精品解析：山东省东营市广饶县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期第二次限时作业九年级数学 （时间120分，分值120分） 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 下列说法中，不正确的有（　　） ①相等的圆周角所对的弧相等； ②平分弦的直径也平分弦所对的弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧； ⑤圆的切线垂直于圆的半径； ⑥一个圆有无数个内接三角形． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆、圆心角、弧、弦，切线的性质，圆的内接三角形的定义，垂径定理的相关知识进行解答即可． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故①不正确； ②平分非直径的弦的直径也平分弦所对的弧，故②不正确； ③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故③不正确； ④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧，故④正确； ⑤圆的切线垂直于过切点的半径，故⑤不正确； ⑥一个圆有无数个内接三角形，故⑥正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆、圆心角、弧、弦，切线的性质，圆的内接三角形的定义，垂径定理的相关知识，掌握以上知识是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O外 C. 点P在⊙O上 D. 点P在⊙O上或在⊙O外 【答案】C 【解析】 【分析】求出的长，再跟r作比较即可判断. 【详解】∵点P的坐标是（4，3）, , ∴点P在⊙O上. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系.若,则点P在⊙O外；若, 则点P在⊙O上；若，则点P在⊙O内.熟练掌握判断方法是解题的关键. 3. 的半径是13，弦，，，则与的距离是（ ） A. 7或34 B. 17或34 C. 7或17 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，先构造半径，弦心距，半弦长为边长的直角三角形，再利用勾股定理求弦心距，本题要注意分两种情况讨论． 先作出图象根据勾股定理分别求出弦的弦心距，再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论． 【详解】解：如图，根据题意可得，， ∴，， ①当两弦在圆心同侧时，距离； ②当两弦在圆心异侧时，距离． 所以距离为7或17． 故选：C． 4. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为r， 由题意可知，， 在中，，， ， 解得． 经检验：是方程的解， 故答案为：． 5. 如图，、分别是的切线，A、B为切点，是的直径，已知，∠P的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键； 由与都为圆的切线，根据切线的性质得到与垂直，与垂直，可得出与都为直角，又，根据等边对等角可得与相等，由的度数求出的度数，进而利用三角形的内角和定理求出的度数，在四边形中，利用四边形的内角和定理即可求出的度数； 【详解】解：∵，分别是圆的切线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在四边形中，，， 则， 故选：D． 6. 如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，且．若，则半径长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握切线的性质. 连接，根据直径所对圆周角是直角可得，根据切线性质可得, 然后根据,证明，进而可以解决问题. 【详解】∵为的直径, ∴, ∴,如图, 连接, ∵与相切于点, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴半径长为. 故选:B. 7. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 8. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：C． 9. 如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6π B. π C. π D. 2π 【答案】A 【解析】 【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB=OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接OB， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB=OC， ∴AB=OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC∥AB， ∴S△AOB=S△ABC， ∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB= 故选A． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 10. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3， ∴母线长为， ∴圆锥模型的侧面积为． 故选：B． 二、填空题（11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 如图，点B，C，D在上，若，则的度数是________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 12. 如图，在中，点O是的内心，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．利用角平分线的性质和三角形内角和得到，即可求解． 【详解】解：点是的内心， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 小红用一张半径为6cm，圆心角为的扇形纸片做成一个圆锥形的小帽子，则这个圆锥形小帽子的高为____cm． 【答案】 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面半径为，利用圆锥的侧面展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，再利用弧长公式得到：，解方程求出的值，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：∵半径为6cm、圆心角为120°的扇形弧长是：， ∴，解得：， ∴帽子的高为， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； （2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长． 正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 14. 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______． 【答案】8或10． 【解析】 【详解】由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8； ②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长==20，因此这个三角形的外接圆半径为10． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10． 故答案为10或8． 15. 如图，圆锥的底面直径，母线的中点处有一食物，一只小蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为___________ 【答案】15 【解析】 【分析】先将圆锥的侧面展开图画出来，然后根据弧长公式求出的度数，然后利用等边三角形的性质和特殊角的三角函数在即可求出AD的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： ∵圆锥的底面直径 ∴底面周长为 设 则有 解得 又 ∴为等边三角形 为PB中点 ∴蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 16. 如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为_____． 【答案】60° 【解析】 【分析】分析：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD= OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数． 【详解】如图作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB． ∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O， ∴OD=CD， ∴OD= OC= OA， ∴∠OAD=30°． ∵OA=OB， ∴∠ABO=30°， ∴∠AOB=120°， ∴∠APB= ∠AOB=60°． 故答案为60°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得∠OAD=30°是解题的关键． 17. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形，关键是由勾股定理得到当时，最小．连接OQ，由切线的性质定理推出，由勾股定理得到，因此当时，最短，再结合30°角的直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵切圆于Q， ∴半径， ∴， ∵圆的半径为1， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小， ， ， ， ∴的最小值是． 三、解答题（19-23每题8分，24题10分，25题12分，共62分） 19. 残缺的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．测得，．求这个圆的半径． 【答案】； 【解析】 【分析】设这个圆的圆心是O，连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=(x-8)cm，根据勾股定理可得x2=122+(x-8)2，解之即可． 【详解】解：设这个圆的圆心是O，连接OA， 设OA=x，AD=AB=12cm，OD=(x-8)cm， ∴根据勾股定理列方程：x2=122+(x-8)2， 解得：x=13． 【点睛】本题主要考查圆的确定和垂径定理，熟练掌握垂径定理得出关于半径的方程是解题的关键. 20. 如图， 中， ， 以为直径的交分别于点 两点， 连接． （1）求证： ． （2）若， 求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形中斜边上的中线即可得解； （2）根据三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，根据勾股定理求出AD，根据等面积法即可求解． 【小问1详解】 解：连接AD，如下图， ∵为的直径， ∴，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，掌握相关定理、并灵活运用是解题的关键． 21. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E． （1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE； （2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形外角等于内对角，得到∠ABC＝∠ADE，根据等腰三角形性质，得到∠ABC＝∠ACB，结合圆周角定理，∠ADB＝∠ACB，推理即可． （2）作直径BF，连接FC，根据sin∠BAC= sin∠BFC计算即可． 【小问1详解】 ∵圆内接四边形外角等于内对角，四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠ABC＝∠ADE， ∵AB=AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ADB＝∠ADE． 【小问2详解】 如图，作直径BF，连接FC， 则∠BCF=90°， ∵圆的半径为2，BC=3， ∴BF=4，BC=3，∠BAC= ∠BFC， ∴sin∠BAC= sin∠BFC=． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角函数，熟练掌握圆的内接四边形性质，圆周角定理，三角函数是解题的关键． 22. 如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上． （1）求证：∠CAD=∠BDC； （2）若BD=AD，AC=3，求CD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2． 【解析】 【详解】分析：（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC； （2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长． 详（1）证明：连接OD，如图所示． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB． ∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径， ∴∠ODB+∠BDC=90°． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠OBD+∠CAD=90°， ∴∠CAD=∠BDC． （2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB， ∴△CDB∽△CAD， ∴． ∵BD=AD， ∴， ∴， 又∵AC=3， ∴CD=2． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；（2）利用相似三角形的性质找出． 23. 如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使． （1）求证：是⊙的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明； （2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积. 【详解】（1）证明：连接，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是⊙的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理. 24. 如图，在中，，的角平分线交于点，以为半径作，交 于点，交的延长线于点． （1）判断直线是否是的切线，请说明理由； （2）连接，在中，若，求的值． 【答案】（1）直线是的切线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质，结合题意，即可得证； （2）证明，根据正切的定义，相似三角形的性质即可求解 【小问1详解】 直线是的切线，理由如下： ， ， 如图，作于点， 是的角平分线， ， 是的半径， 直线是的切线； 【小问2详解】 如图，连接， 是的直径， ， 即． ， 即． ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第二次限时作业九年级数学 （时间120分，分值120分） 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 下列说法中，不正确的有（　　） ①相等的圆周角所对的弧相等； ②平分弦的直径也平分弦所对的弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧； ⑤圆的切线垂直于圆的半径； ⑥一个圆有无数个内接三角形． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O外 C. 点P在⊙O上 D. 点P在⊙O上或在⊙O外 3. 的半径是13，弦，，，则与的距离是（ ） A. 7或34 B. 17或34 C. 7或17 D. 34 4. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m． 5. 如图，、分别是的切线，A、B为切点，是的直径，已知，∠P的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，且．若，则半径长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6π B. π C. π D. 2π 10. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 如图，点B，C，D在上，若，则的度数是________． 12. 如图，在中，点O是的内心，，则___________． 13. 小红用一张半径为6cm，圆心角为的扇形纸片做成一个圆锥形的小帽子，则这个圆锥形小帽子的高为____cm． 14. 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______． 15. 如图，圆锥的底面直径，母线的中点处有一食物，一只小蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为___________ 16. 如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为_____． 17. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 18. 如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是________． 三、解答题（19-23每题8分，24题10分，25题12分，共62分） 19. 残缺的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．测得，．求这个圆的半径． 20. 如图， 中， ， 以为直径的交分别于点 两点， 连接． （1）求证： ． （2）若， 求的长． 21. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E． （1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE； （2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC． 22. 如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上． （1）求证：∠CAD=∠BDC； （2）若BD=AD，AC=3，求CD的长． 23. 如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使． （1）求证：是⊙的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 24. 如图，在中，，的角平分线交于点，以为半径作，交 于点，交的延长线于点． （1）判断直线是否是的切线，请说明理由； （2）连接，在中，若，求的值． 25. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $