第九章 图形的变换（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版2024）

第九章 图形的变换（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（　　） A． B． C． D． 2．长治是戏曲之乡，全国首个曲艺名城．其中长治上党梆子与蒲剧、晋剧、北路梆子合称山西四大梆子戏，并于2006年被列入第一批国家级非遗代表性项目名录．下列4个戏剧脸谱中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．小琳将一张长方形纸折成纸飞机，如图是她的操作顺序，则当两侧机冀展开平铺时，折痕、与飞机头的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 6．下列不属于平移现象的是（    ） A．升降电梯上下移动 B．传送带上物品传输 C．拉抽屉 D．电风扇扇叶转动 7．俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行向左、向右平移，也可以顺时针、逆时针旋转．小海在玩游戏时，想把正在下降的“L”型插入下方空缺部分，正确的是（　　） A．绕点P旋转，再向右平移 B．绕点P按逆时针方向旋转，再向右平移 C．绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移 D．直接向右平移 8．如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 10．如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．如图，直角三角形中，，，则内部五个小直角三角形的周长为 ． 12．小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是 ． 13．应用意识如图，某住宅小区内有一块长方形草地，想在草地内修筑两条同样宽的“之”字路，道路的宽为，则草地的面积为 ． 14．如图，把长方形纸片沿对折，若，则的度数为 ． 15．如图，在中，是上一点，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．若，，则 ． 16．如图，在探究折叠长方形纸片实验中，均是折痕，折叠后，点A落在点，连接，点B落在点，当在的内部时，连接，若求= ． 17．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行． 18．将图1中周长为24的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为36的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ．    三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分） 19．（1）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为.将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请作出； （2）在网格中作出绕点顺时针旋转之后得到的； （3）求的面积． 20．如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形 (1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形； (2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写） 21．如图，正方形边长为2，以各边中心为圆心，1为半径依次作圆，将正方形分成四部分． (1)这个图形______（填“是”或“不是”）旋转对称图形；若是，则旋转中心是点______，最小旋转角是______； (2)求图形的周长和面积． 22．已知，，，是内互不重合的射线，并按图中的顺序依次排列．    (1)如图1，若，平分，平分，则的度数为_____； (2)如图1，若，在内部，，平分平分，求的度数（用含，的式子表示）； (3)如图2，若，，，平分，平分．当在内绕着点以每秒的速度逆时针旋转秒时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的2倍，求的值． 23．如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，与相交于点，．当时，求的度数． 24．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转；②1次轴对称；③1次平移和1次旋转；④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是______． 25．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．（利用网格线进行作图） (1)作出中边上的中线和边上的高线； (2)将经过平移后得到，且点的对应点为，作出平移后的． ①线段和的关系是__________； ②求的面积． 26．如图，在三角形中，已知是上的高，，点E是的一点，，． (1)求阴影部分的面积（用含a、b的式子表示）． (2)当，时，求阴影部分的面积的值． (3)三角形可以通过一种运动与三角形完全重合，请写出具体的运动方法：________． 27．已知长方形中，边的长度为，边的长度为，．将长方形绕着点旋转，点、、的对应点分别记为点、、，旋转角记为． (1)当旋转方向为顺时针方向且时（如图），连接、、，用、的代数式表示三角形的面积；（结果需化简） (2)当时，如果与的度数之比为，请直接写出旋转方向和的度数； (3)当时，旋转过程中，当长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和的度数． 28．【动手操作】 在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． 【问题初探】 （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为________． 【问题二探】 （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． 【问题三探】 （3）在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 图形的变换（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据图形平移的性质解答即可，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 【详解】解：由图可知A，B，C不是平移得到，D是利用图形的平移得到． 故选：D． 2．长治是戏曲之乡，全国首个曲艺名城．其中长治上党梆子与蒲剧、晋剧、北路梆子合称山西四大梆子戏，并于2006年被列入第一批国家级非遗代表性项目名录．下列4个戏剧脸谱中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、C、D的图形均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项B的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 3．小琳将一张长方形纸折成纸飞机，如图是她的操作顺序，则当两侧机冀展开平铺时，折痕、与飞机头的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质，根据折叠的性质，即可求出的度数． 【详解】解：∵折叠纸飞机的过程，对折了次， ∴， 故选：C． 4．如图，已知长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠图形中角度的计算，利用折叠对称的性质得到角度关系是解题的关键．利用长方形纸条对边平行进行角度转换，再利用折叠对应角相等和平角进行计算，得到中除外的两个角度和，最后由三角形内角和得到． 【详解】解：长方形纸条， ∴， ，， 由折痕，得到，， ， ， ， 故选：D． 5．如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查点与点对称的定义与应用，由已知条件，根据轴对称的性质画图解答，理解A是P与的中点，则P与关于点A对称是正确解答本题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意：A是P与的中点；B是与的中点；C是与的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P． 所以至少要跳6步回到原处P． 故选：C． 6．下列不属于平移现象的是（    ） A．升降电梯上下移动 B．传送带上物品传输 C．拉抽屉 D．电风扇扇叶转动 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．根据平移的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、升降电梯上下移动，属于平移； B、传送带上物品传输，属于平移； C、拉抽屉，属于平移； D、电风扇扇叶转动，不属于平移． 故选：D． 7．俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行向左、向右平移，也可以顺时针、逆时针旋转．小海在玩游戏时，想把正在下降的“L”型插入下方空缺部分，正确的是（　　） A．绕点P旋转，再向右平移 B．绕点P按逆时针方向旋转，再向右平移 C．绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移 D．直接向右平移 【答案】C 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，将常见的游戏和旋转平移的知识相结合，有一定的趣味性，要根据平移和旋转的性质进行解答． 在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把每行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到． 【详解】解：消除界面中的三行方块，需要绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移． 故选C． 8．如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】提示：如图1，当点在线段上时，过点作．因为由平移得到，所以．所以．①当时，设，则．因为，，所以．因为，所以，解得，所以．②当时，设，则．同理可得，．因为，所以．解得，所以． 如图2，当点在线段的延长线上时，过点作．同理可得．③当时，设，则．同理可得．因为，所以，解得，所以．④当时，由图可知，，故不存在这种情况． 综上所述，的度数为或或． 9．如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移，一元一次方程的应用，先根据平移的性质得到，分，，三种情况解答即可求解，掌握平移的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵三角形以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为三角形， ∴， 当，即，解得； 当，即，解得； 当，即，解得； 综上所述，的值为或或， 故选：． 10．如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质与旋转的性质以及勾股定理的证明，根据平移的性质与旋转的性质，以及勾股定理的证明逐一判断即可；掌握平移的性质与旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：A．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； B．可以看作是沿着方向平移距离b，再沿方向平移距离a得到，结论错误，故符合题意； C．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； D．图形运动后并没有改变图形的面积，通过图和图的面积表示得，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．如图，直角三角形中，，，则内部五个小直角三角形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平移的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得内部五个小直角三角形的直角边的和等于，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：由题意得：内部五个小直角三角形的直角边的和等于， 则内部五个小直角三角形周长的和为， 故答案为：12． 12．小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查镜面反射的原理与性质；根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：从镜子中看到的是，则真实时间应该是将此读数倒看：． 故答案为：． 13．应用意识如图，某住宅小区内有一块长方形草地，想在草地内修筑两条同样宽的“之”字路，道路的宽为，则草地的面积为 ． 【答案】560 【分析】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条“之”字路平移到长方形的最上边和最左边，使余下部分是一个矩形是解决本题的关键．把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：如图，把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形，   道路的宽为，，， ，， 矩形的面积为：，即绿化的面积为． 故答案为：． 14．如图，把长方形纸片沿对折，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，由是长方形，则，再由平行线的性质即可得出，求出度数，由折叠的性质可得，最后由角度和差即可求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，是上一点，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．若，，则 ． 【答案】134 【分析】此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理应用，连接，由点E和点F分别是点D关于和的对称点，得，再根据，所以，即可求出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 点E和点F分别是点D关于和的对称点， ， ， ， ， 故答案为：134． 16．如图，在探究折叠长方形纸片实验中，均是折痕，折叠后，点A落在点，连接，点B落在点，当在的内部时，连接，若求= ． 【答案】36°/36度 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，由折叠得出和的值即可解得． 【详解】解：由折叠得出，， ， ，即， 故答案为：． 17．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行． 【答案】5或35或65或95或125 【分析】根据题意，分6种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，当第二次平行于时，当第三次平行于时，当第三次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键． 【详解】解：如图， 时， 延长交于D点， 则，， ， ， ， ， ， 解得； ②如图：时， ，， ， ， ， 解得； ③如图第二次平行于时， 设与的交点为E， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ④如图第二次平行于时， ，， ∵， ∴， ∴， 解得； ⑤如图：第三次平行于时， 则，， ， ， 又， ， ∴， 解得； ⑥如图：第三次平行于时， ，， ， ， ∴， 解得（舍去）． 综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125． 故答案为：5或35或65或95或125 18．将图1中周长为24的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为36的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ．    【答案】30 【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为24，求得，根据图中长方形的周长为36，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为24，可得，， 解得：， 如图，∵图2中长方形的周长为36， ∴， ∴， 根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴ = = ； 故答案为：30．    【点睛】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分） 19．（1）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为.将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请作出； （2）在网格中作出绕点顺时针旋转之后得到的； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转、割补法求三角形的面积，解决本题的关键是根据平移和旋转的性质按要求作图． 分别画出点、、向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，的对应点、、，顺次连接点、、，得到即为所求； 分别作点、、绕点顺时针旋转之后得到的对应点、、，顺次连接点、、，得到即为所求； 依据网格把补充成一个矩形，根据矩形的面积公式和三角形的面积公式求出的面积． 【详解】解：如下图所示，分别画出点、、向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，的对应点、、，顺次连接点、、，得到，就是所要求作的三角形； 如下图所示，分别作点、、绕点顺时针旋转之后得到的对应点、、，顺次连接点、、，得到，就是所要求作的三角形； 如下图所示，根据网格把补充成一个矩形， 则； 20．如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形 (1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形； (2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—轴对称变换，掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形即可； （2）结合网格的特点，画出与三角形成轴对称的其它格点三角形和相应的对称轴即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形关于直线l成轴对称的三角形即为所求： （2）解：如图所示，格点三角形和对称轴即为所求： 或或或 （答案不唯一，言之成理即可） 21．如图，正方形边长为2，以各边中心为圆心，1为半径依次作圆，将正方形分成四部分． (1)这个图形______（填“是”或“不是”）旋转对称图形；若是，则旋转中心是点______，最小旋转角是______； (2)求图形的周长和面积． 【答案】(1)是；； (2)周长；面积 【分析】本题考查的是旋转对称图形的含义，正方形的性质； （1）根据旋转对称图形的定义可得答案； （2）根据图形的周长为边长与圆周长的一半的和，面积是正方形的面积的，从而可得答案； 【详解】（1）解：这个图形是旋转对称图形；旋转中心是点，最小旋转角是； （2）解：图形的周长为边长与圆周长的一半的和，即； ， 图形的面积为． 22．已知，，，是内互不重合的射线，并按图中的顺序依次排列．    (1)如图1，若，平分，平分，则的度数为_____； (2)如图1，若，在内部，，平分平分，求的度数（用含，的式子表示）； (3)如图2，若，，，平分，平分．当在内绕着点以每秒的速度逆时针旋转秒时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的2倍，求的值． 【答案】(1)77 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了角的和差计算，旋转的性质，一元一次方程的应用，角平分线的性质．关键是通过角的和差关系和角平分线的性质，正确表示需要的角． （1）先由角平分线求得和，最后求此两角的和便可； （2）先由角平分线得到，再进行求解即可； （3）由在内绕点以秒的速度逆时针旋转秒时，得，，再由角平分线求得和，再分两种情况：和，分别列出的方程进行解答便可． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， 故答案为：77； （2）解：平分，平分， ，， ， 如图，当在内部时，   ； （3）解：在内绕点以秒的速度逆时针旋转秒时， ， ， 平分，平分， ，， 当时，，则； 当时，，则． 故当或时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍， 23．如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，与相交于点，．当时，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，平行线的性质，由三角形内角和定理得，由旋转的性质得，，进而根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】．解：在中，，， ， 由旋转得，，， ， ， ， ， ， ， ． 24．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转；②1次轴对称；③1次平移和1次旋转；④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】(1)轴对称或旋转，旋转； (2)①③④． 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）梯形V可以看成由梯形绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解∶如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次轴对称得到；也可以看成由梯形Ⅰ经过一次旋转得到，旋转中心是两个梯形公共的顶点，旋转了，梯形Ⅲ可以看成中梯形Ⅰ经过一次旋转得到； 故答案为∶轴对称或旋转，旋转； （2）解：梯形V可以看成由梯形Ⅳ绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到或先绕点B逆时针旋转再作关于直线a对称的图形得到． 故答案为∶ ①③④ 25．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．（利用网格线进行作图） (1)作出中边上的中线和边上的高线； (2)将经过平移后得到，且点的对应点为，作出平移后的． ①线段和的关系是__________； ②求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①且；②9 【分析】本题考查作图-平移变换、三角形的中线与高线、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）取的中点D，连接即可；根据三角形的高的定义，在的延长线上取格点E，连接即可． （2）根据平移的性质作图即可． ①根据平移的性质可知且． ②利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，、就是所要求作的中线和高线． （2）解：如图，就是所要求作的三角形． ①且 ②的面积为． 26．如图，在三角形中，已知是上的高，，点E是的一点，，． (1)求阴影部分的面积（用含a、b的式子表示）． (2)当，时，求阴影部分的面积的值． (3)三角形可以通过一种运动与三角形完全重合，请写出具体的运动方法：________． 【答案】(1) (2)44 (3)绕点A顺时针旋转 【分析】本题考查旋转的性质，列代数式，代数式求值，解决本题的关键的掌握旋转的性质． （1）根据阴影部分的面积=三角形的面积-三角形的面积，代入a，b计算即可； （2）结合（1）代入值计算即可； （3）根据旋转的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：阴影部分的面积=三角形的面积-三角形的面积 ； （2）解：当时， 阴影部分的面积 ； （3）解：三角形可以通过一种旋转运动与三角形完全重合， 具体的运动方法：三角形可以绕着点A顺时针旋转90度与三角形完全重合． 故答案为：三角形可以绕着点A顺时针旋转90度与三角形完全重合． 27．已知长方形中，边的长度为，边的长度为，．将长方形绕着点旋转，点、、的对应点分别记为点、、，旋转角记为． (1)当旋转方向为顺时针方向且时（如图），连接、、，用、的代数式表示三角形的面积；（结果需化简） (2)当时，如果与的度数之比为，请直接写出旋转方向和的度数； (3)当时，旋转过程中，当长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和的度数． 【答案】(1)； (2)顺时针方向；逆时针方向； (3)顺时针方向；逆时针方向． 【分析】延长、交于点，把不规则图形补充成一个矩形，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式列出表示面积的代数式； 本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别用含的代数式表示出与，再根据这两个角的度数之比为，列方程求解； 本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，旋转后如果重叠部分是等腰直角三角形，则为轴对称图形，根据等腰直角三角形的性质确定旋转角的度数即可． 【详解】（1）解：如下图所示，延长、交于点， 则矩形的长为，宽为， ； （2）解：如下图所示，如果顺时针旋转， 则有，， 与的度数之比为， ， 解得：； 如下图所示，如果逆时针旋转， 则有，， 与的度数之比为， ， 解得：； 综上所述，顺时针方向或逆时针方向； （3）解：如下图所示，重叠部分是， ， 若是轴对称图形， 则有是等腰直角三角形， ， ， 当顺时针方向旋转时， 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形， 长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形； 如下图所示，重叠部分是， ， 若是轴对称图形， 则有是等腰直角三角形， ， ， 当逆时针方向旋转时， 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形， 长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形； 综上所述，当顺时针方向或逆时针方向长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、轴对称图形、解一元一次方程、列代数式、分类讨论的思想．解决本题的关键是要注意分类讨论思想的运用，图形旋转时要分顺时针旋转或逆时针旋转两种情况考虑． 28．【动手操作】 在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． 【问题初探】 （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为________． 【问题二探】 （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． 【问题三探】 （3）在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 【答案】（1）垂直；；平行；依据是内错角相等，两直线平行（或在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行）；（2）①；②；（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行 【分析】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． （1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案；②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角． （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】解：（1）如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵如图④所示：， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直；；平行； （2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ∵， ∴， ∴两条射线的夹角为． （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； ②当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； ③当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行． / 学科网（北京）股份有限公司 $$