18.1平行四边形的性质（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学《第18章 平行四边形》 18.1 平行四边形的性质 知识点一 平行四边形的定义 ◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”， 读作:“平行四边形ABCD”. 【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序． ◆3、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） 知识点二 平行四边形的性质 ●●平行四边形的性质： ◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC， ◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D ◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD 知识点三 两条平行线间的距离 ◆1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. ◆2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. ◆3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离. ◆4、三种距离之间的区别与联系 距离 两点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线之间的距离. 联系 都是指线段的长度. ◆5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.) 题型一 利用平行四边形的性质求线段长 解题技巧提炼 平行四边形中求有关线段的方法是利用平行四边形对边分别相等，对角线互相平分的性质来求解决的. 1．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长． 【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝COAC＝3， ∵AB⊥AC，AB＝4， ∴BO5， ∴BD＝2BO＝10， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单． 2．（2024秋•长春校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（　　） A．15 B．11 C．20 D．52 【分析】由∠ADC的平分线DE交BC于点E，得∠ADE＝∠CDE，由平行四边形的性质得CD＝AB＝11，AD∥BC，则∠ADE＝∠CED，所以∠CDE＝∠CED，则CE＝CD＝11，求得AD＝CB＝CE+BE＝15，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠ADC的平分线DE交BC于点E， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝11， ∴CD＝AB＝11，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CED， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CE＝CD＝11， ∵BE＝4， ∴AD＝CB＝CE+BE＝11+4＝15， 故选：A． 【点评】此题重点考查角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出∠CDE＝∠CED是解题的关键． 3．（2024秋•岱岳区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，结合角平分线的性质推出∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF，得到AE＝AB＝3，即可求出DE＝DF＝AD﹣AE＝5﹣3＝2． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABF＝∠F，∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF， ∴AE＝AB＝3， ∴DF＝DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2， 故选：C． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4．（2024秋•渝中区校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，且BE＝AB，线段CE的长为（　　） A．2 B．3 C． D．3 【分析】由平行四边形的性质可得AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，由角平分线的性质和平行线的性质可得AB＝AE，DE＝DC，由勾股定理可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E， ∴∠ABE＝∠CBE，∠DCE＝∠BCE， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝∠ABE，∠DEC＝∠BCE＝∠DCE， ∴AB＝AE，DE＝DC， ∴AD＝BC＝2， ∴CE3， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（　　） 【分析】连接EC，根据已知条件证明△EDC是直角三角形，进而可得△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，连接EC， ∵平行四边形ABCD中，OE⊥AC ∴EO垂直平分AC， ∵AE＝4，DE＝3，AB＝5， ∴EC＝AE＝4，CD＝AB＝5， ∵EC2+DE2＝32+42＝25，CD2＝25， ∴EC2+DE2＝CD2， ∴△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明△EDC是直角三角形是解题的关键． 6．（2024•苏州模拟）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长． 【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的判定可求出AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6， ∴CD＝AB＝6，AD∥BC， ∴∠AFB＝∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AF＝AB＝6， 同理DE＝DC＝6， ∵EF＝2， ∴AE＝AF−EF＝6−2＝4， ∴BC＝AD＝AE+DE＝4+6＝10． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 7．如图，已知四边形ABCD、EBFD均为平行四边形，AC、BD相交于点O，且A、E、O、F、C在同一条直线上，AC＝8cm，AE＝2cm，试求EF的长． 【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC．AD∥BC，DE＝BF，DE∥BF，由平行线的性质得到∠ADO＝∠CBO，∠EDO＝∠FBO，根据角的和差得到∠ADE＝∠CBF，推出△ADE≌△CBF，由全等三角形的性质得到AE＝CF＝2cm，于是得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD、EBFD均为平行四边形， ∴AD＝BC．AD∥BC，DE＝BF，DE∥BF， ∴∠ADO＝∠CBO，∠EDO＝∠FBO， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE与△CBF中，， ∴△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF＝2cm， ∵AC＝8cm， ∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝4cm． 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型二 利用平行四边形的性质求角度 解题技巧提炼 平行四边形中求有关角度的方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其它三个角的度数. 1．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（　　） A．100° B．120° C．150° D．105° 【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，然后根据补角性质可得答案． 【解答】解：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC＝2∠ADE， ∵▱ABCD中，AD∥BC，AB∥DC， ∴∠ADE＝∠CED＝30°，∠A+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝2×30°＝60°， ∴∠A＝180°﹣∠ADC＝120°． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键． 2．（2024秋•渝北区期末）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（　　） A．125° B．115° C．55° D．135° 【分析】根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠DCE＝55°， ∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣55°＝125°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠DCB＝125°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3．在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 【分析】根据平行线的性质可求得∠ACD，即可求出∠BCD． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝40°， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝40°， ∵∠ACB＝80°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行四边形的对边平行是解决问题的关键． 4．（2024秋•潍坊期末）在▱ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠A+∠B＝180°，由∠A与∠B的度数之比为1：2，得∠B＝2∠A，所以∠A+2∠A＝180°，则∠C＝∠A＝60°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠C＝∠A， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A与∠B的度数之比为1：2， ∴∠B＝2∠A， ∴∠A+2∠A＝180°， ∴∠C＝∠A＝60°， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的性质等知识，由∠A+∠B＝180°，∠B＝2∠A，求得∠C＝∠A＝60°是解题的关键． 5．（2024秋•周村区期末）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠C＝70°，则∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝40°，再由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠ABE＝∠BDC＝40°，然后由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵BD＝CD，∠C＝70°， ∴∠DBC＝∠C＝70°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BDC＝40°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣40°＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 6．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（　　） A．84° B．96° C．98° D．106° 【分析】首先根据AF⊥DE，∠DAF＝48°得到∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，然后利用四边形ABCD是平行四边形得到∠CED＝∠ADF＝42°，再根据CD＝CE，得到∠CDE＝∠DEC＝42°，从而利用三角形的内角和定理求得∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°即可． 【解答】解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠CED＝∠ADF＝42°， ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠DEC＝42°， ∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°， 故选：B． 【点评】考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等得到相关结论，难度不大． 7．（2024秋•招远市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB． （1）求证：△ABC≌△EAD； （2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD＝BC，∠B＝∠DAE，结合AB＝AE，利用SAS可证明结论； （2）由全等三角形的性质结合角平分线的定义可得△ABE为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解∠BAE＝60°，进而可求解∠AED的度数． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B． ∴∠B＝∠DAE． 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△EAD（SAS）， （2）∵△ABC≌△EAD， ∴∠AED＝∠BAC， ∵AE平分∠DAB（已知）， ∴∠DAE＝∠BAE； 又∵∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠B． ∴△ABE为等边三角形． ∴∠BAE＝60°． ∵∠EAC＝25°， ∴∠BAC＝85°， ∴∠AED＝85°． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△EAD是解题的关键． 题型三 利用平行四边形的性质求周长 解题技巧提炼 1.平行四边形的周长=2(a+b) （其中a、b分别为两相邻边的边长） 2. 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半. 3.在求平行四边形各边长时，可设一元一次方程或二元一次方程组求解. 1．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　　） A．24 B．26 C．28 D．30 【分析】先利用ASA证明△AOE≌△COF，从而得OE＝OF，AE＝CF，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，AE＝CF， ∵平行四边形ABCD的周长为36， ∴AB+BC36＝18， ∴四边形ABFE的周长为： AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝18+6＝24． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 2．若一平行四边形面积为144cm2，相邻两边上的高分别是8cm和9cm，则此平行四边形的周长为（　　） A．64cm B．68cm C．34cm D．70cm 【分析】根据平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积，进行计算即可． 【解答】解：∵平行四边形的面积＝边长×高， ∴当边上的高为8cm时，边长＝144÷8＝18（cm）， 当边上的高为9cm时，边长＝144÷9＝16（cm）， ∴平行四边形的周长为2（18+16）＝68（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S＝a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高． 3．（2024春•武城县期末）在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【分析】根据角平分线的性质可证出AB＝BC＝3，再利用平行四边形的性质可得答案． 【解答】解：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∴平行四边形ABCD的周长为12． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等． 4．（2024秋•丰城市校级期中）如图，在▱ABCD中P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝2.5，AP＝4，则△APB的周长是（　　） A．13 B．12 C．11.5 D．10.5 【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，则∠BAP＝∠DPA，∠ABP＝∠CPB，∠DAB+∠ABC＝180°，而，，所以∠DPA＝∠DAP，∠CPB＝∠CBP，∠BAP+∠ABP＝90°，则，∠APB＝90°，求得AB＝CD＝5，所以，进而求得△APB的周长是12，于是得到问题的答案，推导出∠APB＝90°即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠BAP＝∠DPA，∠ABP＝∠CPB，∠DAB+∠ABC＝180°， ∵P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴，， ∴∠DPA＝∠DAP，∠CPB＝∠CBP，， ∴，∠APB＝90°， ∴， ∵AP＝4， ∴， ∴AB+AP+BP＝5+4+3＝12， △APB的周长是12， 故选：B． 【点评】此题考查平行四边形的性质、角平分线的性质，掌握平行四边形的性质等知识是解题的关键． 5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．8 【分析】由EF垂直平分AC得AF＝CF，则AB+BC＝CF+BF+BC＝4，由四边形ABCD是平行四边形得CD＝AB，AD＝BC，则CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵EF垂直平分AC， ∴AF＝CF， ∵△BCF的周长为4， ∴AB+BC＝AF+BF+BC＝CF+BF+BC＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，AD＝BC， ∴CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8， ∴平行四边形ABCD的周长8， 故选：D． 【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、三角形的周长的计算、平行四边形的性质等知识与方法，由△BCF的周长为4求得AB+BC的值是解题的关键． 6．（2024秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 　 ． 【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD， ∴∠BAF＝∠DAE＝90°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2BE，AD＝2DF ∵BE＝2，DF＝3， ∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6， ∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20， 故答案为：20． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7．（2024春•龙湾区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为BO，OD的中点，连结AE，CF． （1）求证：AE＝CF． （2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AE，求▱ABCD的周长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再由点E，F分别为OB，OD的中点，推导出OE＝OF，即可证明△AOE≌△COF，AE＝CF； （2）由∠BAC＝90°，点E是OB的中点，求得OB＝2AE，由勾股定理求得OA2，则AC＝2OA＝4，所以BC5，即可求得▱ABCD的周长为16． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴OEOB，OFOD， ∵OE＝OF， 在△AOE和△COF， ， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴AE＝CF． （2）解：∵∠BAC＝90°，点E是OB的中点，AB＝3，AE， ∴OB＝2AE＝2， ∴OA2， ∴AC＝2OA＝2×2＝4， ∴BC5， ∴2AB+2BC＝2×3+2×5＝16， ∴▱ABCD的周长为16． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的周长等知识，证明△AOE≌△COF是解题的关键． 题型四 利用平行四边形的性质求面积 解题技巧提炼 平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 1．（2024春•仓山区期中）一个平行四边形的一条边长为7，两条对角线的长分别是10和，则这个平行四边形的面积为（　　） A． B． C．35 D． 【分析】根据勾股定理逆定理可以说明平行四边形的对角线互相垂直，进而可以判断这个平行四边形是菱形，据此即可求解． 【解答】解：设平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AC＝10，，AB＝7， ∴，， ∵， ∴AO2+BO2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∴平行四边形ABCD是菱形． ∴平行四边形ABCD的面积为， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定． 2．（2024春•东港市期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF和GH过点O，且点E，H在边DC上，点G，F在边AB上，若▱ABCD的面积为10，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．4 C．3 D． 【分析】利用平行四边形是中心对称图形可得阴影部分的面积为S△COD，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD与AC的交点O是对称中心， ∴阴影部分的面积为S△COD， ∵▱ABCD的面积为10， ∴S△OCD， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形是中心对称图形是解题的关键． 3．（2025•大渡口区模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论． 【解答】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4．（2024•襄汾县一模）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为 　 　． 【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可． 【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F， ∵∠EBC＝30°，BE＝10， ∴EFBE＝5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， 又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC＝10， ∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50． 故答案为：50． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键． 5．（2024春•靖远县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G． （1）求证：AG＝FG； （2）判断△CEF的形状，并说明理由； （3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）只要证明BA＝BF即可解决问题； （2）只要证明∠E＝∠CFE即可； （3）如图，作AH⊥BC于H．利用面积法求出AH即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠AFB， ∵∠DAF＝∠FAB， ∴∠BAF＝∠BFA， ∴BA＝BF， ∵BG⊥AF， ∴AG＝GF． （2）解：结论：△CEF是等腰三角形． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DE，AD∥BC， ∴∠E＝∠BAE，∠CFE＝∠DAF， ∵∠DAF＝∠BAE， ∴∠E＝∠CFE， ∴CE＝CF． （3）解：如图，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABG中，AG6， ∴AF＝2AG＝12， ∵•BF•AH•AF•BG， ∴AH， ∴S平行四边形ABCD＝BC•AH＝144． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中． 6．（2024春•原州区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若DO＝1.5cm，AB＝5cm，BC＝4cm，求▱ABCD的面积． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得BD＝2DO＝2×1.5＝3（cm），CD＝AB＝5cm，又由BC＝4cm，可得△BCD是直角三角形，继而求得▱ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2DO＝2×1.5＝3（cm），CD＝AB＝5cm， ∵BC＝4cm， ∴BC2+BD2＝CD2， ∴∠CBD＝90°， 即DB⊥BC， ∴S▱ABCD＝BC•BD＝4×3＝12（cm2）． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 7．（2024春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）求证：AE平分∠DAB； （3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质，根据AAS可判定△ADE≌△FCE； （2）根据全等三角形的性质可得AE＝FE，根据BE⊥AF．利用线段垂直平分线的性质可得BA＝BF，进而可得结论； （3）结合（1）根据∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的长，根据△ADE≌△FCE，可得△ADE的面积＝△FCE的面积，所以▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积，即可得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠EFC， ∵点E是CD边的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）； （2）证明：∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， ∵BE⊥AF， ∴BA＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA， ∵∠DAE＝∠BFA， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴AE平分∠DAB； （3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4， ∴∠DAE＝∠BAF＝30°， ∵BE⊥AF， ∴BEAB＝2， ∴AEBE＝2， ∵△ADE≌△FCE， ∴△ADE的面积＝△FCE的面积， ∴▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2AE•BE＝22＝4． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的 性质. 题型五 利用平行四边形的性质证明 解题技巧提炼 平行四边形的定义、平行线的性质、全等三角形的判定和性质在有关平行四边形的证明中，常常结合在一起综合应用，而利用平行四边形的定义、平行线的性质获得三角形全等的条件是解题的关键. 1．（2024秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F．证明BE＝CF． 【分析】由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC，则∠ABE＝∠C，而∠E＝∠DFC＝90°，即可根据“AAS“证明△ABE≌△DCF，则BE＝CF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABE＝∠C， ∵AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴BE＝CF． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△DCF是解题的关键． 2．（2024春•丹凤县期末）已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF． 【分析】由题意可证△ABE≌△CDF，可得结论． 【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD，AB＝CD ∴∠ABD＝∠CDB ∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC ∴△ABE≌△CDF ∴AE＝CF 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 3．（2024•兴庆区模拟）如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF． 【分析】证△ADE≌△CBF（SAS），即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵点E、F分别是OB、OD上的中点， ∵BEOB，DFOD， ∴BE＝DF， ∴DE＝BF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴∠DAE＝∠BCF． 【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 4．（2024秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，进而利用AAS证明△ADF与△ACE全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠ACE， ∵AE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠AEC＝∠AFD＝90°， 在△ADF与△ACE中， ， ∴△ADF≌△ACE（AAS）， ∴AE＝DF． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行解答． 5．（2024•大武口区校级一模）已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE． 【分析】由在平行四边形ABCD中，AM＝DM，证得△AEM≌△DCM（AAS），可得AE＝CD＝AB，由BM平分∠ABC，证得△BCE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠E＝∠DCM， 在△AEM和△DCM中， ， ∴△AEM≌△DCM（AAS）， ∴AE＝CD， ∴AE＝AB， ∵BM平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠CBM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CBM＝∠AMB， ∴∠ABM＝∠AMB， ∴AB＝AM， ∵AB＝AE，AM＝DM， ∴点M是AD的中点， ∴BC＝2AM， ∴BC＝BE， ∴△BCE是等腰三角形． ∵BM平分∠ABC， ∴BM⊥CE． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6．（2024秋•紫金县期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积． 【分析】（1）根据“SAS”及平行四边形的性质证明； （2）根据勾股定理及平行四边形的判定和性质求解． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，有AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C， ∵E，F分别为边AB，CD的中点， ∴AEAB，CFCD， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）解：∵∠ADB＝90°，E，为边AB的中点， ∴DEAB＝2， ∴AB＝4， ∴AD2， ∴S△ABDAD•DB＝2， ∴S△BDE， 在▱ABCD中，有AB＝CD，AB∥CD， ∵E，F分别为边AB，CD的中点， ∴AEAB，CFCD， ∴AE＝CF， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∴S▱BEDF＝2S△BDE＝2． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（2024春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）求证：AE平分∠DAB； （3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质，根据AAS可判定△ADE≌△FCE； （2）根据全等三角形的性质可得AE＝FE，根据BE⊥AF．利用线段垂直平分线的性质可得BA＝BF，进而可得结论； （3）结合（1）根据∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的长，根据△ADE≌△FCE，可得△ADE的面积＝△FCE的面积，所以▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积，即可得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠EFC， ∵点E是CD边的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）； （2）证明：∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， ∵BE⊥AF， ∴BA＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA， ∵∠DAE＝∠BFA， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴AE平分∠DAB； （3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4， ∴∠DAE＝∠BAF＝30°， ∵BE⊥AF， ∴BEAB＝2， ∴AEBE＝2， ∵△ADE≌△FCE， ∴△ADE的面积＝△FCE的面积， ∴▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2AE•BE＝22＝4． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质． 题型六 两条平行线间的距离及其应用 解题技巧提炼 两条平行线间的距离指的是：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，平行线间的处处都相等，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置. 1．如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（　　） A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长 【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线之间的距离的定义可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 又∵CM⊥AB， ∴直线AB与CD的距离为CM的长， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离的定义是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（　　） A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长 【分析】由平行四边形的性质和平行线之间的距离可直接求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵MN⊥CD， ∴平行线AB与CD之间的距离是MN的长， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3．（2024春•馆陶县期末）如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（　　） A．MN B．OE C．EF D．OF 【分析】夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离． 【解答】解：因为直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直线CD，则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长． 故选：C． 【点评】本题主要考查垂直于同一条直线的两条直线平行，也就是说，垂直于一条直线，必定也垂直于平行于这条直线的直线． 4．（2024春•冷水滩区校级期末）在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 【分析】分两种情况，当直线c在直线a、b之间时，当直线c在直线a、b外部时，即可解决问题． 【解答】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1）， 直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）； 当直线c在直线a、b外部时，如图（2）， 直线a、c间的距离为7+3＝10（cm）， ∴直线a、c间的距离是4或10cm． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论． 5．（2024春•巴彦县期末）已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，EF＝10，若∠AEF＝135°，则两直线AB与CD间的距离是（　　） A．5 B．6 C．3 D．5 【分析】作FH⊥AB于H，得到△FEH是等腰直角三角形，因此HFFE＝5． 【解答】解：如图，作FH⊥AB于H， ∵∠AEF＝135°， ∴∠FEH＝180°﹣∠AEF＝45°， ∴△FEH是等腰直角三角形， ∴HFFE， ∵EF＝10， ∴FH＝5． 故选：D． 【点评】本题考查平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间的距离的定义；作FH⊥AB于H，得到△FEH是等腰直角三角形，即可求解． 6．（2024春•香洲区期末）四边形ABCD中，AD∥BC，AD与BC之间的距离为4，AB＝AD＝CD＝5，则边BC的长为 　． 【分析】先根据勾股定理得到BM、CN的长，根据矩形得到MN的长，再利用线段之间的关系得到BC的长． 【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N， ∵AD与BC之间的距离为4， ∴AM＝DN＝4，四边形AMND为矩形， ∴AD＝MN＝5， 在Rt△ABM中，BM3， ∵AM＝DN，AB＝CD， ∴CN＝3， 在图1中，BC＝3+5+3＝11； 在图2中，BC＝3+5﹣3＝5； 在图3中，BC＝5﹣3+3＝5． 综上所述，BC的长为11或5． 故答案为：11或5． 【点评】本题考查了两平行线间的距离，其中能考虑到分类讨论是解题关键．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 题型七 平行四边形与平面直角坐标系的综合 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标时，主要考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质，对角线互相平分，有时需要分情况讨论． 1．（2024春•酒泉期末）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1） 【分析】由B，C的坐标求解线段BC的长度，再利用平行四边形的性质可得答案． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2）， ∴AD＝BC＝2﹣（﹣2）＝4， ∵BC∥x轴，AD∥BC， ∴AD∥x轴， ∴D（4，1）， 故选：C． 【点评】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键． 2．如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2） 【分析】由平行四边形的性质可得出答案． 【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）， ∴AB＝3，AB∥y轴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝3， ∵C（2，﹣1）， ∴D（2，2）， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，点的坐标与图形性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 3．▱ABCD的顶点坐标分别是为A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），则点D的坐标是（　　） A．（5，3） B．（﹣5，1） C．（1，﹣1） D．（3，0） 【分析】根据平行四边形的对边平行且相等的性质进行分析作答． 【解答】解：∵四边形ABCD的平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD． ∴xC﹣xB＝xD﹣xA，即3﹣0＝xD+2，则xD＝1． yC﹣yB＝yD﹣yA，即1﹣2＝yD，则yD＝﹣1． ∴点D的坐标是（1，﹣1）． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质． 4．（2024•南开区二模）如图，在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，点A（5，0）在x轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，对角线OB＝OA，BC交y轴于点D，且S平行四边形OABC＝20．则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（3，4） C．（3，2） D．（4，3） 【分析】根据面积可求出B点的纵坐标，再利用勾股定理求出其横坐标即可． 【解答】解：过点B作BP⊥AO于点P， ∵S平行四边形OABC＝20，OA＝5， ∴BP＝4， ∵OB＝OA＝5， ∴OP＝3， ∴B（3，4）， 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的面积问题，属于基础题． 5．如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），则点B的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣2） B．（，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣2） 【分析】由平行四边形的性质可得AC与BD互相平分，由中点坐标公式可求解． 【解答】解：设点B（x，y）， ∵▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2）， ∴AC与BD互相平分， ∴，， 解得：x＝﹣1，y＝﹣2， ∴点B坐标为（﹣1，﹣2）， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 6．（2024秋•莱西市期末）如图，平面直角坐标系中，点A，C两点的坐标分别为（1，3），（5，2），若四边形是平行四边形，则B点的坐标为（　　） A．（8，3） B．（7，4） C．（6，5） D．（5，6） 【分析】连接OB、AC交于点F，设F（m，n），B（a，b），则AF＝CF，OF＝BF，所以m（1+5）＝3，n（3+2），则F（3，），所以3a，b，则B（6，5），于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB、AC交于点F，设F（m，n），B（a，b）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF＝CF，OF＝BF， ∵点A，C两点的坐标分别为（1，3），（5，2）， ∴m（1+5）＝3，n（3+2）， ∴F（3，）， ∴3a，b， ∴a＝6，b＝5， ∴B（6，5）， 故选：C． 【点评】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质、线段的中点坐标的求法等知识，正确地求出线段OB的中点坐标是解题的关键． 题型八 平行四边形的折叠问题 解题技巧提炼 折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的图形胃疼，这类问题既是对称问题的应用又可考查空间想象能力，平行四边形中的折叠问题是利用平行四边形的性质，以及三角形的全等、平行等知识在解决问题. 1．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　） A．70° B．40° C．30° D．20° 【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A＝70°，又由平角的定义，即可求得∠AMF的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN， ∴AB∥CD∥MN， ∵∠A＝70°， ∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝70°， ∴∠AMF＝180°﹣∠DMN﹣∠FMN＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：B． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系． 2．（2024•武威三模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（　　） A．36° B．144° C．108° D．126° 【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解． 【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC， ∵∠1＝∠B′AC+∠DCA， ∴∠1＝2∠BAC＝36°， ∴∠BAC＝18°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°， 故选：D． 【点评】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质． 3．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝50°，再由三角形的外角性质得∠AEC＝∠D+∠DAE＝70°，则∠AED＝110°，然后由折叠的性质得∠AED＝∠AED′＝110°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝50°， ∵∠DAE＝20°， ∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°， ∴∠AED＝180°﹣70°＝110°， ∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处， ∴∠AED＝∠AED′＝110°， ∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°， 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键． 4．如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝8，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于点G，则△GEF的高是（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 【分析】根据折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝60°，再利用平行四边形的性质得到∠GFE＝∠DEF＝60°，则可判断△GEF为等边三角形，作EH⊥GF于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH即可． 【解答】解：∵四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′， ∴∠GEF＝∠DEF＝60°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠GFE＝∠DEF＝60°， ∴△GEF为等边三角形， 作EH⊥GF于H，如图， 在Rt△EFH中，HFEF＝4， EHHF＝4， 即△GEF的高是4． 故选：B． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了平行四边形的性质． 5．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，A′E交BD于F，则∠DEF＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【分析】由平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而得出∠A′DE＝∠AED，再根据翻折的性质以及三角形内角和即可求出∠DEF＝∠AED＝65°，此题得解． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠A′DE＝∠AED． 由翻折可知：∠ADE＝∠A′DE，∠DEF＝∠AED． ∴∠ADE＝∠AED． ∵∠A＝50°， ∴∠AED（180°﹣∠A）＝65°， ∴∠DEF＝65°． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及翻折变换，根据翻折变换以及平行四边形的性质找出∠DEF＝∠AED＝∠ADE是解题的关键． 6．如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据折叠的性质可得EF＝AE、BF＝BA，从而▱ABCD的周长可转化为：△FDE的周长+△FCB的周长，求出AB+BC，再由△FCB的周长为22，求出FC的长，即可解决问题． 【解答】解：由折叠的性质可得EF＝AE、BF＝AB， ∴▱ABCD的周长＝DF+FC+CB+BA+AE+DE＝△FDE的周长+△FCB的周长＝8+22＝30， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB+BC＝15， ∵△FCB的周长＝CF+BC+BF＝CF+BC+AB＝22， 即FC+15＝22， ∴FC＝7， 故选：C． 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点；根据折叠的性质将平行四边形的周长与△FCB的周长进行转化是解决问题的关键． 7．如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的D'处，折痕为AE．再将△AD'E翻折，点A恰好落在BC的中点A'处，连接AA'，若AD＝2，则线段AA'的长为　 　． 【分析】根据折叠的性质，得出AD'＝DE，而AD'∥DE，进而得到四边形ADED'是平行四边形，由折叠可得，D'E垂直平分AA'，即可得出△AA'B是直角三角形，再根据∠B＝∠D'A'B，得到D'A'＝D'B＝2，即AB＝2+2＝4，最后在Rt△AA'B中，运用勾股定理进行计算即可得到AA'的长． 【解答】解：由折叠可得，∠DAE＝∠D'AE，AD＝AD'＝2， ∵AB∥CD， ∴∠DEA＝∠D'AE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE＝2， ∴AD'＝DE，而AD'∥DE， ∴四边形ADED'是平行四边形， ∴AD∥D'E， 由折叠可得，D'E垂直平分AA'， ∴AA'⊥AD， 又∵AD∥BC， ∴AA'⊥BC， ∴△AA'B是直角三角形， ∵AD'＝A'D'＝2， ∴∠D'AA'＝∠D'A'A， 又∵∠D'AA'+∠B＝90°，∠D'A'A+∠D'A'B＝90°， ∴∠B＝∠D'A'B， ∴D'A'＝D'B＝2， ∴AB＝2+2＝4， 又∵A'是BC的中点，BC＝AD＝2， ∴A'B＝1， ∴AA'． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 8．在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为C1，点D的对应点为D1，若BD1＝2，则AD的长为 　 　． 【分析】分两种情况讨论：①当点D在线段AB上时，②当点D在线段AB延长线上时，再根据30度角直角三角形的性质求出AD长． 【解答】解：①当点D在线段AB上时， ∵BD1＝2， ∴AD1＝4﹣2＝2， ∵∠A＝60°， ∴∠ADD1＝30°， ∴AD＝2AD1＝2×2＝4； ②当点D在线段AB延长线上时， ∵BD1＝2， ∴AD1＝4+2＝6， ∵∠A＝60°， ∴∠ADD1＝30°， ∴AD＝2AD1＝2×6＝12； 故答案为4或12． 【点评】本题考查了轴对称，熟练运用30度角直角三角形的性质是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学《第18章 平行四边形》 18.1 平行四边形的性质 知识点一 平行四边形的定义 ◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”， 读作:“平行四边形ABCD”. 【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序． ◆3、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） 知识点二 平行四边形的性质 ●●平行四边形的性质： ◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC， ◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D ◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD 知识点三 两条平行线间的距离 ◆1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. ◆2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. ◆3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离. ◆4、三种距离之间的区别与联系 距离 两点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线之间的距离. 联系 都是指线段的长度. ◆5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.) 题型一 利用平行四边形的性质求线段长 解题技巧提炼 平行四边形中求有关线段的方法是利用平行四边形对边分别相等，对角线互相平分的性质来求解决的. 1．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 2．（2024秋•长春校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（　　） A．15 B．11 C．20 D．52 3．（2024秋•岱岳区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2024秋•渝中区校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，且BE＝AB，线段CE的长为（　　） A．2 B．3 C． D．3 5．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（　　） 6．（2024•苏州模拟）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长． 7．如图，已知四边形ABCD、EBFD均为平行四边形，AC、BD相交于点O，且A、E、O、F、C在同一条直线上，AC＝8cm，AE＝2cm，试求EF的长． 题型二 利用平行四边形的性质求角度 解题技巧提炼 平行四边形中求有关角度的方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其它三个角的度数. 1．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（　　） A．100° B．120° C．150° D．105° 2．（2024秋•渝北区期末）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（　　） A．125° B．115° C．55° D．135° 3．在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 4．（2024秋•潍坊期末）在▱ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 5．（2024秋•周村区期末）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（　　） A．84° B．96° C．98° D．106° 7．（2024秋•招远市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB． （1）求证：△ABC≌△EAD； （2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数． 题型三 利用平行四边形的性质求周长 解题技巧提炼 1.平行四边形的周长=2(a+b) （其中a、b分别为两相邻边的边长） 2. 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半. 3.在求平行四边形各边长时，可设一元一次方程或二元一次方程组求解. 1．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　　） A．24 B．26 C．28 D．30 2．若一平行四边形面积为144cm2，相邻两边上的高分别是8cm和9cm，则此平行四边形的周长为（　　） A．64cm B．68cm C．34cm D．70cm 3．（2024春•武城县期末）在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 4．（2024秋•丰城市校级期中）如图，在▱ABCD中P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝2.5，AP＝4，则△APB的周长是（　　） A．13 B．12 C．11.5 D．10.5 5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．8 6．（2024秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 　 ． 7．（2024春•龙湾区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为BO，OD的中点，连结AE，CF． （1）求证：AE＝CF． （2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AE，求▱ABCD的周长． 题型四 利用平行四边形的性质求面积 解题技巧提炼 平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 1．（2024春•仓山区期中）一个平行四边形的一条边长为7，两条对角线的长分别是10和，则这个平行四边形的面积为（　　） A． B． C．35 D． 2．（2024春•东港市期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF和GH过点O，且点E，H在边DC上，点G，F在边AB上，若▱ABCD的面积为10，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．4 C．3 D． 3．（2025•大渡口区模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 4．（2024•襄汾县一模）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为 　 　． 5．（2024春•靖远县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G． （1）求证：AG＝FG； （2）判断△CEF的形状，并说明理由； （3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积． 6．（2024春•原州区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若DO＝1.5cm，AB＝5cm，BC＝4cm，求▱ABCD的面积． 7．（2024春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）求证：AE平分∠DAB； （3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 题型五 利用平行四边形的性质证明 解题技巧提炼 平行四边形的定义、平行线的性质、全等三角形的判定和性质在有关平行四边形的证明中，常常结合在一起综合应用，而利用平行四边形的定义、平行线的性质获得三角形全等的条件是解题的关键. 1．（2024秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F．证明BE＝CF． 2．（2024春•丹凤县期末）已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF． 3．（2024•兴庆区模拟）如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF． 4．（2024秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 5．（2024•大武口区校级一模）已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE． 6．（2024秋•紫金县期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积． 7．（2024春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）求证：AE平分∠DAB； （3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 题型六 两条平行线间的距离及其应用 解题技巧提炼 两条平行线间的距离指的是：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，平行线间的处处都相等，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置. 1．如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（　　） A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（　　） A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长 3．（2024春•馆陶县期末）如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（　　） A．MN B．OE C．EF D．OF 4．（2024春•冷水滩区校级期末）在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 5．（2024春•巴彦县期末）已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，EF＝10，若∠AEF＝135°，则两直线AB与CD间的距离是（　　） A．5 B．6 C．3 D．5 6．（2024春•香洲区期末）四边形ABCD中，AD∥BC，AD与BC之间的距离为4，AB＝AD＝CD＝5，则边BC的长为 　． 题型七 平行四边形与平面直角坐标系的综合 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标时，主要考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质，对角线互相平分，有时需要分情况讨论． 1．（2024春•酒泉期末）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1） 2．如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2） 3．▱ABCD的顶点坐标分别是为A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），则点D的坐标是（　　） A．（5，3） B．（﹣5，1） C．（1，﹣1） D．（3，0） 4．（2024•南开区二模）如图，在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，点A（5，0）在x轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，对角线OB＝OA，BC交y轴于点D，且S平行四边形OABC＝20．则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（3，4） C．（3，2） D．（4，3） 5．如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），则点B的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣2） B．（，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣2） 6．（2024秋•莱西市期末）如图，平面直角坐标系中，点A，C两点的坐标分别为（1，3），（5，2），若四边形是平行四边形，则B点的坐标为（　　） A．（8，3） B．（7，4） C．（6，5） D．（5，6） 题型八 平行四边形的折叠问题 解题技巧提炼 折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的图形胃疼，这类问题既是对称问题的应用又可考查空间想象能力，平行四边形中的折叠问题是利用平行四边形的性质，以及三角形的全等、平行等知识在解决问题. 1．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　） A．70° B．40° C．30° D．20° 2．（2024•武威三模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（　　） A．36° B．144° C．108° D．126° 3．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 4．如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝8，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于点G，则△GEF的高是（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 5．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，A′E交BD于F，则∠DEF＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 6．如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的D'处，折痕为AE．再将△AD'E翻折，点A恰好落在BC的中点A'处，连接AA'，若AD＝2，则线段AA'的长为　 　． 8．在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为C1，点D的对应点为D1，若BD1＝2，则AD的长为 　 　． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$