精品解析：甘肃省天水市清水县2024-2025学年九年级上学期期中学业水平监测数学试卷 (2)

清水县2024-2025学年度第一学期期中学业水平监测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项中D的两个图形不相似； 故选：D． 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，可得，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 3. 若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的减法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段定理．根据题意可得，代入数值继而得到本题答案． 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴，即：， 故选：D． 6. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 7. 根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 无法判定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：A． 8. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 【答案】A 【解析】 【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案． 【详解】解：， ， ∵DE//BC， ， ∵EF//AB， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 9. 某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件元降至元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程； 设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意，得：， 故选：A 10. 字母x、y表示两个有理数，且，现规定表示x、y中较小的数，例如：，，若，则x的值为（ ） A. 3 B. 1 C. 3或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意分情况讨论，再分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即：， ∴， 即：， 移项配方得：， 解得：，即：或（舍）， 当时，， 即：， ∴， 即：， 解得：（舍）或， 综上所述：或， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简及计算．根据题意先将两个二次根式依次化简，再进行减法运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，代数式求值等．根据题意可得，再将其代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵，且最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 15. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴上的数的大小，二次根式的化简；根据数轴得出，根据二次根式的性质，化简即可得． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 16. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为_______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点．设，利用黄金分割点可以得到成比例线段，；代入数值变形得，解方程即可求解． 【详解】解：∵C、D两点都是的黄金分割点，设， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共46分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简和运算； （1）根据二次根式的性质公式，加减运算法则计算； （2）根据二次根式的性质公式，除法法则计算，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元一次方程，因式分解法解一元二次方程，根据方程特点灵活选用恰当的解法是解题的关键． （1）先移项再配方，后开方即可得到本题答案； （2）先移项再利用因式分解法求解即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 开方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， 整理得：， 所以或， 解得：，． 19. 已知：关于x的方程． （1）不解方程，判别方程的根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值和方程另一个根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2）综上所述，另一根为或者，另一根为 【解析】 【分析】(1)、根据根的判别式判断即可； (2)、将代入方程，解方程即可得m的值，继而可得方程的另一个根． 【小问1详解】 解： ， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：把代入方程得： ， 解得： 当时，方程的解为 ∴另一根为； 当时，方程的解为 ∴另一根为； 综上所述，另一根为或者，另一根为． 【点睛】本题考查根的判别式和方程的解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 20. 已知的周长为，其中，． （1）求的长度； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，二次根式的加减运算，勾股定理，掌握勾股定理的性质是解题的关键． （1）由三角形周长公式可求解； （2）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形． 【小问1详解】 ∵的周长为，，， ∴； 【小问2详解】 略 21. 如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图，地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽． 【答案】花边的宽为1米． 【解析】 【分析】首先设花边的宽为x米，根据题意可得等量关系为：（矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）＝地毯的面积，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设花边的宽为x米， 根据题意得（2x+8）（2x+6）＝80， 解得x1＝1，x2＝﹣8， x2＝﹣8不合题意，舍去． 答：花边的宽为1米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，再设未知数列方程． 22. “泉州闽台缘博物馆”以每件20元的批发价进了一批纪念品，在国庆期间让馆内多间商店销售，这些商店经第一天销售调查可知：每件定价30元，每天能卖出5000件，若每件定价每上涨1元，其销售量将减少100件． （1）若每件纪念品售价上涨4元，这些商店每天能卖出________件； （2）这些商店为了实现平均每日共有80000元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件售价应定为多少元？ 【答案】（1）4600 （2）售价应定为40元 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用何列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据定价为30元时的销量，减去涨价后减少的400件销量即可； （2）设售价上涨x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，再根据总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，即可求解； 【小问1详解】 解：每件定价每上涨1元，其销售量将减少100件， 每件纪念品售价上涨4元时，销量为：（件）， 故答案为：4600； 【小问2详解】 解：设售价上涨x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要使消费者得到实惠， ∴， ∴售价为元 答：售价应定为40元． 四、解答题（共50分） 23. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用长加宽乘以2即可求解； （2）将大矩形面积减去阴影面积即可求解． 【小问1详解】 长方形ABCD的周长为：； 【小问2详解】 种植青菜部分的面积为： ． 答：种植青菜部分的面积是． 【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式． 24. 如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过多少秒？ 【答案】需要经过秒 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设经过，、之间的距离等于，先用含的代数式分别表示和的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可； 【详解】解：设经过，、之间的距离等于， 由已知可得： ，， ， ， ， 解得：， (不合题意，舍去)， ， 答：需要经过秒； 25. 观察下列运算：； ； ； …… （1）通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． （2）化简：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算即可；把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算即可； （2）先分母有理化，然后合并即可； 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解： ． 26. 阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①，解得． 当时，，∴； 当时，，∴x=±2； ∴原方程有四个根：． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程． 【答案】（1）换元，降次 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用换元、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）经分析：设,则，再运用因式分解法求出y的值，再代入得关于x的方程求解即可． 【小问1详解】 解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想 故答案为：换元，降次 【小问2详解】 解：设，则， ∴，解得． 当时，即，解得：． 当时，即，则， 由，此时方程无解． 所以原方程的解为． 27. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】（1）1； （2）由题意得： ∵， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）50 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件及配方法，熟练掌握二次根式有意义的条件及配方法是解题的关键； （1）根据配方法可直接进行求解； （2）根据二次根式有意义的条件结合配方法可进行求解； （3）利用割补法可把四边形的面积表示出来，然后利用配方法可进行求解 【详解】解：（1） ， ∵ ∴， 即的最小值为1； （2）略 （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ， 设，则， ， ∴四边形的面积最大值为：50． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清水县2024-2025学年度第一学期期中学业水平监测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 无法判定 8. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 9. 某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件元降至元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 字母x、y表示两个有理数，且，现规定表示x、y中较小的数，例如：，，若，则x的值为（ ） A. 3 B. 1 C. 3或1 D. 或1 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算的结果是________． 12. 已知，则________． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 14. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 15. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为________． 16. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为_______．（结果保留根号） 三、解答题（本大题共6小题，共46分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知：关于x的方程． （1）不解方程，判别方程的根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值和方程另一个根． 20. 已知的周长为，其中，． （1）求的长度； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由． 21. 如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图，地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽． 22. “泉州闽台缘博物馆”以每件20元的批发价进了一批纪念品，在国庆期间让馆内多间商店销售，这些商店经第一天销售调查可知：每件定价30元，每天能卖出5000件，若每件定价每上涨1元，其销售量将减少100件． （1）若每件纪念品售价上涨4元，这些商店每天能卖出________件； （2）这些商店为了实现平均每日共有80000元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件售价应定为多少元？ 四、解答题（共50分） 23. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 24. 如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过多少秒？ 25. 观察下列运算：； ； ； …… （1）通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． （2）化简：． 26. 阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①，解得． 当时，，∴； 当时，，∴x=±2； ∴原方程有四个根：． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程． 27. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $