数学（新八省通用02）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

2025年高考数学第二次模拟考试 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由集合， 又因为，可得. 故选：B. 2．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的模长公式、除法运算法则及几何意义计算即可. 【详解】易知，所以， 即对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3．已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【解析】由题得， 所以.故选：B. 4．袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】分别设事件“第一次取得白球”和“第二次取得红球”，由条件概率计算公式求解即可求解. 【详解】设第一次取得白球为事件，第二次取得红球为事件， 所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为： . 故选：B. 5．已知双曲线的两个焦点为，，为上一点，，，则的离心率为 A． B． C． D． 【解析】如图，取线段的中点，连接， 因为，，所以，且， 所以， 设，则， 所以的离心率 ． 故选：． 6．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 【答案】A 【分析】依据规律找出每一层小球数构成的数列的递推关系，利用累加法求出通项，从而求出第20项即可． 【详解】设第层的小球个数为依次构成数列，由题： 从而有规律： 所以所以． 即第20层有210个小球， 故选：A． 7．已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找和 的外接圆的圆心，过圆心分别作两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心. 【详解】如图，取BC的中点为E，BD的中点为，所以为的外心， 连接AE，EF，设的外心为， 因为，即为等边三角形， 所以点在AE上，且设球心为，连接OG，OF， 则平面平面BCD， 因为平面平面BCD，所以， 因为为等边三角形，为BC的中点，所以， 因为平面平面BCD，平面平面，面， 所以平面BCD，则，又平面BCD，所以， 同理平面ABC，所以，故四边形OGEF是矩形. 由，可得，故， 又， 设球的半径为，则， 所以球的表面积. 故选：C. 8．已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B． C．254 D．2025 【答案】B 【解析】由是偶函数推出的性质， 因为是定义域为的偶函数， 所以，即， 对于任意都成立，那么. 用代替，可得，即. 又因为，则关于直线对称，所以. 由和可得， 再用代替，得到，即， 而，所以，进而，所以函数的周期是. 已知当时，. .. 因为的图象关于直线对称，所以，. . .，，. 则. 因为，其中是余数. 所以. ，故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对A函数为奇函数.且当时，单调递增； 根据奇函数的性质，在上也单调递增，在上为增函数，故A正确； 对B函数的定义域为函数为非奇非偶函数，故B错误； 对C函数不是奇函数，故C错误； 对D为奇函数， 且均随的增大而增大，即在上为增函数，故D正确.故选：AD 10．已知椭圆，A，B为左右两个顶点，，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（    ）． A． B．的范围是 C．若直线l过点与椭圆交于M，N，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据斜率公式即可化简求解A； 根据椭圆定义，结合二次函数的性质即可求解B； 根据点到直线的距离公式即可求解C； 根据向量的模长公式，结合余弦定理即可求解D. 【详解】对于A，设，则， 故A正确， 对于B，由于又，即， 所以， 故当时，取最大值9，当或时，取最小值6，故B错误， 对于C，设方程为，所以，其中为到直线的距离，故C正确， 对于D，由余弦定理可得, 因此， 又， ，故， 故选：ACD 11．点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】BC 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、已知线面角求其他量、立体几何中的轨迹问题 【分析】A选项，正方形的面积不变，P到平面的距离不变，由体积公式可知，体积为定值；B选项，与所成角即为与所成角，数形结合得到当P在端点A，时，所成角最小，最小角为，当P在中点时，所成角最大为，B正确；C选项，建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，由可得，所以，当时，等号成立，C正确；D选项，分别考虑点在各个平面内的情况，得到轨迹长度，相加得到答案. 【详解】对于A，底面正方形的面积不变， 当P在平面上运动时，P到平面的距离不变， 即四棱锥的高为正方体棱长， 故四棱锥的体积不变，故A不正确； 对于B，因为，所以与所成角即为与所成角， 因为，所以为等边三角形， 显然，当P在端点A，时，所成角最小，最小角为， 当P在中点时，由三线合一可知，⊥，此时所成角最大为， 所以与所成角的取值范围是，故B正确； 对于C，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故平面的一个法向量为， 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，C正确. 对于D，因为直线与平面所成的角为， 若点在平面内，此时当与重合时，直线与平面所成角最大， 最大值为，其他位置均不合要求， 同理，若点在平面内，此时当与重合时， 直线与平面所成角最大，最大值为，其他位置不合要求， 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆，其弧长为， 故的轨迹长度为，故D错误； 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在等比数列中，若，，则___________. 【答案】32 【分析】利用等比数列通项公式得，则得到，则. 【详解】设公比为，即，即， 得，所以. 故答案为：32. 13．设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是 . 【答案】 【分析】根据平均数以及方差的定义，代入公式计算即可得结果. 【详解】由题意得， 所以数据的方差 . 故答案为：. 14．已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象，如图所示： 函数有两个零点等价于的图象有两个交点，， 由图可知或. 所以m的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 又，所以； （2）因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以， 由正弦定理得，所以，， 所以   , 又为锐角三角形，所以，解得，所以， 即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是． 16．（15分）在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明平面，即可解决问题； （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，代入夹角公式即可. 【详解】（1）取的中点为，连接， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 在直角三角形中，，为中点，所以， 又，所以， 所以°，即， 又∵，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 由（1）知两两垂直，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 则，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得， 设平面的法向量为，则， 设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17．（15分）某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表. 良好以下 良好及以上 合计 男 800 1100 女 100 合计 1200 1600 (1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关； (2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望. 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中，. 【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据条件可完善表格，然后计算出的值即可； （2）由条件可得，然后算出答案即可. 【详解】（1）由题中的数据补充列联表可得： 良好以下 良好及以上 合计 男 800 300 1100 女 400 100 500 合计 1200 400 1600 ， 故有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系. （2）根据题意，体测结果等级为“良好及以上”的频率为. 可知的取值有0，1，2，3，4，，记为的概率， 则， ， ， ； ； 则的分布列为： 0 1 2 3 4 P 所以的数学期望. 18．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论的取值范围，求函数的单调区间； （2）首先时，函数为，根据（1）的结论，得时，，再赋值且，代入不等式，利用累加法，即可证明； （3）由所证明的不等式，构造函数，，再讨论得到取值，通过放缩法得到 ，构造函数，利用导数，即可证明. 【详解】（1）的定义域为，所以，当时，，在上单调递增，当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在区间上单调递减； （2）当时，，由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故，即在上恒成立，所以当时，， 令且，则， 即，，…，， 所以累加得， 故当且时，. （3）由题对任意，都有恒成立，即在上恒成立， 令，，即在上恒成立，①当时，由于， 则有， 令，所以，令，得， 所以当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以当时，， 令，则，令，所以， 令，得，所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，符合题意， ②当时，由于在上单调递增且，， 故存在唯一，使得，即，即，即， 此时这与在上恒成立不符， 综上，实数得到取值范围是 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是赋值且，转化为数列问题，证明不等式，第三问的关键是讨论不同的的取值，从而讨论不同的函数是否满足条件. 19．（17分）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据抛物线的定义，把到的距离与到点的距离之和的最小值转化为到准线的距离为和到点的距离之和的最小值，在根据平面几何即可得出答案； （2）①设，计算出直线的方程和直线的方程，然后联立并根据韦达定理即可证明；②计算出，再根据基本不等式求解. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为． （2）①设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立消去整理得， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 即，同理直线的方程为． 联立，得，即， 即，即， 所以，即点在直线上． ②由题意可知，的斜率存在且均不为0， 因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为， 由①知，．所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，又易知， 所以的取值范围为 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第二次模拟考试 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B B B A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ACD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．32 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 又，所以；…………………………..5分 （2）因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以， 由正弦定理得，所以，， 所以   , 又为锐角三角形，所以，解得，所以， 即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是．…………………………..13分 16．（15分） 【详解】（1）取的中点为，连接， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 在直角三角形中，，为中点，所以， 又，所以， 所以°，即， 又∵，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面．…………………………..7分 （2） 由（1）知两两垂直，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 则，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得， 设平面的法向量为，则， 设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面的夹角的余弦值为．………………………….15分 17．（15分） 【详解】（1）由题中的数据补充列联表可得： 良好以下 良好及以上 合计 男 800 300 1100 女 400 100 500 合计 1200 400 1600 ， 故有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系. …………………………..7分 （2）根据题意，体测结果等级为“良好及以上”的频率为. 可知的取值有0，1，2，3，4，，记为的概率， 则， ， ， ； ； 则的分布列为： 0 1 2 3 4 P 所以的数学期望. …………………………..15分 18．（17分） 【详解】（1）的定义域为，所以，当时，，在上单调递增，当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在区间上单调递减；…………………………..5分 （2）当时，，由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故，即在上恒成立，所以当时，， 令且，则， 即，，…，， 所以累加得， 故当且时，.…………………………..10分 （3）由题对任意，都有恒成立，即在上恒成立， 令，，即在上恒成立，①当时，由于， 则有， 令，所以，令，得， 所以当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以当时，， 令，则，令，所以， 令，得，所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，符合题意， ②当时，由于在上单调递增且，， 故存在唯一，使得，即，即，即， 此时这与在上恒成立不符， 综上，实数得到取值范围是…………………………..17分 19．（17分） 【详解】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为．…………………………..5分 （2）①设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立消去整理得， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 即，同理直线的方程为． 联立，得，即， 即，即， 所以，即点在直线上．…………………………..12分 ②由题意可知，的斜率存在且均不为0， 因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为， 由①知，．所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，又易知， 所以的取值范围为…………………………..17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第二次模拟考试 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．12 4．袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6 5．已知双曲线的两个焦点为，，为上一点，，，则的离心率为 A． B． C． D． 6．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 7．已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B． C．254 D．2025 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆，A，B为左右两个顶点，，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（    ）． A． B．的范围是 C．若直线l过点与椭圆交于M，N，则 D．若，则 11．点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在等比数列中，若，，则___________. 13．设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是 . 14．已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 16．（15分）在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分）某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表. 良好以下 良好及以上 合计 男 800 1100 女 100 合计 1200 1600 (1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关； (2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望. 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中，. 18．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考数学第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．12 4．袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6 5．已知双曲线的两个焦点为，，为上一点，，，则的离心率为 A． B． C． D． 6．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 7．已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B． C．254 D．2025 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆，A，B为左右两个顶点，，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（    ）． A． B．的范围是 C．若直线l过点与椭圆交于M，N，则 D．若，则 11．点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在等比数列中，若，，则___________. 13．设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是 . 14．已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 16．（15分）在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分）某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表. 良好以下 良好及以上 合计 男 800 1100 女 100 合计 1200 1600 (1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关； (2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望. 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中，. 18．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考数学第二次模拟考试 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$