精品解析：河南省平顶山市宝丰县2024-2025学年九年级上学期12月期中数学试题

2024-2025学年第一学期评估试卷 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形求解即可，注意看不见的棱用虚线表示． 【详解】解：由图知，该几何体的左视图是， 故选：D． 2. 是成比例线段，其中，则线段的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的定义．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入， 解得：， 则． 故选：A． 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 4. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 5. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定是解题的关键．根据矩形、菱形和正方形的判定，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：若，则四边形是矩形，不一定是正方形，故A选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故B选项正确，符合题意； 若，则四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 6. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 随的增大而减小 C. 图象在第一、三象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、把代入解析式得，所以点在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误，符合题意； C、，∴函数图象在一、三象限内，故本选项正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 7. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 8. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设到会的人数为x，则每个人都需要与人握一次手，再根据两人之间的握手只算做一次列出方程即可． 【详解】解：设到会的人数为x， 由题意得，， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 9. 用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意正确的列表格是解题的关键． 将第一个图中蓝色分成3份，然后列表格，最后求概率即可． 【详解】解：将第一个图中蓝色分成3份，列表格如下； 红 蓝1 蓝2 蓝3 红 红红 红蓝 红蓝 红蓝 黄 黄红 黄蓝 黄蓝 黄蓝 蓝 蓝红 蓝蓝 蓝蓝 蓝蓝 共有种等可能的结果，其中能配成紫色共有4种等可能的结果， ∴配成紫色的概率是， 故选：C． 10. 如图，在中，，角平分线与中线交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、角平分线的性质定理、相似三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．过点作于点，作于点，先求出，，再根据角平分线的性质定理可得，在中，解直角三角形可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，最后证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， ∵在中，，，， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， 设，则， 在中，， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，是一张边长为的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为__________． 【答案】2.8 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴落在黑色区域的概率约为0.7， ∴该二维码黑色部分的总面积约为． 故答案为：2.8． 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，请写出一个的值使其符合条件：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．先求出的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴的值可以为0． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理；首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】根据题意可得，， ∴四边形是菱形， ∴设和交于点O， ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：24． 14. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 15. 如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质等等，先由勾股定理得到，由折叠的性质可得，，设，则，再分当时，，当时，，两种情况根据相似三角形对应边成比例建立方程讨论求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，， 设，则， ∵， ∴当时，， ∴，即 解得， ∴， ∵， ∴三点共线，即此时点F与点C重合， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴； 综上所述，或； 故答案为：或． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴，，，， 则， 所以，，． 【小问2详解】 解： 方程右边分解因式，得． 移项，得． 方程左边分解因式，得． 所以，得或． 所以，，． 17. 宝丰县某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习．请根据以上信息解答下列问题： （1）李明采用抽签形式选择，抽到“B．猜想、证明与拓广”项目的概率为__________； （2）本次项目式学习中，九一班选择“A．制作视力表”项目学习的共有四人，包含三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 【答案】（1） （2）恰好选到一名女生和一名男生的概率为 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：抽到“B．猜想、证明与拓广”项目的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：先将三个女生分别记作“女1”“女2”“女3”，再列表如下： 第一次 女1 女2 女3 男 女1 （女1，女2） （女1，女3） （女1，男） 女2 （女2，女1） （女2，女3） （女2，男） 女3 （女3，女1） （女3，女2） （女3，男） 男 （男，女1） （男，女2） （男，女3） 共有12种等可能的结果，其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有6种， ∴恰好选到一名女生和一名男生的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、都在格点（网格线的交点）上，点坐标为． （1）在网格中画出，使它与的相似比为； （2）与的周长比为__________，面积比为__________． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）1：21：4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与作图知识点，解题的关键是掌握相似三角形的性质以及位似图形的画法． （1）通过确定位似中心，根据相似比找出对应点，进而画出； （2）根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方得出结果． 【小问1详解】 以点为位似中心，将的各边扩大为原来的2倍来画．先分别连接，，并延长到，使，延长到，使，连接，则就是所求的与相似比为2∶1的三角形． 【小问2详解】 根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，因为与的相似比为1∶2，所以它们的周长比为1：2；相似三角形面积的比等于相似比的平方，由于相似比是1：2，那么面积比为． 故答案为：1：2，1：4 19. 如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，若，则的长为__________． 【答案】（1） 四边形是矩形，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形，可得，，由，可得，可证四边形是平行四边形，由，即，可证四边形是矩形； （2）由菱形，，，可得，，，如图，在取，使，连接，则是的中位线，，由勾股定理得，，，计算求解，进而可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形，，， ∴，， ∵菱形 ∴， 如图，在取，使，连接， ∴是的中位线， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，中位线等知识．熟练掌握菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，中位线的性质是解题的关键． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）反比例函数表达式为____________________；一次函数表达式为____________________； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可； （3）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P的坐标为，利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为， 一次函数图象过，， ∴， 解得， 一次函数解析式为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：在一次函数中，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴点． 21. 2024年是农历甲辰龙年．网店老板小王近期购进一批进价89元的“龙年大吉”保温杯，以每个100元的价格销售．由于销售火爆，保温杯的销售单价经过两次调整后，上涨到每个121元，此时每天可售出66个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加3个．为了尽快减少库存，小王决定降价促销．若使每天所获销售利润为1512元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】（1）每次上涨的百分率为 （2）销售单价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设每次上涨的百分率为，则第一次调整后的售价为元，第二次调整后的售价为元，由此列方程即可； （2）设销售单价应降低元，根据进价、售价、销量、利润之间关系列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设每次上涨的百分率为， 由题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为． 【小问2详解】 解：设销售单价应降低元，根据题意，得 解方程，得，（不合题意，舍去）． 答：销售单价应降低20元． 22. 为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． （1）如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； （2）如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； （3）如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】（1） （2） （3）旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行投影以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得答案； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过作于，交于，先求出，再证，利用相似三角形的性质得，即可得出． 【小问1详解】 解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶； 【小问2详解】 解：如图 ， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 则旗杆高度为米， 故答案为：； 【小问3详解】 如图：过作于，交于， 则，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 23. （1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在①平行四边形②菱形③矩形④正方形中，能称为垂美四边形是__________；（只填序号） （2）【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，，，，之间的数量关系为，请你给出证明： （3）【性质应用】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，请直接写出的长． 【答案】（1）②④ （2）证明：∵， ∴,,,, ∴， , ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）由菱形和正方形的对角线相互垂直可得答案； （2）运用两次勾股定理，再运用等量代换可解决问题； （3）先根据手拉手模型很容易得到，连接,,可得到四边形是垂美四边形，由（2）的结论算出即可. 【详解】（1）∵菱形和正方形的对角线互相垂直，而矩形和平行四边形的对角线不一定垂直， ∴只有正方形和菱形是垂美四边形， 故选②④. （2）略 （3）如图所示，连接,. 在中，，， 由正方形可知，， ∴， 同理可得：， 由正方形和正方形可知，, ∴, 即, ∴, ∴, 又 ∴, ∴ ∴四边形是垂美四边形. 由（2）的结论可得： 解得： 【点睛】本题主要考查了新定义的概念，勾股定理的应用，一元二次方程解法等知识点，解决此题的关键是要合理的利用由垂美四边形得到的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期评估试卷 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 是成比例线段，其中，则线段的长可能为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 4. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 6. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 随的增大而减小 C. 图象在第一、三象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称 7. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，角平分线与中线交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，是一张边长为的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为__________． 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，请写出一个的值使其符合条件：__________． 13. 如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是__________． 14. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 15. 如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于___． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 宝丰县某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习．请根据以上信息解答下列问题： （1）李明采用抽签形式选择，抽到“B．猜想、证明与拓广”项目的概率为__________； （2）本次项目式学习中，九一班选择“A．制作视力表”项目学习的共有四人，包含三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、都在格点（网格线的交点）上，点坐标为． （1）在网格中画出，使它与的相似比为； （2）与的周长比为__________，面积比为__________． 19. 如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，若，则的长为__________． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）反比例函数表达式为____________________；一次函数表达式为____________________； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 21. 2024年是农历甲辰龙年．网店老板小王近期购进一批进价89元的“龙年大吉”保温杯，以每个100元的价格销售．由于销售火爆，保温杯的销售单价经过两次调整后，上涨到每个121元，此时每天可售出66个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加3个．为了尽快减少库存，小王决定降价促销．若使每天所获销售利润为1512元，则销售单价应降低多少元？ 22. 为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． （1）如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； （2）如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； （3）如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 23. （1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在①平行四边形②菱形③矩形④正方形中，能称为垂美四边形是__________；（只填序号） （2）【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，，，，之间的数量关系为，请你给出证明： （3）【性质应用】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $