第9章 中心对称图形-平行四边形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第九章 中心对称图形-平行四边形（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．2024年10月30日凌晨4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽三名航天员顺利进入太空，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线互线垂直的矩形是正方形 D．对角线相等的矩形是正方形 3．如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 4．如图，分别是四边形的边的中点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 5．如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接，其中有：①；②；③；④，四个结论，则结论一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．8种 B．10种 C．14种 D．16种 8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（   ）    A．2 B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C坐标为，顶点D坐标为，对角线经过坐标原点O，边与x轴交于点E，对E点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．菱形的两条对角线长分别是为和，则其面积为 ． 12．已知矩形的较短边长为6，两对角线的夹角为60°，则矩形的面积为 ； 13．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 14．如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 15．如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于 ． 16．如图，在正方形中，点E、F分别是对角线、上的点，连接、、，若，且．，则的度数为 ． 17．如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为 ． 18．如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______． 20．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 21．在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 22．如图，长方形中，为上一点，将沿翻折至与相交于点，且与相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 24．如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 25．如图，中，点O为边上的一个动点，过点O作直线，设交的外角平分线于点F，交内角平分线于E． (1)试说明； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下猜想满足什么条件能使四边形是正方形，并证明你的结论． 26．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】 （1）我们已经学习了平行四边形，菱形，矩形和正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_______； 【性质探究】 （2）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 27．如图1，长方形中，，点E是射线上一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)若，则的度数是_____________； (2)若， ①在图（2）中用无刻度的直尺和圆规作出点F（不写作法，保留痕迹）． ②求此时线段的长度． (3)设直线与线段交于点G，P、O分别是线段上的两个动点，当的面积为6时，请直接写出的最小值． 28．在中，，，是直线上一点，连接． (1)如图1，在延长线上，，点到的距离为，求的面积； (2)在线段上，且， ①如图2，为上一点，，过点作交于点，交的延长线于点，求证：； ②如图3，为直线上一动点，连接，将绕着点旋转至，连接、，当最短时，请直接写出的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 中心对称图形-平行四边形（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．2024年10月30日凌晨4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽三名航天员顺利进入太空，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义逐项判断即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2．下列说法不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线互线垂直的矩形是正方形 D．对角线相等的矩形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项说法正确，不符合题意； 由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项说法正确，不符合题意； 对角线互线垂直的矩形，同时又是菱形， 对角线互线垂直的矩形是正方，故C选项说法正确，不符合题意； 由矩形的性质可知，矩形的对角线相等， 对角线相等的矩形不一定是正方形，故D选项说法错误，符合题意； 故选D． 3．如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】∵是平行四边形，∴添加以下条件， A. ，，能判定四边形是正方形；     B. ，，能判定四边形是正方形； C. ，，能判定四边形是正方形；     D. ，，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形． 故选：D． 4．如图，分别是四边形的边的中点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．先利用三角形中位线定理证出四边形是平行四边形，再对选项逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：分别是四边形的边的中点， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形； A、若，则，四边形为菱形，故此选项说法错误，不符合题意； B、若，则，四边形为矩形，故此选项说法错误，不符合题意； C、四边形一定是平行四边形，但与不一定互相平分，故此选项说法错误，不符合题意； D、若四边形是正方形，则，，从而有，且，即与互相垂直且相等，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 5．如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据题意得到，，然后求出，，然后根据勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边中线性质求解即可． 【详解】∵的周长是 ∴ ∵的周长比的周长多 ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴． 故选：C． 6．如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接，其中有：①；②；③；④，四个结论，则结论一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由旋转的性质即可判定①③结论错误，通过等角转换即可判定④正确，利用逆推的方法判定②． 【详解】解：由旋转的性质，得，，故①错误； 由旋转的性质，得，，故③错误； 由旋转的性质，得， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故④正确； 若， ∴，而， ∴， ∴，与题干条件矛盾，故②错误； 故选：A． 7．已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．8种 B．10种 C．14种 D．16种 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的性质与判定、旋转的性质，熟练平行四边形的判定条件是解题的关键．根据题意，对题目中的条件任取两个组合，分类讨论所有情况，再结合平行四边形的判定条件，找出符合题意的情况即可． 【详解】解：如图， 当①②组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①③组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①④组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当①⑤组合时， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑦组合时， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②③组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当②④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑤组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑦组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑥组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑤⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑧组合时， ， 将绕点旋转，则点的对应点为点，点的对应点为点， 设点的对应点为点，则有， 、、在同一直线上， 由旋转的性质得，点可能落在线段上，落在延长线上，或者与点重合， 假设点落在线段上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 假设点落在延长线上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 综上所述，点只能与点重合，即， 四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑦组合时，同理⑤⑧组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑦⑧组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 综上所述，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有16种． 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ， 四边形是正方形， ， 连接，如图：    由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，，， 发现是8次一循环，则， ∴是第253组的最后一个点， 点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 9．如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线、矩形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点，结合图形取中点构造三角形的中位线是解题的关键．取中点为点，过点作于点，连接，先利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，再利用矩形的判定证明是矩形，得出即可解答． 【详解】解：如图，取中点为点，过点作于点，连接，   ，，点为中点， ，， 在中，， ， ，， ， ， ， 点是的中点，点为中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是矩形， ． 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C坐标为，顶点D坐标为，对角线经过坐标原点O，边与x轴交于点E，对E点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质、一次函数的图象和性质等知识，过点D作轴于点M，过点B作轴于点F，求出点B的横坐标为，设点A的坐标为，其中，求出点B的坐标为，再求出直线的解析式为，得到点E的坐标为，根据得到，解得，即可得到点E的坐标. 【详解】解：过点D作轴于点M，过点B作轴于点F，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设点B的横坐标为m， ∵顶点C坐标为，顶点D坐标为，顶点A在y轴正半轴上， ∴， ∴ 即点B的横坐标为， 设点A的坐标为，其中 ∵点A到点B的平移方式和点D到点C的平移方式相同，即为向下平移10个单位，向左边平移2个单位， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为 解得， ∴直线的解析式为 当时，，解得， ∴点E的坐标为， ∵， ∴， ∴ 解得， ∴ ∴点E的坐标是， 故选：B 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．菱形的两条对角线长分别是为和，则其面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查菱形的面积公式，根据菱形的面积公式代值求解即可得到答案，熟记菱形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵菱形的两条对角线分别是和， ∴这个菱形的面积是， 故答案为：36． 12．已知矩形的较短边长为6，两对角线的夹角为60°，则矩形的面积为 ； 【答案】36 【分析】根据题意画图，矩形对角线相等且互相平分，由两对角线的夹角为60°可知，△AOB为等边三角形，即可求得AC=12，利用勾股定理可求得BC，进而求得面积. 【详解】 根据题意画图可知 AB=6，∠1=60° ∵矩形对角线相等且互相平分， ∴△AOB为等边三角形 ∴AC=2AB=2AO=12 在直角△ABC中 BC=== ∴S□ABCD=6×= 【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是利用矩形中对角线相等且互相平分来求矩形的长，从而解题. 13．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 14．如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 15．如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于 ． 【答案】22．5° 【分析】根据等边对等角的性质可得∠E＝∠ACE，由正方形的性质得出∠BAC＝45，再由三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵AC＝AE， ∴∠E＝∠ACE， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠BAD＝90，∠BAC＝45， ∴∠E+∠ACE＝45， ∴∠ACE＝×45＝22．5， 故答案为：22．5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质和正方形的性质是解题的关键． 16．如图，在正方形中，点E、F分别是对角线、上的点，连接、、，若，且．，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质． 根据正方形的性质和，证明得到，从而得到，根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   四边形是正方形，对角线为、相交于点， ， ， ，，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 17．如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定、最短路径问题，熟练掌握以上知识点，利用等边三角形的性质证出是解题的关键．连接、，连接交于点，由菱形的性质和可得出是等边三角形，进而得出垂直平分，得到，则有，再证出，利用全等三角形的性质求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，连接、，连接交于点， 菱形，，， ，，，， 是等边三角形， ， 又E，F分别为边和的中点， ，垂直平分， 点P是上一动点， ， 在和中， ， ， ， ， 当三点共线时，有最小值4． 故答案为：4． 18．如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，由三角形的中位线定理得：分别等于的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推可求出的周长． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴分别等于的， ∵分别为的中点， ∴分别为的， ∴以此类推：的周长为的周长的，即的周长的， ∴． 则故答案为：． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【分析】本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识，熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质是解题的关键； （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心； 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：如图，若将 绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为，旋转角度为； 故答案为：；． 20．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 21．在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作交于点，设交于点，证明四边形是平行四边形，得，证明，得，证明，得，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得，，四边形是平行四边形，得，证明，得，根据等边对等角得，再将数据代入可得结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点，设交于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边对等角等知识点．通过作辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键． 22．如图，长方形中，为上一点，将沿翻折至与相交于点，且与相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）由折叠的性质得出，从而得到，然后可证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由，得出，从而得到，设，则，求出，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ． 由翻折的性质可知． 在和中， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 设， 则， ． 在中，根据勾股定理，得， ， 解得：， ． 23．如图，在中，为边上一点，平移线段，使点与点重合、点与点重合，连接，，． (1)若，，求的度数．． (2)请再添加一个条件，使四边形为菱形． 【答案】(1) (2)，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平移的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定； （1）由三角形内角和定理求得∠，根据平移的性质征得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可证得结论；求得答案； （2）根据菱形的判定定理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据平移的性质，可得，， 四边形是平行四边形． ． 在中，，， ． ． （2）答案不唯一，如， 证明：由（1）知四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 24．如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．首先结合矩形的性质证明四边形是平行四边形，再根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”证明四边形是矩形，然后根据“邻边相等的矩形为正方形”证明四边形是正方形． 【详解】证明：如下图， 四边形是矩形， ， ． 平分， ， ， ； 同理可得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 25．如图，中，点O为边上的一个动点，过点O作直线，设交的外角平分线于点F，交内角平分线于E． (1)试说明； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下猜想满足什么条件能使四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当点O运动到中点时，四边形是矩形，证明见解析 (3)是直角三角形，且时，能使四边形是正方形，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握特殊四边形的判定定理是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，，即可证明结论； （2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形即可证明； （3）由（2）可知，当点O运动到中点时，四边形是矩形，若，则是等腰直角三角形，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ； （2）解：当点O运动到中点时，四边形是矩形，证明如下： 点是中点， ， 由（1）可知，， 四边形是平行四边形，且， ， 四边形是矩形； （3）解：是直角三角形，且时，能使四边形是正方形，证明如下： 由（2）可知，当点O运动到中点时，四边形是矩形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形． 26．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】 （1）我们已经学习了平行四边形，菱形，矩形和正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_______； 【性质探究】 （2）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】（1）菱形，正方形；（2）73 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）如答图，连接，设交于点．先证明，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论． 【详解】解：（1）∵菱形，正方形的对角线互相垂直 ∴菱形，正方形是垂美四边形； （2）四边形是垂美四边形， ， ． 由勾股定理，得， ， ； （3）如答图，连接，设交于点． ， ， 即． 在和中， ， ． ， ． ， ， ， 四边形是垂美四边形． 由（2）可知． ， 由勾股定理，得， ． 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 27．如图1，长方形中，，点E是射线上一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)若，则的度数是_____________； (2)若， ①在图（2）中用无刻度的直尺和圆规作出点F（不写作法，保留痕迹）． ②求此时线段的长度． (3)设直线与线段交于点G，P、O分别是线段上的两个动点，当的面积为6时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或15 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠可得，进而可以解决问题； （2）①作的垂直平分线，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交的垂直平分线于点，即为所求； ②由①作图过程和翻折的性质，设，分为当F在下方时和当F在上方时，两种情况分别求解即可解决问题； （3）作于点，由，平分，得，所以，所以的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，最小即为的值，此时与重合，与重合，与重合，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠可知：， 故答案为：； （2）解：①如图2，点即为所求； ②当F在下方时，如图， 由①作图可知：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 线段的长度为； 当F在上方时，如图， 由①作图可知：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 线段的长度为15； 综上所述，或15； （3）解：如图3，作于点， 的面积为6， ， ， ， 、分别是线段、上的两个动点， 时，最短， ，平分， ， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，最小即为的值， 此时与重合，与重合，与重合， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义和性质，垂线段最短、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 28．在中，，，是直线上一点，连接． (1)如图1，在延长线上，，点到的距离为，求的面积； (2)在线段上，且， ①如图2，为上一点，，过点作交于点，交的延长线于点，求证：； ②如图3，为直线上一动点，连接，将绕着点旋转至，连接、，当最短时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）作于点，于点，证明，得，，即可得； （2）①作于，交于，连接，由，得到是的垂直平分线，，证明，得，进而可得，证明，得，，，进而可得； ②将绕点逆时针旋转得，将绕点逆时针旋转得，作直线交于，证明，进而可得，点在与垂直的直线上，当绕着点顺时针旋转至时，点在与垂直的直线上，由图可得，当绕着点逆时针旋转至时比顺时针旋转时的小，当与重合，连接，将绕点逆时针旋转，得到在直线上，作，交的延长线于，作于，此时，即可求解． 【详解】（1）解：作于点，于点， ， ， ， ，， ，， ， ，， ∴， ， ， ， ； （2）①证明：作于，交于，连接， ， 是的垂直平分线，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：将绕点逆时针旋转得，将绕点逆时针旋转得， 作直线交于， ， ， ，， ， ， ，，， ， 点在与垂直的直线上， 当绕着点顺时针旋转至时，同理可证明点在与垂直的直线上，如图所示： 由图可得，当绕着点逆时针旋转至时比顺时针旋转时的小， 当与重合，连接，将绕点逆时针旋转，得到在直线上， 作，交的延长线于，作于， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 此时，连接， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、旋转的性质等，熟知相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$