精品解析：江苏省南通市海安市十三校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期第三次阶段性联合测试 初三数学试题 （考试时间120分钟总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 正方形 C. 等边三角形 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键． 根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、正方形是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、等边三角形不是中心对称图形，故C选项符合题意； D、圆是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了韦达定理，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据即可得到答案． 【详解】解：的两根分别为和，， 故选：A 3. 四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．从中随机抽取一张牌，这张牌的点数是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求概率，根据概率公式直接进行计算即可． 【详解】解：由题意，随机抽取一张牌共有4种等可能的结果，其中这张牌的点数是偶数的结果有3种， ∴； 故选B． 4. 若点，，都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，代入计算比较大小即可． 【详解】∵点，，都在反比例函数的图像上， ∴，，， ∴， 故选C． 5. 将抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的顶点坐标，熟练掌握该知识点是解题的关键．先求得原函数的顶点坐标，然后将其往右平移2个单位即可得到答案． 【详解】解：的顶点坐标为 所以将抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线的顶点坐标为 故选：C． 6. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围时（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数的对称轴，熟记二次函数的性质是解题的关键．先求得二次函数的对称轴，利用二次函数的性质，可知该函数开口向上，以及对称轴右侧随的增大而增大，从而知道，最后解不等式即可． 【详解】解：二次函数，当时，随的增大而增大 ， ∵对称轴为 又 故选：C． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ） A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键．根据题意，由且求得m的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， ∴的最大整数值是4， 故选：D． 8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在网格线的交点上，设的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出面积比的值便可． 【详解】解：，，，，， ，， 故选：A 9. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则和的面积之差为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的面积求法和反比例函数点的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设和的直角边长分别为和，结合等腰直角三角形的性质及图像可得出的坐标，将点代入反比例函数，可得，根据三角形的面积之差为，即可求解． 【详解】解：设和的直角边长分别为和， 和都是等腰直角三角形， ，， ， 点坐标为， 反比例函数在第一象限的图象经过点， ， ， 和的面积之差为：， 故选：D． 10. 关于的二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标都在和0之间（不包括和0），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题．根据抛物线与轴有两个交点，得到对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据交点的横坐标在在和0之间（不包括和0），得到和时的函数值的符号相同，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图像与轴的两个交点 有两个不相等的实数根 且 的图像与轴的两个交点的横坐标都在和0之间（不包括和0） 和时的函数值的符号相同 当时， 那么当时，，解得 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第13～18小题每小题4分，共30分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若反比例函数的图象经过点A（1，2），则k=_____． 【答案】2． 【解析】 【详解】将A（1，2）代入，得． 12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则______． 【答案】70° 【解析】 【分析】直接利用圆内接四边形的性质求解． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠A=110°， ∴∠C=180°110°=70°． 故答案为：70° 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得反比例函数关系式，求得时，，再利用反比例函数的增减性质，可求得答案． 【详解】解：设，代入 随的增大而减小 当时， 其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 故答案为：． 14. 青山村种的水稻2017年平均每公顷产7200kg，2019年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率． 若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则根据题意列出方程：___________． 【答案】7200（1＋x）2＝8450 【解析】 【分析】根据增长后的产量＝增长前的产量×（1＋增长率），设增长率是x，则2019年的产量是7200（1＋x）2，据此即可列出方程． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x， 则2018年的产量为7200（1＋x），2019年的产量为：7200（1＋x）2， 由题意得：7200（1＋x）2＝8450． 故答案为：7200（1＋x）2＝8450． 【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b，得到2019年产量的等量关系是解决本题的关键． 15. 设一元二次方程的两根分别是，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，理解根与系数的关系是解答关键． 先根据题意和两根之和得到，，再将变形为，最后将，代入进行计算求解． 【详解】解：一元二次方程的两根分别是，， ，， ， ． 故答案为：3． 16. 如图，中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则弦______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．设交于，连接，利用切线的性质得到，则可判断，利用可计算出，再证明，得到，再证明，利用求出的长． 【详解】解：设交于，连接，连接，如图所示， 是的切线， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 17. 如图，一个半径为的圆形纸片在边长为10的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是______．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形的面积，正确理解该六边形内圆形纸片不能接触到的部分所在的区域是解题的关键．设与六边形一个角两边相切的切点分别为M，N，连结，，分别计算四边形和扇形的面积，求出在处圆形纸片不能接触到的部分的面积，所以在六边形六个角处圆形纸片不能接触到的部分的面积即可求得． 【详解】如图，设与六边形两边相切的切点分别为M，N，连结，， ，， ， ， ， 同理可得， 所以在处圆形纸片不能接触到的部分的面积是， 所以在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是． 故答案为：． 18. 已知实数，满足，则代数式的最小值等于______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 【详解】解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用配方法求解． 【小问1详解】 解： 或 解得：，； 【小问2详解】 解： 解得：，． 20. 盒中有个黑球和个白球，这些球除颜色外无其他差别．若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是；若往盒中再放进1个白球，这时取得黑球的概率变为． （1）填空：______，______； （2）小王和小林利用这个黑球和个白球进行摸球游戏．约定：从盒中随机摸取一个，放回盒中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小王胜，若颜色不同则小林胜．求两个人获胜的概率各是多少？ 【答案】（1）2，1 （2）（小王胜），（小林胜） 【解析】 【分析】本题考查了概率的基本计算，画树状图法求概率的方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意可知黑色比白色求多一个，即，然后黑球的概率等于黑球除以全部，从而得到答案； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球颜色相同、颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：若往盒中再放进1个白球，这时取得黑球的概率变为， ， ∴， 若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是， ， ， ， ； 故答案为：2，1； 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有9种等可能的结果，两球颜色相同的有5种情况，颜色不同的有4种情况， （小王胜），（小林胜）． 21. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）以原点为对称中心，画出关于原点对称的； （2）以点为旋转中心，画出把顺时针旋转得到的； （3）若绕某点顺时针旋转一定角度得到，请确定旋转中心的坐标以及旋转角度． 【答案】（1） 如图所示：即为所求 （2） 如图所示：即为所求 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了利用格点作图，中心对称的性质及旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中心对称的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形； （2）根据旋转的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形； （3）连接对应点并做对应的垂直平分线即可求得旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：旋转中心为，旋转角度是，理由如下： 连接，，利用格点，画出和的中垂线，找到这两条中垂线的交点，即旋转中心，由题意可知，即旋转角度为 22. 如图，直线与双曲线相交于、两点． （1）求及的值； （2）直线经过点吗？请说明理由； （3）根据图象写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）直线经过点，理由如下： 由（1）得到，，， 联立得到，， 解得或 ∴点B的坐标是， ∵， ∴直线即为直线， 当时，， ∴直线经过点； （3）或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题． （1）把分别代入函数解析式即可求出答案； （2）联立一次函数和反比例函数解析式得到点的坐标，再把横坐标代入，即可得到答案； （3）根据图象可知， 当或时，直线在双曲线下方，即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入得到，， 解得， 把代入得到，，解得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当或时，直线在双曲线下方， ∴即的解集是或 23. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，，， （1）连结OD，求证； （2）求CD的长； （3）求AE的长. 【答案】 （1）证明：如图，连结OD， ∵弦AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD， ∴ ∴OD⊥CB； （2）6； （3）. 【解析】 【分析】（1）连结OD，因为弦AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD，即，所以OD⊥CB； （2）连结BD，则∠ADB=90°，因为AB=10，AD=8，所以BD=6，因为，所以CD=BD=6； （3）证△CDE∽△ADC，可求得DE的长，进而得出AE的长． 【详解】 解：（1）略． （2）如图，连结BD，CD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=10，AD=8， ∴， ∵， ∴CD=BD=6， （3）∵∠DCB=∠DAB，∠CAD=∠DAB， ∴∠CAD=∠DCE， ∵∠CDE=∠ADC， ∴△CDE∽△ADC， ∴,即, ∴, ∴. 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质． 24. 某创新公司生产营销、两种新产品，根据市场调研发现如下信息： 信息1：平均每月销售种产品4吨，每吨盈利4万元，经市场调查发现，如果每吨产品降价0.1万元，公司平均每月可多销售0.2吨；设每月销售种产品所获利润（万元），所售产品数量（吨）． 信息2：销售种产品所获利润（万元）与所售产品数量（吨）之间存在正比例函数关系． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求销售种产品的最大利润； （2）该公司准备生产营销、两种产品共10吨，且种产品的数量不少于种产品数量的．求生产营销、两种产品各多少吨时，销售、两种产品所获利润之和最大． 【答案】（1）销售种产品的最大利润为18万元 （2）当生产营销种产品4吨，种产品6吨时，所获得的利润最大为34万 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的利润类应用题，解题的关键是根据题意找出等量关系式，列出对应的等式． （1）根据总利润每吨产品的利润产品的销售数量，列出相应的函数关系式，然后利用二次函数的性质，求得最大利润； （2）设生产营销中产品吨，则种产品为吨，根据且种产品的数量不少于种产品数量的，求出的范围，设利润为，则依题意，即可解答． 【小问1详解】 解：依题意得： ， ， 开口向下，当，有最大值 当时，， 所以销售种产品的最大利润为18万元； 【小问2详解】 解：设生产营销中产品吨，则种产品为吨， 种产品的数量不少于种产品数量的， ， ， ， 设利润为，则依题意得： ， 当时，随的增大而减少 ， 当时， 答：所以当生产营销种产品4吨，种产品6吨时，所获得的利润最大为34万元． 25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）． （1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值； （2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值． 【答案】(1);(2)k>1；（3）1或3. 【解析】 【分析】（1）把（1，k2）代入抛物线解析式中并求解即可； （2）将点分别代入抛物线解析式中，由y1＞y2列出关于k的不等式，求解即可； （3）先求出新抛物线的解析式，然后分1≤k≤2，k＞2以及k＜1三种情况讨论，根据二次函数的顶点及增减性，分别确定三种情况下各自对应的最小值，然后列出方程并求出满足题意的k值即可． 【详解】解：（1）把点代入抛物线，得 解得 （2）把点代入抛物线，得 把点代入抛物线，得 解得 （3）抛物线解析式配方得 将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为 当时，对应的抛物线部分位于对称轴右侧，随的增大而增大， 时，， ，解得， 都不合题意，舍去； 当时，， 解得； 当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小， 时，， 解得，（舍去） 综上，或3． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识． 26. （1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 【答案】（1）等边（2）（3）（4） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形，，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案； （4）先由旋转的性质得出，则，推出是等边三角形，那么有，当、、、在一条直线上时，最小，此时，再求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：等边，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到 ， 是等边三角形 （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接， 那么有， 是等边三角形 ， 在中， （3）解：如图， 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，， ， ，即 即 （4）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接、，如图所示： ， ，， 是等边三角形 ， 当、、、在一条直线上时，最小 当最小时， 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期第三次阶段性联合测试 初三数学试题 （考试时间120分钟总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 正方形 C. 等边三角形 D. 圆 2. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 3. 四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．从中随机抽取一张牌，这张牌的点数是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 若点，，都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围时（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ） A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在网格线的交点上，设的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则和的面积之差为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 10. 关于的二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标都在和0之间（不包括和0），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第13～18小题每小题4分，共30分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若反比例函数的图象经过点A（1，2），则k=_____． 12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则______． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是______． 14. 青山村种的水稻2017年平均每公顷产7200kg，2019年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率． 若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则根据题意列出方程：___________． 15. 设一元二次方程的两根分别是，，则______． 16. 如图，中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则弦______． 17. 如图，一个半径为的圆形纸片在边长为10的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是______．（用含的代数式表示） 18. 已知实数，满足，则代数式的最小值等于______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 20. 盒中有个黑球和个白球，这些球除颜色外无其他差别．若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是；若往盒中再放进1个白球，这时取得黑球的概率变为． （1）填空：______，______； （2）小王和小林利用这个黑球和个白球进行摸球游戏．约定：从盒中随机摸取一个，放回盒中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小王胜，若颜色不同则小林胜．求两个人获胜的概率各是多少？ 21. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）以原点为对称中心，画出关于原点对称的； （2）以点为旋转中心，画出把顺时针旋转得到的； （3）若绕某点顺时针旋转一定角度得到，请确定旋转中心的坐标以及旋转角度． 22. 如图，直线与双曲线相交于、两点． （1）求及的值； （2）直线经过点吗？请说明理由； （3）根据图象写出不等式的解集． 23. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，，， （1）连结OD，求证； （2）求CD的长； （3）求AE的长. 24. 某创新公司生产营销、两种新产品，根据市场调研发现如下信息： 信息1：平均每月销售种产品4吨，每吨盈利4万元，经市场调查发现，如果每吨产品降价0.1万元，公司平均每月可多销售0.2吨；设每月销售种产品所获利润（万元），所售产品数量（吨）． 信息2：销售种产品所获利润（万元）与所售产品数量（吨）之间存在正比例函数关系． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求销售种产品的最大利润； （2）该公司准备生产营销、两种产品共10吨，且种产品的数量不少于种产品数量的．求生产营销、两种产品各多少吨时，销售、两种产品所获利润之和最大． 25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）． （1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值； （2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值． 26. （1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $