精品解析：甘肃省张掖市甘州区2024－2025学年上学期阶段性学业八年级数学试卷

八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据，进而计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2. 多项式的公因式是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式公因式，解题的关键是找出多项式各项系数的最大公因数以及各项都含有的相同字母的最低次幂． 分别分析多项式各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂，从而确定公因式． 【详解】在多项式中，8和12的最大公因数是4； 对于字母，在中的次数是3，在中的次数是1，相同字母的最低次幂是； 对于字母，在和中的次数分别是3和2，即相同字母的最低次幂是； 对于字母，中不含，所以公因式中不含． 综合起来，多项式的公因式是， 故答案选：B． 3. 小明想做一个三角形模型，现有两根木条长度分别是和，则他可选用第三根木条的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件，由构成三角形的条件得，即可求解；理解构成三角形的条件是解题的关键． 【详解】解：设第三根木条的长度为，则有 ， ， 故选：C． 4. 如图，在和中，点在上，已知，，添加以下条件仍不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答． 【详解】解：， ，即， 选项A，添加， 在和中， ， ∴，故本项不符合题意； 选项B，添加， 在和中， ， ∴，故本项不符合题意； 选项C，添加， 在和中，，，，无法证明，故本项符合题意； 选项D，添加， 在和中， ， ∴，故本项不符合题意； 故选：C． 5. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（） A. 1或5 B. 7或−1 C. 5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的知识点，解题的关键是根据完全平方公式的结构特征确定的值． 根据完全平方公式，将给定式子与该公式对比，确定的值． 【详解】对于完全平方公式，在中，，则． 因为一次项系数，即． 当时，， 当时，， 所以的值为7或． 故选：B． 6. 公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，用改变后的花坛的面积减去改变前的面积即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， ∴这个花坛的面积将增加：， 故选：A． 7. 如图，在中，、分别为、上的点，连接，，，，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理以及等边三角形的性质等知识点，解题的关键是通过角度关系构造等边三角形并利用直角三角形的边的关系求解． 先求出的度数，进而得出的度数，得到，再在中根据含角的直角三角形的性质求出的长度，最后计算． 【详解】因为，平角为， 所以． 中，，根据三角形内角和为，可得 在中，， 所以， 则是等边三角形． 因为是等边三角形，且，所以． 在中，，所以． 根据在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，可得，所以． 因为， 所以． 故答案选：C． 8. 如图，小正方形和大正方形相邻，，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； 设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，可得，再由阴影部分的面积为，可得，即可求解； 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为 则，， ， 阴影部分的面积为， ， ， ， 即大正方形的面积与小正方形的面积之差为； 故选：D 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，解题的关键是熟练掌握积的乘方法则． 先根据积的乘方运算法则将展开，再根据积的乘方运算法则进一步计算． 【详解】． 故答案为：． 10. 已知，则代数式的值为_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．根据平方差公式，把原式化为，然后用整体代入法即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 11. 小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为被除式，要求商必须为．若小米报的整式是，则小花应报的整式是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键．根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用整式除法运算法则求解即可． 【详解】解：根据题意，小花报的整式为 ， 故答案为：． 12. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：中、爱、我、国、威、武，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是_______________． 【答案】我爱中国（答案不唯一，“我，爱，中，国”顺序不同均正确） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解本题的关键，综合性较强，难度适中．用提公因式法和平方差公式，将进行因式分解，再找出对应的字即可． 【详解】解： ∵，，，，分别对应下列四个字：中、爱、我、国， 呈现的密码信息可能是“我爱中国”． 故答案为：我爱中国． 13. 如图，在中，以BC为底边在外作等腰，作的平分线分别交AB，BC于点F，E．若，，的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则周长的最小值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据点B与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值． 【详解】是以为底边的等腰三角形，平分， 垂直平分， 点与点关于对称， ，如图所示， 当点与点重合时，， 此时的周长最小， ，，的周长为30， ， 周长的最小值为． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方以及合并同类项知识点，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则． 先分别根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则计算式子中的乘法和乘方，再进行合并同类项． 【详解】解：原式． 15. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 16. 运用乘法公式计算：． 【答案】400 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式知识点，解题的关键是将原式变形为完全平方公式的形式． 观察原式发现它符合完全平方公式的形式，通过对应找出a，b的值，再代入公式计算． 【详解】解：． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可得出结果． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，点是边上的一点，请用尺规作图法，在上求作一点，使．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解为基本作图，逐步操作． 连接，作的垂直平分线交于点，连接即可． 【详解】解：由作图知是的垂直平分线， ， 19. 请通过计算说明：当为任意正整数时，能被24整除． 【答案】 证明：原式 ， 则当为任意正整数时，能被24整除． 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【详解】 略 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法以及求值，熟练掌握整式的除法法则是解题关键．先计算整式的除法，再将，代入计算即可得． 【详解】解： ． 当，时，． 21. 已知计算的结果中不含的项，求实数的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， 由结果中不含项，得到， 解得：． 22. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，交的延长线于点F，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，以及等边三角形的判定与性质，连接，根据邻补角互补性质得，因为的垂直平分线交于点D，所以，即是等边三角形，所以，即可作答． 【详解】解：连接， 因为， 所以， 因为的垂直平分线交于点D，交于点E，交的延长线于点F， 所以， 故是等边三角形， 所以， 即． 23. 已知，，，，，为正整数，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法法则的逆用．先利用幂的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方法则的逆用对所求的式子进行整理即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ 即． 24. 王老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题． 例：若，求和的值． 解： ，，，． 聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程． （1）若，求证：； （2）若，求和的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是通过对已知等式进行变形，使其符合完全平方公式的形式，进而求解． （1）通过对已知等式进行变形，凑出完全平方的形式，利用完全平方数的非负性来证明结论； （2）同样先对等式变形为完全平方形式，利用完全平方数的非负性求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 则， 所以 解得，． 25. 如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米． （1）请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积； （2）若，，求该长方形商业街区的总面积． 【答案】（1） （2）1500平方米 【解析】 【分析】本题考查整式的运算以及代数式求值知识点， （1）先求出长方形商业街的长和宽，再根据长方形面积公式列出式子，并化简； （2）将，代入（1）所求的面积的式子进行计算求值。 【解析过程详细过程】 【小问1详解】 长方形区域的长为（米）， 宽为（米）， 该长方形商业街区的长为（米）， 宽为（米）， 该长方形商业街区的总面积为： ． 【小问2详解】 当，时， （平方米）． 当，时，该长方形商业街区的总面积为1500平方米． 26. 【知识扩展】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． 【问题发现】 （1）图1是由四个完全相同的小长方形和一个小正方形拼成的一个大正方形（不重叠无缝隙），观察图形，可知它所对应的公式为_______________，（含、的式子表示） 【问题解决】 （2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，而面积为5，求的值； 【拓展延伸】 （3）将正方形与正方形如图3摆放（点、、在同一直线上，点、、也在同一直线上），当正方形与正方形的面积和为52，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）26；（3）10 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式在几何中的应用是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个长方形的面积的和求解即可； （2）先根据长方形的周长和面积得出，，然后化简整式，并代入求值即可； （3）设正方形与正方形的变成分别为a，b，则，，利用完全平方公式的变形可求，，然后利用求解即可． 【详解】解：（1）． （2）边长为，的长方形的周长为12，而面积为5， ，， ， ， ． 的值为26． （3）如图，延长交于点， 设正方形与正方形的边长分别为、， 由正方形与正方形的面积和为52，， 得，， ， ． ． ， ， 图中阴影部分的面积为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 多项式的公因式是（） A. B. C. D. 3. 小明想做一个三角形模型，现有两根木条长度分别是和，则他可选用第三根木条的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，点在上，已知，，添加以下条件仍不能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（） A. 1或5 B. 7或−1 C. 5 D. 1 6. 公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加（） A. B. C. D. 7. 如图，在中，、分别为、上的点，连接，，，，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，小正方形和大正方形相邻，，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 计算：_____． 10. 已知，则代数式的值为_______________． 11. 小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为被除式，要求商必须为．若小米报的整式是，则小花应报的整式是______________． 12. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：中、爱、我、国、威、武，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是_______________． 13. 如图，在中，以BC为底边在外作等腰，作的平分线分别交AB，BC于点F，E．若，，的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则周长的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 因式分解：． 16. 运用乘法公式计算：． 17. 化简：． 18. 如图，在中，点是边上的一点，请用尺规作图法，在上求作一点，使．（不要求写作法，保留作图痕迹） 19. 请通过计算说明：当为任意正整数时，能被24整除． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 已知计算的结果中不含的项，求实数的值． 22. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，交的延长线于点F，若，求的长． 23. 已知，，，，，为正整数，求证：． 24. 王老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题． 例：若，求和的值． 解： ，，，． 聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程． （1）若，求证：； （2）若，求和的值． 25. 如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米． （1）请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积； （2）若，，求该长方形商业街区的总面积． 26. 【知识扩展】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． 【问题发现】 （1）图1是由四个完全相同的小长方形和一个小正方形拼成的一个大正方形（不重叠无缝隙），观察图形，可知它所对应的公式为_______________，（含、的式子表示） 【问题解决】 （2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，而面积为5，求的值； 【拓展延伸】 （3）将正方形与正方形如图3摆放（点、、在同一直线上，点、、也在同一直线上），当正方形与正方形的面积和为52，时，求图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $