专题08 反比例函数（9类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题08 反比例函数 课标要求 考点 考向 1.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式。 2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y (k≠0)探索并理解k＞0 和k＜0时图象的变化情况。 3.能用反比例函数解决简单实际问题。 反 比 例 函 数 考向一 反比例函数的图象与性质 考向二 利用反比例函数的图象与性质比较函数值大小 考向三 反比例函数与其它函数图象共存问题 考向四 反比例函数k的几何意义 考向五 待定系数法求反比例的函数解析式 考向六 反比例函数与一次函数的交点问题 考向七 反比例函数的实际应用 考向八 一次函数、反比例函数与面积的综合 考向九 一次函数、反比例函数与特殊图形的综合 考点 反比例函数 ►考向一 反比例函数的图象与性质 解题技巧： 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，随的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 1．当k＞0时，若x1x2＞0，x1＜x2，则y1＞y2；若x1＜0＜x2，则y1＜0＜y2. 2．当k＜0时，若x1x2＞0，x1＜x2，则y1＜y2；若x1＜0＜x2，则y1＞0＞y2. 1．（2023•武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点（a，a+2），则a＝1 2．（2023•湖北）在反比例函数y的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（　　） A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4 3．（2024•武汉）某反比例函数y具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是 　 　． 4．（2022•湖北）在反比例函数y的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 　 　． 5．（2023•十堰）函数y的图象可以由函数y的图象左右平移得到． （1）将函数y的图象向右平移4个单位得到函数y的图象，则a＝　 　； （2）下列关于函数y的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 　 　（填写序号）； （3）根据（1）中a的值，写出不等式的解集． ►考向二 利用反比例函数的图象与性质比较函数值大小 解题技巧： 比较反比例函数值大小的方法 方法一:性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小;当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方,进行函数值大小比较. 方法二:图象法.根据条件在坐标系中描出各点,观察点的位置高低,就可以比较函数值大小.图象法形象直观. 方法三:特殊值法.根据条件取自变量的特殊值,代入解析式求出对应的数值,就可以直接比较函数值大小.特殊值法简单直接. 6．（2022•襄阳）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定 7．（2023•宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 8．（2022•武汉）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2 9．（2023•襄阳）点A（1，y1），B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1　 　y2．（填“＞”或“＜”） ►考向三 反比例函数与其它函数图象共存问题 解题技巧： 本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键，有时要用到排除法. 10．（2023•襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y的图象可能是（　　） A． B． C． D． 11．（2022•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 12．（2021•荆门）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的大致图象是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ ►考向四 反比例函数k的几何意义 解题技巧： 反比例函数比例系数k的几何意义：如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积 13．（2022•荆门）如图，点A，C为函数y（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 14．（2021•荆州）如图，过反比例函数y（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 　 　． 15．（2023•黄石）如图，点A（a，） 和B（b，）在反比例函数y（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 　 　；若△AOB的面积为，则　 ． 16．（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 　 　． ►考向五 待定系数法求反比例的函数解析式 解题技巧： 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 17．（2023•湖北）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（2，m），则△AOB的面积为 　 　． 18．（2023•恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x+2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y（k≠0）在一，三象限分别交于C，D两点，ABBC，连接CO，DO． （1）求k的值； （2）求△CDO的面积． ►考向六 反比例函数与一次函数的交点问题 19．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2（其中k1•k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 　 ． 20．（2022•黄石）如图，反比例函数y的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝　 　． 21．（2022•随州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 　 　． 22．（2022•鄂州）如图，已知直线y＝2x与双曲线y（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA，则k的值为 　 　． 23．（2024•湖北）如图，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象在第一象限的部分交于点B（n，4）． （1）求m，n，k的值； （2）若C是反比例函数y的图象在第一象限部分上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． ►考向七 反比例函数的实际应用 解题技巧： 1、利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 2、跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． 3、反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 24．（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（　　） I/A 5 … a … … … b … 1 R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b 25．（2023•荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 26．（2023•随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（　　） A．3A B．4A C．6A D．8A ►考向八 一次函数、反比例函数与面积的综合 27．（2021•随州）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）连接OD，求△BOD的面积． 28．（2022•湖北）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2（x＞0）的图象交于A（6，），B（，n）两点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F． （1）求y1与y2的解析式； （2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围； （3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 　 ． 29．（2023•湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围； （3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标． ►考向九 一次函数、反比例函数与特殊图形的综合 30．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y（k1＞0）和y（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（　　） A．36 B．18 C．12 D．9 31．（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y（k≠0）的图象上，若在y的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 　 　． 32．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y经过点A． （1）求k； （2）直线AC与双曲线y在第四象限交于点D，求△ABD的面积． 33．（2022•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB＝90°，A（0，2），C（6，2）．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC．反比例函数y1（k≠0）的图象经过点D． （1）求反比例函数的解析式． （2）若AB所在直线解析式为y2＝ax+b（a≠0），当y1＞y2时，求x的取值范围． 34．（2022•湖北）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）． （1）求k1，k2的值； （2）若点C，D分别在函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024•阳新县一模）反比例函数y的图象经过点（3，﹣1），则下列说法错误的是（　　） A．k＝﹣3 B．函数图象分布在第二、四象限 C．函数图象关于原点中心对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 2．（2024•洪山区模拟）若点（﹣6，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 3．（2024•巴东县模拟）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）之间的关系如表所示，则下列说法中错误的是（　　） I/A …… 5 4 m 2 1 0.5 0.25 …… R/Ω …… 20 25 30 40 50 100 200 400 …… A．m的值为2.5 B．I与R之间的函数表达式为 C．当I≤20A时，R≤5Ω D．I随R的增大而减小 4．（2024•十堰模拟）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当I＜0.25时，R＜880 B．I与R的函数关系式是 C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25 5．（2024•武汉模拟）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　　） A．和y2＝﹣x﹣1 B．和y2＝﹣x+1 C．和y2＝﹣x﹣1 D．和y2＝﹣x+1 6．（2024•洪山区校级二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB∥y轴，交x轴于点C，连结OA，取OA的中点D，连结BD，则△ADB（阴影部分）的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 7．（2024•宜都市二模）对于反比例函数，给出下列结论：①其图象经过点（1，2）；②其图象与直线y＝x+2一定有两个交点；③当x＜2时，y的取值范围是y＞1；④若A（x1，y1），B（x2，y2）是其图象上的两点，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，则点A，B一定不在同一象限．其中正确的选项是（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 8．（2024•汉川市模拟）如图，函数y＝﹣x与函数y的图象相交于A，B 两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接AD，BC．则四边形ACBD的面积为（　　） A．12 B．8 C．6 D．4 9．（2024•武汉模拟）已知正比例函数图象与反比例函数图象都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为　 ． 10．（2024•武汉模拟）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　k＜1　． 11．（2024•咸宁一模）已知反比例函数y1与y2（k＞0），当1≤x≤3时，y1的最小值为a，y2的最小值为2a﹣5，则k的值是 　 　． 12．（2024•武汉模拟）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 　 　℃． 13．（2024•广水市二模）如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，已知点B，C关于原点对称，则△ABC的面积为 　 　． 14．（2024•巴东县模拟）如图，反比例函数的图象经过等腰直角△ABC的一个顶点C，∠ABC＝90°，，CA⊥x轴，则k＝　 　． 15．（2024•汉川市模拟）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y在第一象限内的图象经过点D，且与AB，BC分别交于E，F两点，若四边形BEDF的面积为9，则k的值为 　 　． 16．（2024•樊城区二模）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象相交于A（1，m），B（4，n）两点． （1）求m，n，k的值； （2）当1＜x＜4时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出常数p的取值范围． 17．（2024•茅箭区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝8，BC＝5． （1）若OA＝8，求k的值： （2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长． 18．（2024•当阳市模拟）如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0）交反比例函数的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，连接OP、OQ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△OPQ面积的最大值． 19．（2024•钟祥市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x与函数的图象交于点A（1，3）． （1）求m的值； （2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝3x+b与直线l交于点B，与函数的图象交于点C，与x轴交于点D． ①当点C是线段BD的中点时，求b的值； ②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围． 20．（2024•建始县模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1）、B（a，﹣2）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）在y轴上取一点P，使PA﹣PC的值最大，并求出PA﹣PC的最大值及点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 反比例函数 课标要求 考点 考向 1.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式。 2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y (k≠0)探索并理解k＞0 和k＜0时图象的变化情况。 3.能用反比例函数解决简单实际问题。 反 比 例 函 数 考向一 反比例函数的图象与性质 考向二 利用反比例函数的图象与性质比较函数值大小 考向三 反比例函数与其它函数图象共存问题 考向四 反比例函数k的几何意义 考向五 待定系数法求反比例的函数解析式 考向六 反比例函数与一次函数的交点问题 考向七 反比例函数的实际应用 考向八 一次函数、反比例函数与面积的综合 考向九 一次函数、反比例函数与特殊图形的综合 考点 反比例函数 ►考向一 反比例函数的图象与性质 解题技巧： 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，随的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 1．当k＞0时，若x1x2＞0，x1＜x2，则y1＞y2；若x1＜0＜x2，则y1＜0＜y2. 2．当k＜0时，若x1x2＞0，x1＜x2，则y1＜y2；若x1＜0＜x2，则y1＞0＞y2. 1．（2023•武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点（a，a+2），则a＝1 【分析】利用反比例函数的图象和性质进而分析得出答案． 【解答】解：反比例函数，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误； 反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确； 反比例函数图象经过点（a，a+2）， ∴a（a+2）＝3， 解得a＝1或a＝﹣3， 故D选项错误， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2．（2023•湖北）在反比例函数y的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（　　） A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4 【分析】根据反比例函数的性质，可得答案． 【解答】解：∵当x1＜0＜x2时，有y1＜y2， ∴反比例函数y的图象位于一、三象限， 4﹣k＞0， 解得k＜4， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题关键． 3．（2024•武汉）某反比例函数y具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是 　 　． 【分析】根据反比例函数的性质以及题意可知k＞0，再进行取值即可． 【解答】解：由题可知， 当反比例函数y具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小， 即k＞0时满足条件， 则k的值取1． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例的性质是解题的关键． 4．（2022•湖北）在反比例函数y的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 　 　． 【分析】由整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，可得k＝±4，由反比例函数y的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解得k＞1，则k＝4，即可得反比例函数的解析式． 【解答】解：∵整式x2﹣kx+4是一个完全平方式， ∴k＝±4， ∵反比例函数y的图象的每一支上，y都随x的增大而减小， ∴k﹣1＞0， 解得k＞1， ∴k＝4， ∴反比例函数的解析式为y． 故答案为：y． 【点评】本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、完全平方式是解答本题的关键． 5．（2023•十堰）函数y的图象可以由函数y的图象左右平移得到． （1）将函数y的图象向右平移4个单位得到函数y的图象，则a＝　 　； （2）下列关于函数y的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 　 　（填写序号）； （3）根据（1）中a的值，写出不等式的解集． 【分析】（1）利用左加右减的平移规律即可得到结论； （2）根据平移的性质结合函数y的性质判断即可； （3）根据图象即可求得． 【解答】解：（1）将函数y的图象向右平移4个单位得到函数y的图象，则a＝﹣4； 故答案为：﹣4； （2）函数y向左平移a个单位得到函数y的图象， ①图象关于点（﹣a，0）对称，正确； ②y随x的增大而减小，错误； ③图象关于直线y＝﹣x+a对称，错误； ④y的取值范围为y≠0，正确． 其中说法正确的是①④； 故答案为：①④； （3）观察图象，不等式的解集为x＞4或x＜0． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． ►考向二 利用反比例函数的图象与性质比较函数值大小 解题技巧： 比较反比例函数值大小的方法 方法一:性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小;当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方,进行函数值大小比较. 方法二:图象法.根据条件在坐标系中描出各点,观察点的位置高低,就可以比较函数值大小.图象法形象直观. 方法三:特殊值法.根据条件取自变量的特殊值,代入解析式求出对应的数值,就可以直接比较函数值大小.特殊值法简单直接. 6．（2022•襄阳）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解． 【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y的图象上，k＝2＞0， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵﹣2＜﹣1， ∴y1＞y2， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 7．（2023•宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 【分析】根据反比例函数经过点（﹣2，3）求出其解析式，然后把x＝﹣3，x＝1，x＝2分别代入解析式，求出函数值，进行比较即可得出答案． 【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0）， ∵它的图象经过点（﹣2，3）， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数的解析式， 当x＝﹣3时，， 当x＝1时，， 当x＝2时，， ∴y2＜y3＜y1， 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 8．（2022•武汉）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2 【分析】先根据反比例函数y判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限即可得到答案． 【解答】解：∵反比例函数y中的6＞0， ∴该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y的图象上，且x1＜0＜x2， ∴点A位于第三象限，点B位于第一象限， ∴y1＜y2． 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 9．（2023•襄阳）点A（1，y1），B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1　 　y2．（填“＞”或“＜”） 【分析】根据反比例函数的第一象限图象上，y随x的增大而减小判断即可． 【解答】解：∵点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数的第一象限图象上，y随x的增大而减小， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查了反比例函数的第一象限图象上，y随x的增大而减小，准确判断是关键． ►考向三 反比例函数与其它函数图象共存问题 解题技巧： 本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键，有时要用到排除法. 10．（2023•襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，可分为两种情况进行讨论：①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；据此可得出答案． 【解答】解：分两种情况进行讨论： ①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限； ②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限； ∴一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝k/x的图象可能是A． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，熟练掌握一次函数得图象、反比例函数图象与系数的关系是解答此题的关键． 11．（2022•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x0， ∴b＞0， ∵与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴y＝bx+c的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y图象在第二四象限， 只有D选项图象符合． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键． 12．（2021•荆门）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的大致图象是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【解答】解：当k＞0时， 一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限， 函数y（k≠0）的图象在一、二象限， 故选项②的图象符合要求． 当k＜0时， 一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限， 函数y（k≠0）的图象经过三、四象限， 故选项③的图象符合要求． 故选：B． 【点评】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键． ►考向四 反比例函数k的几何意义 解题技巧： 反比例函数比例系数k的几何意义：如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积 13．（2022•荆门）如图，点A，C为函数y（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD＝1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【解答】解：∵点E为OC的中点， ∴△AEO的面积＝△AEC的面积， ∵点A，C为函数y（x＜0）图象上的两点， ∴S△ABO＝S△CDO， ∴S四边形CDBE＝S△AEO， ∵EB∥CD， ∴△OEB∽△OCD， ∴（）2， ∴S△OCD＝1， 则xy＝﹣1， ∴k＝xy＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 14．（2021•荆州）如图，过反比例函数y（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 　 　． 【分析】过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，S＝k，由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，得出S1＝k，S2k，S3k，S4k，即可得出S1＝4S4． 【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4， ∴S1＝k，S2k，S3k，S4k， ∴S1＝4S4． 故答案为：S1＝4S4． 【点评】此题考查反比例函数y（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 15．（2023•黄石）如图，点A（a，） 和B（b，）在反比例函数y（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 　 　；若△AOB的面积为，则　 ． 【分析】由A点的坐标可得出k的值，再结合k的几何意义即可求出△AOC的面积．过点B作x轴的垂线，将△AOB的面积转化为梯形的面积，即可求出的值． 【解答】解：因为点A（a，）在反比例函数y的图象上， 则，又a＞0， 解得k＝5． 根据k的几何意义可知， ． 过点B作x轴的垂线，垂足为D， 则S△OBD+S梯形ACDB＝S△AOC+S△AOB， 又根据k的几何意义可知， S△OBD＝S△AOC， 则S梯形ACDB＝S△AOB． 又△AOB的面积为，且A（a，），B（b，）， 所以， 即． 解得． 又a＞b＞0， 所以． 故答案为：，2． 【点评】本题考查反比例函数中系数k的几何意义，熟知k的几何意义及将△AOB的面积转化为梯形的面积是解题的关键． 16．（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 　 　． 【分析】连接OA、OB，由反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC＝6，S△BOC，又S△AOB＝S△APB＝2，所以S△AOC﹣S△BOC＝2，代入计算即可得出k的值． 【解答】 解：连接OA、OB， ∵AC⊥x轴， ∴AC∥y轴， ∴S△AOB＝S△APB， ∵S△APB＝2， ∴S△AOB＝2， 由反比例函数系数k的几何意义可得： S△AOC＝6，S△BOC， ∴62， 解得：k＝8， 故答案为8． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用平行线转化△PAB的面积为△OAB的面积是解决问题的关键． ►考向五 待定系数法求反比例的函数解析式 解题技巧： 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 17．（2023•湖北）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（2，m），则△AOB的面积为 　 　． 【分析】由待定系数法求出反比例函数解析式，继而求出点B的坐标，再由待定系数法求出直线AB解析式，进而求出直线AB与x轴的交点，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣1，﹣2）， ∴k＝（﹣1）×（﹣2）＝2， ∴反比例函数解析式为y， ∵反比例函数y的图象经过点B（2，m）， ∴m1， ∴B（2，1）， 设直线AB与x轴交于C，解析式为y＝kx+b， 则， 解答， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣1， 当y＝0时，x＝1， ∴C（1，0） ∴△AOB的面积1×11×2． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根据待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解决问题的关键． 18．（2023•恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x+2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y（k≠0）在一，三象限分别交于C，D两点，ABBC，连接CO，DO． （1）求k的值； （2）求△CDO的面积． 【分析】（1）求出A（0，2），B（﹣2，0），由ABBC，知A为BC中点，故C（2，4），用待定系数法可得k的值为8；（2）由可解得D（﹣4，﹣2），再用三角形面积公式可得答案． 【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝﹣2， ∴A（0，2），B（﹣2，0）， ∵ABBC， ∴A为BC中点， ∴C（2，4）， 把C（2，4）代入y得： 4， 解得k＝8； ∴k的值为8； （2）由得：或， ∴D（﹣4，﹣2）， ∴S△DOC＝S△DOB+S△COB2×22×4＝2+4＝6， ∴△CDO的面积是6． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法和函数图象上点坐标的特征． ►考向六 反比例函数与一次函数的交点问题 19．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2（其中k1•k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 　 ． 【分析】把A（﹣2，3），B（m，﹣2）代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：∵直线y1＝k1x+b与双曲线y2（其中k1•k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点， ∴k2＝﹣2×3＝﹣2m ∴m＝3， ∴B（3，﹣2）， ∵BP∥x轴， ∴BP＝3， ∴S△ABP． 故答案为：． 【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键． 20．（2022•黄石）如图，反比例函数y的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝　 　． 【分析】先设点A（a，），C（c，0），进而得出点E的坐标，再由点E在反比例函数图象上，得出c＝3a，最后由△OCE的面积为6，建立方程求出k的值． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H， 设点A（a，），C（c，0）， ∵点E是矩形ABCD的对角线的交点， ∴E（，）， ∵点E在反比例函数y的图象上， ∴k， ∴c＝3a， ∵△OCE的面积为6， ∴OC•EHc•3a•6， ∴k＝8， 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，待定系数法，判断出c＝3a是解本题的关键． 21．（2022•随州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 　 　． 【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．求出点C的坐标，可得结论． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥x轴于点H． ∵直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴A（﹣1，0），B（0，1）， ∴OA＝OB＝1， ∵OB∥CH， ∴1， ∴OA＝OH＝1， ∴CH＝2OB＝2， ∴C（1，2）， ∵点C在y的图象上， ∴k＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题． 22．（2022•鄂州）如图，已知直线y＝2x与双曲线y（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA，则k的值为 　 　． 【分析】由点A在直线y＝2x上，且OA，可求得A点坐标为（ 1，2）把已知点的坐标代入解析式可得，k＝2． 【解答】解：设A（x，y）， ∵点A在直线y＝2x上，且OA， ∴A点坐标为（ 1，2）， ∵点A在双曲线y（x＞0）上， ∴k＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数、反比例函数的图象与性质，是数形结合题． 23．（2024•湖北）如图，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象在第一象限的部分交于点B（n，4）． （1）求m，n，k的值； （2）若C是反比例函数y的图象在第一象限部分上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 【分析】（1）把点A（﹣3，0）坐标代入y＝x+m求出m，得到直线解析式，再把点B（n，4）坐标代入直线解析式求出n，把点B（1，4）坐标代入反比例函数解析式求出k值即可； （2）根据题意，列出不等式4，解答即可． 【解答】解：（1）把点A（﹣3，0）坐标代入y＝x+m得：0＝﹣3+m， 解得m＝3， ∴直线解析式为y＝x+3， 把点B（n，4）坐标代入直线解析式得4＝n+3， 解得n＝1， 把点B（1，4）坐标代入反比例函数解析式得：4， 解得k＝4， ∴反比例函数解析式为y， （2）∵△AOC的面积小于△AOB的面积， ∴yC＜yB，即yC＜4， ∵点C在反比例函数图象上，且在第一象限， ∴4， ∴a＞1． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． ►考向七 反比例函数的实际应用 解题技巧： 1、利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 2、跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． 3、反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 24．（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（　　） I/A 5 … a … … … b … 1 R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b 【分析】根据等量关系“电流”，即可求解． 【解答】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， ∴40a＝80b， ∴a＝2b， ∴a＞b， 故选：A．20 【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流”是解决此题的关键． 25．（2023•荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意得到电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I），于是得到结论． 【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I），R、I均大于0， ∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项， 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型． 26．（2023•随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（　　） A．3A B．4A C．6A D．8A 【分析】根据函数图象可设I，再将（8，3）代入即可得出函数关系式，从而解决问题． 【解答】解：设I， ∵图象过（8，3）， ∴U＝24， ∴I， 当电阻为6Ω时，电流为：I4（A）． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式． ►考向八 一次函数、反比例函数与面积的综合 27．（2021•随州）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）连接OD，求△BOD的面积． 【分析】（1）将C、D代入反比例函数中即可求出m、n的值，代入一次函数中即可分别求出两个函数的解析式； （2）根据一次函数解析式求出点B坐标即可根据三角形面积计算公式求出S△BOD． 【解答】解：（1）由y2过点C（1，2）和D（2，n）可得： ， 解得：， 故y2， 又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（2，1）可得： ， 解得， 故y1＝﹣x+3． （2）由y1＝﹣x+3过点B，可知B（0，3）， 故OB＝3， 而点D到y轴的距离为2， ∴S△BOD3． 【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基本特点以及能根据坐标系中点的位置，将数形相结合进行简单计算是解题的关键． 28．（2022•湖北）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2（x＞0）的图象交于A（6，），B（，n）两点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F． （1）求y1与y2的解析式； （2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围； （3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 　 ． 【分析】（1）将点A（6，）代入y2中，求反比例函数的解析式；通过解析式求出B点坐标，然后将点A、B代入y1＝kx+b，即可求出一次函数的解析式； （2）通过观察图象即可求解； （3）由题意先求出直线DE的解析式为y＝xt，过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，由∠OCA＝45°，求出FGt，再求出AC＝6，由平行线的性质可知S△ACD＝S△ACF，则6t＝6，即可求t． 【解答】解：（1）将点A（6，）代入y2中， ∴m＝﹣3， ∴y2， ∵B（，n）在y2中，可得n＝﹣6， ∴B（，﹣6）， 将点A、B代入y1＝kx+b， ∴， 解得， ∴y1＝x； （2）∵一次函数与反比例函数交点为A（6，），B（，﹣6）， ∴x＜6时，y1＜y2； （3）在y1＝x中，令x＝0，则y， ∴C（0，）， ∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度， ∴直线DE的解析式为y＝xt， ∴F点坐标为（0，t）， 过点F作GF⊥AB于点G，连接AF， 直线AB与x轴交点为（，0），与y轴交点C（0，）， ∴∠OCA＝45°， ∴FG＝CG， ∵FC＝t， ∴FGt， ∵A（6，），C（0，）， ∴AC＝6， ∵AB∥DF， ∴S△ACD＝S△ACF， ∴6t＝6， ∴t＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查一次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键． 29．（2023•湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围； （3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标． 【分析】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数y2（x＞0），求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1＝kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）由题意即求y1＞y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围； （3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且p≤4，则Q（p，），求得PQ＝﹣2p+9，根据三角形面积公式得到S△POQ（﹣2p+9）•p＝3，解得即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数y2（x＞0）的图象经过点A（4，1）， ∴1． ∴m＝4． ∴反比例函数解析式为y2（x＞0）． 把B（，a）代入y2（x＞0），得a＝8． ∴点B坐标为（，8）， ∵一次函数解析式y1＝kx+b图象经过A（4，1），B（，8）， ∴． ∴． 故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9． （2）由y1﹣y2＞0， ∴y1＞y2，即反比例函数值小于一次函数值． 由图象可得，x＜4． （3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且p≤4， ∴Q（p，）． ∴PQ＝﹣2p+9． ∴S△POQ（﹣2p+9）•p＝3． 解得p1，p2＝2． ∴P（，4）或（2，5）． 【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． ►考向九 一次函数、反比例函数与特殊图形的综合 30．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y（k1＞0）和y（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（　　） A．36 B．18 C．12 D．9 【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），根据BD∥y轴，可得B（3，a+2m），A（3+m，a+m），即知k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），从而m＝3﹣a，B（3，6﹣a），由B（3，6﹣a）在反比例函数y（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y（k2＞0）的图象上，得k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，即得k1+k2＝18﹣3a+3a＝18． 【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AE＝BE＝CE＝DE， 设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a）， ∵BD∥y轴， ∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m）， ∵A，B都在反比例函数y（k1＞0）的图象上， ∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m）， ∵m≠0， ∴m＝3﹣a， ∴B（3，6﹣a）， ∵B（3，6﹣a）在反比例函数y（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y（k2＞0）的图象上， ∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a， ∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18； 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数及应用，涉及正方形性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标． 31．（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y（k≠0）的图象上，若在y的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 　 　． 【分析】作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，解直角三角形求得OE，即可求得C的坐标，根据待定系数法求的反比例函数的解析式，进一步表示出M（n，n），代入解析式即可求得结果． 【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1， ∵∠AOB＝30°， ∴OEAE， 将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，）， ∵点C在函数y（k≠0）的图象上， ∴k＝1， ∴y， ∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°， ∴∠DOM＝60°， ∴∠MOF＝30°， ∴OFMF， 设MF＝n，则OFn， ∴M（n，n）， ∵点M在函数y的图象上， ∴n， ∴n＝1（负数舍去）， ∴M（，1）， 故答案为（，1）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，待定系数法求反比例函数的解析式，求得C的坐标是解题的关键． 32．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y经过点A． （1）求k； （2）直线AC与双曲线y在第四象限交于点D，求△ABD的面积． 【分析】（1）作AH⊥BC于H，求出AH的长和OH的长确定A点坐标即可； （2）求出直线AD的解析式，确定D点坐标，再根据三角形ABD的面积等于三角形ABC面积加三角形BCD面积即可求出． 【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H， Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4， ∴OCBC＝2，AC＝BC×sin30°＝2， ∵∠HAC+∠ACO＝90°，∠ABC+∠ACO＝90°， ∴∠HAC＝∠ABC＝30°， ∴CH＝AC×sin30°＝1，AH＝AC×cos30°， ∴OH＝OC﹣CH＝2﹣1＝1， ∴A（1，）， ∵双曲线y经过点A， ∴， 即k； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∵A（1，），C（2，0）， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为yx+2， ∵直线AC与双曲线y在第四象限交于点D， ∴， 解得或， ∵D在第四象限， ∴D（3，）， ∴S△ABD＝S△ABC+S△BCDBC•AHBC•（﹣yD）4． 【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质和求解三角形面积的方法是解题的关键． 33．（2022•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB＝90°，A（0，2），C（6，2）．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC．反比例函数y1（k≠0）的图象经过点D． （1）求反比例函数的解析式． （2）若AB所在直线解析式为y2＝ax+b（a≠0），当y1＞y2时，求x的取值范围． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AC＝BC＝6，由S△ABC＝3S△ADC得到CD＝2，即可求得D（6，4），代入y1（k≠0）即可求得k的值； （2）利用待定系数法求得y2的解析式，然后解析式联立，解方程组求得交点坐标，根据图形即可求得． 【解答】解：（1）∵A（0，2），C（6，2）， ∴AC＝6， ∵△ABC是∠C为直角的等腰直角三角形， ∴BC＝AC＝6， ∵D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC． ∴CD＝2， ∴D（6，4）， ∵反比例函数y1（k≠0）的图象经过点D， ∴k＝6×4＝24， ∴反比例函数的解析式为y； （2）∵A（0，2），B（6，8）， ∴把A、B的坐标代入y2＝ax+b得， 解得， ∴y2＝x+2， 解得或， ∴两函数的交点为（﹣6，﹣4），（4，6） ∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣6或0＜x＜4． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，数形结合是解题的关键． 34．（2022•湖北）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）． （1）求k1，k2的值； （2）若点C，D分别在函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AGO≌△OHB（AAS），可解答； （2）根据△COD≌△AOB和反比例函数的对称性可得：B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，可得结论． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H， ∵A（1，4）， ∴k1＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4， ∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°， ∴∠AOG＝∠OBH， ∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°， ∴△AGO≌△OHB（AAS）， ∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4， ∴B（4，﹣1）， ∴k2＝4×（﹣1）＝﹣4； （2）存在， 如图2，∵△COD≌△AOB， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称， ∴C（4，1），D（1，﹣4）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，反比例函数的对称的性质，熟练掌握反比例函数是轴对称图形是解本题的关键． 1．（2024•阳新县一模）反比例函数y的图象经过点（3，﹣1），则下列说法错误的是（　　） A．k＝﹣3 B．函数图象分布在第二、四象限 C．函数图象关于原点中心对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点（3，﹣1）， ∴k＝3×（﹣1）＝﹣3，故选项A正确，不合题意； ∵k＝﹣3＜0， ∴此函数图象的两个分支位于二四象限，故选选项B正确，不合题意； ∵反比例函数的图象关于原点对称，故选项C正确，不合题意； ∵反比例函数图象的两个分支位于二四象限， ∴当x＜0时，y随着x的增大而增大，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 2．（2024•洪山区模拟）若点（﹣6，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【解答】解：∵反比例函数y（k＜0）中，k＜0， ∴此函数图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵﹣6＜﹣1＜0， ∴点（﹣6，y1），（﹣1，y2）在第二象限， ∴y2＞y1＞0， ∵2＞0， ∴点（2，y3）在第四象限， ∴y3＜0， ∴y1，y2，y3的大小关系为y3＜y1＜y2． 故选：D． 【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 3．（2024•巴东县模拟）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）之间的关系如表所示，则下列说法中错误的是（　　） I/A …… 5 4 m 2 1 0.5 0.25 …… R/Ω …… 20 25 30 40 50 100 200 400 …… A．m的值为2.5 B．I与R之间的函数表达式为 C．当I≤20A时，R≤5Ω D．I随R的增大而减小 【分析】根据等量关系“电流＝电压÷电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案． 【解答】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， ∴40m＝5×20， ∴m＝2.5， 故选项A不合题意； ∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， 则I，把（20，5）代入得： 故U＝20×5＝100， 即I（R＞0）， 故选项B不合题意； 当I随R的增大而减小，故此选项D不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流＝电压÷电阻是解决此题的关键． 4．（2024•十堰模拟）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当I＜0.25时，R＜880 B．I与R的函数关系式是 C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25 【分析】设I与R的函数关系式是，利用待定系数法求出，然后求出当R＝1000时，，再由220＞0，得到I随R增大而减小，由此对各选项逐一判断即可． 【解答】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点P（880，0.25）， ∴， ∴U＝220， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意； 当R＝1000时，， ∵220＞0， ∴I随R增大而减小， ∴当I＜0.25时，R＞880，当R＞1000时，I＜0.22，当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 5．（2024•武汉模拟）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　　） A．和y2＝﹣x﹣1 B．和y2＝﹣x+1 C．和y2＝﹣x﹣1 D．和y2＝﹣x+1 【分析】根据题干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P． 【解答】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x或x，即函数y1和y2具有性质P，符合题意； B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； C．令y1+y2＝0，则x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； D．令y1+y2＝0，则x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数的性质及一次函数的性质，属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，本题也可利用函数图象快速解答． 6．（2024•洪山区校级二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB∥y轴，交x轴于点C，连结OA，取OA的中点D，连结BD，则△ADB（阴影部分）的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【分析】根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可． 【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上， ∴S△AOC， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴S△BOC2， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝6﹣2＝4， ∵D是OA的中点， ∴S阴影S△AOB2． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键． 7．（2024•宜都市二模）对于反比例函数，给出下列结论：①其图象经过点（1，2）；②其图象与直线y＝x+2一定有两个交点；③当x＜2时，y的取值范围是y＞1；④若A（x1，y1），B（x2，y2）是其图象上的两点，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，则点A，B一定不在同一象限．其中正确的选项是（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【分析】根据反比例函数的性质和一次函数的图象与系数的关系，分别分析判断各选项的正误即可． 【解答】解：①反比例函数，图象经过点（1，2），故①正确； ②反比例函数，图象经过第一三象限，直线y＝x+2经过第一、二、三象限，两函数图象一定有两个交点，故②正确； ③在第一象限内即当0＜x＜2时，y的取值范围是y＞1；故③错误； ④反比例函数，图象在第一象限，y随x的增大而减小，若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，则点A，B一定不在同一象限，故④正确． 正确的选项有①②④． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 8．（2024•汉川市模拟）如图，函数y＝﹣x与函数y的图象相交于A，B 两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接AD，BC．则四边形ACBD的面积为（　　） A．12 B．8 C．6 D．4 【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|，得出S△AOC＝S△ODB＝3，再根据反比例函数的对称性可知：OC＝OD，AC＝BD，即可求出四边形ACBD的面积． 【解答】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D， ∴S△AOC＝S△ODB|k|＝3， 又∵OC＝OD，AC＝BD， ∴S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝3， ∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝4×3＝12． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数y中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|；同时考查了反比例函数图象的对称性． 9．（2024•武汉模拟）已知正比例函数图象与反比例函数图象都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为　 ． 【分析】根据正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点对称作答即可． 【解答】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数图象，反比例函数图象的性质等知识．熟练掌握正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点对称是解题的关键． 10．（2024•武汉模拟）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　k＜1　． 【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限，可以得到k﹣1＜0，然后求解即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1， 故答案为：k＜1． 【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 11．（2024•咸宁一模）已知反比例函数y1与y2（k＞0），当1≤x≤3时，y1的最小值为a，y2的最小值为2a﹣5，则k的值是 　 　． 【分析】先确定两个函数性质，再判断两个最值时点的坐标，根据函数图象的对称性得到两个函数值互为相反数，求出a值，最后计算出k即可． 【解答】解：∵反比例函数y1的k＞0， ∴反比例函数y1的性质：在第一三象限内，y随x的增大而减小；反比例函数y2（k＞0）的性质：在第二四象限内，y随x增大而增大， ∴点（3，a）在函数y1图象上，点（1，2a﹣5）在函数y2（k＞0）图象上，两个函数值互为相反数， ∴3a+2a﹣5＝0，解得a＝1， ∴k＝3×1＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 12．（2024•武汉模拟）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 　 　℃． 【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x≤8时，水温y与开机时间x的函数关系式；由点（8，100），利用待定系数法即可求出当8≤x≤t时，水温y与开机时间x的函数关系式，再将y＝20代入该函数关系式中求出x值即可，由56﹣40＝16＞8，将x＝16代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论． 【解答】解：当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y＝kx+b， 依据题意，得， 解得：， 故此函数解析式为：y＝10x+20； 在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：， 依据题意，得：， 解得：m＝800， ∴， 当y＝20时，， 解得：t＝x＝40， ∵56﹣40＝16＞8， ∴当x＝16时，． 故答案为：50． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 13．（2024•广水市二模）如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，已知点B，C关于原点对称，则△ABC的面积为 　 　． 【分析】根据题意先求出S△ABO，再根据点B，C关于原点对称得到S△ABC＝2S△ABO计算即可． 【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B， ∴S△ABO， ∵点B，C关于原点对称， ∴BO＝CO， ∴S△ABC＝2S△ABO＝23． 故答案为：3． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值几何意义是关键． 14．（2024•巴东县模拟）如图，反比例函数的图象经过等腰直角△ABC的一个顶点C，∠ABC＝90°，，CA⊥x轴，则k＝　 　． 【分析】求出△AOB是等腰直角三角形，求出OA，AC，求出点C的坐标，即可求出k． 【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AB， ∴∠BAC＝45°， ∵AC⊥x轴， ∴∠CAO＝90°， ∴∠BAO＝45°， ∴∠OBA＝∠BAO＝45°， ∴OB＝AO， 即△BOA是等腰直角三角形， ∵AB， ∴OB2+AO2＝AB2＝2，AC2＝BC2+AB2＝4， ∴OA＝OB＝1，AC＝2， 即C点的坐标是（1，2）， ∵C点在反比例函数的图象上， ∴k＝1×2＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识点，能求出OA和AC的长是解此题的关键． 15．（2024•汉川市模拟）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y在第一象限内的图象经过点D，且与AB，BC分别交于E，F两点，若四边形BEDF的面积为9，则k的值为 　 　． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征设D点坐标为（a，），由点D为对角线OB的中点，可得B（2a，），再分别表示出E（2a，），F（，），利用四边形BEDF的面积＝S△DBF+S△BED得到（2a）•（）（2a﹣a）•（）＝9，然后解方程即可得到k的值． 【解答】解：设D点坐标为（a，）， ∵点D为对角线OB的中点， ∴B（2a，）， ∵四边形ABCO为矩形， ∴E点的横坐标为2a，F点的纵坐标为， ∴E（2a，），F（，）， ∵四边形BEDF的面积＝S△DBF+S△BED， ∴（2a）•（）（2a﹣a）•（）＝9， ∴k＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 16．（2024•樊城区二模）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象相交于A（1，m），B（4，n）两点． （1）求m，n，k的值； （2）当1＜x＜4时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出常数p的取值范围． 【分析】（1）将点AB坐标代入直线解析式可得m、n值，将A（1，2）代入反比例函数解析式可得k值； （2）根据函数图象可知p． 【解答】解：（1）∵A（1，m），B（4，n）两点在一次函数的图象上， ∴m，n， 解得m＝2，n， ∴A（1，2），B（4，）， ∵A（1，2），B（4，）在反比例函数y图象上， ∴k＝2． （2）由（1）可知，反比例函数解析式为y， 根据题意当1＜x＜4时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值， ∴p． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 17．（2024•茅箭区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝8，BC＝5． （1）若OA＝8，求k的值： （2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出AE，BE的长，再利用勾股定理得出OA的长，得出C点坐标即可得出答案； （2）首先表示出D，C点坐标，进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，然后利用勾股定理即可求得OC的长． 【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E， ∵AC＝BC，AB＝8， ∴AE＝BE＝4． 在Rt△BCE中，BC＝5，BE＝4， ∴CE3， ∵OA＝8， ∴C点的坐标为：（5，4）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点C， ∴k＝5×4＝20， （2）设A点的坐标为（m，0）， ∵BD＝BC＝5，AB＝8， ∴AD＝3， ∴D，C两点的坐标分别为：（m，3），（m﹣3，4）． ∵点C，D都在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴3m＝4（m﹣3）， ∴m＝12， ∴C点的坐标为：（9，4）， ∴OC． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出方程是解题关键． 18．（2024•当阳市模拟）如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0）交反比例函数的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，连接OP、OQ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△OPQ面积的最大值． 【分析】（1）由A（0，﹣4）、B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，代入，求得反比例函数解析式； （2）设点，点Q（n，2n﹣4），得出关于PQ与n的关系式，进而根据三角形面积公式求解，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得： ， 解得：， ∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4， 将点C（3，a）代入y＝2x﹣4，得a＝2×3﹣4＝2， ∴点C（3，2）， 将点C（3，2）代入， 得出m＝3×2＝6， ∴； （2）∵点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，0＜n＜3， 设点，点Q（n，2n﹣4）， ∴， ∴， ∵﹣1＜0， ∴当n＝1时，S最大＝4， 所以，△OPQ面积的最大值是4． 【点评】本题考查反比例函数、一次函数的解析式，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路． 19．（2024•钟祥市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x与函数的图象交于点A（1，3）． （1）求m的值； （2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝3x+b与直线l交于点B，与函数的图象交于点C，与x轴交于点D． ①当点C是线段BD的中点时，求b的值； ②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围． 【分析】（1）待定系数法求出m的值即可； （2）①根据平行得到B点纵坐标为3，直线与x轴的交点，得到D的纵坐标为0，中点，得到C点纵坐标为1，代入反比例函数解析式，求出C点坐标，再把C点坐标代入一次函数解析式求解即可；②求出BC＝BD时C的坐标，求出此时的b值，即可得出结论． 【解答】解：（1）把A（1，3）代入函数， 得：． ∴m＝3； （2）①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E． 由题意，得：AB∥x轴， ∴B点纵坐标为3， ∵直线y＝3x+b与x轴交于点D， ∴D点纵坐标为0， 当点C是线段BD的中点时，则：点C的纵坐标为， 由（1）知：反比例函数的解析式为， 把代入函数中， 得x＝2． ∴点C的坐标为， 把代入函数y＝3x+b中得：6+b； 解得b； ②∵BC＞BD， ∴点C在点A的上方， 当BC＝BD时，此时B点为CD的中点， 同①法可得：C点的纵坐标为6， 当y＝6时：， ∴， ∴， 把代入y＝3x+b，得：， ∴， ∵BC＞BD， ∴． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 20．（2024•建始县模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1）、B（a，﹣2）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）在y轴上取一点P，使PA﹣PC的值最大，并求出PA﹣PC的最大值及点P的坐标． 【分析】（1）直接用待定系数法即可求解； （2）由点A（﹣2，1）、B（1，﹣2），结合图象即可求解； （3）由一次函数与y轴的交点为P（0，﹣1），可得PA﹣PC的值最大，最大值即为AC的长度，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入， 得m＝﹣2×1＝﹣2，则反比例函数解析式为， 把B（a，﹣2）代入， 得﹣2a＝﹣2， 解得a＝1， 则B点坐标为B（1，﹣2）， 把A（﹣2，1）、B（1，﹣2）代入y＝kx+b得， ， 解得：， 则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1； （2）∵点A（﹣2，1）、B（1，﹣2）， ∴由图可得，不等式解集范围是：x＜﹣2或0＜x＜1， （3）一次函数解析式为y＝﹣x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1， ∴一次函数与y轴的交点为P（0，﹣1）， 此时，PA﹣PC的值最大，最大值即为AC的长度，过点A作AD⊥x轴于点D，直线AB与x轴的交点为C，在y＝﹣x﹣1中，令y＝0，则x＝﹣1，即直线y＝﹣x﹣1与x轴交于点C（﹣1，0）， ∵A（﹣2，1）， ∴AD＝1，CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1， ∴ ∴PA﹣PC的最大值，P点的坐标为P（0，﹣1）． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$