培优02 解三角形中的最值范围问题-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 培优02 解三角形中的最值范围问题 类型一、基本不等式法 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” 类型二、三角函数法 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 题型01基本不等式法 1．在中，，，分别为内角所对的边，且满足． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则， 可得，即，所以. （2）由余弦定理可得：， 即，可得， 又因为，可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为. 2．在中，角所对的边分别为，，，已知 (1)求A； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由正弦定理得 ， 其中， 故， 故， 因为，所以，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 所以，解得； （2），， 由余弦定理得，即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，解得，仅当时取等， 故的面积，最大值为. 3．在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】中，， 解得； ，由余弦定理得：， ， ． 故选：D． 4．记的内角，，的对边分别为，，，且，则角 ；若，则面积的最大值为 ． 【答案】 / 【详解】因为，所以，即， 又，所以，则， 由余弦定理， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 故面积的最大值为． 故答案为：； 5．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足． (1)求； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，由正弦定理， 所以， 则， 因为、，则，所以，，所以． （2）解：根据题意，，即， 由正弦定理得， 根据余弦定理可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 6．的内角的对边分别为，已知的周长，则的最大值为 . 【答案】 【详解】，故， 又余弦定理可得， 因此， 由于，故， 故， 当且仅当时，等号成立， 结合，故，因此最大值为， 故答案为： 7．已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)已知是的中线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，由正弦定理，， 由余弦定理，，又代入化简得，因，则 （2）因是的中线，故,两边平方可得：， 即，由（1）知，则， 又因，即，当且仅当时等号成立， 此时，即. 故当时，的最小值为. 题型02有角无边型（三角函数法） 8．记锐角的内角为， (1)若，求角的最大值； (2)当角时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 又，所以， 所以角的最大值为； （2）因为， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以, 所以，所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. 9．已知的内角所对的边分别为. (1)求角A的大小； (2)求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，， 所以由正弦定理得， 又，故，所以即， 又，所以. （2）由（1），所以由余弦定理得， 所以由正弦定理得， 当且仅当时等号成立. 所以的最大值为. 10．在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由正弦定理得， 又，所以，得． 又，所以； （2），由余弦定理得 所以或， 当时，， 解得，则，与已知矛盾， 故， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得， 由于在上单调递减，故， 所以， ． 所以的取值范围为． 11．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理可得：， ， 即， 即，即， 即，所以或（舍去）， 所以，则， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得：， 因为在上单调递增， 由，可得，所以. 故选：A. 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，， 或， 当时，则，，，，成立， 综上所述，成立. （2）由（1）得，，， 由正弦定理可得， ，是锐角三角形，， ，的取值范围为 13．在锐角中，内角，，的边分别对应，，，若，则的取值范围是 【答案】 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，化简得， 在中，则，则, 所以锐角中，，解得， 所以， 故答案为：. 14．在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题， 因为，所以． （2）由（1）， （当且仅当时取等号） 则，又，则． 题型03角与对边型（三角函数法） 15．已知的内角的对应边分别为，在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：已知 ． (1)求角大小； (2)求的最大值. 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）选①，， 由正弦定理得，即，，， 又，所以； 选②， 由正弦定理，及得，所以， 又三角形中，所以，而，所以，即； 选③， 由正弦定理得，即， 所以，又， 所以． （2），则，， ， 所以，即时，取得最大值． 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，且． (1)求的值； (2)若的外接圆半径为5，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)32 【详解】（1）， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 又，故，故， 又，故， 又，故，解得； （2）由正弦定理得， 由（1）知，， 所以， 又，， 由余弦定理得， 所以， 由基本不等式得，故，解得， 当且仅当时，等号成立， 故， 故面积的最大值为32. 17．记△的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，， 因为，所以，所以，则， 因为，所以， 所以，所以. （2）因为，则， 因为, 所以. 所以. 因为.所以.所以， 所以. 18．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若外接圆的直径为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得：，所以， 所以， ， ，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）由正弦定理可得， 所以， 故， 又，所以， 所以 ，又，所以， 所以，所以的取值范围为. 19．已知函数，的最小值为. (1)求的值； (2)求的解集； (3)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1） 因为的最小值为，所以当时，， 所以. （2）由（1）知，，则，即， 所以或，解得或，， 的解集为：或. （3）因为在锐角中，，，， 所以，即 所以，所以， 设的外接圆半径为R，则有 所以 所以 又 所以，所以， 所以周长的取值范围为 题型04角与邻边型（三角函数法） 20．在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【详解】在锐角中，，，，则， 由正弦定理， 得， ， 所， 由，得，而，则， 因此，所以周长的取值范围为. 故答案为： 21．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 . 【答案】 【详解】解：在锐角中， ，且， 由余弦定理得：，解得； 由余弦定理得， 因为是锐角三角形，所以 ， 即 ，解得 ， 所以， 故答案为：， 22．已知函数．在锐角中，角的对边分别是，且满足． (1)求A的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 则，即， 又锐角中，，则， 则，解之得. （2）锐角中，，则， 又，则由正弦定理可得 又，则，， 则，则，即， 由，，可得， 则， 又，则 故的取值范围为． 23．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且． (1)求角A； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 可得， 由正弦定理得， 又因为， 可得， 且，则，可得，则， 又因为，则，可得，所以． （2）由正弦定理，可得， 则面积 ， 因为为锐角三角形，故，解得， 所以，则，可得， 所以的取值范围为． 24．在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则， 整理可得， 利用正弦定理可得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. （2）由正弦定理， 可得， 由题意可知：，解得， 则，可得，即， 又因为面积， 所以面积的取值范围为. 题型05实际问题中的最大角问题 25．某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 【答案】(1)10米 (2)ND为米 【详解】（1）由题意知，⊥，由勾股定理得， 且可知， ， 由正弦定理可得， 则体育馆的高度为10米. （2）设，则，， ， 当且仅当时，取到最大值，即米时，观看效果最佳． 26．已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 【答案】 【详解】如图所示： 由题意知：，，设， 则，， 所以， 由于，当且仅当，即时取等号， 所以，因为， 所以当时，可以获得观看的最佳视野. 故答案为： 27．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是 .（仰角为直线与平面所成的角）      【答案】 【详解】过点在平面内作直线的垂线，垂足为点，如图，    则由仰角的定义得 ， 由题意 ，设，则 ， 当点与不重合时，在 中， ， 当点与重合时，上式也成立， 在 中，   ， 当时， 取最大值， 综上，的最大值为. 故答案为：. 28．如图，一辆汽车在水平的公路上向正西直线行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶（在水平面上的射影为点）在西偏北的方向上，仰角为，行驶后到达处，测得山顶在西偏北的方向上． (1)求此山的高度（单位，精确到）： (2)求汽车行驶过程中仰望山顶的仰角的最大值（精确到） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设此山高，则， 在中，， 根据正弦定理得， 即， 解得． 答：山的高度为． （2）由题意可知，当点到公路距离最小时，仰望山顶的仰角达到最大． 过作，垂足为，连接． 则 所以 答：仰角的最大值为 29．如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【答案】 【详解】 由塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上， 可知，，在中，， 由，结合正弦定理得， 在可得：， 过点作交于，由于平面，平面， 可得：，即， 当取最小值时：， 由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值， 所以有最大值. 故答案为：. 1．在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得：， 即， ， ， ，又； （2）由正弦定理得：, , ， 在锐角中：，解得：， ， ,， 则. 2．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． （2）,，． ，,． ． . 3．在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， ∴， 化简得， ∴ ∵， ∴． （2）由余弦定理得． ∵∴， 当且仅当时等号成立． ∴， ∴， 当且仅当时等号成立． ∴, 又∵，∴． ∴周长的取值范围为． 4．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)已知边，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由， 可得， 即， 所以，即， 因为，所以，又，所以； （2）由正弦定理可得， ， 因为为锐角三角形，则，解得， ， 所以的取值范围是 5．（多选）设中，.下列命题正确的有（   ） A．若，则的周长的取值范围是 B．若，则的面积的最大值是 C．若，则的周长的取值范围是 D．若，则的面积的最大值是 【答案】BCD 【详解】对于A。当时，，由三角形三边关系可得，， 所以，因此的周长的取值范围是，故A错误； 对于B，由，可知， 当时，的面积取到最大值，故B正确； 对于C，当时，由，即，得； 由，得，从而， 所以， 因此的周长的取值范围是，故C正确； 对于D，由余弦定理可得， 可得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 6．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 7．设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的最大值为，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，有， 所以， 整理得，即， 显然不合题设，则， 所以，而，可得. （2）由，可得，， 所以， 由（1）知：，则 ， 由，则，又的最大值为， 所以，可得（负值舍）， 综上，. 8．已知中，为钝角，内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，由余弦定理有：， 由正弦定理有：， 所以，因为， 所以，所以或， 当时，，得， 而为钝角，则为钝角，这是不可能的，故不成立； 当时，由为钝角知， 得，， ， 令，原式化为，， 函数的对称轴为，所以函数在单调递增， 当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 所以. 故答案为：. 9．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【详解】（1）若选择①．由，得， 所以，所以，解得或． 又因为，故． 若选择②． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以， 即，整理可得，解得． 又因为，故． 若选择③：． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以，即． 可得， 又因为，所以，所以，故． （2）由（1）可知，且，由正弦定理及， 可得． 又因为在锐角三角形中，，所以， 故，所以． 所以面积，所以， 所以面积的取值范围是． 10．已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由得，， 所以，即， 所以，所以. 设的外接圆半径为，由正弦定理得. 所以， 又，所以 由是锐角三角形得，，解得， 所以，所以. 故答案为：. 11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 因为， 所以，即； （2）法一：由及（1）知的面积. 由正弦定理得. 由于为锐角三角形，故，. 由（1）知， 所以， 因为在上单调递增， 故，故， 故， 从而. 因此面积的取值范围是； 法二：因为，， 由余弦定理得，即，故， 为锐角三角形，则，即， 由①得，解得， 由②得，解得或（舍去）， 综上， 所以. 12．在中，内角、、对边的边长分别是、、，已知． (1)若，且为钝角，求内角与的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：因为且，由正弦定理可得， 所以，， 因为为钝角，则为锐角，所以，， 因为，，则， 且函数在上为增函数，所以，， 又因为，所以，，. （2）解：因为，则， 由余弦定理可得， 所以，为锐角，所以，， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，所以，面积的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 培优02 解三角形中的最值范围问题 类型一、基本不等式法 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” 类型二、三角函数法 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 题型01基本不等式法 1．在中，，，分别为内角所对的边，且满足． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 2．在中，角所对的边分别为，，，已知 (1)求A； (2)若，求面积的最大值． 3．在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．记的内角，，的对边分别为，，，且，则角 ；若，则面积的最大值为 ． 5．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足． (1)求； (2)若，求的最小值． 6．的内角的对边分别为，已知的周长，则的最大值为 . 7．已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)已知是的中线，求的最小值． 题型02有角无边型（三角函数法） 8．记锐角的内角为， (1)若，求角的最大值； (2)当角时，求的取值范围. 9．已知的内角所对的边分别为. (1)求角A的大小； (2)求的最大值. 10．在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 11．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 13．在锐角中，内角，，的边分别对应，，，若，则的取值范围是 14．在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求； (2)求的取值范围． 题型03角与对边型（三角函数法） 15．已知的内角的对应边分别为，在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：已知 ． (1)求角大小； (2)求的最大值. 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，且． (1)求的值； (2)若的外接圆半径为5，求面积的最大值． 17．记△的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的范围. 18．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若外接圆的直径为，求的取值范围． 19．已知函数，的最小值为. (1)求的值； (2)求的解集； (3)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围. 题型04角与邻边型（三角函数法） 20．在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则周长的取值范围为 ． 21．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 . 22．已知函数．在锐角中，角的对边分别是，且满足． (1)求A的值； (2)若，求的取值范围． 23．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且． (1)求角A； (2)若，求面积的取值范围． 24．在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 题型05实际问题中的最大角问题 25．某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 26．已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 27．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是 .（仰角为直线与平面所成的角）      28．如图，一辆汽车在水平的公路上向正西直线行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶（在水平面上的射影为点）在西偏北的方向上，仰角为，行驶后到达处，测得山顶在西偏北的方向上． (1)求此山的高度（单位，精确到）： (2)求汽车行驶过程中仰望山顶的仰角的最大值（精确到） 29．如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 1．（多选）设中，.下列命题正确的有（   ） A．若，则的周长的取值范围是 B．若，则的面积的最大值是 C．若，则的周长的取值范围是 D．若，则的面积的最大值是 2．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 4．已知中，为钝角，内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 5．在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 6．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 7．在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 8．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)已知边，求的取值范围. 9．设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的最大值为，求的值． 10．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 12．在中，内角、、对边的边长分别是、、，已知． (1)若，且为钝角，求内角与的大小； (2)若，求面积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$