精品解析：广西 南宁市第十四中学2024-2025学年下学期九年级开学考试数学

2024～2025学年度春季学期开学质量监测 九年级数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 如果把收入5元记作元，那么支出3元记作（ ） A. 元 B. 2元 C. 元 D. 元 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 5. 不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 6. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则此不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. 3 B. C. 1.5 D. 10. 下表是几组二次函数的自变量x与函数值y的对应值 x 1 y 那么方程的一个解x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，甲仍发长安，几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲乙经过多少日相逢？设甲乙经过x日相逢，可列方程（　　） A. B. C. D. 12. 小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是（ ） A. B. C. 4 D. 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 14. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 15. 如图，在菱形中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的周长为______． 16. 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图像的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为______m．     三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 18. 某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩（成绩得分用表示，单位：分）：94，83，83，86，94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩分 频数 7 4 5 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，____；20名学生成绩的中位数是____． （2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． 19. 如图，是钝角三角形． （1）尺规作图：画出边上的高；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的值． 20. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 21. 粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，、是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角． （1）求的度数； （2）通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离（相关数据：）； （3）若粒子被注入粒子加速器后，四次经过被加速后被引出粒子加速器，求粒子在粒子加速器内飞行路程． 22. 已知二次函数（a为常数，且）， （1）若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值． （3）若点A和B的坐标分别为和，抛物线（为常数，且）与线段（含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围． 23. 如图，在矩形中，，，点为上一动点，连接，交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，交于点． （1）求点到的距离； （2）如图1，连接，若，求的长； （3）如图2，连接，与交于点，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度春季学期开学质量监测 九年级数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 如果把收入5元记作元，那么支出3元记作（ ） A. 元 B. 2元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正数与负数，根据正负数的意义，直接写出答案即可． 【详解】解：如果把收入5元记作元，那么支出3元记作元． 故选：A． 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 5. 不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，理解并掌握简单概率计算公式是解题关键．先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中装有3个红球，2个白球， ∴摸出红球的可能性大小为． 故选：D． 6. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性质得到，再根据平角的定义求解，即可解题． 【详解】解：如图， 直角三角板位于两条平行线间且， ， 又直角三角板含角， ， ， 故选：B． 7. 已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则此不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在数轴上表示不等式的解集即可求解， 题主要考查不等式的解集在数轴上的表示，解题的关键是熟知不等式的表示方法． 【详解】解：在数轴上的表示不等式的解集为， 故选：． 8. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 9. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. 3 B. C. 1.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，． 根据求解即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为和， ∴， 故选：B． 10. 下表是几组二次函数的自变量x与函数值y的对应值 x 1 y 那么方程的一个解x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：观察表格，可知：当时 ， 当时，， ∴方程的一个近似根在和之间． 故选：B． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 11. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，甲仍发长安，几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲乙经过多少日相逢？设甲乙经过x日相逢，可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲乙经过日相逢，则甲走的路程占总路程的，乙走的路程占总路程的，根据题意列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设甲乙经过日相逢，则甲走的路程占总路程的，乙走的路程占总路程的， 由题意可得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解本题的关键在根据题意，找出等量关系，正确列出方程． 12. 小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，由七巧板的特点可得，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为1，由，得出，由平行线分线段成比例定理的推论求出的长度，进而即可得出答案． 【详解】解：如图2，过点作于点，过点作于点， 由题意得，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为1， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， 与之间的距离， 故选：D． 【点睛】本题考查了七巧板，正方形的性质，掌握七巧板的特点，正方形的性质，平行线分线段成比例定理的推论是解决问题的关键． 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 14. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 15. 如图，在菱形中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质及勾股定理求出，，证明，即，得到，求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、多边形内角和的应用、全等三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图像的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为______m．     【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，矩形的性质，根据题意利用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．设的解析式为，根据轴垂直平分，得到，结合的长度，得到点坐标，利用待定系数法从而得到的解析式，再由的长度得到点的横坐标为8，代入解析式得到点的纵坐标，即可求得整个冷却塔高度． 【详解】解：根据题意，设的解析式为， 四边形是矩形， ，， 轴垂直平分，， ， ， ， ， 解得：， 的解析式为， ， 点的横坐标为， ， 整个冷却塔高度为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）3；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则并正确计算是解题的关键． （1）先计算算术平方根、有理数的乘方、零指数幂，再进行加减运算即可； （2）利用加减消元法得到，求得值，再代入即可求得． 【详解】解：（1） （2） ①②得， 解得： 将代入①得， 方程组的解是 18. 某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩（成绩得分用表示，单位：分）：94，83，83，86，94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩分 频数 7 4 5 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，____；20名学生成绩的中位数是____． （2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． 【答案】（1），，； （2）1100名． 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布表表示数据的特征，中位数、样本估计总体，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）用20分别减去B、C、D等级的人数得到a的值，再计算B等级人数所占的百分比得到b的值，然后根据中位数的定义求出20名学生成绩的中位数； （2）用2000乘以样本中A、B等级人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：（1）； ， 即； 20名学生成绩按大小顺序排列为82，82，83，83，84，86，88，88，89，92，93，93，94，94，94，94， 96，97，98，100． 故中位数为， 故答案为：4，35，92.5； 【小问2详解】 解：（名）， 所以估计该校2000名学生中，达到优秀等级的人数为1100名； 19. 如图，是钝角三角形． （1）尺规作图：画出边上的高；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的值． 【答案】（1） 解：如图，即为边上的高， （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查复杂作图，等边对等角以及求锐角正弦值，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”的作法作图即可； （2）根据等边对等角知，得，根据可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 在中，． 20. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包 （2）选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 21. 粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，、是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角． （1）求的度数； （2）通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离（相关数据：）； （3）若粒子被注入粒子加速器后，四次经过被加速后被引出粒子加速器，求粒子在粒子加速器内飞行路程． 【答案】（1）； （2）粒子到的最远距离是16km； （3）． 【解析】 【分析】本题考查切线的性质和三角函数，弧长公式，正确作出辅助线是解题关键． （1）如图，延长，交于，根据切线长定理和等腰三角形的性质即可得到结论； （2）如图，当粒子J运动到P点时，离的距离最远，根据切线的性质得到，再根据垂径定理和三角函数得出的长，进而解答即可； （3）根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：延长，交于， 由题意得：，是的切线， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，延长交于点，连接， 是的切线， ， ， ，， ， 在中， ， 如图，当粒子运动到点时，离的距离最远， ， 即粒子到的最远距离是； 【小问3详解】 解：， 在中 由（2）得半径， 粒子四次经过被加速后被引出，粒子在粒子加速器内飞行距离为： 22. 已知二次函数（a为常数，且）， （1）若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值． （3）若点A和B的坐标分别为和，抛物线（为常数，且）与线段（含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】（1），或； （2）的值为或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据交点确定不等式的解集，熟知二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，即可得的值，从而得二次函数解析式，求出二次函数与轴的交点坐标即可得到结论； （2）由二次函数解析式结合，可求出，代入，可求的值； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得：， 解得，， ∴， 令，即， 解得，，， 又， ∴抛物线开口向下， ∴时，的取值范围为或； 故答案为：；或； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，取最大值，即， 当时，取最小值，即， ∵， ∴， 解：； 当时，抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取最小值，即， 当时，取最大值，即， ∵， ∴， 解：； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：①当时，抛物线与直线只有一个公共点时，符合条件，则顶点在直线上， ∴ ∴， ②当时，抛物线过点B ，且与只有一个交点， 将点代入，得， 解得，； 将代入得：， 解得，， 如图，此时抛物线与线段有两个交点， 综上，抛物线与只有一个交点时，或． 23. 如图，在矩形中，，，点为上一动点，连接，交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，交于点． （1）求点到的距离； （2）如图1，连接，若，求的长； （3）如图2，连接，与交于点，求面积的最小值． 【答案】（1）； （2）3； （3）． 【解析】 【分析】（1）如图，过作于点，利用勾股定理和三角形的面积转化即可得解； （2）如图，过作于点，利用旋转的性质和全等三角形的性质得出， ，再利用勾股定理和相似三角形的性质得出的长即可得解； （3）如图，取中点，先证明出点，，，共圆，然后将面积的最小值转化为定角+定高问题，再利用圆的性质和勾股定理得出，最后利用垂线段最短的性质即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过作于点， 则线段的长即为点到的距离， 在矩形中，，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 点到的距离为； 【小问2详解】 解：如图，过作于点， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 在中，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设， ∴在中， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ； 【小问3详解】 解：如图，取中点， 在和中，点都为斜边的中点， ， 点，，，共圆， ，即是定角， ， 在中，边上的高，为定长， 则面积的最小值转化为定角+定高问题， 如图在中， 设的半径为，过点作，交于点，连接， 则， ∴， ，，， ， ，即， ， ， 面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $