第二单元专题01 三角形的内角和问题-2024-2025学年四年级下册数学重难易错专项突破（北师大版）

2024-2025学年四年级下册数学重难易错专项突破 第二单元专题01 三角形的内角和问题 答案解析 一、填空题 1．在一个三角形中，有一个角是91°，按角分，这是( )角三角形。在一个直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是( )°。 【正确答案】钝 55 【解题思路】钝角大于90°小于180°，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三角形内角和是180°，直角三角形有一个角是90°，用180°－90°－35°即可求出另一个锐角的度数。 【规范解答】90°＜91°＜180° 180°－90°－35°＝90°－35°＝55° 在一个三角形中，有一个角是91°，按角分，这是钝角三角形。在一个直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是55°。 2．一个三角形中，已知有两个角的和是80°，按角分，这是( )角三角形。一个三角形，有两个角分别是40°，70°，第三个角是( )°，按角分，这是( )角三角形，按边分，这是( )三角形。 【正确答案】钝 70 锐 等腰 【解题思路】三角形的内角和为180°，已知其中的两个角，可以用减法算出第三个角的度数；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；等腰三角形的两个底角相等。据此解答。 【规范解答】180°－80°＝100°，100°是钝角，所以这是一个钝角三角形。 180°－40°－70°＝140°－70°＝70°。40°、70°、70°的三个角都是锐角，所以这是一个锐角三角形。其中，70°＝70°，所以这还是一个等腰三角形。 一个三角形中，已知有两个角的和是80°，按角分，这是钝角三角形。一个三角形，有两个角分别是40°，70°，第三个角是70°，按角分，这是锐角三角形，按边分，这是等腰三角形。 3．在一个直角三角形中，有一个角是30°，另一个角是( )°；一个等腰三角形的底角是55°，它的顶角是( )°。 【正确答案】60 70 【解题思路】根据三角形的内角和是180°，用“180°－90°＝90°”求出直角三角形的另外两个内角的度数和，然后根据给出的一个锐角的度数，求出另外一个内角的度数； 因为等腰三角形的两个底角的度数相等，知道了一个底角的度数，就等于知道了另一个底角的度数，再依据三角形的内角和是180°，从而可以求出顶角的度数。 【规范解答】180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° 180°－55°×2 ＝180°－110° ＝70° 在一个直角三角形中，有一个角是30°，另一个角是60°；一个等腰三角形的底角是55°，它的顶角是70°。 4．在一个三角形中，如果两个内角之和是80°，这个三角形是( )三角形；如果两个内角之和等于另一个内角，这个三角形是( )三角形。 【正确答案】钝角 直角 【解题思路】（1）三角形的内角和是180°，已知这个三角形的两个内角的和是80°，用180°减去80°，求出第三个角的度数，再根据三角形按角进行分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形进行分类即可； （2）根据三角形的内角和是180°，可知两个内角之和等于另一个内角，则另一个内角是180°的一半，所以用180°除以2求出另一个内角，再判断三角形的类型。 【规范解答】180°－80°＝100° 100°是钝角，所以这个三角形是钝角三角形； 180°÷2＝90° 90°是直角，所以，如果两个内角之和等于另一个内角，这个三角形是直角三角形。 5．把一个三角形分成两个相同的三角形，分成的每个三角形的内角和是( )°，用一个放大镜10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是( )°。 【正确答案】180 180 【解题思路】根据任意一个三角形的内角和是180°，只要分的图形是三角形，那么它的内角和就不会改变，永远是180°； 用放大镜放大一个三角形，三角形的边长变长了，但是每个角度的大小都没变内角和也不会变；角的大小只与两边张开的大小有关，与两边长度无关。 【规范解答】一个三角形分成两个相同的三角形，分成的每个三角形的内角和是180°，用一个放大镜10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是180°。 6．在一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的3倍，这个三角形是( )三角形。（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【正确答案】钝角 【解题思路】把另外两个内角的度数之和看成是1份，根据一个内角的度数等于另外两个内角的和的3倍，那么这个三角形的内角度数之和就是4份，再根据三角形的内角度数之和等于180°，可求出另外两个内角度数之和为180°÷4＝45°，进而可求出最大的内角是45°×3＝135°。有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形，据此解答。 【规范解答】180°÷4×3 ＝45°×3 ＝135° 则三角形中较大角的度数是135°，这个三角形是钝角三角形。 【考察方向】明确三角形内角和为180°是解决本题的关键。 7．如下图。，那么∠1＝( )，∠( )。    【正确答案】30° 60° 【解题思路】 如上图：∠3与120°组成一个平角，180°减120°即可求出∠3的度数； ∠1加上∠3加上90°等于180°，用180°减去90°再减去∠3，求出∠1； 因为AB＝AC，根据等腰三角形的特征，所以∠B等于∠3，用180°减去2个∠3，求出∠2。 【规范解答】180°－120°＝60° ∠1＝180°－90°－60° ＝90°－60° ＝30° ∠2＝180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° 【考察方向】1平角＝180°，三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等。 8．如图所示，把一个三角形的三个角撕下来，然后拼在一起，就可以看到∠1，∠2，∠3正好可以组成一个( )角，即( )°。 【正确答案】平 180 【解题思路】把一个三角形的三个角撕下来，然后拼在一起，三个角的度数和就是三角形的内角和。三角形的内角和等于180°。 【规范解答】如图所示，把一个三角形的三个角撕下来，然后拼在一起，就可以看到∠1，∠2，∠3正好可以组成一个（平）角，即（180）°。 【考察方向】此题考查的是三角形的内角和的探索。 9．下面是3块三角形玻璃打碎后分别留下的碎片，请你根据图中的信息判断他们原来分别是什么三角形？（按角分） ( )三角形          ( )三角形       ( )三角形 【正确答案】锐角 直角 钝角 【解题思路】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。三角形的内角和是180°，用180°减去45°再减去55°，算出第三个角的度数再判断；用180°减去50°再减去25°，算出第三个角的度数再判断。 【规范解答】180°－45°－55° ＝135°－55° ＝80° 是锐角三角形； 是直角三角形； 180°－50°－25° ＝130°－25° ＝105° 是钝角三角形。 【考察方向】熟记三角形的内角和是180°和三角形的分类方法是解题关键。 10．小刚的一张A4纸放在书包里不小心被折起一个角，如图所示，被折的这个三角形是( )三角形，如果∠1＝35°，那么∠2＝( )°。 【正确答案】直角 70 【解题思路】锐角大于0小于 90°、直角等于90°、钝角大于90°小于180°。锐角三角形是指三角形的三个内角都是锐角的三角形，直角三角形是指有一个角为90°的三角形，钝角三角形是指三角形中有一个角是钝角的三角形。 A4纸为长方形，所以被折的这个三角形中有一个直角，那么被折的这个三角形是直角三角形。将所折的角标上∠3和∠4，如图：，观察图可以发现，∠3和∠4是相等的，三角形的内角和为180°，用180°依次减去∠1和90°，即可求出∠3，平角为180°，又因为∠2、∠3和∠4组成平角，用180°依次减去∠3和∠4，即可求出∠2，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知，被折的这个三角形是直角三角形。 如图： ∠3＝∠4 ∠3： 180°－90°－35°＝55° ∠2： 180°－55°－55°＝70° 所以如果∠1＝35°，那么∠2＝70°。 11．已知一个等腰三角形，如果它的一个底角是30°，它的顶角是( )。如果它的顶角是30°，它的一个底角是( )。 【正确答案】120°/120度 75°/75度 【解题思路】因为等腰三角形的两个底角的度数相等，再依据三角形的内角和是180°，用180°减去两个底角的度数，即可求出顶角的度数； 根据三角形内角和等于180°，用“180°－30°＝150°”求出它的两个底角的度数和，又因它是一个等腰三角形，所以它的两个底角的度数相等，用“150°÷2＝75°”，即可求得它底角的度数。 【规范解答】180°－30°×2 ＝180°－60° ＝120° （180°－30°）÷2 ＝150°÷2 ＝75° 已知一个等腰三角形，如果它的一个底角是30°，它的顶角是120°。如果它的顶角是30°，它的一个底角是75°。 12．李叔叔工地上有一个三角形铁架，量得其中两个内角分别是68°和56°，那么另外一个内角的度数是( )°。如果按角分，它是一个( )三角形，如果按边分，它是一个( )三角形。 【正确答案】56 锐角 等腰 【解题思路】三角形内角和为180°，用180°减去两个已知角的度数即可求出另外一个角的度数；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此判断是什么三角形即可；两个底角相等的三角形是等腰三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，据此判断是什么三角形即可。 【规范解答】180°－68°－56° ＝112°－56° ＝56° 68°＜90°，56°＜90°，56°＜90° 李叔叔工地上有一个三角形铁架，量得其中两个内角分别是68°和56°，那么另外一个内角的度数是56°。如果按角分，它是一个锐角三角形，如果按边分，它是一个等腰三角形。 13．在体育运动中，三角形的稳定性发挥了重要作用，一个三角形两内角之和等于90°，这个三角形一定是( )三角形。 【正确答案】直角 【解题思路】三角形的内角和是180°，已知这个三角形的两个内角的和是90°，用180°减去90°，求出第三个角的度数； 三角形按角进行分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；据此即可解答。 【规范解答】180°－90°＝90° 90°是直角，所以这个三角形一定是直角三角形。 14．如图：一张三角形纸片被撕去一个角，撕去的角是( )°，原来这张纸片的形状是( )角三角形。 【正确答案】98 钝 【解题思路】三角形的内角和为180°，用180°依次减去47°和35°，计算出被撕去的角的度数；锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；据此解答。 【规范解答】根据分析： 180°－47°－35°＝98° 所以一张三角形纸片被撕去一个角，撕去的角是98°；98°为钝角，47°和35°为锐角，所以原来这张纸片的形状是钝角三角形。 15．把一张长方形纸折起一个角后（如图）得到一个三角形，已知∠1＝48°，那么∠2＝( )，∠3＝( )。 【正确答案】42°/42度 96°/96度 【解题思路】 如图所示，∠1、∠2和∠5是三角形的三个内角，∠5＝90°。根据三角形的内角和为180°可知，∠2＝180°－90°－∠1。∠2＝∠4，∠2、∠3、∠4组成一个平角，则∠3＝180°－2×∠2，据此解题。 【规范解答】180°－90°－48° ＝90°－48° ＝42° 180°－2×42° ＝180°－84° ＝96° 把一张长方形纸折起一个角后（如图）得到一个三角形，已知∠1＝48°，那么∠2＝42，∠3＝96°。 二、计算题 16．计算下面三角形中∠1的度数。 【正确答案】∠1＝125° 【解题思路】三角形的内角和是180°，已知这个三角形中的两个内角分别是28°和27°，用180°减去这两个内角的度数，即可求出∠1的度数，据此列式解答。 【规范解答】∠1＝180°－28°－27° ＝152°－27° ＝125° 17．求∠A的度数。 （1）（2） 【正确答案】（1）105°；（2）63° 【解题思路】（1）已知三角形的三个内角和是，三个内角有两个已经知道，要求其中一个内角用减去已知的两个内角的度数即可。 （2）已知三角形的三个内角和是，直角三角形的直角是，要求其中一个内角用减去直角和另外1个已知的内角的度数即可。 【规范解答】（1） ＝ ＝ （2） ＝ ＝ 三、解答题 18．一个三角形中，两个较小角的度数和是80°，两个较大角的度数和是155°。这个三角形三个内角分别是多少度？ 【正确答案】25°；55°；100° 【解题思路】三角形的内角和为180°，根据中间角的度数＝两个较小角的度数和＋两个较大角的度数和－180°，列式计算可求出中间角的度数，用两个较小角的度数和减去中间角的度数，求出最小角，用两个较大角的度数和减去中间角的度数，求出最大角的度数，即可解答。 【规范解答】中间角的度数： 80°＋155°－180°＝55° 最小角： 80°－55°＝25° 最大角： 155°－55°＝100° 答：这个三角形三个内角分别是25°，55°，100°。 19．记者用相机记录了山西运动员的辉煌时刻，相机用三角支架支撑，与地面形成了等腰三角形，这个等腰三角形的一个角是70º，其他的两个角分别是多少度？ 【正确答案】70°、40°或55°、55° 【解题思路】等腰三角形有两个底角的度数相等，因此有两种情况：当70°是这个等腰三角形的底角时，则这个等腰三角形的另一个底角页是70°，则用三角形的内角和180°减去两个底角的和，即可求出三角形的第三个角的度数； 当70°是这个等腰三角形的顶角时，则用三角形的内角和180°减去顶角的度数再除以2，即可求出这个等腰三角形的底角的度数；据此解答。 【规范解答】当70°角是这个等腰三角形的底角时， 180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 当70°角是这个等腰三角形的顶角时，     （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55°   答：其他的两个角分别是70°、40°或55°、55°。 20．笑笑将任意一个四边形分成了两个三角形（如图），那么四边形的内角和是多少度？请写下你的想法。 【正确答案】360°；想法见详解 【解题思路】看图可知四边形分成了两个三角形，根据三角形内角和是180°用一个三角形内角和乘2，即可求出么四边形的内角和。据此解答即可。 【规范解答】180°×2＝360° 答：两个三角形的内角和就是四边形的内角和，四边形的内角和是360°。 21．在一个三角形中，第一个内角56°，第二个内角比第一个内角的2倍少18°，第三个内角是多少度？ 【正确答案】30° 【解题思路】根据题意，用第一个内角的度数乘2再减去18°，先求出第二个内角的度数，再根据三角形内角和是180°，用180°减去第一个、第二个内角的度数就是第三个内角的度数。 【规范解答】56°×2－18° ＝112°－18° ＝94° 180°－56°－94° ＝124°－94° ＝30° 答：第三个内角是30°。 22．一个等腰三角形的顶角是70°，它的一个底角是多少度？一个等腰三角形的底角是35°，它的顶角是多少度？ 【正确答案】55度；110度 【解题思路】等腰三角形特征：两底角相等，依据三角形内角和是180°，用180°减顶角度数后，再除以2求一个底角；用180°减2个底角的和求出顶角。 【规范解答】（180°－70°）÷2＝110°÷2＝55° 答：它的一个底角是55度。 180°－2×35°＝180－70°＝110° 答：它的顶角是110度。 23．一块三角形玻璃被打碎了一个角，被打碎的角是多少度？这个三角形是一个什么三角形？ 【正确答案】85度；锐角三角形 【解题思路】三角形的内角和是180°，已知其中的两个角，要求第三个角，用减法计算。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。据此解答。 【规范解答】180°－55°－40° ＝125°－40° ＝85° 因为三角形的三个角都小于90°，所以它是锐角三角形。 答：被打碎的角是85度，这个三角形是一个锐角三角形。 24．你知道下面各图中5个角的和是多少吗？ 【正确答案】540°；540° 【解题思路】根据题意，可以将两个图形分割成几个三角形，再根据三角形内角和为180°，用三角形的个数乘180°即可求出图中5个角的和是多少度。 【规范解答】如图： 180°×3＝540° 答：两个图中5个角的和都是540°。 25．正六边形作为中国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居配饰所用，如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等。如图，在古建筑中经常会看到这样的正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察，这个窗户的正六边形外框有（    ）条对称轴。 （2）请根据已有的经验，探究下面六边形的内角和，并把思考过程用自己喜欢的方式表示出来。（提示：可以画一画、算一算、写一写……） 【正确答案】（1）6 （2）720° 【解题思路】（1）这个六边形窗户的外框是轴对称图形，找出它的对称轴，要使对称轴左右两边的图形完全相同。可分别过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，或过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，画出它的对称轴； （2）一个三角形的内角和为180°，正六边形可被分成4个三角形，用180°×4，即可得到这个正六边形的内角和是多少度。 【规范解答】（1）过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条；过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条。因此这个六边形窗户的外框共有6条对称轴。 （2）180×4＝720° 因此这个正六边形的内角和是720°。 26．笑笑根据三角形的内角和是180°，用下面的方法得到六边形的内角和。 列式计算：180°×6－360°＝720° （1）结合图，想一想，180°×6求的是什么？_________。算式中减去的360°指的是什么？请在图中标出来。 （2）你还有其它方法得出这个六边形的内角和吗？请把你的方法在图中画出来，并写出计算过程。 【正确答案】（1）6个三角形的内角和； 如图： （2）如图： 180°×4＝720° 【解题思路】（1）六边形由中心点引6条辅助线，把六边形分割成6个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以180°×6求的是6个三角形的内角和；6个三角形中心角的和是周角，算式中减去的360°指的是6个三角形中心的角的和360°。 （2）把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知六边形的内角和等于180°×4＝720°。 【规范解答】（1）由分析可知，180°×6求的是6个三角形的内角和，算式中减去的360°指的是6个三角形中心的角的和360°。 （2）把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°， 180°×4＝720° 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四年级下册数学重难易错专项突破 第二单元专题01 三角形的内角和问题 一、填空题 1．在一个三角形中，有一个角是91°，按角分，这是( )角三角形。在一个直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是( )°。 2．一个三角形中，已知有两个角的和是80°，按角分，这是( )角三角形。一个三角形，有两个角分别是40°，70°，第三个角是( )°，按角分，这是( )角三角形，按边分，这是( )三角形。 3．在一个直角三角形中，有一个角是30°，另一个角是( )°；一个等腰三角形的底角是55°，它的顶角是( )°。 4．在一个三角形中，如果两个内角之和是80°，这个三角形是( )三角形；如果两个内角之和等于另一个内角，这个三角形是( )三角形。 5．把一个三角形分成两个相同的三角形，分成的每个三角形的内角和是( )°，用一个放大镜10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是( )°。 6．在一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的3倍，这个三角形是( )三角形。（填“锐角”“直角”或“钝角”） 7．如下图。，那么∠1＝( )，∠( )。    8．如图所示，把一个三角形的三个角撕下来，然后拼在一起，就可以看到∠1，∠2，∠3正好可以组成一个( )角，即( )°。 9．下面是3块三角形玻璃打碎后分别留下的碎片，请你根据图中的信息判断他们原来分别是什么三角形？（按角分） ( )三角形          ( )三角形       ( )三角形 10．小刚的一张A4纸放在书包里不小心被折起一个角，如图所示，被折的这个三角形是( )三角形，如果∠1＝35°，那么∠2＝( )°。 11．已知一个等腰三角形，如果它的一个底角是30°，它的顶角是( )。如果它的顶角是30°，它的一个底角是( )。 12．李叔叔工地上有一个三角形铁架，量得其中两个内角分别是68°和56°，那么另外一个内角的度数是( )°。如果按角分，它是一个( )三角形，如果按边分，它是一个( )三角形。 13．在体育运动中，三角形的稳定性发挥了重要作用，一个三角形两内角之和等于90°，这个三角形一定是( )三角形。 14．如图：一张三角形纸片被撕去一个角，撕去的角是( )°，原来这张纸片的形状是( )角三角形。 15．把一张长方形纸折起一个角后（如图）得到一个三角形，已知∠1＝48°，那么∠2＝( )，∠3＝( )。 二、计算题 16．计算下面三角形中∠1的度数。 17．求∠A的度数。 （1）（2） 三、解答题 18．一个三角形中，两个较小角的度数和是80°，两个较大角的度数和是155°。这个三角形三个内角分别是多少度？ 19．记者用相机记录了山西运动员的辉煌时刻，相机用三角支架支撑，与地面形成了等腰三角形，这个等腰三角形的一个角是70º，其他的两个角分别是多少度？ 20．笑笑将任意一个四边形分成了两个三角形（如图），那么四边形的内角和是多少度？请写下你的想法。 21．在一个三角形中，第一个内角56°，第二个内角比第一个内角的2倍少18°，第三个内角是多少度？ 22．一个等腰三角形的顶角是70°，它的一个底角是多少度？一个等腰三角形的底角是35°，它的顶角是多少度？ 23．一块三角形玻璃被打碎了一个角，被打碎的角是多少度？这个三角形是一个什么三角形？ 24．你知道下面各图中5个角的和是多少吗？ 25．正六边形作为中国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居配饰所用，如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等。如图，在古建筑中经常会看到这样的正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察，这个窗户的正六边形外框有（    ）条对称轴。 （2）请根据已有的经验，探究下面六边形的内角和，并把思考过程用自己喜欢的方式表示出来。（提示：可以画一画、算一算、写一写……） 26．笑笑根据三角形的内角和是180°，用下面的方法得到六边形的内角和。 列式计算：180°×6－360°＝720° （1）结合图，想一想，180°×6求的是什么？_________。算式中减去的360°指的是什么？请在图中标出来。 （2）你还有其它方法得出这个六边形的内角和吗？请把你的方法在图中画出来，并写出计算过程。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$