第9章 中心对称图形-平行四边形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第九章 中心对称图形-平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节之所以被申请为人类非遗，因为春节里边蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．平行四边形中，若比小，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质确定，把代入即可求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形中，比小， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在菱形中，对角线，交于点，为的中点，菱形的周长为28，则的长等于（   ） A．3.5 B．4 C．7 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，由菱形的周长可求得，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求得答案． 【详解】解：∵菱形的周长为28， ∴边长为， ∵， ∴, ∵为的中点， ∴． 故选：A． 4．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理，理解旋转的性质，掌握三角形的内角和定理，图形结合分析思想是解题的关键． 先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的，由此即可求解． 【详解】解：设与相交于点，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，故D选项正确； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定成立，故B选项不正确； ∵，，不一定等于， ∴不一定成立，故A选项不正确； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，故C选项不正确； 故选：D． 5．如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可． 【详解】解：如图，两个格点三角形分别为和，连接， 设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1， 由勾股定理得，， 和的每一组对应顶点到点C的距离都相等， 两个格点和的旋转中心是点C， 故选：C. 6．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，由矩形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形得到，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ∵ ， ∵， ， ， 即是等边三角形， ，则， 在中，， ∴， 故选：C． 7．下列命题：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组邻边相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形：④一组邻边相等的矩形是正方形，其中真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题； ②一组邻边相等的平行四边形是菱形，故②不是真命题； ③对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题： ④一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题， 故选：B． 8．如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 过点D作，交于点H，连接，证明，得到，，再根据得到．证明四边形是平行四边形，得到，证明，得到，，则，，进而得到，根据得到，最后由即可解答． 【详解】解：过点D作，交于点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 9．如图，在正方形中，E，F分别为的中点．给出下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 根据正方形的性质及已知条件可证明可得、可判定②；再根据角的和差及等量代换可得可判定①；如图1，过点B作交于H，交于K，易得是的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质即可判定③；由全等三角形的性质可得，然后再根据面积的和差即可判定④． 【详解】解：∵正方形中，E，F分别为的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，即②正确； ∵ ∴， ∴，故①正确 如图1，过点B作交于H，交于K， ∵，E是的中点 ∴，H为的中点 ∴是的垂直平分线 ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴． 综上，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 10．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，先说明是直角三角形，进而得出四边形是矩形，可知当时，最小，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：连接，如图． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵为的中点， ∴点M在上，且， ∴当最小时，最小， 根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短． ， 即， ∴． 故选：D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上．已知，，则的长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出，进而利用得出即可． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上， ， ，， ， 的长是：． 故答案为：1． 12．已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是菱形的面积，解题关键是熟练掌握菱形面积的求解方法． 菱形面积求法：①底乘以高；②对角线积的一半．据此即可得解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积． 故答案为：． 13．在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图1，线段，求作：平行四边形． 小明的作法如下： 如图2：（1）以点C为圆心，长为半径画弧； （2）以点A为圆心，长为半径画弧； （3）两弧在上方交于点D，连接，四边形为所求作平行四边形．    老师说：“小明的作法正确．” 请回答：四边形是平行四边形的依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】解：由作图方法可知，则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 14．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且，，AE、CD相交于点O，连接DE．若，，则AB的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．根据平行四边形的性质先证明四边形是矩形，再由，，得出是等边三角形，得到，进而求得长． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 由 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是矩形， ∴是等边三角形 故答案为：12 15．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，由轴对称的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，即，解一元一次方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠可得，， 设，则， 在中，由勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键． 16．若以、、三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质．熟练掌握平行四边形的性质，结合坐标画出图形是解题的关键； 根据平行四边形两组对边分别平行可得第四个顶点的坐标． 【详解】解：根据平行四边形的两组对边分别平行，可得点有三种情况， 若以为对角线构建平行四边形则第四个顶点坐标为， 若以为对角线构建平行四边形，则第四个顶点坐标为， 若以为对角线构建平行四边形，则第四个顶点坐标为， 综上所述，第四个顶点坐标为或或； 故答案为：或或 17．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 18．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时E，F位置是解题关键．作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小，利用轴对称和勾股定理，求出即可得出答案． 【详解】解：如图，作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取， 根据轴对称可知：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， ∴最小，即最小， ∴最小值为的长， ∵，G为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即的最小值为10． 故答案为：10． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点成中心对称，画出． (2)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出的坐标． (3)在轴上存在一点，满足点到点与点距离之和最小，请直接写出的最小值为 ． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解， (3) 【分析】本题主要考查平面直角系的特点，掌握中心对称图形的性质，旋转的性质，轴对称图形的性质，勾股定理等知识的综合是解题的关键． （1）根据中心对称图形的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，坐标与图形的知识即可求解； （3）根据轴对称的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴即为所求图形； （2）解：如图所示， ∴即为所求图形，； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，在中，，分别是，边上的中点，连接、、． 求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】要证四边形是平行四边形，易证出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出． 【详解】证明：在平行四边形中，，， 又，， ，． 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 21．如图，在矩形中，M是对角线上的一个动点（M与A、C点不重合），作于E，于F． (1)试说明四边形是矩形； (2)连接，当点M运动到使为何值时，矩形为正方形？请写出你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）因为矩形中，，，所以在四边形中有三个角为直角，由矩形的判定方法可得四边形是矩形； （2）当点运动到使时，矩形为正方形． 本题考查矩形和正方形的判定方法．有三个角是直角的四边形是矩形．一组邻边相等的矩形是正方形． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：当点运动到使时，矩形为正方形．过程如下： 如图：连接， 为矩形， ， ， ， 矩形为正方形． 22．如图，在四边形中，，、交于点，、分别是、中点，分别交、于点、．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，取边的中点M，连接，，结合三角形中位线的性质有，，，，即可得，则有，再结合平行线的性质可得，，问题随之得证． 【详解】解：取边的中点M，连接，， ∵M、F分别是、中点， ∴，， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴． 23．如图，在四边形中，ABDC，，对角线、交于点0，平分，过点C作交延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； (2)由菱形的性质可得,,由直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解. 【详解】（1）证明：, , 平分, , , , , , 四边形是平行四边形， , 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，, , ,, , ， , (负值舍去), , 菱形的面积. 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的面积公式是解决此题的关键． 24．如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 四边形是矩形． 25．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 26．如图，是锐角中边上的高，将沿所在的直线翻折得到，将沿所在的直线翻折得到，延长相交于点P．    (1)如图1，若，求证：四边形为正方形； (2)如图2，若，当是等腰三角形时，求的度数； (3)如图3，连结，分别交于点G、H，连结交于点M，若，求_________度； 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)①； 【分析】(1)根据折叠的性质知而，由此可证得四边形是矩形；而，所以四边形是正方形； (2)利用翻折先求出，再对等腰三角形进行分类讨论即可求得答案； (3)利用利用等腰三角形求出，然后即可得解． 【详解】（1）解：∵，且和分别是由和翻折得到 ∴， ∴四边形为矩形 又∵， ∴四边形为正方形． （2）解：设，则， ∴， 而 ∵是等腰三角形 ∴当时， ∴ 当时， ∴ 当时， ∴ ∴为或 （3）解：由(1)知 ∴ ∴ 故答案为：； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，等腰三角形性质等知识，对等腰三角形进行正确的分类讨论是解题关键． 27．问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 【答案】（1）等腰直角；；；（2）成立；证明见解析；（3）有，证明见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明为等腰直角三角形，根据，得出，； （2）延长交于点Q，连接，，证明，得出，，证明，得出，．根据等腰直角三角形的性质得出，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，证明，得出，证明，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，． 【详解】解：（1）延长交于点Q， ∵四边形，为正方形， ∴，，，，， ∵顶点G落在正方形的边的延长线上， ∴， ∴，， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，； （2）延长交于点Q，连接，，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵正方形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵正方形中，，，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵在正方形中，，，， ∴，， ∵在正方形中，，，四边形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 28．折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为 ．（直接写出答案） 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) (3)见解析 (4)见解析 (5)或或 【分析】（1）通过折叠和平行，即可证明为等腰三角形； （2）当最小时，即最小时，的面积取得最小值，当时，的面积最小； （3）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，为等边三角形； （4）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，过点作的垂线，交于点，交于点，为等边三角形； （5）分三种情况画出图形，进行计算即可． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 纸片沿线段折叠， ， 四边形为长方形， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：由（1）得， 的面积， 当最小时，即最小时，的面积取得最小值， 当时，的面积最小； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图，即为所求； （5）解：第一种情况如图所示： ； 第二种情况如图所示： ； 第三种情况如图所示： ； 综上所述，三角形纸片中最大内角的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，分类讨论，尺规作图，折叠的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 中心对称图形-平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节之所以被申请为人类非遗，因为春节里边蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．平行四边形中，若比小，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线，交于点，为的中点，菱形的周长为28，则的长等于（   ） A．3.5 B．4 C．7 D．14 4．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 7．下列命题：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组邻边相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形：④一组邻边相等的矩形是正方形，其中真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，E，F分别为的中点．给出下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上．已知，，则的长是 ． 12．已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是 ． 13．在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图1，线段，求作：平行四边形． 小明的作法如下： 如图2：（1）以点C为圆心，长为半径画弧； （2）以点A为圆心，长为半径画弧； （3）两弧在上方交于点D，连接，四边形为所求作平行四边形．    老师说：“小明的作法正确．” 请回答：四边形是平行四边形的依据是 ． 14．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且，，AE、CD相交于点O，连接DE．若，，则AB的长度为 ． 15．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 16．若以、、三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐是 ． 17．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 18．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点成中心对称，画出． (2)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出的坐标． (3)在轴上存在一点，满足点到点与点距离之和最小，请直接写出的最小值为 ． 20．如图，在中，，分别是，边上的中点，连接、、． 求证：四边形是平行四边形．    21．如图，在矩形中，M是对角线上的一个动点（M与A、C点不重合），作于E，于F． (1)试说明四边形是矩形； (2)连接，当点M运动到使为何值时，矩形为正方形？请写出你的结论． 22．如图，在四边形中，，、交于点，、分别是、中点，分别交、于点、．求证：． 23．如图，在四边形中，ABDC，，对角线、交于点0，平分，过点C作交延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，求四边形的面积． 24．如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 25．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 26．如图，是锐角中边上的高，将沿所在的直线翻折得到，将沿所在的直线翻折得到，延长相交于点P．    (1)如图1，若，求证：四边形为正方形； (2)如图2，若，当是等腰三角形时，求的度数； (3)如图3，连结，分别交于点G、H，连结交于点M，若，求_________度； 27．问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 28．折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为 ．（直接写出答案） / 学科网（北京）股份有限公司 $$