重难点3-2 解三角形中的最值与范围问题（6题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

重难点3-2 解三角形中的最值与范围问题 三年考情分析 2025年考向预测 解三角形中的最值与范围问题在高考中以选择题、填空题和解答题的形式出现．其中，选择题和填空题多为基础题或中档题，解答题则多为中档题或压轴题．常与正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等知识结合，考查综合应用能力． 2025年高考将继续作为高考数学的重要考点，题型涵盖选择题、填空题和解答题，难度中等偏．将更多地与三角函数、平面向量等知识结合，可能出现更多结合实际情境的创新题型，如与几何图形（如四边形、圆内接三角形）结合． 题型1 三角函数值的最值与范围 三角形中的最值范围问题处理方法 1、利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件． 2、转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决． 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边． 1．（24-25高三上·吉林·月考）锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 . 2．（24-25高三上·湖北·月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 3．（24-25高三上·浙江金华·月考）在中，角所对的边分别为．已知成公比为q的等比数列． (1)求q的取值范围； (2)求的取值范围． 4．（24-25高三上·湖南长沙·月考）从①点是函数的图象的一个对称中心；②；③这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答. 问题：在锐角中，内角所对的边分别为，且______. (1)求； (2)求的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 题型2 三角形边长的最值与范围 利用正弦定理或余弦定理：将边长表示为角度的函数，通过正弦定理或余弦定理建立关系式． 化边为角或化角为边：利用三角函数的性质，结合角度的范围求解边长的最值或范围． 基本不等式：通过余弦定理结合基本不等式（如均值不等式）求解边长的范围． 三角形的性质：利用三角形的三边关系（两边之和大于第三边）限制边长的范围． 数形结合：借助几何图形的性质，通过图象直观理解问题，再结合代数方法求解． 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 3．（24-25高三上·辽宁·期末）在中，已知. (1)求； (2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 4．（24-25高三上·江苏无锡·月考）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 题型3 三角形周长的最值与范围 正弦定理与周长公式：利用正弦定理将周长表示为角度的函数，结合三角函数的性质求解周长的最值或范围． 余弦定理与基本不等式：通过余弦定理建立边长之间的关系，利用基本不等式求解周长的范围． 整体代换：将周长表示为一个整体，通过整体代换简化问题，再利用三角函数的性质求解． 数形结合：通过几何图形的性质，结合三角形的三边关系，限制周长的范围． 特殊三角形：对于特殊三角形（如等边三角形、直角三角形），利用其特殊性质简化问题． 1．（24-25高三下·福建·月考）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A的值． (2)若，求周长的取值范围． 2．（24-25高三上·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 3．（24-25高三上·河南·期末）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 4．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 题型4 三角形面积的最值与范围 面积公式：利用三角形面积公式或，将面积表示为边长或角度的函数． 正弦定理与余弦定理：结合正弦定理或余弦定理，将面积公式中的边长或角度表示为已知条件的函数，再求解最值或范围． 基本不等式：通过均值不等式或柯西不等式，结合面积公式求解面积的最大值或最小值． 数形结合：利用几何图形的性质，通过图象直观理解面积的变化规律，再结合代数方法求解． 特殊三角形：对于特殊三角形（如等边三角形、直角三角形），利用其特殊性质简化问题，直接求解面积的最值或范围． 1．（24-25高三上·海南·月考）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 2．（24-25高三上·云南楚雄·期末）已知的内角的对边分别为. (1)判断的形状； (2)若是内一点，且，求面积的最大值. 3．（24-25高三上·四川宜宾·月考）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 4．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 题型5 三角形中线的最值与范围 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中． 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）． 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 3．（24-25高三上·福建宁德·期中）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 4．（24-25高三上·广东·八校联测）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 题型6 三角形角平分线的最值与范围 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷． 3、等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式）． 1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，在锐角中，，点为外角平分线上一点，且平分，则的取值范围是 ． 2．（23-24高三下·陕西安康·模拟预测）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，其中，，且． (1)求证：； (2)已知点在线段上，且，求的取值范围． 3．（24-25高三上·江西·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若D为BC上一点，且AD平分，，求AD的最大值． 4．（24-25高三上·安徽宣城·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD的最大值． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏盐城·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖北·月考）在中，记角的对边分别为，若，点在边上，平分，且，则的最小值为（    ） A． B．25 C． D．24 二、填空题 3．（24-25高三上·天津·月考）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 4．（24-25高三上·山东威海·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为 ． 三、解答题 5．（24-25高三上·山东·月考）在中，角所对的边分别是，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 6．（24-25高三上·湖北·期末）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)已知边，求的取值范围. 7．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 8．（24-25高三上·广东深圳·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 9．（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，． (1)若，求的面积； (2)若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围． 10．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，. (1)求； (2)若，为中点，，求； (3)若，求内切圆半径的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点3-2 解三角形中的最值与范围问题 三年考情分析 2025年考向预测 解三角形中的最值与范围问题在高考中以选择题、填空题和解答题的形式出现．其中，选择题和填空题多为基础题或中档题，解答题则多为中档题或压轴题．常与正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等知识结合，考查综合应用能力． 2025年高考将继续作为高考数学的重要考点，题型涵盖选择题、填空题和解答题，难度中等偏．将更多地与三角函数、平面向量等知识结合，可能出现更多结合实际情境的创新题型，如与几何图形（如四边形、圆内接三角形）结合． 题型1 三角函数值的最值与范围 三角形中的最值范围问题处理方法 1、利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件． 2、转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决． 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边． 1．（24-25高三上·吉林·月考）锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，可得，由余弦定理可得， 所以，即， 由正弦定理可得， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又是锐角三角形，所以，且， 所以，即， 又，，解得， 所以. 2．（24-25高三上·湖北·月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由得，， 由得， 即， 又，所以， 所以即， 又，所以即. （2）由（1）知，故， 所以 ， 因为在锐角中，所以，即， 所以，所以，所以， 即的取值范围为. 3．（24-25高三上·浙江金华·月考）在中，角所对的边分别为．已知成公比为q的等比数列． (1)求q的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由题意知， 根据三角形三边关系知：，解得； （2）由（1）及正弦定理、余弦定理知： ， 由对勾函数的性质知： 在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即的取值范围为. 4．（24-25高三上·湖南长沙·月考）从①点是函数的图象的一个对称中心；②；③这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答. 问题：在锐角中，内角所对的边分别为，且______. (1)求； (2)求的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）选择①：点是函数的图象的一个对称中心， 而，则，即， 由，得，则，所以. 选择②：，由正弦定理得， 由，得，则， 即， 因此， 由，得，则， 又，所以. 选择③：，由正弦定理得， 由，得，则，而， 于是，由，得， 因此，，所以. （2）由（1）得，， 则， 在锐角中，，得，，， 所以的取值范围为. 题型2 三角形边长的最值与范围 利用正弦定理或余弦定理：将边长表示为角度的函数，通过正弦定理或余弦定理建立关系式． 化边为角或化角为边：利用三角函数的性质，结合角度的范围求解边长的最值或范围． 基本不等式：通过余弦定理结合基本不等式（如均值不等式）求解边长的范围． 三角形的性质：利用三角形的三边关系（两边之和大于第三边）限制边长的范围． 数形结合：借助几何图形的性质，通过图象直观理解问题，再结合代数方法求解． 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为.故选：B. 2．（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1），， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，， 或， 当时，则，，，，成立， 综上所述，成立. （2）由（1）得，，， 由正弦定理可得， ，是锐角三角形，， ，的取值范围为 3．（24-25高三上·辽宁·期末）在中，已知. (1)求； (2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为 由余弦定理有：， 因为为的内角，所以 （2）因为由余弦定理有： =， 所以 设，由点在边上，且为锐角三角形，所以， 所以. 在中，由， 所以，所以， 所以 由是定义域上的减函数，所以， 所以的范围为. 4．（24-25高三上·江苏无锡·月考）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得，即，即， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）由（1）得， 所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 则， 因为双勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当或时，， 所以，函数在上的值域为， 因为，则， 故. 因此，的取值范围为. 题型3 三角形周长的最值与范围 正弦定理与周长公式：利用正弦定理将周长表示为角度的函数，结合三角函数的性质求解周长的最值或范围． 余弦定理与基本不等式：通过余弦定理建立边长之间的关系，利用基本不等式求解周长的范围． 整体代换：将周长表示为一个整体，通过整体代换简化问题，再利用三角函数的性质求解． 数形结合：通过几何图形的性质，结合三角形的三边关系，限制周长的范围． 特殊三角形：对于特殊三角形（如等边三角形、直角三角形），利用其特殊性质简化问题． 1．（24-25高三下·福建·月考）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A的值． (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以，即， 由余弦定理，所以， 又，所以； （2）由正弦定理得， ∴，. ∴ 在锐角中，，， 又∵，∴，∴， 综上可得， ∴， ∴ ∴周长的取值范围为. 2．（24-25高三上·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 3．（24-25高三上·河南·期末）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）解法一，由正弦定理得， 又， 所以，即. 因为，所以，所以. 解法二，由余弦定理得， 整理得， 所以. （2）解法一，设的外接圆半径为， 由及正弦定理得， 所以. 由（1）知，所以， 所以. 由余弦定理得，即， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 所以周长的最大值为. 解法二，设的外接圆半径为， 由及正弦定理得， 所以. 由（1）知，所以. 所以 ， 其中为第一象限角，且， 所以当时，取得最大值， 故周长的最大值为. 4．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） ， 由，则，则， 即，又，故； （2）由正弦定理可得， ， 则 ， 由为锐角三角形，， 则有，解得， 则，由在上单调递增，故， ，， 故，故， 即周长的取值范围为. 题型4 三角形面积的最值与范围 面积公式：利用三角形面积公式或，将面积表示为边长或角度的函数． 正弦定理与余弦定理：结合正弦定理或余弦定理，将面积公式中的边长或角度表示为已知条件的函数，再求解最值或范围． 基本不等式：通过均值不等式或柯西不等式，结合面积公式求解面积的最大值或最小值． 数形结合：利用几何图形的性质，通过图象直观理解面积的变化规律，再结合代数方法求解． 特殊三角形：对于特殊三角形（如等边三角形、直角三角形），利用其特殊性质简化问题，直接求解面积的最值或范围． 1．（24-25高三上·海南·月考）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 【答案】(1)2；(2)2 【解析】（1）因为，且， 可得， 即，所以. （2）因为， 又因为，即， 整理可得，解得或， 又因为，则，， 由余弦定理可得：，即， 整理可得， 又因为，即， 当且仅当时，等号成立， 且此时为为锐角三角形，符合题意， 所以的面积的最大值为. 2．（24-25高三上·云南楚雄·期末）已知的内角的对边分别为. (1)判断的形状； (2)若是内一点，且，求面积的最大值. 【答案】(1)直角三角形；(2) 【解析】（1）因为，所以. 又，所以. 因为，所以，整理得， 则，故为直角三角形. （2）设.因为，所以. 在中，由正弦定理得. 因为，所以， 则. 设的面积为，则 . 当，即时，取得最大值，即面积的最大值为. 3．（24-25高三上·四川宜宾·月考）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，则， 整理可得， 利用正弦定理可得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. （2）由正弦定理， 可得， 由题意可知：，解得， 则，可得，即， 又因为面积， 所以面积的取值范围为. 4．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)条件选择见解析，；(2) 【解析】（1）若选择①．由，得， 所以，所以，解得或． 又因为，故． 若选择②． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以， 即，整理可得，解得． 又因为，故． 若选择③：． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以，即． 可得， 又因为，所以，所以，故． （2）由（1）可知，且，由正弦定理及， 可得． 又因为在锐角三角形中，，所以， 故，所以． 所以面积，所以， 所以面积的取值范围是． 题型5 三角形中线的最值与范围 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中． 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）． 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由是边上的中线，得， 则， 由正弦定理得，得，， 则， 而， ， 于是 ， 由为锐角三角形，，得，即， 则，，因此，即， 所以的取值范围为.故选：C 2．（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为，，， 所以，所以， 由，且是角A的平分线， 所以，所以. （2）因为D是BC的中点，所以， 两式平方，并代换得 ，当且仅当时取等号， 所以AD长的最小值为. 3．（24-25高三上·福建宁德·期中）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为， 所以由正余弦定理得， 又， 所以，又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以. （2）由余弦定理可得，即， 又， 所以， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为. 4．（24-25高三上·广东·八校联测）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 题型6 三角形角平分线的最值与范围 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷． 3、等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式）． 1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，在锐角中，，点为外角平分线上一点，且平分，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】为的平分线，又， 设，则， ， 又为锐角三角形，故，解得， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，由正弦定理得， 即 ， 由，得， 故，所以． 2．（23-24高三下·陕西安康·模拟预测）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，其中，，且． (1)求证：； (2)已知点在线段上，且，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为， 即，由正弦定理可得， 又，即，所以，整理得， 由余弦定理得，整理得， 由正弦定理得， 故， 即， 整理得， 又因为为锐角三角形，则，可得， 所以，即. （2）因为点在线段上，且，即平分， 又，所以，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为为锐角三角形，且，所以，解得. 故，所以. 因此线段长度的取值范围. 3．（24-25高三上·江西·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若D为BC上一点，且AD平分，，求AD的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得， 而，所以. （2）由平分，得，而， 则，即，又， 因此， 当且仅当，即时取等号，则， 所以AD的最大值为. 4．（24-25高三上·安徽宣城·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD的最大值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由已知及正弦定理有，即， 由余弦定理有，，则. （2）由（1）可知，则①， 由基本不等式有，可得， 又，则， ∵， ∴，可得， 由①有， 令，则在上单调递增， 所以AD的最大值为. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏盐城·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号，因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值．故选：C． 2．（24-25高三上·湖北·月考）在中，记角的对边分别为，若，点在边上，平分，且，则的最小值为（    ） A． B．25 C． D．24 【答案】A 【解析】由， 又， ， ， ， 当且仅当取等号；又，即当且仅当取到最小值.故选：A. 二、填空题 3．（24-25高三上·天津·月考）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由得，， 所以，即， 所以，所以. 设的外接圆半径为，由正弦定理得. 所以， 又，所以 由是锐角三角形得，，解得， 所以，所以. 4．（24-25高三上·山东威海·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由和余弦定理可得，, 整理得，， 因是锐角三角形，则,，即得，， 设，则得，，即， 即，由①得，，由②得，或， 又，综上可得，， 由正弦定理，，故得的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 5．（24-25高三上·山东·月考）在中，角所对的边分别是，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以； （2）因为， 由正弦定理得， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 则，则， 故，即的取值范围为． 6．（24-25高三上·湖北·期末）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)已知边，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由， 可得， 即， 所以，即， 因为，所以，又，所以； （2）由正弦定理可得， ， 因为为锐角三角形，则，解得， ， 所以的取值范围是 7．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以， ， ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 8．（24-25高三上·广东深圳·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 又，所以； （2）由（1）可知， 所以， 由正弦定理， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，所以， 所以，即， 又， 所以，所以面积的取值范围为. 9．（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，． (1)若，求的面积； (2)若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由正弦定理可得，故， 又，故， 因为，而为三角形内角，故， 所以. （2）在中，由； 在中，由； 而，所以， 故， 而是锐角三角形，故，即， 故，故即. 10．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，. (1)求； (2)若，为中点，，求； (3)若，求内切圆半径的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 根据正弦定理，得， 所以， 因为，所以，所以. （2）因为为中点，所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故. （3）由正弦定理：， 所以，， 因为，所以， 所以 ， ， 设内切圆半径为， 则. 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，即， 即内切圆半径的取值范围是：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$