专题07 一次函数（5类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题07 一次函数 课标要求 考点 考向 1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 2.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0) 探索并理解k＞0 和k＜0时图象的变化情况；理解正比例函数。 3.体会一次函数与二元一次方程的关系。 4.能用一次函数解决简单实际问题。 一 次 函 数 考向一 一次函数图象的平移、对称、旋转变换 考向二 待定系数法求一次函数解析式 考向三 一次函数与方程（组）、不等式 考向四 一次函数的实际应用 考向五 一次函数的实际应用---分段函数 考点一 一次函数 ►考向一 一次函数图象的平移、对称、旋转变换 解题技巧： 变 换 方 法 平移 对 称 旋 转 关于x轴 关于y轴 关于垂直于坐标轴的直线 1)k值不变，平移图象上的一个点; (2)k值不变，“上加下减，左加右减”. (1)对称图象上的两个点; (2)k、b均变为相反数. (1)对称图象上的两个点; (2)k变为相反数，b不变. 对称图象上的两个点，由对称后的两点坐标确定解析式. 旋转图象上的两个点，由旋转后的两点坐标确定解析式. 1．（2021•黄石）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m的值为 　　． 2．（2023•荆州）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（　　） A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2） ►考向二 待定系数法求一次函数解析式 解题技巧： 待定系数法求一次函数表达式一般步骤： （1） 设：设一次函数的表达式为y＝k x+b； （2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的表达式，组成二元一次方程组； （3）解：解二元一次方程组得 k，b ； （4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的表达式． 【注意】求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 3．（2023•鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　） A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1 ►考向三 一次函数与方程（组）、不等式 解题技巧： 1．一次函数与一元一次方程：任何一个一元一次方程都可以转化为kx＋b＝0(k，b为常数，且k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标． 2．一次函数与一元一次不等式：任何一个一元一次不等式都能写成ax＋b＞0(或ax＋b＜0)(a，b为常数，且a≠0)的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y＝ax＋b(a≠0)的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝ax＋b(a≠0)在x轴上(或下)方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组：从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标． 4．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线yx都经过点A（3，1），当kx+bx时，根据图象可知，x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1 5．（2021•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（　　） A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3 解题技巧： 1.行程问题、工程问题 (1)找起点：结合自变量及函数的取值范围，在函数图象中找出对应点； (2)找特殊点：交点——两个函数图象在此处表示相同的量；转折点——图象的倾斜度或增减性在此处发生变化； (3)判断图象趋势：判断函数的增减性，平行于x轴表示在这个过程中函数值保持不变； (4)看图象与坐标轴交点：即此时另外一个量为0. 2.利润最大或费用最少：一般由图象、题干中的数量关系或费用关系列出不等式，求出自变量的取值范围，然后利用一次函数的增减性求最少费用或最大利润． ►考向四 一次函数的实际应用 6．（2024•湖北）铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：cm3）之间的函数关系式为m＝7.9V，当V＝10cm3时，m＝　 　g． 7．（2023•武汉）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是　 　． 8．（2023•随州）甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距300km；②甲车的平均速度是60km/h，乙车的平均速度是100km/h；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9：30追上乙车．正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 9．（2023•宜昌）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空： 可能是 　 　函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； （2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式； （3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 10．（2023•鄂州）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式； （3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？ 11．（2023•恩施州）为积极响应州政府“悦享成长•书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同． （1）男装、女装的单价各是多少？ （2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？ 12．（2023•襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）： 次数 数量（支） 总成本（元） 海鲜串 肉串 第一次 3000 4000 17000 第二次 4000 3000 18000 针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元． （1）求m、n的值； （2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值． ►考向五 一次函数的实际应用---分段函数 解题技巧： 分段函数问题：要解决分段函数问题，首先要确定分段点，这个分段点就是函数图象突变的地方，同时也是我们主要考虑问题的地方，然后根据函数分段的定义，分别计算出每个区间的函数值，这就相当于我们把一个大问题分解成了几个小问题，每个小问题都是一个一次函数问题． 13．（2021•宜昌）甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖． x（单位：kg）表示购买苹果的重量，y（单位：元）表示付款金额． （1）文文购买3kg苹果需付款 　 元；购买5kg苹果需付款 　 元； （2）求付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式； （3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖，文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？ 14．（2021•襄阳）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示： 品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 鲢鱼 a 5 草鱼 b 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分 8 7 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元． （1）求a，b的值； （2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）． ①分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）最小值不少于320元，求m的最大值． 15．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． （1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； （3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 1．（2024•荆州模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则y＝﹣bx﹣k的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024•阳新县二模）关于一次函数y＝2x﹣1的图象，下列说法不正确的是（　　） A．直线不经过第二象限 B．直线经过点（﹣1，3） C．直线与y轴的交点是（0，﹣1） D．当x＞0时，y＞﹣1 3．（2024•沙市区三模）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　） A．32 B．34 C．36 D．38 4．（2024•洪山区模拟）在今年新的龟兔跑步比赛中，乌龟趁兔子睡着时率先出发1分钟，兔子醒来之后全力追赶，最后比乌龟提前2分钟到达终点．比赛中龟兔两者的时间与路程的关系如图所示，那么兔子出发后第（　　）分钟追上了乌龟． A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 5．（2024•江夏区模拟）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 6．（2024•青山区模拟）如图，一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系，则图中b的值是（　　） A．3050 B．2250 C．2050 D．2890 7．（2024•新洲区模拟）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额y甲、y乙（单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（　　） A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不确定 8．（2024•十堰一模）一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1　　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 9．（2024•南漳县模拟）在一次函数y＝（m+2）x﹣4中，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　　． 10．（2024•茅箭区一模）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，写出一个符合条件的y的值为 　 　． 11．（2024•湖北模拟）直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交于点（2024，0），与y轴交于点（0，﹣2025），则关于x的方程ax+b＝0的解为x＝　 ． 12．（2024•随州一模）如图，光源A（﹣3，2）发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），再被平面镜（x轴）上的点C反射得光线CD，则直线CD的解析式为 　　． 13．（2024•宜都市二模）如图，一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是 　 　． 14．（2024•黄石模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，直线l2经过△OAB的顶点B，且将△OAB的面积分为1：3的两部分，则直线l2的表达式为 　 　． 15．（2024•东西湖区校级模拟）在x轴正半轴上有n个连续整数点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y＝kx，y＝（k+1）x，y＝（k+2）x相交，其中k＞0，则图中阴影部分的面积总和是 　 　． 16．（2024•恩施市校级模拟）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体有用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同． （1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 17．（2024•恩施州模拟）今年的河南中考体育加试将增加排球测试．某商店决定购进A，B两种品牌的排球进行销售，已知每个A品牌排球的进价比每个B品牌排球的进价贵10元，用3000元购进A品牌排球的数量与用2500元购进B品牌排球的数量相同． （1）求每个A，B品牌排球的进价； （2）如果该商店决定购进这两种品牌排球共100个，用于购买这100个排球的资金不超过5350元，那么该商店最多可购进A品牌排球多少个？ （3）若销售每个A品牌排球可获利润20元，每个B品牌排球可获利润15元，在第（2）问的条件下，如何进货可获利最大？最大利润是多少元？ 18．（2024•荆州一模）今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进A，B两种跑鞋共80双进行销售．已知9000元全部购进B种跑鞋数量是全部购进A种跑鞋数量的1.5倍，A种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多150元，A，B两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元． （1）求A，B两种跑鞋的进价分别是多少元？ （2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进A种跑鞋的数量不多于B种跑鞋的，销售时对B种跑鞋每双降价25%出售．若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？ 19．（2024•咸宁一模）某商场在销售A产品的过程中发现：每天的销售件数y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件），销售A产品的成本z（单位：元）与销售价格x（单位：元/件）都满足一次函数关系，并且A产品的市场销售单价在20元到40元之间，每天的销售利润为w元．下表记录了该商场某四天销售A产品的数据．（销售利润＝售价×销量﹣成本） 销售价格x（元/件） 20 25 30 35 销售件数y（件） 20 15 10 5 成本z（元） 240 180 120 60 （1）分别写出y与x，z与x，w与x之间的函数关系式（不写自变量的取值范围）； （2）求某天的利润是132元时的成本； （3）当销售价格为多少元时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？ 20．（2024•宣恩县三模）随着旅游业的发展，某地的烤活鱼走进了广大群众的视野，深受游客们的喜爱，五一期间某公司为满足供货需求，提前从甲地购买海鲜、蔬菜、肉类三种物资共100吨，计划组织20辆汽车装运，要求20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，每辆汽车的运载量和每吨所需运费如下表． 物资种类 肉类 海鲜 蔬菜 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 （1）设x辆汽车装运肉类，y辆汽车装运海鲜，用含x，y的式子填写下表； 物资种类 肉类 海鲜 蔬菜 装运汽车数量（辆） x y 　 　 装运物品的总量（吨） 6x 　 　 　 （2）已知100吨物资恰好运完，试求y与x的函数关系式，并求出共有多少种装运方案； （3）请求出在（2）的条件下怎样装运花费费用最少？最少费用是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数 课标要求 考点 考向 1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 2.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0) 探索并理解k＞0 和k＜0时图象的变化情况；理解正比例函数。 3.体会一次函数与二元一次方程的关系。 4.能用一次函数解决简单实际问题。 一 次 函 数 考向一 一次函数图象的平移、对称、旋转变换 考向二 待定系数法求一次函数解析式 考向三 一次函数与方程（组）、不等式 考向四 一次函数的实际应用 考向五 一次函数的实际应用---分段函数 考点一 一次函数 ►考向一 一次函数图象的平移、对称、旋转变换 解题技巧： 变 换 方 法 平移 对 称 旋 转 关于x轴 关于y轴 关于垂直于坐标轴的直线 1)k值不变，平移图象上的一个点; (2)k值不变，“上加下减，左加右减”. (1)对称图象上的两个点; (2)k、b均变为相反数. (1)对称图象上的两个点; (2)k变为相反数，b不变. 对称图象上的两个点，由对称后的两点坐标确定解析式. 旋转图象上的两个点，由旋转后的两点坐标确定解析式. 1．（2021•黄石）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m的值为 　　． 【分析】根据“左加右减”的平移规律写出平行后直线解析式，然后将点（1，﹣3）代入求得m的值即可． 【解答】解：将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后所得直线为：y＝﹣（x+m）+1． 将点（1，﹣3）代入，得﹣3＝﹣1+1﹣m． 解得m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，直线y＝kx+b平移时，k的值不变． 2．（2023•荆州）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（　　） A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2） 【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标． 【解答】解：当x＝0时，yx+3＝3，则B点坐标为（0，3）； 当y＝0时，x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0）， 则OA＝2，OB＝3， ∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD， ∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3， 即AC⊥x轴，CD∥x轴， ∴点D的坐标为（5，2）． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键． ►考向二 待定系数法求一次函数解析式 解题技巧： 待定系数法求一次函数表达式一般步骤： （1） 设：设一次函数的表达式为y＝k x+b； （2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的表达式，组成二元一次方程组； （3）解：解二元一次方程组得 k，b ； （4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的表达式． 【注意】求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 3．（2023•鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　） A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1 【分析】根据棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，求出“马”所在的点的坐标，由此解答即可． 【解答】解：∵“帅”位于点（﹣2，﹣1）可得出“马”（1，2）， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝x+1， 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标和用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数解析式的求法是解题的关键． ►考向三 一次函数与方程（组）、不等式 解题技巧： 1．一次函数与一元一次方程：任何一个一元一次方程都可以转化为kx＋b＝0(k，b为常数，且k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标． 2．一次函数与一元一次不等式：任何一个一元一次不等式都能写成ax＋b＞0(或ax＋b＜0)(a，b为常数，且a≠0)的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y＝ax＋b(a≠0)的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝ax＋b(a≠0)在x轴上(或下)方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组：从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标． 4．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线yx都经过点A（3，1），当kx+bx时，根据图象可知，x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1 【分析】根据题意和函数图象，可以写出当kx+bx时，x的取值范围． 【解答】解：由图象可得， 当x＞3时，直线yx在一次函数y＝kx+b的上方， ∴当kx+bx时，x的取值范围是x＞3， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2021•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（　　） A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3 【分析】以两函数图象交点为分界，直线y＝kx+b（k≠0）在直线y＝2x﹣1的下方时，x＞2． 【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞2， 故选：C． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息． 解题技巧： 1.行程问题、工程问题 (1)找起点：结合自变量及函数的取值范围，在函数图象中找出对应点； (2)找特殊点：交点——两个函数图象在此处表示相同的量；转折点——图象的倾斜度或增减性在此处发生变化； (3)判断图象趋势：判断函数的增减性，平行于x轴表示在这个过程中函数值保持不变； (4)看图象与坐标轴交点：即此时另外一个量为0. 2.利润最大或费用最少：一般由图象、题干中的数量关系或费用关系列出不等式，求出自变量的取值范围，然后利用一次函数的增减性求最少费用或最大利润． ►考向四 一次函数的实际应用 6．（2024•湖北）铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：cm3）之间的函数关系式为m＝7.9V，当V＝10cm3时，m＝　 　g． 【分析】将V＝10代入m＝7.9V，求出对应m的值即可． 【解答】解：当V＝10时，m＝7.9×10＝79． 故答案为：79． 【点评】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式求出对应函数值是解题的关键． 7．（2023•武汉）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是　 　． 【分析】根据题意I去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可． 【解答】解：设点A、B的坐标为：（a，100）、（a，160）， 则直线OP的表达式为：st①， 设直线BP的表达式为：s＝kx+100， 将点B的坐标代入上式得：160＝ak+100， 解得：k， 则直线BP的表达式为：st+100②， 联立①②得：tt+100， 解得：s＝250，两图象交点P的纵坐标为250， 故答案为：250． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键． 8．（2023•随州）甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距300km；②甲车的平均速度是60km/h，乙车的平均速度是100km/h；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9：30追上乙车．正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【分析】根据图象可判断①和③选项，根据“路程÷时间＝速度”可求出甲和乙的速度，即可判断②选项，设甲车出发后x小时，追上乙车，根据甲车追上乙车时，两车的路程相等列方程，求出x的值，进一步判断即可． 【解答】解：由图象可知，A，B两城相距300km，乙车先出发，甲车先到达B城， 故①符合题意，③不符合题意； 甲车的平均速度是300÷3＝100（千米/小时）， 乙车的平均速度是300÷5＝60（千米/小时）， 故②不符合题意； 设甲车出发后x小时，追上乙车， 100x＝60（x+1）， 解得x＝1.5， ∴甲车出发1.5小时追上乙车， ∵甲车8：00出发， ∴甲车在9：30追上乙车， 故④符合题意， 综上所述，正确的有①④， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解图象上各点的实际含义是解题的关键． 9．（2023•宜昌）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空： 可能是 　 　函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； （2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式； （3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【分析】（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律，分析即可解答； （2）直接利用待定系数法即可求解； （3）将t＝110代入（2）求得的函数解析式中即可求解． 【解答】解：（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律可知，时间每增加10s，油的温度就升高20℃， 故锅中油温y与加热的时间t可能是一次函数关系； 故答案为：一次； （2）设锅中油温y与加热的时间t的函数关系式为y＝kt+b（k≠0）， 将点（0，10），（10，30）代入得，， 解得：， ∴y＝2t+10； （3）当t＝110时，y＝2×110+10＝230， ∴经过推算，该油的沸点温度是230℃． 【点评】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法正确求出一次函数的解析式是解题关键． 10．（2023•鄂州）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式； （3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？ 【分析】（1）根据“1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度上升”求出b，再根据y2＝20+ax计算出a即可； （2）根据“1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球从海拔20米处出发，以0.5米/分的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式； （3）两个气球所在位置的海拔相差5米，分两种情况：①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米；②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米；分别列出方程求解即可． 【解答】解：（1）∵1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升． 当x＝20时，两球相遇， y1＝10+x＝10+20＝30， ∴b＝30， 设2号探测气球解析式为y2＝20+ax， ∵y2＝20+ax过（20，30）， ∴30＝20+20a， 解得a＝0.5， ∴y2＝20+0.5x， 故答案为：0.5，30； （2）根据题意得： 1号探测气球所在位置的海拔：y1＝10+x， 2号探测气球所在位置的海拔：y2＝20+0.5x； （3）分两种情况： ①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米，根据题意得： （20+0.5x）﹣（x+10）＝5， 解得x＝10； ②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米，根据题意得： （x+10）﹣（0.5x+20）＝5， 解得x＝30． 综上所述，上升了10或30min后这两个气球相距5m． 【点评】此题主要考查了一次函数以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数解析式． 11．（2023•恩施州）为积极响应州政府“悦享成长•书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同． （1）男装、女装的单价各是多少？ （2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？ 【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可． 【解答】解：（1）设男装单价为x元，女装单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：男装单价为100元，女装单价为120元． （2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人， 根据题意可得， 解得：90≤a≤100， ∵a为整数， ∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数， 故一共有11种方案， 设总费用为w元，则w＝120a+100（150﹣a）＝15000+20a， ∵20＞0， ∴当a＝90时，w有最小值，最小值为15000+20×90＝16800（元）， 此时，150﹣a＝60（套）， 答：一共有11种方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元． 【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键． 12．（2023•襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）： 次数 数量（支） 总成本（元） 海鲜串 肉串 第一次 3000 4000 17000 第二次 4000 3000 18000 针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元． （1）求m、n的值； （2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值． 【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出m、n的值； （2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润＝每支利润×数量”分别列出代数式即可求出y与x的函数关系式，注意写出自变量x的取值范围； （3）设降价后获得肉串的总利润为z元，令W＝z﹣y．先根据题意列出z关于x的关系式，再写出W关于x的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果． 【解答】解：（1）根据表格可得： ， 解得， ∴m的值为3，n的值为2； （2）当0＜x≤200时，店主获得海鲜串的总利润y＝（5﹣3）x＝2x； 当200＜x≤400时，店主获得海鲜串的总利润y＝（5﹣3）×200+（5×0.8﹣3）（x﹣200）＝x+200； ∴y； （3）设降价后获得肉串的总利润为z元，令W＝z﹣y． ∵200＜x≤400， ∴z＝（3.5﹣a﹣2）（1000﹣x）＝（a﹣1.5）x+1500﹣1000a， ∴W＝z﹣y＝（a﹣2.5）x+1300﹣1000a， ∵0＜a＜1， ∴a﹣2.5＜0， ∴W随x的增大而减小， 当x＝400时，W的值最小， 由题意可得：z≥y， ∴W≥0， 即（a﹣2.5）×400+1300﹣1000a≥0， 解得：a≤0.5， ∴a的最大值是0.5． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解决问题的关键． ►考向五 一次函数的实际应用---分段函数 解题技巧： 分段函数问题：要解决分段函数问题，首先要确定分段点，这个分段点就是函数图象突变的地方，同时也是我们主要考虑问题的地方，然后根据函数分段的定义，分别计算出每个区间的函数值，这就相当于我们把一个大问题分解成了几个小问题，每个小问题都是一个一次函数问题． 13．（2021•宜昌）甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖． x（单位：kg）表示购买苹果的重量，y（单位：元）表示付款金额． （1）文文购买3kg苹果需付款 　 元；购买5kg苹果需付款 　 元； （2）求付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式； （3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖，文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？ 【分析】（1）根据题意直接写出购买3kg和5kg苹果所需付款； （2）分0＜x≤4和x＞4两种情况写出函数解析式即可； （3）通过两种付款比较那个超市便宜即可． 【解答】解：（1）由题意可知：文文购买3kg苹果，不优惠， ∴文文购买3kg苹果需付款：3×10＝30（元）， 购买5kg苹果，4kg不优惠，1kg优惠， ∴购买5kg苹果需付款：4×10+1×10×0.6＝46（元）， 故答案为：30，46； （2）由题意得： 当0＜x≤4时，y＝10x， 当x＞4时，y＝4×10+（x﹣4）×10×0.6＝6x+16， ∴付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式为：y； （3）文文在甲超市购买10kg苹果需付费：6×10+16＝76（元）， 文文在乙超市购买10kg苹果需付费：10×10×0.8＝80（元）， ∴文文应该在甲超市购买更划算． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，关键是写出分段函数的解析式． 14．（2021•襄阳）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示： 品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 鲢鱼 a 5 草鱼 b 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分 8 7 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元． （1）求a，b的值； （2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）． ①分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）最小值不少于320元，求m的最大值． 【分析】（1）根据“购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元”列方程组解答即可； （2）根据题意可得每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式； （3）由题意得出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）根据题意得： ， 解得； （2）①由题意得，y1＝（5﹣3.5）x＝1.5x（80≤x≤120）， 当300﹣x≤200时，100≤x≤120，y2＝（8﹣6）×（300﹣x）＝﹣2x+600； 当300﹣x＞200时，80≤x＜100，y2＝（8﹣6）×200+（7﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣x+500； ∴； ②由题意得，W＝（5﹣m﹣3.5）x+（7﹣6）×（300﹣x）＝（0.5﹣m）x+300，其中80≤x≤120， ∵当0.5﹣m≤0时，W＝（0.5﹣m）x+300≤300，不合题意， ∴0.5﹣m＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝80时，W的值最小， 由题意得，（0.5﹣m）×80+300≥320， 解得m≤0.25， ∴m的最大值为0.25． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式或不等关系是解题关键． 15．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． （1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； （3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 【分析】（1）分当0≤x≤2000时，当x＞2000时，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知，分当1600≤x≤2000时，当2000＜x≤4000时，分别列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论； （3）根据题意可知，降价后，w与x的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a的取值范围． 【解答】解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000， 解得k′＝15， ∴y＝15x； 当x＞2000时，设y＝kx+b， 根据题意可得，， 解得， ∴y＝13x+4000． ∴y． （2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克， ∵1600≤x≤4000， 当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000， ∵﹣1＜0， ∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）； 当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000， ∵1＞0， ∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元）， 综上，w； 当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． （3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a， 当x＝4000时，w取得最大值， ∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9． ∴a的最大值为0.9． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式． 1．（2024•荆州模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则y＝﹣bx﹣k的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据是一次函数y＝kx+b的图象经过一、三、四象限得出k，b的取值范围解答即可． 【解答】解：因为一次函数y＝kx+b的图象经过一、三、四象限， 可得：k＞0，b＜0， 所以直线y＝﹣bx﹣k的图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限． 故选：B． 【点评】此题考查一次函数图象和一次函数的性质，关键是根据是一次函数y＝kx+b的图象经过一、三、四象限得出k，b的取值范围． 2．（2024•阳新县二模）关于一次函数y＝2x﹣1的图象，下列说法不正确的是（　　） A．直线不经过第二象限 B．直线经过点（﹣1，3） C．直线与y轴的交点是（0，﹣1） D．当x＞0时，y＞﹣1 【分析】根据解析式和一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【解答】解：一次函数y＝2x﹣1的图象图象经过第一、三、四象限，与y轴交点（0，﹣1），直线经过点（﹣1，﹣3），当x＞0时，y＞﹣1． 故直线经过点（﹣1，3）是错误的． A、直线不经过第二象限，正确，不符合题意； B、直线经过点（﹣1，3），错误，符合题意； C、直线与y轴的交点是（0，﹣1），正确，不符合题意； D、当x＞0时，y＞﹣1，正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 3．（2024•沙市区三模）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　） A．32 B．34 C．36 D．38 【分析】根据图象可知进水的速度为5（L/min），再根据第16分钟时容器内水量为35L可得出水的速度，进而得出第24分钟时的水量，从而得出a的值． 【解答】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min）， 出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L/min）， 第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L）， a＝24+45÷3.75＝36． 故选：C． 【点评】此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，利用数形结合的方法即可解决问题． 4．（2024•洪山区模拟）在今年新的龟兔跑步比赛中，乌龟趁兔子睡着时率先出发1分钟，兔子醒来之后全力追赶，最后比乌龟提前2分钟到达终点．比赛中龟兔两者的时间与路程的关系如图所示，那么兔子出发后第（　　）分钟追上了乌龟． A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】设比赛的路程为m，利用待定系数法即可分别求得兔子和乌龟的函数解析式，进而作答即可． 【解答】解：设比赛的路程为m， 根据图象，设乌龟的函数解析式为y1＝k1x， 根据题意得m＝6k1， 解得k1， ∴函数解析式为：y1x， 根据图象，设兔子的函数解析式为y2＝k2x+b， 根据题意得， 解得， ∴函数解析式为：y2x， ∵xx， ∴x＝2， 兔子晚乌龟一分钟出发，2﹣1＝1（分钟）， 故选：A． 【点评】本题考查函数图象和一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式． 5．（2024•江夏区模拟）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，然后将x＝20代入求出相应的y的值，从而可以计算出该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润． 【解答】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（25，50），（35，30）在该函数图象上， ∴， 解得， 即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+100， 当x＝20时，y＝﹣2×20+100＝60， 则该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润为：（20﹣15）×60＝300（元）， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 6．（2024•青山区模拟）如图，一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系，则图中b的值是（　　） A．3050 B．2250 C．2050 D．2890 【分析】根据函数图象可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：设小明从1600米处到终点的速度为x米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为y米/秒， ， 解得：， ∴这次越野跑的全程为：1450+200y＝1450+200×3＝2050（m）， ∴b＝2050（m）， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用数形结合的思想解答问题． 7．（2024•新洲区模拟）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额y甲、y乙（单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（　　） A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不确定 【分析】利用待定系数法即可求出y甲，y乙关于x的函数关系式，将x＝620代入计算即可作出判断． 【解答】解：设y甲＝kx，把（1200，960）代入， 得1200k＝960，解得k＝0.8， 所以y甲＝0.8x， 当0＜x＜200时，设y乙＝ax， 把（200，200）代入，得200a＝200，解得a＝1， 所以y乙＝x； 当x≥200时，设y乙＝mx+n， 把（1200，900），（200，200）代入，得， 解得． 所以y乙， x＝620时， y甲＝0.8×620＝496， y乙＝0.7×620+60＝494， 494＜496， ∴从省钱的角度建议选择乙商场， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确求出函数解析式是解题的关键． 8．（2024•十堰一模）一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1　　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】由k＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜1，即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点A（﹣2，y1），B（1，y2），且﹣2＜1， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 9．（2024•南漳县模拟）在一次函数y＝（m+2）x﹣4中，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　　． 【分析】根据题意可得m+2＞0，即可求出m的取值范围． 【解答】解：∵一次函数y＝（m+2）x﹣4中，y随x的增大而增大， ∴m+2＞0， ∴m＞﹣2， 故答案为：m＞﹣2． 【点评】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是关键． 10．（2024•茅箭区一模）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，写出一个符合条件的y的值为 　 　． 【分析】将解析式变形为k0，根据题意k＜0，推出y＜﹣1即可． 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴k0， 当x＝2时，y＜﹣1， 不妨y＝﹣3（答案不唯一）． 故答案为：﹣3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是关键． 11．（2024•湖北模拟）直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交于点（2024，0），与y轴交于点（0，﹣2025），则关于x的方程ax+b＝0的解为x＝　 ． 【分析】根据方程ax+b＝0与一次函数y＝ax+b的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 方程ax+b＝0的解可看成一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点的横坐标， 因为直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交于点（2024，0）， 素以ax+b＝0的解为x＝2024． 故答案为：2024． 【点评】本题考查一次函数与一元一次方程，熟知一次函数与一元一次方程之间的关系是解题的关键． 12．（2024•随州一模）如图，光源A（﹣3，2）发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），再被平面镜（x轴）上的点C反射得光线CD，则直线CD的解析式为 　　． 【分析】根据反射定律，∠ABD＝∠CBE，设点B的坐标为（0，b）可得，解得b，继而得到直线AB解析式，根据两条直线平行k值相等，设直线CD的解析式为y，将点C（﹣1，0）代入解得n值，继而可得直线CD的解析式． 【解答】解：设点B的坐标为（0，b），过点B作y轴的垂线，过点A作垂足于该直线的垂线相交于点D，作CE⊥BD，垂足为E， 根据反射定律，∠ABD＝∠CBE， ∴tan∠ABD＝tan∠CBE， ∴，解得b， 设直线AB的解析式为y＝kx+m，将点A（﹣3，2）和B（0，）代入得： ，解得， ∴直线AB的解析式为y， ∵AB∥CD， ∴直线AB和CD解析式中的k值相等， 设直线CD的解析式为y，将点C（﹣1，0）代入得： ，解得n， ∴直线CD的解析式为：yx． 故答案为：yx． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求出B点坐标是关键． 13．（2024•宜都市二模）如图，一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是 　 　． 【分析】根据函数图象中的数据，可以求出y与x的函数关系式，再将x＝6代入求出相应的y的值，即a的值． 【解答】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（0，10），（2，14）在该函数图象上， ∴ 解得， 即y与x的函数关系式为y＝2x+10， 当x＝6时，y＝2×6+10＝22， ∴a＝22， 故答案为：22． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出一次函数的解析式，利用数形结合的思想解答． 14．（2024•黄石模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，直线l2经过△OAB的顶点B，且将△OAB的面积分为1：3的两部分，则直线l2的表达式为 　 　． 【分析】先求出A，B两点坐标，根据直线l2经过△OAB的顶点B，且将△OAB的面积分为1：3的两部分，分两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：∵l1：y＝﹣2x+4， ∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2， ∴A（0，4），B（2，0）， ∴OA＝4， 设直线l2与y轴交于点E，l2的表达式为y＝kx+b， ∵直线l2将△OAB的面积分为1：3的两部分， ①当S△AEB＝3S△OEB时，则：， ∴E（0，1）， ∴，解得：， ∴； ②当3S△AEB＝S△OEB，则：， ∴E（0，3）， ∴，解得：， ∴； 故答案为：或． 【点评】本题考查一次函数与几何的综合应用， 15．（2024•东西湖区校级模拟）在x轴正半轴上有n个连续整数点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y＝kx，y＝（k+1）x，y＝（k+2）x相交，其中k＞0，则图中阴影部分的面积总和是 　 　． 【分析】分别把x＝1，x＝2，x＝3，…，x＝n代入解析式，求出梯形或三角形的边长，根据面积公式求出即可 【解答】解：把x＝1分别代入y＝kx，y＝（k+1）x，y＝（k+2）x得：AW＝k+2﹣k＝2，WQ＝k+1﹣k＝1， ∴AQ＝2﹣（k+1）＝1﹣k， 同理：BR＝RK＝2，CH＝HP＝3，DG＝GL＝4，EF＝FT＝5， 2﹣1＝1，3﹣2＝1，4﹣3＝1，5﹣4＝1， ∴图中阴影部分的面积是1×1（1+2）×1（2+3）×1（n﹣2+n﹣1）×1（n﹣1+n）×1n2． 故答案为：n2． 【点评】此题主要考查了一次函数和三角形的面积公式，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用面积公式求解． 16．（2024•恩施市校级模拟）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体有用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同． （1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可； （2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，设总利润为w元，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求出m的范围；再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可． 【解答】解：（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，则B种羽毛球拍每副的进价为（x﹣20）元 根据题意，得， 解得x＝70， 经检验x＝70是原方程的解， 70﹣20＝50（元）， 答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元； （2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，总利润为w元， 根据题意，得70m+50（100﹣m）≤5900， 解得m≤45，且m为正整数， w＝25m+20（100﹣m）＝5m+2000， ∵5＞0， ∴w随着m的增大而增大， 当m＝45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000＝2225（元）， 此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100﹣45＝55（副）， 答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 17．（2024•恩施州模拟）今年的河南中考体育加试将增加排球测试．某商店决定购进A，B两种品牌的排球进行销售，已知每个A品牌排球的进价比每个B品牌排球的进价贵10元，用3000元购进A品牌排球的数量与用2500元购进B品牌排球的数量相同． （1）求每个A，B品牌排球的进价； （2）如果该商店决定购进这两种品牌排球共100个，用于购买这100个排球的资金不超过5350元，那么该商店最多可购进A品牌排球多少个？ （3）若销售每个A品牌排球可获利润20元，每个B品牌排球可获利润15元，在第（2）问的条件下，如何进货可获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设每个A品牌排球的进价为x元，则每个B品牌排球的进价为（x﹣10）元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购进A品牌排球a个，则购进B品牌排球（100﹣a）个，根据题意列关于a的一元一次不等式并求解即可； （3）设总利润为W元，根据“总利润＝A品牌排球的利润+B品牌排球的利润”，写出W关于a的函数表达式，根据W随a的增减变化情况，确定当a取何值时W最大，求出最大值及对应的a及（100﹣a）的值即可． 【解答】解：（1）设每个A品牌排球的进价为x元，则每个B品牌排球的进价为（x﹣10）元． 根据题意，得， 解得x＝60， 经检验，x＝60是所列分式方程的解， 60﹣10＝50（元）， ∴每个A品牌排球的进价为60元，则每个B品牌排球的进价为50元． （2）设购进A品牌排球a个，则购进B品牌排球（100﹣a）个． 根据题意，得60a+50（100﹣a）≤5350， 解得a≤35，且a为正整数， ∴该商店最多可购进A品牌排球35个． （3）设总利润为W元． 根据题意，得W＝20a+15（100﹣a）＝5a+1500， ∵5＞0， ∴W随a的增大而增大， ∵a≤35， ∴当a＝35时，W最大，W最大＝5×35+1500＝1675，此时购进B品牌排球100﹣35＝65（个）， ∴购进A品牌排球35个、B品牌排球65个可获利最大，最大利润是1675元． 【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用和一元一次不等式的应用，掌握一次函数的一次项系数与函数增减性的关系及分式方程、一元一次不等式的解法是本题的关键． 18．（2024•荆州一模）今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进A，B两种跑鞋共80双进行销售．已知9000元全部购进B种跑鞋数量是全部购进A种跑鞋数量的1.5倍，A种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多150元，A，B两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元． （1）求A，B两种跑鞋的进价分别是多少元？ （2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进A种跑鞋的数量不多于B种跑鞋的，销售时对B种跑鞋每双降价25%出售．若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设每双A种跑鞋的进价是x元，则每双B种跑鞋的进价是（x﹣150）元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购进A种跑鞋a双，则购进B种跑鞋（80﹣a）双，根据题意列关于a的一元一次不等式并求其解集；设这批跑鞋全部售完获利W元，根据“总利润＝A种跑鞋的利润+B种跑鞋的利润”写出W关于a的函数关系式，根据该关系式的增减性，确定当a取何值时W的值最大，求出W的最大值及此时（80﹣a）的值即可． 【解答】解：（1）设每双A种跑鞋的进价是x元，则每双B种跑鞋的进价是（x﹣150）元． 根据题意，得1.5， 解得x＝450， 经检验，x＝450是所列分式方程的根， 450﹣150＝300（元）， ∴每双A种跑鞋的进价是450元，每双B种跑鞋的进价是300元． （2）设购进A种跑鞋a双，则购进B种跑鞋（80﹣a）双． 根据题意，得a（80﹣a）， 解得a≤32． 设这批跑鞋全部售完获利W元，则W＝（550﹣450）a+[500×（1﹣25%）﹣300]（80﹣a）＝25a+6000， ∵25＞0， ∴W随a的增大而增大， ∵a≤32， ∴当a＝32时，W值最大，W最大＝25×32+6000＝6800，此时购进B种跑鞋80﹣32＝48（双）， ∴购进A种跑鞋32双、B种跑鞋48双才能获利最大，最大利润是6800元． 【点评】本题考查一次函数、分式方程、一元一次不等式的应用，掌握一次函数的增减性、分式方程及一元一次不等式的解法是本题的关键． 19．（2024•咸宁一模）某商场在销售A产品的过程中发现：每天的销售件数y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件），销售A产品的成本z（单位：元）与销售价格x（单位：元/件）都满足一次函数关系，并且A产品的市场销售单价在20元到40元之间，每天的销售利润为w元．下表记录了该商场某四天销售A产品的数据．（销售利润＝售价×销量﹣成本） 销售价格x（元/件） 20 25 30 35 销售件数y（件） 20 15 10 5 成本z（元） 240 180 120 60 （1）分别写出y与x，z与x，w与x之间的函数关系式（不写自变量的取值范围）； （2）求某天的利润是132元时的成本； （3）当销售价格为多少元时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）用待定系数法分别求出y与x，z与x的函数解析式，再用利润＝销售额﹣成本列出w与x之间的函数关系式； （2）把w＝132代入w与x之间的函数关系式求出x即可； （3）把w与x之间的函数关系式化为顶点式，再由函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 把x＝20，y＝20和x＝25，y＝15代入解析式得：， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+40； 设z与x之间的函数关系式为z＝mx+n， 把x＝20，y＝240和x＝25，y＝180代入解析式得， 解得， ∴z与x之间的函数关系式为z＝﹣12x+480； 根据题意得：w＝xy﹣z＝x（﹣x+40）﹣（﹣12x+480）＝﹣x2+52x+480， ∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣x2+52x+480； （2）当w＝132时，﹣x2+52x+480＝132， 解得x1＝18，x2＝34， ∵20≤x≤40， ∴x＝34， 此时，z＝﹣12×34+480＝72， ∴某天的利润是132元时的成本为72元； （3）w＝﹣x2+52x+480＝﹣（x﹣26）2+196， ∵﹣1＜0，20≤x≤40， ∴当x＝26时，w有最大值，最大值为196， ∴当销售价格为26元时，一天的销售利润最大，最大利润是196元． 【点评】本题考查一次函数和二次函数的应用，关键是列出函数解析式，用函数的性质解答． 20．（2024•宣恩县三模）随着旅游业的发展，某地的烤活鱼走进了广大群众的视野，深受游客们的喜爱，五一期间某公司为满足供货需求，提前从甲地购买海鲜、蔬菜、肉类三种物资共100吨，计划组织20辆汽车装运，要求20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，每辆汽车的运载量和每吨所需运费如下表． 物资种类 肉类 海鲜 蔬菜 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 （1）设x辆汽车装运肉类，y辆汽车装运海鲜，用含x，y的式子填写下表； 物资种类 肉类 海鲜 蔬菜 装运汽车数量（辆） x y 　 　 装运物品的总量（吨） 6x 　 　 　 （2）已知100吨物资恰好运完，试求y与x的函数关系式，并求出共有多少种装运方案； （3）请求出在（2）的条件下怎样装运花费费用最少？最少费用是多少？ 【分析】（1）根据装运甲种物资的车辆数为x，装运乙种物资的车辆数为y，由题意即可得出答案； （2）由运载量为100吨列出等式即可得出结论，再由每种物资至少装运1辆车，得出不等式组求出x的值，从而得出运载方案； （3）根据图表表示出总费用，再利用一次函数增减性分析即可． 【解答】解：（1）设x辆汽车装运肉类，y辆汽车装运海鲜，用含x，y的式子填写下表； 物资种类 肉类 海鲜 蔬菜 装运汽车数量（辆） x y 20﹣x﹣y 装运物品的总量（吨） 6x 5y 4（20﹣x﹣y） 故答案为：20﹣x﹣y，5y，4（20﹣x﹣y）； （2）由题意可知：6x+5y+4（20﹣x﹣y）＝100， ∴y＝20﹣2x， ∵ ∴1≤x≤9.5，且x为整数， ∴x＝1、2、3、4、5、6、7、8、9， ∴共9种装运方案； （3）设20辆车装运花费的总费用为w， 则w＝120×6x+160×5y+100×4（20﹣x﹣y） ＝720x+160×5（20﹣2x）+100×4x ＝﹣480x+16000， ∵k＝﹣480＜0 ∴w随x的增大而减小． ∴当x＝9时，总费最少，最少费用为w＝﹣480×9+16000＝11680元， 此时y＝﹣2x+20＝2． 答：当用9辆车运肉类、2辆车运海鲜、9辆车运蔬菜时费用最少，最少费用为11680元． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$