1.3乘法公式（第2课时平方差公式的应用）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

北师大版（2024）七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.3 乘法公式 第2课时 平方差公式的应用 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简 便运算； 2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的 思想方法. 情景导入 1.你还记得平方差公式吗? 2.你能用文字表示这个公式吗? (a + b)(a - b) = a2 - b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 3.利用平方差公式计算： （1）(2x+7b)(2x–7b)； （2）(－m+3n)(m+3n). 4x2－49b2 9n2－m2 新知探究 思考 如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形. （1）请表示图中阴影部分的面积. a b 阴影部分的面积为a2 – b2 （2）小颖将阴影部分拼成了一个如图所示的长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗? 长为a + b，宽为a – b a b 阴影部分的面积为(a + b)(a – b) 6 a b a b 阴影部分的面积相等：(a + b)(a – b)=a2 – b2 （3）比较（1）（2） 的结果， 你能验证平方差公式吗 ？ a2 – b2 (a + b)(a – b) 7 a a b b a2-b2 a b b b (a+b)(a-b) (a+b)(a-b)=a2-b2 a-b a-b a a a2 对于图中阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？ b a a2-b2 a b b a a b 1 2 (a+b)(a-b) 1 2 (a+b)(a-b) b a a b (a+b)(a-b) = a2-b2 概念归纳 平方差公式的几何意义 如图1.3-1 ①，边长为a的大正 方形中有一个边长为b的小正方形， 则图中阴影部分的面积是a2－b2; 将图1.3-1 ①中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图1.3-1 ②，则这个长方形的长为 a＋b，宽为a－b，面积为(a＋b)(a－b). 因为图1.3-1 ①②中 阴影部分的面积相等, 所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 特别提醒 利用图形验证平方差公式的关键是将同一个图形的面积用不同的方法表示, 即直接表示和间接表示. 例题讲解 例 1 用平方差公式进行计算： （1）103×97； （2）118×122 解：（1）103×97 =(100 + 3)(100 – 3) = 1002 – 32 = 9 991； （2）118×122 = (120 – 2)(120 + 2) = 1202 – 22 = 14 396。 (103+97)÷2=100 (118+122)÷2=120 你有什么发现? 解：(1)10.3×9.7 ＝(10＋0.3)×(10－0.3) ＝102－0.32 ＝100－0.09＝99.91； (2)2 025×2 027－2 0262 ＝(2 026－1)×(2 026＋1)－2 0262 ＝2 0262－12－2 0262＝－1. 10.3与9.7的平均数为10 2 025与2 027的平均数为2 026 [变式练1]计算：(1)10.3×9.7；(2)2 025×2 027－2 0262. 解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算. [变式练2]运用平方差公式进行简算： (1)9.8×10.2； (2)20×19； (3)129×127－1282. 解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝102－0.22＝100－0.04＝99.96； 原式＝(128＋1)×(128－1)－1282＝1282－12－1282＝－1. 例 2 计算： （1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。 解（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； = a2(a2 – b2) + a2b2； = a4 – a2b2 + a2b2； = a4； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3) = (2x)2 – 25 – (4x2 – 6x) = 4x2 – 25 – 4x2 + 6x = 6x – 25。 例题讲解 [变式练1](y+2) (y－2) – (y－1) (y+5) . 解：(y+2)(y－2)－ (y－1)(y+5) = y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5 = －4y + 1. [变式练3]若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______． 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1． 28－1 [变式练2](x－y)(x+y)(x2+y2)； 解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4； 观察思考 1.计算下列各组算式，并观察它们的共同特点: 2.从以上的过程中，你发现了什么规律？ 3.请用字母表示这一规律 7×9= 8×8= 11×13= 12×12= 79×81= 80×80= 63 64 143 144 6 399 6 400 两个连续奇数的积等于中间所夹偶数的平方减1. (a＋1)(a-1)＝ a2-1. 随堂练习 1.计算： （1）704×696 ； 解：（1）704×696 =(700+4)(700-4) =7002-42 = 489 984； (2) (x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1) ； (3) x(x-1)-(x-)(x+). =x2-4y2+x2-1 =2x2-4y2-1. =x2-x-(x2-) =x2-x-x2+ =-x+. 分层练习 基础题 1.[2024安庆期末] 如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为 的 小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形， 则根据两个图中的阴影部分的面积相等可以验证的数学公式为( ) B A. B. C. D. 2.[2024达州期末] 如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为 的 小正方形，然后把剩下的部分沿虚线剪开，将其拼成如图②所示的梯形， 通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为 ________________________。 23 3.[2024白城期末] 如图①，阴影部分是边长为 的大正方形剪去一个边 长为 的小正方形后得到的图形。若将阴影部分通过分割、拼接，形成 新的图形②。则能够正确表示该图形面积关系的等式是______________ ____________。 24 4.运用平方差公式计算： （________）（_____ ___） ___ ________。 200 5 200 5 5 39 975 25 5.利用平方差公式计算： （1） ; 【解】原式 . （2） . 原式 . 26 6.[2024滁州期中] 先化简，再求值： ，其中 . 【解】 . 当时,原式 . 27 综合应用题 7.有三个连续的整数，若设中间的数是 ，则这三个整数的积是( ) D A. B. C. D. 8.若，则 ( ) B A.12 B.10 C.8 D.6 [解析] 点拨：原等式变形得 。 9. [2024泉州月考] 发现：，， ，， ，， ， ，依据上述规 律，通过计算判断 的结果 的个位数字是( ) C A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 29 【点拨】,,,, , ,, ，观察上面运算结果发现：当4 的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时， 运算结果的个位数字是6. . 由规律可得 的个位数字是6， 所以 的结果的个位数字是6. 30 10.[2024宁波月考] 若 ，， ，则，， 的大小关系为__________（用“ ”连接）. 【点拨】 , , . 因为 , 所以 . 31 11.已知 ，则代数式 的值为____. 25 【点拨】原式 . 因为,所以原式 . 32 12.（新考法整体代入）若 ，求 的值. 【解】因为 ， 所以原式 . 33 13.（新视角新定义题）符号“ ”称为二阶行列式，规定它的运 算法规为 . （1）计算： ____； （2）计算二阶行列式 . 【解】 . 34 14.[2024石家庄桥西区质检] 发现:若两个已知正整数之差为奇数,则它 们的平方差为奇数.若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为 偶数. 验证: 如____， ____. 21 40 35 探究: 设“发现”中的两个已知正整数为, （两数之差为 ）， 请说明“发现”中的结论的正确性. 【解】 . 当为奇数时,因为为偶数,所以 为奇数,所以为奇 数;当为偶数时，因为 为偶数,所以为偶数,所以 为偶数. 36 创新拓展题 15.观察下列等式： 第1个： ; 第2个： ; 第3个： ; … （1）这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用 你发现的规律猜想并填空：若 为大于1的整数，则 ________. （2）利用（1）的猜想计算： . 【解】 . 38 （3）计算： . . 39 课堂小结 原理:等面积法 简便运算 方法:用不同方法表示 同一图形的面积 混合运算 平方差公式 验证公式 应用 原式＝×＝202－＝400－ ＝399； $$