精品解析：四川省德阳市中江县2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

四川省德阳市中江县2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题 说明： 1．本试卷分为第I卷和第II卷．第I卷为选择题，第II卷为非选择题，全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第I卷 选择题（36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果水位升高0.6 m时水位变化记作，那么水位下降0.4m时水位变化记为( ) A. 0.4 m B. 0.6 m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 【详解】解：如果水位升高0.6m时水位变化记作+0.6m，那么水位下降0.4m时水位变化记为-0.4m． 故选：C． 【点睛】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2. 下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可． 【详解】解：A、不是因式分解，故此选错误； B、，正确； C、，不是因式分解，故此选错误； D、，不是因式分解，故此选错误. 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解的判断，解题的关键是掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解． 5. 下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，根据图形作法逐项判断即可求解，掌握基本作图方法是解题的关键． 【详解】解：、该选项是作角平分线，不合题意； 、该选项是经过直线外一点作已知直线的垂线，不合题意； 、该选项是作线段的垂直平分线，符合题意； 、选项是经过直线上一点作已知直线的垂线，不合题意； 故选：． 6. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，若△ABC的面积为20，那么阴影部分的面积之和为（　　） A. 15 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形的中线得S△AOF＝S△BOF，S△BOD＝S△COD，S△AOE＝S△COE，即可得出结论． 【详解】解：∵AD，BE，CF是△ABC的三条中线，交于点O， ∴S△AOF＝S△BOF，S△BOD＝S△COD，S△AOE＝S△COE， ∴S阴影＝S△BOF+S△COD+S△AOE＝S△ABC＝×20＝10， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键． 7. 如图，的两条内角平分线相交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线，由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的两条内角平分线相交于点， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形与折叠问题、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，，进而可得， 再利用三角形内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：是由沿折叠得到， ，， ，， ， ，即：， ， 故选C． 9. 若运算结果中不含关于x的一次项，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是多项式乘以多项式的方法，掌握多项式乘法法则，能根据不含一次项的条件列出方程是关键，在去括号时要特别注意符号的准确性．根据题意，先将代数式通过多项式乘以多项式的方法展开，再将关于x的二次项、一次项及常数项分别合并，然后根据不含字母x的一次项的条件列出关于k的方程即可解得． 【详解】解： ∵计算的结果中不含关于字母的一次项 ∴ ∴ 故选：A． 10. 如图所示，在中，的垂直平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接． ， ， 的垂直平分线是， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出和是解此题的关键． 11. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 通过全等三角形的性质，得，，推得，，利用平行线的性质，得，推得，整理后即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 故选：D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论：作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【详解】作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，此时AP=BP； 以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P2和P6，此时AB=AP； 以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3和P4，此时BP=BA； 综上所述：符合条件的点P共有6个． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键． 第II卷 非选择题（114分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 的相反数是________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查实数和相反数的定义，理解定义是解题关键． 直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，即可得出答案． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】将原式整理为平方差的形式，再套用公式分解即可． 【详解】解： ． 15. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆应用，幂的乘方的应用，利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆应用计算即可求解，掌握以上逆运算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 17. 如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，由直角三角形两锐角互余可得，由折叠可得，再利用三角形内角和定理即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得，，按此做法进行下去，的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，图形类规律变化问题，由三角形内角和定理及外角性质可得，，，进而可得，据此即可求解，找到角度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴， 同理得，，， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据算术平方根的定义、零指数幂、有理数的乘方及绝对值的性质运算，再合并即可； （）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解； 本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 20. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ， ． （2）5 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求作： （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； 【小问3详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 22. 为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： （1）图②中，阴影部分的面积是　　． （2）观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． （3）应用：已知，，求，． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握面积公式与完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积公式列式即可； （2）根据面积的和差关系列式即可； （3）根据完全平方公式的变形求解即可； 【小问1详解】 解：阴影部分是边长为的正方形， 阴影部分的面积是； 故答案为：； 【小问2详解】 由图可得， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴． 23. 某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： （1），两种书包每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】（1）每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 （2）该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【小问1详解】 解：设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元； 【小问2详解】 解：设该商场购进个种书包，则购进个种书包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值为、、， 当时，， 当时，， 当时，， 该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 24. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是______________（填序号）． ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． （3）应用：先化简，并回答取什么整数时，该式的值为整数? 【答案】（1）①③④ （2） （3）时，该式的值为整数． 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答； （2）根据完全平方公式，进行变形计算，即可解答； （3）将原式化简为，再变形为，从而可得当或时，分式的值为整数，进而可得，，或1，然后根据分式有意义时，，，，，即可解答． 【小问1详解】 解：①； ②； ③； ④； 上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ， 当或时，分式的值为整数， ，0，或， 分式有意义时，，，，， ， 时，该式的值为整数． 25. （1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由全等三角形的性质得出，，由角的和差关系即可求出．由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； ② ∵， ∴； （2），，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，为中边上的高， ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴ ∴，， ∴，． ∴． （3）∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省德阳市中江县2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题 说明： 1．本试卷分为第I卷和第II卷．第I卷为选择题，第II卷为非选择题，全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第I卷 选择题（36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果水位升高0.6 m时水位变化记作，那么水位下降0.4m时水位变化记为( ) A. 0.4 m B. 0.6 m C. D. 2. 下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，若△ABC的面积为20，那么阴影部分的面积之和为（　　） A. 15 B. 14 C. 12 D. 10 7. 如图，的两条内角平分线相交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 9. 若运算结果中不含关于x的一次项，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 10. 如图所示，在中，的垂直平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（114分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 的相反数是________． 14. 分解因式：______． 15. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 16. 已知，，则的值为______． 17. 如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则的度数为______． 18. 如图，在中，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得，，按此做法进行下去，的度数为______． 三、解答题：本题共7小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 20. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 22. 为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： （1）图②中，阴影部分的面积是　　． （2）观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． （3）应用：已知，，求，． 23. 某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： （1），两种书包每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 24. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是______________（填序号）． ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． （3）应用：先化简，并回答取什么整数时，该式的值为整数? 25. （1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $