点坐标为，由题可得有三根，再构造函数求导分析图象单调性与最值即可 【详解】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.    此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意    故选：B 【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题 【变式1-2】 （2023·重庆沙坪坝·模拟预测）过点可作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义可得函数有两个零点，利用导数和零点存在性定理可得结果. 【详解】设切点为，则， ， 所以切线的斜率为， 切线方程为，因为切线过点，所以，整理得，依题意可得有两个不等的正根， 设，则函数有两个零点，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则，得，又，，所以在内有唯一零点， 因为，，设，则，在上为增函数，又，所以，即，所以在内有唯一零点， 因此函数有两个零点，符合题意.故.故答案为： 【变式1-3】 （2020高三·全国·专题练习）若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】设出切点坐标，利用导数求得切线斜率的表达式，由此求得的表达式，通过构造函数，结合导数求得单调性、极值，求得的取值范围. 【详解】过点作曲线的切线，，设切点坐标为则则过切点的直线方程的斜率为 过切点和的斜率为 则化简可得 令，则令解得或当时， ，所以单调递增 当时， ，所以单调递减 当时， ，所以单调递增 所以当时， 取得极大值为 所以当时， 取得极小值为 所以若有三个不同交点，则 此时满足过点可作曲线三条切线. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查导数与切线，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 题型06 切线法：切线逼近求零点思维 【解题规律·提分快招】 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 【典例1-1】 （23-24高三上·天津·期中）已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到是的一个零点，转化为和时，分别有一个零点，分类讨论，结合二次函数的性质，以及利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】解：由函数，若有且只有3个零点， 当时，可得，可得是的一个零点， 当时，由，可得，解得； 当时，，可得，可得， 要使得函数在上有一个零点， 即函数与的图象有一个公共点，则满足， 综上可得：，即函数有三个零点时，实数的范围为 故选：B.    【典例1-2】 （22-23高二下·天津河西·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析时二次函数零点的情况，而时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可. 【详解】当时，，且， 则二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点， 所以在上有唯一零点， 因为有3个零点，所以在上有2个零点， 即与的图象有2个交点， 如图当直线与曲线相切时设切点为，所以解得，    由图可知，时，与的图象有2个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式1-1】 （22-23高二下·天津武清·期中）已知函数，点M、N是函数图像上不同的两个点，设O为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图形，求出过原点且与函数的图像相切的直线的方程，结合两直线夹角公式，数形结合可得出的取值范围． 【详解】当时，，则，所以在上单调递减，且， 当时，，作出函数的图像，如图所示， 设过原点且与函数的图像相切的直线的方程为，设切点为，斜率， 所以切线方程为：， 将原点坐标代入切线方程可得，，即，解得，所以过原点且与函数 【变式1-2】 （21-22高二下·天津·期末）已知函数满足函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的图象， 因为与，与的图象关于轴对称， 且与交于原点，要使恰有5个零点， 与的图象必需有两个交点，求出与相切时的值可得答案. 【详解】因为，所以， ，因为函数恰有5个零点， 所以的图象恰有5个交点，画出的图象，由图象可得， 因为与，与的图象关于轴对称， 且与交于原点，要恰有5个零点， 则与，与的图象必有两个交点， 当与的图象相切时，设切点， 此时切线的斜率为，可得，得，所以切点， 即，交点，所以要使函数恰有5个零点，则.故选：A. 【变式1-3】 （2022·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可． 【详解】解：作出函数的图象如图：    依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点， 因为必过，且， 若时，方程不可能有三个实数解，则必有， 当直线与在时相切时，设切点坐标为，则，即，则切线方程为，即，切线方程为， 且，则，所以， 即当时与在上有且仅有一个交点， 要使方程有且仅有三个的实数解， 则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，所以，故选：B 题型07 切线法：切线分界求参思维 【解题规律·提分快招】 涉及到交点个数题型，可以有三个思路： 1. 全部移项到一侧，含参型，分类讨论，这是属于“小题大做”型，思维简单，讨论参数时较麻烦。 2. 可以采取“参变分离”，转化为不含参函数图像，以及含参的“水平线”法来解决交点个数问题，必要时候，可以用“洛必达”法则来处理“断点”型函数值不存在的问题。 3. 特殊技巧，就是“分涵”，分离函数来处理，分离函数型，多分离成为不含参的曲线，与含参的直线型，此时求交点来判断，要注意的是，含参直线，多有“含参直线过定点”这个特殊性质，也就是参数起到了“旋转”直线的动态过程。 【典例1-1】 （23-24高二下·天津滨海新·期中）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧. 如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有. 该结论可通过构造函数并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（   ） ①； ②； ③； ④. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用可得，由知①正确；由知②正确；利用反例可说明③错误；令，利用导数可求得，知④正确. 【详解】对于①，当时，由得：，即； ，故①正确； 对于②，由得：，即，，故②正确； 对于③，由得：； 当时，，此时， 则，即不成立，故③错误； 对于④，令，则， 令，则，在上单调递增， 又，，，使得， 当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，； 由得：，，， ，即，，④正确. 故选：C. 【典例1-2】 （21-22高二下·天津南开·期中）已知函数，若恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由在和上的单调性，画出的图象，分别求得当与相切时，当和相切时，切点的坐标，求得对应的值，结合函数图象即可求得范围． 【详解】解：恒成立可以转化为函数的图象不在图象的下方， 当时，，，在上单调递减，且（2）， 又当时，，在上单调递增，且（2）， 画出函数图象如下图所示，令， 当和相切时，设切点的横坐标为，，即，解得，切点坐标为，此时，结合图象可知，当和相切时，设切点的横坐标为， ，即，解得，切点坐标为， 此时，结合图象可知， 所以实数的取值范围为.故选：C． 【变式1-1】 （2019·天津·三模）已知函数 若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，易得，分与两种情况讨论，可得的表达式，由不等式对任意上恒成立，利用导数进行计算，可得的取值范围. 【详解】解：由题意得：设，易得， 可得，与x轴的交点为， ①    当，由不等式对任意上恒成立，可得临界值时，相切，此时，， 可得，可得切线斜率为2，，，可得切点坐标（3，3）， 可得切线方程：，切线与x轴的交点为,可得此时，， 综合函数图像可得； ②    同理，当，由相切， （1）当，，可得，可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标（1，3），可得切线方程，可得，综合函数图像可得， （2）当，，相切，可得， 此时可得可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标, 可得切线方程：， 可得切线与x轴的交点为，可得此时，， 综合函数图像可得， 综上所述可得， 故选C. 【点睛】本题考查函数的性质及分段函数，导函数的几何意义及导函数在研究不等式恒成立中的应用，综合性大，难度较大. 【变式1-2】 （21-22高三下·全国·阶段练习）已知函数，若，且仅有1个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意在R上单调递增，得，再由零点个数，结合导数研究与交点情况求参数范围. 【详解】由题设在R上单调递增， 由对数函数性质知，且，可得，所以， 其中在处的切线方程为，即，且， 所以与在上无交点， 所以与有且仅有一个交点， 由仅有1个零点，只需在处的斜率， 而，即，可得，则， 综上，.故选：C 【变式1-3】 （17-18高三上·天津·阶段练习）已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数的图象，结合图象按三种情况分类求解作答. 【详解】画出的图象，如图： 不等式，函数图象是恒过定点的直线， 不等式恒成立，即为函数的图象总在直线及上方， 当时，不等式恒成立，则， 当时，函数的图象在直线上方， 则当且仅当函数的图象在直线及上方， 而的图象恒在直线上方， 于是得对一切实数恒成立，有，解得，则， 当时，当函数的图象在直线及上方时，函数的图象必在直线及上方， 即，令，求导得：， 则函数在上单调递增，，，即恒成立，因此， 综上得：实数的取值范围是. 故答案为： 题型08 切线法：数形结合公式思维 【解题规律·提分快招】 高中数学有“三大几何意义”型公式，隐藏的比较深，如下三种形式： 1. 距离型。多是借助距离公式（平方和形式），如这种形式。可以处理为（a，b）与（c，d）两点的距离的平方。 2. 分式型，多为斜率公式。 带绝对值型，可以用点到直线距离公式来凑配转化 【典例1-1】 （18-19高三·湖南长沙·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设是曲线的点，是直线的点，可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方，通过求函数到直线的最小距离，即可得到本题答案. 【详解】由题，得， 设是曲线的点，是直线的点， 可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方， 对求导得，令，得， 所以曲线C上的点到直线l的距离最小， 该点到直线l的距离为， 因此的最小值为. 故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用. 【典例1-2】 （18-19高二下·山西·阶段练习）已知，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可化为，故得．令，，则表示直线上的点与曲线上的点的最小距离的平方．利用导数的几何意义求出切点，再利用点到直线的距离公式即可得出所求结论． 【详解】由题意，可化为，故得． 令，则表示直线上的点与曲线上的点的最小距离的平方． 设直线与曲线相切于点，不妨取．∵， ∴，解得．∴切点为，∴，解得， ∴切点到直线的距离，∴的最小值为． 故选B． 【变式1-1】 （24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】设，把问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，再利用导数的几何意义求解即可； 【详解】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ，所以的最小值为.故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值. 【变式1-2】 （23-24高二下·浙江·期中）已知实数，且函数，则函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和，其中点在曲线上，点在抛物线上，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】由题意得，设，，则点在曲线上，点在抛物线上，的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和． 设抛物线的焦点为，则由抛物线的定义知，所以， 所以 问题转化为求曲线上的点到点 的距离的最小值，设曲线上的点，到点的距离最小，则与曲线在点处的切线垂直，即，所以， 作出函数与函数的图象，如图所示： 由图象知，两函数图象只有一个交点，所以方程的解为，则． 所以，所以函数的最小值为．故答案为：． 【点睛】关键点点睛：将看作是，两点间距离与点到轴的距离之和，利用抛物线的性质求解. 【变式1-3】 （21-22高二下·江西宜春·期末）若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知点在曲线上.点在曲线上.由的最小值的几何意义就是曲线到曲线上点的距离的最小值.设出切点由斜率为，即可求出切点，利用点到直线的距离即可求出最值. 【详解】因为所以.所以点在曲线上.点在曲线上. 的最小值的几何意义就是曲线到曲线上点的距离的最小值. 等价于曲线平行于的切线到曲线的距离. 设切点为,,则或（舍） 所以，切点.该点到直线的距离为：. 所以的最小值为.故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线上的点到直线的距离的最值.考查了转化与化归思想.属于难题.其中的几何意义为点到点的距离是解本题的关键. 题型09 切线法：切线逼近整数解 【解题规律·提分快招】 对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。 转化目标： 1. 一侧是可求导画图的函数 2. 一侧是含参型动直线。 3. 通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围 4. 要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。 【典例1-1】 （2023·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将不等式等价转化为恰有3个整数解．利用导数研究函数的性质并画出草图，结合图形列出关于a的不等式组，解之即可. 【详解】函数的定义域为． 由，得，则不等式恰有3个整数解． 设，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，又，所以当时，，当时，， 易知的图象恒过点， 在同一直角坐标系中，分别作出与函数的图象，如图所示． 由图象可知，要使不等式恰有3个整数解， 则，解得，故选：A． 【典例1-2】 （22-23高二下·山东·阶段练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】原不等式等价于，设， ，然后转化为函数的交点结合图像可求. 【详解】原不等式等价于，设，， 所以，得．当时，，所以在上单调递增，当时，， 所以在上单调递减，当时，取极大值.又，且时，， 因此与的图像如下，直线恒过点. 当时，显然不满足条件； 当时，若1，2为不等式的解，只需要满足，即，解得； 当的切线过点时，设切点为， 则切线方程为，该直线过点，， 解得，若是原不等式的解，则，解得； 综上k的取值范围为故选：A. 【变式1-1】 （21-22高三下·山东德州·阶段练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】原不等式等价于，，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求. 【详解】原不等式等价于，， 设，，所以，得． 当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减， 又，且时，，因此与的图象如下， 当时，显然不满足条件， 当时，若0，1是不等式的解，只需要满足，即，解得． 当的切线过点时，设切点为， 则切线方程为，该直线过点，，解得， 若是原不等式的解，则，解得； 所以k的范围为.故选：D． 【变式1-2】 （2021·安徽淮北·二模）若关于的不等式有且只有两个整数解，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原不等式可化简为，设，，作出函数的图象，由图象可知函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线，进而求得答案． 【详解】解：原不等式可化简为，设，， 由得，，易知函数在单调递减，在单调递增， 作出的图象如下图所示， 而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有两个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），又，， ∴，，∴， ∴．故选：C． 【变式1-3】 （17-18高二下·福建·期中）设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得的范围，得到答案． 【详解】由题意，函数的定义域为， 不等式，即，即， 两边除以，可得，又由直线恒过定点， 若不等式恰有两个整数解，即函数图象有2个横坐标为整数的点落在直线的上方，由图象可知，这2个点为，可得， 即，解得，即实数的取值范围是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 题型10 公切线：求公切线方程 【解题规律·提分快招】 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切， 然后分别设切点，求对应的切线，两条切线再用待定系数法求切点坐标或者对应关系。 【典例1-1】 （23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为，且导数为， 所以切斜方程为既为，也为，所以， 且，所以， 所以或，所以公切线的斜率为或.故选：C. 【典例1-2】 （23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线与曲线和的切点分别为和，由公切线得到方程解出切点坐标，计算求解即可. 【详解】由，得，由，得. 设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则，故.又，解得，所以直线过点，斜率为1， 即直线的方程为.故选：A 【变式1-1】 （23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设是图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，， 所以在点处的切线方程为，即① 令，解得， 即直线与曲线的切点为， 所以，即，解得或， 当时，①为，不符合题意，舍去， 所以，此时①可化为，所以，故选：A 【变式1-2】 （22-23高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求出，，由点、点在切线上，得切线方程，进而即得. 【详解】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，，所以，， 由点在切线上，得切线方程为； 由点在切线上，得切线方程为，故，解得，，故.故选：B. 【变式1-3】 （22-23高三上·湖南·开学考试）若直线是曲线与的公切线，则（    ） A． B．1 C． D．2022 【答案】A 【分析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求出，，由点、点在切线上，得切线方程，联立切线方程可得答案.. 【详解】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，，所以，， 由点在切线上，得切线方程为； 由点在切线上，得切线方程为， 故，解得，故.故选：A. 题型11公切线：公切线求参数 【解题规律·提分快招】 公切线求参 属于属性集合题型。利用数形结合求方程解应注意两点 1．讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解． 2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 【典例1-1】 （20-21高二下·安徽合肥·期中）函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．2 【答案】C 【分析】根据导数得出函数与抛物线在点处的切线的斜率，根据已知两切线相同即可得出答案. 【详解】，则，则在点处的切线的斜率为， ，则，则在点处的切线的斜率为， 函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线， 则，即， 故选：C. 【典例1-2】 （2018·广西桂林·二模）若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到，则有解．再利用导数进一步求得的取值范围． 【详解】在点的切线斜率为，在点的切线斜率为， 如果两个曲线存在公共切线，那么：．又由斜率公式得到，， 由此得到， 则有解，由，的图象有公共点即可．当直线与曲线相切时，设切点为，则，且，可得即有切点，，故的取值范围是：．故选:. 【变式1-1】 （19-20高二下·天津滨海新·阶段练习）直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围. 【详解】设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：； 设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：，则两曲线的公切线应该满足：，构造函数, 当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数有最大值为：，当时，，当，，函数的图象大致如下图所示： 要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为.故选：C 【变式1-2】 （23-24高二下·天津和平·阶段练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为 【答案】 【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值. 【详解】由题意得，，．设公切线与的图象切于点， 与的图象切于点，∴， ∴，∴，∴，∴． 设，则，∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，∴实数的最大值为，故答案为：. 【变式1-3】 （2017·重庆·一模）函数和有相同的公切线，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a的范围． 【详解】解：两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线， y＝x2﹣1的导数y′＝2x，y＝alnx﹣1的导数为y′， 设y＝x2﹣1相切的切点为（n，n2﹣1）与曲线y＝alnx﹣1相切的切点为（m，alnm﹣1）， y﹣（n2﹣1）＝2n（x﹣n），即y＝2nx﹣n2﹣1，y﹣（alnm﹣1）（x﹣m），即：y∴∴，∴ 即有解即可，令g（x）＝x2（1﹣lnx），y′＝2x（1﹣lnx）x（1﹣2lnx）＝0，可得x，∴g（x）在（0，）是增函数；（，+∞）是减函数， g（x）的最大值为：g（），又g（0）＝0，∴，∴a≤2e． 故答案为（﹣∞，2e]． 题型12 基础思维压轴小题 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构建，，分析可知与有2个不同的交点，分类讨论的大小关系，根据切线以及图象分析交点即可. 【详解】若，令，即，整理可得，解得，可知只有1个零点0，不合题意，所以， 令，可得， 令，解得或；令，解得或； 由题意可知：与有2个不同的交点，1.若，则，当时，可知， 此时或无意义，与必然没有交点， 所以只需要研究即可.（1）当，即时，对于可知， 则的定义域为，如图所示：由图象可知：与的交点不止2个，不合题意； （2）当，即时，则，①当时， 因为，且， 因为在上单调递增，则， 可得， 即，可得则， 即，可知与没有交点； ②当时，，则，且，则， 若，解得，此时结合图象可知：与没有交点； 若，解得，此时结合图象可知：与有1个交点； （3）当，即，此时结合图象可知：与有2个交点； 对应的图象如图所示， 说明：考虑到定义域问题，若，只作部分图象， 因为与必有一个交点为坐标原点， 可知当时，与有且仅有一个交点， 结合图象可知：若与有2个不同的交点，则或； 2.若时，令，即 则 ， 此时与等价，当且仅当或，即或时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为.故答案为：. 【典例1-2】 （24-25高三上·江西赣州·期中）已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】依题意求出的反函数，将“可测距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果. 【详解】由函数可得，即， 所以的反函数为. 由点在曲线上，可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离，即，利用反函数性质可得与关于对称，所以当与垂直时，取得最小值为4， 因此两点到的距离都为2.过点作切线平行于直线，斜率为1，由，得，可得，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用反函数性质将“可测距离”问题转化为互为反函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 【变式1-1】 （24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，求出时，过原点且与相切的切线斜率，以及 过原点且与相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，即可求解. 【详解】当时，过原点作的切线。设切点， 则切线方程为，又切线过点，所以，所以，设，则， 故为增函数，且，所以，当时，过原点作的切线， 设切点，则切线为，又切线过点， 所以，又，因为，所以两切线垂直，所以，即， 故答案为：. 【变式1-2】 （2024·山东济宁·一模）已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】原式转化为判断的交点问题，分和两种情况讨论结合指对函数对称性，导数的几何意义进而得解. 【详解】令得，即，令， 当时，即时，若两函数有且仅有一交点， 由指数函数和对数函数特征可判断此交点必定落在这条直线上，且该点为两函数的公切点， 设切点为，则，则有，即，解得， 由得，，所以，解得，即，，即，； 当时，即时，由指数函数和对数函数特征可判断与要有公切点， 此切点必定落在这条直线上，设切点为，， 则有，即，解得，由得， 所以，解得，即，，即，； 由指数函数和对数函数特征可知：当时，与有3个交点； 当时，与有1个交点；故时，即时，时，与有一交点.   故答案为： 【点睛】关键点点睛：当指对函数底数在时，图象难以表示出来，对于后续处理难度较大，题干信息相对较少，解题时能挖掘出指对函数的对称性，由导数的几何意义确定斜率值是解题关键，重点考查了分类讨论思想，函数与导数综合解决零点问题，值得深入研究！ 【变式1-3】 （21-22高二下·山东菏泽·期末）若关于的方程无解，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为无解，构造，，利用导函数求解的单调性和极值，最值情况，再同一坐标系下画出，的图象，从而得到当斜率位于两切线之间时，两函数无交点，即方程无解，设出切点，求出两切线斜率，从而求出实数的范围. 【详解】无解， 当时，此时只需即可，所以时，方程有解，舍去； 即，则方程可化为无解，令，则， 当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立，在处取得极大值，也是最大值，， 令，为过点的直线，画出与的图象如下： 求出与相切的两切线，当斜率位于两切线之间时，两函数无交点，即方程无解，设切点为，则，解得：或，当时，，此时；当时，，解得：，故实数的范围为故答案为： 冲高考 1．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知函数，关于的不等式的解集为，其中，为常数.给出下列四个结论： ①直线是曲线的一条切线； ②； ③当时，的取值范围是； ④要使取唯一的值，仅当. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】. 【分析】由分类讨论去掉原函数绝对值，再求切线方程；比较大小；时的取值范围；取唯一的值，讨论求得的取值范围即可. 【详解】对于①，当时，，则，令，解得：（舍）； 当时，，则，令，解得：，又， 所以的斜率为的切线方程为：，即，故正确； 对于②，当时，，所以， 所以，所以，故②错； 对于③，当时，由，得，若，则； 若，则，因为表示上任意一点与连线斜率， 此时，不妨取，所以；若，则， 因为表示上任意一点与连线斜率，所以； 综上所述：的取值范围为，故正确； 对于④，当时，恒成立；若， 当时，由，得， 因为表示上任意一点与连线的斜率， 所以，所以，当时，由，得， 所以，所以，所以，此时有唯一解； 当时，由③知：，不合题意； 当时，若时，由，得， 因为，所以， 若，由，得，因为，所以， 所以当时，无解； 综上所述：仅当时，取唯一的值，故正确. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：进行参变量分离，分类讨论研究有唯一解进而解出的取值范围. 2．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）已知过点不可能作曲线的切线.对于满足上述条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】首先求曲线在点处的切线方程，并转化为直线与函数的图象没有公共点，利用导数分析函数的图象，并求出的取值范围，再将函数的极值点问题，转化为恒有两个不同的变号零点，再利用换元，转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数分析函数的图象和性质，即可求解. 【详解】设是曲线上的任意一点，，所以在点处的切线方程为，代入点得， 由于过点不可能作曲线的切线，则直线与函数的图象没有公共点， 令，则，所以函数在区间上导数大于零，函数单调递增；在区间上导数小于零，函数单调递减， 所以当时，函数取得极大值也即是最大值，则. 对于满足此条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点， 等价于恒有两个不同的变号零点，等价于方程有两个不同的解，令，则，即直线与函数的图象有两个不同的交点.记，则，记，则，时，，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，令，得. 当时，，时，，当时，， 所以在和上单调递减，上单调递增， 并且当时，，，，所以. 所以.因为，所以，所以. 即实数的最大值为.故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题有2个关键点，一个关键点是转化为与函数的图象没有公共点，第二部关键点是利用换元构造并分离出常数，转化为函数图象的交点问题. 3．（2024·海南海口·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与交于两点.过两点分别作的切线，设两条切线交于点，线段的中点为.若，则 ；面积的最小值为 . 【答案】 4 4 【分析】第一空求出抛物线焦点，直曲联立，再结合导数的几何意义解出两直线方程，求出两点坐标，最后求出距离；第二空设出，结合导数意义写出直线方程，再求出点，结合韦达定理求出弦长，再由点到直线的距离求出d，最后求出面积的最小值. 【详解】因为抛物线的焦点在直线上， 所以，所以抛物线，当时，直线为， 联立，解得，，解得：或， 所以线段的中点为，又因为， 联立直线方程可得，解得，所以. 设，由得，，，直线的方程为，即，①同理直线的方程为，② 由消y得，，由①-②得， 而，故有，由①+②得， 即点，， 点到直线的距离，，， 当，即时，有最小值4.故答案为：4；4. 【点睛】关键点睛：本题关键在于用韦达定理求出弦长，再用交点到直线的距离求出d. 4．（2023·河北沧州·模拟预测）若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质.若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三角函数辅助角公式和将函数解析式中的，消去，再求出函数导数，根据题意利用导数列式表示出性质，将式子展开后把等式当作一个关于的方程的有解问题，根据一元二次方程有解条件化简等式求解出a值，再根据将，换元为三角函数形式代入求解出实数的取值范围即可. 【详解】由题意可得，.于是，.设切点分别为，，则由函数具有性质，可得，即，整理得， 将上式视为关于的方程，则其判别式： ， 即，注意到， ，则，故，此时或，代入方程可得，因此，. 另一方面，由，可设，，其中， 则，即.因此，. 故答案为：. 5．（22-23高三上·江苏苏州·阶段练习）若过点可以作出3条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设出切点，利用导数求出切线斜率，写出切线方程，将点代入切线方程，分离得到：，将问题转化为此方程有3个根，然后构造两个新函数和，又将问题转化为两个函数有3个交点，然后可借助导数将这两个函数的图象表达出来，从而发现满足条件的的范围. 【详解】设过的直线与切于，，， ∴的切线方程为，∵切线过，∴， 问题转化为此方程有3个不等的实根，令，，即与有3个不同的交点，，令，则有或，，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，，单调递减，此时恒成立；作出的大致图象，入下图所示： 要使与有3个不同的交点，则即可， ∴的取值范围为：．故答案为：． 6．（21-22高三下·湖南·阶段练习）已知函数（，e为自然对数的底数，e =2.71828…）．当a=1时，函数在点P（1，）处的切线方程为 ；若，，则实数a的最大值为 ． 【答案】 e 【分析】求导，代入求出，用点斜式求出切线方程；（2）对函数变形，利用同构及函数单调性得到，参变分离构造新函数，通过其单调性求出极值，最值，进而求出实数a的最大值. 【详解】由题意当时，，，则，，所以函数在点处的切线方程为．因为，即，则，令，故，在上恒成立，故在上单调递减，故，得，即，记，则，当时，，当时，，故函数在单调递减，在单调递增，故的最小值是，故，即实数a的最大值是． 故答案为：， 【点睛】同构是一种很重要的方法，特别是函数中同时出现了指数函数与对数函数，往往可以有很好的效果. 7．（21-22高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知，若存在实数使不等式成立，则m的最大值为 ． 【答案】 【分析】画出和的图象，结合图象可知，取得最大值时，与相切，利用导数的几何意义得答案. 【详解】依题意，存在实数使不等式成立， ，， 令，则存在实数使不等式，成立.和的图象如下图所示，结合图象可知，取得最大值时，与相切，由于和关于直线对称，所以取得最大值时，与相切于直线（切点相同），如图所示. ，设切点为，则斜率为①. ，设切点为，则斜率，则，， 将代入①得，即， 所以故答案为： 8．（2021·全国·模拟预测）若函数与函数存在经过点（1，0）的公切线，则实数的值为 ，公切线恒在函数图象的上方，则整数的最大值是 ． 【答案】 2 -3 【分析】设与切线的切点为，由导数的几何意义可得为切线的斜率，列方程求，设切线与曲线相切与点，由导数的几何意义可求切点坐标，由此可求m.由恒在函数图象上方可得恒成立，即，利用导数求的最小值，由此可得的范围. 【详解】设与切线的切点为， 则函数在处的切线的方程为，即． ∵直线经过点（1，0）．∴，令，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减． 又，∴，故切线的方程为．由得，，∴，解得．∵恒在函数图象上方，∴，即恒成立． 令，则，当时，； 当时，，当时，， 故在为减函数，在为增函数，在为减函数， 而当时，，又，∴，故满足条件的整数的最大值为-3． 故答案为：2，-3 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f( x) min. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05导数基础思维核心应用 目录 题型01 计算思维 1 题型02 定义思维 2 题型03 切线法基础：过点切线思维---2单3空 3 题型04 切线法：“过点”切线条数思维---4单1空 5 题型05 切线法：“过点”切线条数求参思维---3单2空 5 题型06 切线法：切线逼近求零点思维--5单 6 题型07 切线法：切线分界求参思维--4单 7 题型08 切线法：数形结合公式思维 8 题型09 切线法：切线逼近整数解 9 题型10 公切线：求公切线方程 10 题型11公切线：公切线求参数---3单2空 11 题型12 基础思维压轴小题---5空 12 题型01 计算思维 【解题规律·提分快招】 导数计算技巧： 1. 任何导数值，都是具体的数，求导时候，可以作为常数对待。 2. 复杂函数求导，可以利用整体代换法来换元对待。 【典例1-1】 （2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，若函数，则（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）已知函数的导数为，且，则（    ） A． B．1 C．1 D．e 【变式1-1】 （23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知函数，求（    ） A．0 B． C． D．120 【变式1-3】 （23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数，则（    ） A．11520 B．23040 C．11520 D．23040 题型02 定义思维 【解题规律·提分快招】 导数的几何意义，在实际做题思维中，有两个方向： 1. 导数就是切线斜率。需要注意的是原函数增减，不仅仅对应着导函数正负，还要适当的对比，原函数的上凸下凹，还对应着导函数函数值的绝对值大小，可以适当借鉴物理学中的加速度来让学生理解。 2. 导函数作为切线斜率，还要用极限思想，对应着割线的斜率。注意对应的极限逼近数值逼近思维。 【典例1-1】 （20-21高二下·陕西西安·期中）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【典例1-2】 （20-21高二下·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （20-21高二下·天津南开·期中）已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （高二下·河南鹤壁·阶段练习）如图，函数的图象在P点处的切线方程是,若点的横坐标是5，则 (　　) A． B．1 C．2 D．0 【变式1-3】 （24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03 切线法基础：过点切线思维 【解题规律·提分快招】 求“过点”型，如下图， 求导过程与计算如下，切线条数判断经验型标准：有几个切点，即有几条切线 【典例1-1】 （24-25高三上·天津武清·阶段练习）若直线 与曲线 相切，则 （    ） A． B． C． D．4 【典例1-2】 （2020高三·全国·专题练习）已知曲线C：，若过曲线C外一点引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式1-1】 （23-24高二下·安徽滁州·期末）过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为 . 【变式1-2】 （22-23高三上·山西·阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为 ． 【变式1-3】 （2023·云南大理·模拟预测）过点作曲线的切线，则切线方程是 ． 题型04 切线法：“过点”切线条数思维 【解题规律·提分快招】 【典例1-1】 （20-21高二下·天津蓟州·期中）函数的斜率等于1的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 【典例1-2】 （2025届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）曲线过点的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】 （21-22高二下·天津南开·期中）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】 （24-25高二上·山西·期末）经过点所作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式1-3】 （19-20高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，则过点可以作出 条图象的切线. 题型05 切线法：“过点”切线条数求参思维 【解题规律·提分快招】 “过点”型切线条数求参，有如下几个方向： 1. 如果有可能，可以简单求导画出图像，根据图像凸凹情况“目测”型判断（但易误判） 2. 可以采取“参变分离”方法，转化为水平线与函数图像交点求最值（极值）型 3. 可以采取求导分类讨论型求解，此时要注意一些题型会有可能需要处理“隐零点”的转化。 【典例1-1】 （2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （17-18高二上·江西南昌·期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线， 则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】 （2022·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2023·重庆沙坪坝·模拟预测）过点可作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 【变式1-3】 （2020高三·全国·专题练习）若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围为 题型06 切线法：切线逼近求零点思维 【解题规律·提分快招】 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 【典例1-1】 （23-24高三上·天津·期中）已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高二下·天津河西·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （22-23高二下·天津武清·期中）已知函数，点M、N是函数图像上不同的两个点，设O为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （21-22高二下·天津·期末）已知函数满足函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2022·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07 切线法：切线分界求参思维 【解题规律·提分快招】 涉及到交点个数题型，可以有三个思路： 1. 全部移项到一侧，含参型，分类讨论，这是属于“小题大做”型，思维简单，讨论参数时较麻烦。 2. 可以采取“参变分离”，转化为不含参函数图像，以及含参的“水平线”法来解决交点个数问题，必要时候，可以用“洛必达”法则来处理“断点”型函数值不存在的问题。 3. 特殊技巧，就是“分涵”，分离函数来处理，分离函数型，多分离成为不含参的曲线，与含参的直线型，此时求交点来判断，要注意的是，含参直线，多有“含参直线过定点”这个特殊性质，也就是参数起到了“旋转”直线的动态过程。 【典例1-1】 （23-24高二下·天津滨海新·期中）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧. 如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有. 该结论可通过构造函数并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（   ） ①； ②； ③； ④. A．个 B．个 C．个 D．个 【典例1-2】 （21-22高二下·天津南开·期中）已知函数，若恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2019·天津·三模）已知函数 若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【变式1-2】 （21-22高三下·全国·阶段练习）已知函数，若，且仅有1个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （17-18高三上·天津·阶段练习）已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 题型08 切线法：数形结合公式思维 【解题规律·提分快招】 高中数学有“三大几何意义”型公式，隐藏的比较深，如下三种形式： 1. 距离型。多是借助距离公式（平方和形式），如这种形式。可以处理为（a，b）与（c，d）两点的距离的平方。 2. 分式型，多为斜率公式。 带绝对值型，可以用点到直线距离公式来凑配转化 【典例1-1】 （18-19高三·湖南长沙·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （18-19高二下·山西·阶段练习）已知，则的最小值为 A． B． C． D． 【变式1-1】 （24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 【变式1-2】 （23-24高二下·浙江·期中）已知实数，且函数，则函数的最小值为 ． 【变式1-3】 （21-22高二下·江西宜春·期末）若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ． 题型09 切线法：切线逼近整数解 【解题规律·提分快招】 对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。 转化目标： 1. 一侧是可求导画图的函数 2. 一侧是含参型动直线。 3. 通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围 4. 要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。 【典例1-1】 （2023·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高二下·山东·阶段练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【变式1-1】 （21-22高三下·山东德州·阶段练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【变式1-2】 （2021·安徽淮北·二模）若关于的不等式有且只有两个整数解，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （17-18高二下·福建·期中）设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 题型10 公切线：求公切线方程 【解题规律·提分快招】 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切， 然后分别设切点，求对应的切线，两条切线再用待定系数法求切点坐标或者对应关系。 【典例1-1】 （23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例1-2】 （23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】 （22-23高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （22-23高三上·湖南·开学考试）若直线是曲线与的公切线，则（    ） A． B．1 C． D．2022 题型11公切线：公切线求参数 【解题规律·提分快招】 公切线求参 属于属性集合题型。利用数形结合求方程解应注意两点 1．讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解． 2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 【典例1-1】 （20-21高二下·安徽合肥·期中）函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．2 【典例1-2】 （2018·广西桂林·二模）若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （19-20高二下·天津滨海新·阶段练习）直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高二下·天津和平·阶段练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为 【变式1-3】 （2017·重庆·一模）函数和有相同的公切线，则实数a的取值范围为 ． 题型12 基础思维压轴小题 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【典例1-2】 （24-25高三上·江西赣州·期中）已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为 . 【变式1-1】 （24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则 . 【变式1-2】 （2024·山东济宁·一模）已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为 ． 【变式1-3】 （21-22高二下·山东菏泽·期末）若关于的方程无解，则实数的范围为 . 冲高考 1．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知函数，关于的不等式的解集为，其中，为常数.给出下列四个结论： ①直线是曲线的一条切线； ②； ③当时，的取值范围是； ④要使取唯一的值，仅当. 其中，所有正确结论的序号是 . 2．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）已知过点不可能作曲线的切线.对于满足上述条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，则的最大值为 . 3．（2024·海南海口·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与交于两点.过两点分别作的切线，设两条切线交于点，线段的中点为.若，则 ；面积的最小值为 . 4．（2023·河北沧州·模拟预测）若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质.若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是 . 5．（22-23高三上·江苏苏州·阶段练习）若过点可以作出3条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 ． 6．（21-22高三下·湖南·阶段练习）已知函数（，e为自然对数的底数，e =2.71828…）．当a=1时，函数在点P（1，）处的切线方程为 ；若，，则实数a的最大值为 ． 7．（21-22高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知，若存在实数使不等式成立，则m的最大值为 ． 8．（2021·全国·模拟预测）若函数与函数存在经过点（1，0）的公切线，则实数的值为 ，公切线恒在函数图象的上方，则整数的最大值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$