专题06 二次函数的图象抛物线中三角形存在性问题探究-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题06 二次函数的图象抛物线中三角形存在性问题探究（解析版）专题诠释： 二次函数的图象抛物线中三角形存在性问题关键是要分类讨论，以防漏解。等腰三角形的存在可以根据“两圆一中垂”确定第三个点的位置，直角三角形可以根据直角顶点确定第三个点的的位置。主要解题策略：两线段相等或两边的平方和等于斜边的平方可以用两点间距离公式或勾股定理利方程，两直线垂直也可以用k1·k2＝－1立方程。 类型一 抛物线中等腰三角形存在性问题 1．（2024秋•江油市期末）我们知道画函数图象的步骤为列表、描点、连线． （1）请在给定的坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象． （2）观察图象，当x＜﹣1时，y的范围是 　y＞0　，当y＜0时x的范围是 　﹣1＜x＜3　． （3）设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形OPM是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）取点描点连线即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当PM＝PO时，列出等式即可求解；当PM＝OM或OM＝OP时，同理可解． 【完整解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其顶点为：（1，﹣4）， 抛物线和x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝﹣3， 根据上述5个点描点连线绘制图形如下： （2）∵x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1， ∴当x＜﹣1时，y＞0， 当y＜0时，﹣1＜x＜3， 故答案为：y＞0，﹣1＜x＜3； （3）存在，理由： ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴M（1，﹣4）， 由点P、O、M的坐标得，PM2＝（x﹣1）2+16，PO2＝x2，OM2＝17， 当PM＝PO时， 则（x﹣1）2+16＝x2，则x，则点P（，0）； 当PM＝OM或OM＝OP时， 同理可得：（x﹣1）2+16＝17或x2＝17， 则x＝2或±， 即点P（2，0）或（，0）或（，0）， 综上，P（，0）或（2，0）或（，0）或（，0）． 【总结提升】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，函数作图，解不等式等，分类求解是解题的关键． 2．（2024秋•大足区期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣5，0）和点B，交y轴于点C（0，﹣5）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，若点P是线段AC上的一动点，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当PQ最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使QM+AM的值最小，求出此时点M的坐标； （3）若点P在直线AC上的运动过程中，是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）将A、C两点坐标代入解析式即可求解b、c的值； （2）先求出直线AC表达式为y＝﹣x﹣5，再设P（m，﹣m﹣5），则Q（m，m2+4m﹣5），PQ＝﹣m﹣5﹣（m2+4m﹣5）＝﹣m2﹣5m，从而可知PQ最大时Q点坐标为（，），再求出直线BQ解析式，得y，把x＝﹣2代入即可得M点坐标； （3）根据①当AB＝AP时，②当BA＝BP时，③当PA＝PB时三种情况分类讨论列方程求解即可． 【完整解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点C（0，﹣5）， 则c＝﹣5，再把A（﹣5，0）代入抛物线， 则0＝25﹣5b﹣5，解得b＝4， 故抛物线的函数表达式为y＝x2+4x﹣5． （2）由点A（﹣5，0）和点C（0，﹣5）坐标易知直线AC的解析式为y＝﹣x﹣5， 设P（m，﹣m﹣5），则Q（m，m2+4m﹣5）， 故PQ＝﹣m﹣5﹣（m2+4m﹣5）＝﹣m2﹣5m， 则当m时，PQ最大为， 此时Q（，）， 设直线BQ的表达式为y＝kx+b，代入B、Q两点坐标， 得，解得， ∴直线BQ的表达式为y， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，把x＝﹣2代入y， 得y， 故M点坐标为（﹣2，）． （3）存在，理由如下： 根据对称轴为直线x＝﹣2及A（﹣5，0）可知B点坐标为（1，0）， 设P（t，﹣t﹣5）， ∴AB2＝36，AP2＝2（t+5）2＝2t2+20t+50，BP2＝（t﹣1）2+（t+5）2＝2t2+8t+26， ①当AB＝AP时，即36＝2t2+20t+50，得t2+10t+7＝0， 解得t， 故P点坐标为（，）或（）； ②当BA＝BP时，即36＝2t2+8t+26，得t2+4t﹣5＝0， 解得t＝﹣5或1（﹣5舍去）， 故P点坐标为（1，﹣6）； ③当PA＝PB时，易知P点的横坐标为﹣2，代入y＝﹣x﹣5中得y＝﹣3， 则P点坐标为（﹣2，﹣3）． 综上，P点坐标为（，）或（）或（1，﹣6）或（﹣2，﹣3）． 【总结提升】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数最值，线段最值，将军饮马，两点之间距离公式，等腰三角形的存在性，掌握以上内容并能分类讨论是解题关键． 3．（2024秋•莱阳市期末）如图1，经过原点O的抛物线y＝ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（4，0）．直线l：y＝x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E′恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式； （3）如图3，连接AC，把△COA绕点A顺时针旋转90°得到△AO′C′，在抛物线对称轴上是否存在点F，使△AFO′是以AO′为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出F点坐标；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）根据一次函数上点的特征求得点B的坐标，再根据待定系数法求抛物线解析式即可； （2）根据抛物线的解析式求得抛物线的对称轴为x＝2，设直线l′的解析式为y＝x﹣m，可得点M（m，0），根据点B的坐标可推得△OBG为等腰直角三角形，结合对称的性质和正方形的判定可得四边形ENE′M是正方形，根据正方形的性质可求得点E′的坐标，结合二次函数的性质可得NE′＝2E′K＝ME′，列一元二次方程求解即可得到m的值，即可得出答案； （3）根据旋转可得O′（4，4），求得HQ＝AO′＝4，O′Q＝AH＝2，根据等腰三角形的顶点分情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【完整解答】解：（1）∵直线l：y＝x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），把B（5，t）代入y＝x得： t＝5， ∴B（5，5）； ∵抛物线y＝ax2+bx与x轴相交于另一点A（4，0），与直线y＝x相交于点B（5，5），把A（4，0），B（5，5）代入y＝ax2+bx，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x； （2）如图2，过点B作BG⊥x轴交于点G，E′N交直线x＝2于点K， ∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， 设直线l′的解析式为y＝x﹣m， ∵直线l′与x轴相交于点M， 将y＝0代入y＝x﹣m得x＝m， ∴点M（m，0）， ∵B（5，5），BG⊥OG， ∴OG＝BG＝5， ∴△OBG为等腰直角三角形， ∴∠BOG＝∠OBG＝45°，EN＝EM， 即直线l与x轴和y轴的夹角是45°， ∵直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，且NE⊥x轴， ∴∠NEM＝90°，∠MNE＝∠EMN＝45°， 根据题意可知，△NE′M是△NEM沿直线l′折叠得到的， ∴∠NE′M＝90°，∠MNE′＝45°，∠E′MN＝45°，E′N＝E′M， ∵E′N＝NE＝EM＝ME′，∠NEM＝90°， ∴四边形ENE′M是正方形， ∴E′M⊥EM， 故点E′的横坐标为m， ∵点E′在抛物线y＝x2﹣4x上， 则E′（m，m2﹣4m），即ME′＝﹣（m2﹣4m）， ∵四边形ENE′M是正方形， ∴NE′∥x轴， ∴点E′与点N关于抛物线的对称轴x＝2对称， 即NE′＝2E′K＝ME′， 故2（m﹣2）＝﹣（m2﹣4m）， 整理得：m2﹣2m﹣4＝0， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴直线l′的解析式为； （3）解：在抛物线对称轴上存在点F，使△AFO′是为以AO′为腰的等腰三角形；理由如下： 如图3，直线x＝2交x轴于点H，作O′Q⊥CH于点Q，则∠HQO′＝90°， 由旋转得，O′（4，4）， ∴HQ＝AO′＝4，， 若点A为等腰三角形AO′F的顶点，则存在两个满足条件的F点： 当AF1＝AO′＝4时，在Rt△AHF1中，， ∴； 当AF2＝AO′＝4时，在Rt△AHF2中，， ∴； 若点O′为等腰三角形O′AF的顶点，则存在两个满足条件的F点： 当O′F3＝O′A＝4时，在Rt△O′QF3中，， 则 ∴； 当O′F4＝O′A＝4时，在Rt△O′QF4中，， 则 ∴； 综上所述，在抛物线对称轴上存在点F，使△AFO′是为以AO′为腰的等腰三角形；点F的坐标为或或或． 【总结提升】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数上点的特征，待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，旋转的性质，轴对称的特征，正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，能够根据等腰三角形的定义进行分类讨论是解题的关键． 4．（2024秋•广州期末）如图，直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）． （1）求B，C两点的坐标． （2）求该二次函数的解析式． （3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）令直线yx+2的x＝0，y＝0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标； （2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式； （3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标． 【完整解答】解：（1）对直线yx+2，当x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝4， ∴B（4，0），C（0，2）． （2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0）， ∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0）， ∴y＝a（x﹣4）（x+1）， 把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得： a（0﹣4）（0+1）＝2， 解得：a， ∴y（x﹣4）（x+1）x2x+2． （3）∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0）， ∴对称轴为x， ∴D（，0）， ∵C（0，2）， ∴CD， ①如图1，当CD＝PD时， PD， ∴P1（），P2（）， ②如图2，当CD＝CP3时，过点C作CH⊥DP3于点H， ∵CD＝CP3，CH⊥DP3， ∴DH＝P3H， ∵C（0，2）， ∴DH＝2， ∴P3H＝2， ∴P3D＝4， ∴P3（，4）， 综上所述：存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形． 【总结提升】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，本题求二次函数的解析式可以用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P点，注意这里只要用“两圆”即可． 类型二 抛物线中直角三角形存在性问题 5．（2024秋•邹平市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴的两个交点为A（1，0）和B（﹣3，0），与y轴的交点为C，顶点为点D． （1）求出抛物线的解析式； （2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标； （3）若点M是y轴上一点，使得△MBD是以BD为斜边的直角三角形，求点M坐标． 【思路引领】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，设P（﹣1，p），根据勾股定理得出PC2＝1+（p﹣3）2，PA2＝（1+1）2+p2，进而解方程即可求解； （3）设点Q为BD的中点，则Q（﹣2，2），如图所示，以Q为圆心为半径作圆，交y轴于点M，根据勾股定理即可求解． 【完整解答】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴的两个交点为A（1，0）和B（﹣3，0），将点A和点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴的交点为C，顶点为点D． 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（0，3）， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点坐标为D（﹣1，4），对称轴为直线x＝﹣1， ∵点P为该抛物线对称轴上的一个动点，设P（﹣1，p）， ∵A（1，0）， ∴PC2＝1+（p﹣3）2，PA2＝（1+1）2+p2， ∵PA＝PC， ∴1+（p﹣3）2＝（1+1）2+p2， 解得：p＝1， ∴点P的坐标为（﹣1，1）； （3）∵B（﹣3，0），D（﹣1，4）， ∴， 设点M（0，m），使得△MBD是以BD为斜边的直角三角形， 设点Q为BD的中点，则Q（﹣2，2）， 如图所示，以Q为圆心为半径作圆，交y轴于点M， ∴， 即22+（2﹣m）2＝5， 解得：m＝1或m＝3． ∴点M的坐标为（0，1）或（0，3）． 【总结提升】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，线段问题，特殊三角形问题，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2025•崇明区一模）已知在直角坐标平面xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，﹣4）三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是抛物线在第一象限内的动点，点P的横坐标为m． ①如果△PAC是以PC为斜边的直角三角形，求m的值； ②在y轴正半轴上存在点H，当线段PH绕点H逆时针方向旋转90°时，恰好与抛物线上的点Q重合，此时点Q的横坐标为n（n＞0），求n﹣m的值． 【思路引领】（1）由待定系数法即可求解； （2）①由PC2＝PA2+AC2，即（m+2）2+（m2﹣4）2+20＝m2+m4，即可求解； ②将直线PH平移到点O，则此时，点P′（m，m2﹣4﹣t），将点线段P′O绕点O逆时针方向旋转90°时得到点P″（﹣m2+4+t，m），将点P″向上平移t个单位得到的点为（﹣m2+4+t，m+t），该点即为点Q，即n＝m2﹣4﹣t且n2﹣4＝m+t，即可求解． 【完整解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+2）（x﹣2）＝a（x2﹣4）， 则﹣4a＝﹣4，则a＝1， 即y＝x2﹣4； （2）①设点P（m，m2﹣4）， 由点P、A、C的坐标得，AP2＝（m+2）2+（m2﹣4）2，AC2＝20，PC2＝m2+m4， 如果△PAC是以PC为斜边的直角三角形，则PC2＝PA2+AC2， 即（m+2）2+（m2﹣4）2+20＝m2+m4， 解得：m＝2.5（不合题意的值已舍去）； ②设点H（0，t），点P（m，m2﹣4），点Q（n，n2﹣4）， 将直线PH平移到点O，则此时，点P′（m，m2﹣4﹣t）， 将点线段P′O绕点O逆时针方向旋转90°时得到点P″（﹣m2+4+t，m），将点P″向上平移t个单位得到的点为（﹣m2+4+t，m+t）， 该点即为点Q，即n＝m2﹣4﹣t且n2﹣4＝m+t， 整理得：n2﹣m2＝m+n， 即n﹣m＝1． 【总结提升】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 7．（2024秋•济南期末）在平面直角坐标系xOy中，矩形OCDE的顶点E，C分别在x轴，y轴上，D（4，3）．抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点． （1）如图1，若抛物线经过点C，求抛物线的表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，连接OD，F为线段CO上一点，连接AF，若FA＝FC，请判断∠CDO和∠OFA 是否相等，并说明理由； （3）若抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）的顶点为H，取AH的中点M，则以M，H，D为顶点的三角形能否为直角三角形？若能，请直接写出a的值；若不能，请说明理由． 【思路引领】（1）由待定系数法即可求解； （2）由FA＝CF得：1+y2＝（y﹣3）2，y，即OF，即可求解； （3）当MH为斜边时，列出等式即可求解；当HD或DM为斜边时，同理可解． 【完整解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝ax2+bx﹣3a得：0＝a﹣b﹣3a，则b＝﹣2a， 则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a， 由题意得：点C（0，3），则﹣3a＝3，则a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）∠CDO＝∠OFA，理由： 设点F（0，y），由FA＝CF得：1+y2＝（y﹣3）2， 则y，即OF， 则tan∠OFA，tan∠CDOtan∠OFA， ∴∠CDO＝∠OFA； （3）能，理由： 由（1）知，y＝ax2﹣2ax﹣3a，则点H（1，﹣4a）， 由中点坐标公式得：点M（0，﹣2a）， 由点H、M、D的坐标得，MH2＝1+4a2，HD2＝9+（4a+3）2，DM2＝16+（2a+3）2， 当MH为斜边时， 则1+4a2＝9+（4a+3）2+16+（2a+3）2，方程无解； 当HD或DM为斜边时， 同理可得：9+（4a+3）2＝16+（2a+3）2+1+4a2或1+4a2+9+（4a+3）2＝16+（2a+3）2， 解得：a＝﹣2或或， 综上，a＝﹣2或或或． 【总结提升】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 8．（2024秋•雨花区期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，8），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标； （3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，设P（t，﹣t2+2t+8），则Q（t，﹣2t+8），所以四边形ABPC面积6×84×（﹣t2+4t）＝﹣2（t﹣2）2+32，当t＝2时，四边形ABPC面积有最大值32，此时P（2，8）； （3）先求出P（3，5），设M（x，0），分别求出MP2＝（x﹣3）2+25，MB2＝（x﹣4）2，BP2＝26，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． 【完整解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，8）代入y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+8， ∴4k+8＝0， 解得k＝﹣2， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8， 过点P作PQ∥y轴交BC于点Q， 设P（t，﹣t2+2t+8），则Q（t，﹣2t+8）， ∴PQ＝﹣t2+2t+8+2t﹣8＝﹣t2+4t， ∵AO＝2，CO＝8， ∴四边形ABPC面积6×84×（﹣t2+4t）＝﹣2（t﹣2）2+32， ∵点P在直线BC上方， ∴0＜t＜4， ∴当t＝2时，四边形ABPC面积有最大值32，此时P（2，8）； （3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当x＝3时，y＝5， ∴P（3，5）， 设M（x，0）， ∴MP2＝（x﹣3）2+25，MB2＝（x﹣4）2，BP2＝26， ①当MP为斜边时，（x﹣3）2+25＝（x﹣4）2+26， 解得x＝4， ∴M（4，0）（舍）； ②当MB为斜边时，（x﹣4）2＝（x﹣3）2+25+26， 解得x＝﹣22， ∴M（﹣22，0）； ③当BP为斜边时，（x﹣4）2+（x﹣3）2+25＝26， 解得x＝3或x＝4， ∴M（3，0）或（4，0）（舍）； 综上所述：M点坐标为（﹣22，0）或（3，0）． 【总结提升】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 9．（2024秋•城关区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于C点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）如图1，当点P的坐标为（2，﹣4）时，求△BCP 的面积． （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BCF是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）用待定系数法求出关系式即可； （2）先求出直线BC的关系式，再作PG∥y轴交BC于点G，可得点G，再求出面积即可； （3）设点F的坐标，再表示出FB2，BC2，FC2，然后分三种情况讨论，再根据勾股定理得出答案． 【完整解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，将点A，点B的坐标代入得： ， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）已知抛物线与y轴交于C点， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）． 设直线BC的关系式为y＝kx﹣3，将点B的坐标代入得： 6k﹣3＝0， 解得， ∴直线BC的关系式为． 过点P作PG∥y交BC于点G，如图1． ∵P（2，﹣4）， ∴G（2，﹣2）， ∴S△BCPPG•xGPG•|xB﹣xG|PG•xB2×6＝6； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BCF是直角三角形；理由如下： ∵， ∴抛物线得对称轴为直线x＝2． 设F（2，t）， ∴FB2＝16+t2，BC2＝45，FC2＝4+（t+3）2． 当∠BFC＝90°时，45＝16+t2+4+（t+3）2， 解得， ∴或； 当∠FBC＝90°时， 4+（t+3）2＝45+16+t2， 解得t＝8， ∴F（2，8）； 当∠FCB＝90°时， 16+t2＝45+4+（t+3）2， 解得t＝﹣7， ∴F（2，﹣7）． 综上所述，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BCF是直角三角形；点F的坐标为或或（2，8）或（2，﹣7）． 【总结提升】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，求三角形的面积，勾股定理，直角三角形的判定，将三角形的面积转化为求两个三角形的面积和是解题的关键． 类型三 抛物线中等腰直角三角形存在性问题 10．（2024秋•包河区校级期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． （1）求线段AB的长； （2）若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作MN∥y轴，交直线BC于点N． （Ⅰ）当线段MN的长有最大值时，求点M的坐标； （Ⅱ）过点M作DM⊥MN交抛物线于点D，是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【思路引领】（1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点M的坐标为，点N的坐标为，即可求解； （Ⅱ）当DM＝MN时，△DMN为等腰直角三角形，当点M在对称轴右侧时，得到DM＝2（m﹣3），∠DMN＝90°，则当DM＝MN时△DMN为等腰直角三角形，即MN的长为m2+2m，即可求解；点M在对称轴左侧时，同理可解． 【完整解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线 x＝3， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为． 令y＝0，则x＝﹣2或8， ∴A（﹣2，0），B（8，0）， ∴AB＝8﹣（﹣2）＝10； （2）（Ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 当x＝0时，y＝4，即C（0，4）， 由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ∴， ∴当 m＝4时，线段MN的长有最大值， 此时 ∴点M的坐标为（4，6）； （Ⅱ）∵MD⊥MN， ∴∠DMN＝90°， ∴当DM＝MN时，△DMN为等腰直角三角形， 点M在对称轴右侧时，如图： ∵MD⊥MN，交抛物线于点D，MN∥y轴，抛物线的对称轴是直线x＝3，点M的横坐标为m， ∴DM＝2（m﹣3），∠DMN＝90°， ∴当DM＝MN时△DMN为等腰直角三角形， ∵MN的长为m2+2m， ∴2（m﹣3）m2+2m，解得：m＝2或﹣2（舍去）； 点M在对称轴左侧时，如图： ∵MD⊥MN，交抛物线于点D，MN∥y轴，抛物线的对称轴是直线x＝3，点M的横坐标为m， ∴DM＝2（3﹣m），∠DMN＝90°， ∴当DM＝MN时△DMN为等腰直角三角形， ∵MN的长为m2+2m， ∴2（3﹣m）m2+2m，解得：8﹣2或8+2（舍去）， ∴存在，点M的横坐标m的值为2或8﹣2． 【总结提升】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质，其中（2）（3）都要分类求解，避免遗漏． 11．（2024秋•中山市期末）【综合探究】 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线BC，其中点A（﹣1，0），点C（0，﹣4）．若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F． （1）求该抛物线的解析式； （2）若，求此时点P的坐标； （3）是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）把点A（﹣1，0），点C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c即可求解； （2）由抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC解析式为y＝x﹣4，设 P（m，m﹣4），则F（m，0），E（m，m2﹣3m﹣4），故有PE＝﹣m2+4m，PF＝4﹣m，再通过列出方程，然后解方程即可； （3）分当∠PEC＝90°时和当∠PCE＝90°时两种情况分析即可． 【完整解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+过点A（﹣1，0），点C（0，﹣4）， ∴， 解得：， 该抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4； （2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4， 当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴B（4，0）， 设直线BC解析式为y＝kx+n， ∴， 解得：， ∴直线BC解析式为y＝x﹣4， 设P（m，m﹣4），则F（m，0），E（m，m2﹣3m﹣4）， ∴PE＝m﹣4﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m，PF＝0﹣（m﹣4）＝4﹣m， ∵PEPF， ∴﹣m2+4m（4﹣m）， 整理得：2m2﹣9m+4＝0， 解得：m1，m2＝4（舍去）， 当m时，4﹣m， ∴点P的坐标为（，）； （3）存在点P使得△CPE为等腰直角三角形；理由如下： ∵B（4，0），C（0，﹣4）， ∴OB＝OC＝4， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵PF⊥x轴， ∴PF∥y轴， ∴∠OCB＝∠CPE＝45°； 当∠PEC＝90°时，PE＝CE＝OF，如图1， ∴PE＝﹣m2+4m＝OF＝m， 解得：m1＝3，m2＝0（舍去）， ∴此时P（3，﹣1）； 当∠PCE＝90°时，如图2，作CH⊥PE于点H，则有PE＝2CH＝2OF， ∴PE＝﹣m2+4m＝2OF＝2m， 解得：m1＝2，m2＝0（舍去）， ∴此时P（2，﹣2）； 综上所述，点P的坐标为（3，﹣1）或（2，﹣2）． 【总结提升】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．（2024秋•洪雅县期末）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，DP的长最大，求出P点坐标． （3）是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【思路引领】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）先求出直线AB的解析式，再设出点P的坐标，然后求出点D的坐标，再列出PD的长度的表达式，确定PD取最大值时求出点P的坐标即可； （3）先设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据抛物线的对称性表示出PE的长度，列出关于点P的横坐标的方程，求出点P的横坐标，即可确定点P的坐标． 【完整解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+bx+3，则a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴A（0，3）， ∴直线AB解析式为y＝x+3， ∵点P在线段AB上方抛物线上， ∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）， ∴D（t，t+3）， ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2， 即当t时PD最大，此时，点P（，）； （3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形， 设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）， ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∵PE∥x轴交抛物线于点E， ∴E、P关于对称轴对称， ∴xE﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t， ∴xE＝﹣2﹣t， ∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|， ∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°， ∴PD＝PE， ①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t， ∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t， 解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2， ∴P（﹣2，3）， ②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t， ∴﹣t2﹣3t＝2+2t， 解得：t（不合题意的值已舍去）， 即点P（，）， 综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形． 【总结提升】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式以及牢记等腰直角三角形的性质，当遇到线段取最值的问题时，一般是先用含字母的式子表示出线段的长度，然后利用二次函数的知识解决即可． 13．（2024秋•潮州期末）如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点M，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线解析式； （2）当MN＝2MP，求t的值； （3）若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值； （4）在y轴上是否存在点Q，使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）由待定系数法即可求解； （2）点P（t，0），则点，，，，即可求解； （3）由8，进而求解； （4）当∠QNB＝90°时，证明△DQN≌△NCB（AAS），得到N（t，t），即可求解；当∠QBN＝90°时，同理可解． 【完整解答】解：（1）直线与x轴、y轴交于B，A两点，则点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0）． 由题意得：， 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）∵点P（t，0），则点，， ∴，， ∵MN＝2MP， ∴， 解得：t＝1或4（与点B重合，舍去）， ∴t＝1； （3）点N到直线AB的距离为d，求d的最大值即为求△ANB面积的最大值， 连接NA、NB，如下图所示， ∵点B的坐标为（4，0）、A（0，2）， ∴OB＝4，OA＝2， 由（2）得：MN＝﹣t2+4t， ∴8， ∴面积最大为8， ∵， ∴， 解得， 即d的最大值为； （4）存在点Q使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形，有三种可能：或或，理由如下： 当∠QNB＝90°时，NQ＝BN，点Q在y轴的正半轴，如下图所示， 过点N作 ND⊥y轴，过点B作BC⊥x轴交DN延长线于点C， ∴∠CDQ＝∠BCN＝90°，∠QND+∠BNC＝90°，∠QND+∠DQN＝90°， ND＝PO＝t， ∴∠BNC＝∠DQN， ∴△DQN≌△NCB（AAS）， ∴ND＝BC＝t，DQ＝NC＝BP＝4﹣t， ∴PN＝BC＝OD＝t， ∴N（t，t）， ∴， 解得：或（负值舍去）， ∴OQ＝OD﹣DQ＝t﹣（4﹣t）， ∴； 当∠QBN＝90°时，QB＝BN，点Q在y轴的负半轴，如图所示， ∵∠QOB＝∠BPN＝∠QBN＝90°， ∴∠QBO+∠OQB＝90°，∠QBO+∠OBN＝90°， ∴∠OQB＝∠OBN， ∴△OQB≌△PBN（AAS）， ∵OB＝4，BP＝4﹣t， ∴OQ＝BP＝4﹣t，NP＝OB＝4， ∴N（t，4）， ∴， 解得：， ∴或， ∵点Q在y轴的负半轴， ∴，； 综上可得：或或． 【总结提升】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 14．（2024秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x﹣1）2+2交y轴于点．点P是该抛物线上的动点，其横坐标为m．将点P沿y轴正方向向上平移1个单位长度得到点Q，过点P作PN⊥y轴于点N，连结PQ，以PQ、PN为边作矩形PQMN． （1）求此抛物线对应的函数关系式． （2）当该抛物线在矩形PQMN内部的点的纵坐标y随x值的增大而增大时，求m的取值范围． （3）在A、P两点之间的部分（包含A、P两点）图象记为G．设MQ与此抛物线的交点的横坐标为n，图象G最高点与最低点的纵坐标之差为h，若2≤n≤3，求h的取值范围． （4）设矩形PQMN的边与抛物线的交点为B（点B不与该矩形的顶点重合），当以矩形的一边为直角边，并以这边上的两个端点与点B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出m的值．（写出三个值即可） 【思路引领】（1）利用待定系数法，把点的坐标代入y＝a（x﹣1）2+2，求出a的值即可； （2）根据矩形的性质，分当m＜0时、当0＜m＜1时、当m≥1时，三种情况进行讨论，当0＜m＜1时矩形PQMN内部没有二次函数的图象；当m≥1时，抛物线在矩形PQMN内部的点的纵坐标y随x值的增大而减小；只有当m＜0时，抛物线在矩形PQMN内部的点的纵坐标y随x值的增大而增大； （3）分别求出当n＝1和n＝3时，图象G最高点与最低点的纵坐标之差，即为h的取值范围； （4）抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），抛物线的顶点坐标为（1，2），所以要分当m＜﹣1时、当﹣1＜m＜0时，当时，即当QM在抛物线顶点的上方时，当，即当QM与抛物线的交点恰好是抛物线的顶点时，当时，共5种情况讨论求解． 【完整解答】解：（1）把点的坐标代入y＝a（x﹣1）2+2， 可得：， 解得：， ∴抛物线对应的函数关系式为； （2）当m＜0时， 如图1， 抛物线在矩形PQMN内部的点的纵坐标y随x值的增大而增大； ∵抛物线y＝a（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）， 当0＜m＜1时， 如图2所示， 矩形PQMN内部没有二次函数的图象； 当m≥1时， 如下图所示， 抛物线在矩形PQMN内部的点的纵坐标y随x值的增大而减小； 综上所述，m的取值范围为m＜0； （3）当n＝2时， 如图4所示， 当MQ与抛物线的交点B的横坐标为2时， 点B的纵坐标为， 点A的纵坐标为， 点B与点A是对称点， 点Q的纵坐标为， 此时在图象G最高点是抛物线的顶点，抛物线顶点纵坐标为2，最低点为点P，点P的纵坐标为， ∴； 当n＝3时， 如图5所示， 点B的横坐标是3，纵坐标是， 此时点B在x轴上， ∵PQ＝1， ∴点P的纵坐标为0﹣1＝﹣1， 此时在图象G最高点是抛物线的顶点，抛物线顶点纵坐标为2，最低点为点P，点P的纵坐标为﹣1， ∴h＝2﹣（﹣1）＝3， ∴h的取值范围为； （4）解方程， 得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0）， 如图6所示， 当点P在点（﹣1，0）左侧时，则有m＜﹣1， QM恰好在x轴上，点B是抛物线与x轴的交点， ∵PQ＝1， ∴MN＝1， 抛物线与x轴的交点B的坐标为（﹣1，0） ∴BM＝MN＝1， ∴△MBN是等腰直角三角形， ∴点P的纵坐标为﹣1， 解方程， 可得：，（舍去）； 当﹣1＜m＜0时， 如图7所示， 点P的横坐标为m，纵坐标为， 则点Q的纵坐标为， ∵点A的纵坐标为， ∴， 若△AMQ为等腰直角三角形， 则有， 整理得：m2﹣4m﹣2＝0， 解得：，（舍去）； 当时， 如图8所示， 点P的横坐标为m， 则PN与抛物线的交点B横坐标为1﹣（m﹣1）＝2﹣m， ∴PB＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2 ∵PQ＝1， 若△PBQ为等腰直角三角形， 则有2m﹣2＝1， 解得：； 当时， 如图9所示， MQ与抛物线的交点B恰好是抛物线的顶点， 此时MB＝MN＝1， △MBN是等腰直角三角形； 当时， 如图10所示， 点P的横坐标为m，纵坐标为， 则点Q的横坐标为m，纵坐标为， 若△PBQ为等腰直角三角形， 则有PQ＝PB＝1， ∴点B的坐标为 ∴可得方程：， 解得：． 综上所述，m的值可能为或或或或． 【总结提升】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式．解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质分类讨论 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数的图象抛物线中三角形存在性问题探究（原卷版）专题诠释： 二次函数的图象抛物线中三角形存在性问题关键是要分类讨论，以防漏解。等腰三角形的存在可以根据“两圆一中垂”确定第三个点的位置，直角三角形可以根据直角顶点确定第三个点的的位置。主要解题策略：两线段相等或两边的平方和等于斜边的平方可以用两点间距离公式或勾股定理利方程，两直线垂直也可以用k1·k2＝－1立方程。 类型一 抛物线中等腰三角形存在性问题 1．（2024秋•江油市期末）我们知道画函数图象的步骤为列表、描点、连线． （1）请在给定的坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象． （2）观察图象，当x＜﹣1时，y的范围是 　 ，当y＜0时x的范围是 　 　． （3）设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形OPM是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2024秋•大足区期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣5，0）和点B，交y轴于点C（0，﹣5）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，若点P是线段AC上的一动点，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当PQ最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使QM+AM的值最小，求出此时点M的坐标； （3）若点P在直线AC上的运动过程中，是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024秋•莱阳市期末）如图1，经过原点O的抛物线y＝ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（4，0）．直线l：y＝x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E′恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式； （3）如图3，连接AC，把△COA绕点A顺时针旋转90°得到△AO′C′，在抛物线对称轴上是否存在点F，使△AFO′是以AO′为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出F点坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024秋•广州期末）如图，直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）． （1）求B，C两点的坐标． （2）求该二次函数的解析式． （3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 类型三 抛物线中直角三角形存在性问题 5．（2024秋•邹平市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴的两个交点为A（1，0）和B（﹣3，0），与y轴的交点为C，顶点为点D． （1）求出抛物线的解析式； （2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标； （3）若点M是y轴上一点，使得△MBD是以BD为斜边的直角三角形，求点M坐标． 6．（2025•崇明区一模）已知在直角坐标平面xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，﹣4）三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是抛物线在第一象限内的动点，点P的横坐标为m． ①如果△PAC是以PC为斜边的直角三角形，求m的值； ②在y轴正半轴上存在点H，当线段PH绕点H逆时针方向旋转90°时，恰好与抛物线上的点Q重合，此时点Q的横坐标为n（n＞0），求n﹣m的值． 7．（2024秋•济南期末）在平面直角坐标系xOy中，矩形OCDE的顶点E，C分别在x轴，y轴上，D（4，3）．抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点． （1）如图1，若抛物线经过点C，求抛物线的表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，连接OD，F为线段CO上一点，连接AF，若FA＝FC，请判断∠CDO和∠OFA 是否相等，并说明理由； （3）若抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）的顶点为H，取AH的中点M，则以M，H，D为顶点的三角形能否为直角三角形？若能，请直接写出a的值；若不能，请说明理由． 8．（2024秋•雨花区期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，8），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标； （3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024秋•城关区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于C点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）如图1，当点P的坐标为（2，﹣4）时，求△BCP 的面积． （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BCF是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三 抛物线中等腰直角三角形存在性问题 10．（2024秋•包河区校级期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． （1）求线段AB的长； （2）若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作MN∥y轴，交直线BC于点N． （Ⅰ）当线段MN的长有最大值时，求点M的坐标； （Ⅱ）过点M作DM⊥MN交抛物线于点D，是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 11．（2024秋•中山市期末）【综合探究】 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线BC，其中点A（﹣1，0），点C（0，﹣4）．若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F． （1）求该抛物线的解析式； （2）若，求此时点P的坐标； （3）是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024秋•洪雅县期末）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，DP的长最大，求出P点坐标． （3）是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 13．（2024秋•潮州期末）如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点M，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线解析式； （2）当MN＝2MP，求t的值； （3）若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值； （4）在y轴上是否存在点Q，使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2024秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x﹣1）2+2交y轴于点．点P是该抛物线上的动点，其横坐标为m．将点P沿y轴正方向向上平移1个单位长度得到点Q，过点P作PN⊥y轴于点N，连结PQ，以PQ、PN为边作矩形PQMN． （1）求此抛物线对应的函数关系式． （2）当该抛物线在矩形PQMN内部的点的纵坐标y随x值的增大而增大时，求m的取值范围． （3）在A、P两点之间的部分（包含A、P两点）图象记为G．设MQ与此抛物线的交点的横坐标为n，图象G最高点与最低点的纵坐标之差为h，若2≤n≤3，求h的取值范围． （4）设矩形PQMN的边与抛物线的交点为B（点B不与该矩形的顶点重合），当以矩形的一边为直角边，并以这边上的两个端点与点B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出m的值．（写出三个值即可） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$