专题9.5 图形的变换全章专项复习【4大考点16种题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版2024）

专题9.5 图形的变换全章专项复习【4大考点16种题型】 【苏科版2024】 【考点1 平移】 1 【题型1 平移的概念】 1 【题型2 平移的性质】 3 【题型3 简单平移作图】 6 【考点2 轴对称】 9 【题型4 轴对称图形的识别】 10 【题型5 轴对称的性质】 12 【题型6 作轴对称图形】 15 【题型7 尺规作垂直平分线、角平分线】 17 【考点3 旋转】 21 【题型8 旋转的相关概念】 22 【题型9 旋转的性质及应用】 24 【题型10 旋转作图】 27 【题型11 确定旋转中心】 29 【题型12 中心对称的概念与性质】 32 【题型13 画与原图成中心对称的图形】 34 【题型14 中心对称图形的概念】 37 【考点4 简单的图案设计】 39 【题型15 分析图案的形成过程】 39 【题型16 简单的图案设计】 42 【考点1 平移】 (1)平移的定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。 (2)平移的性质：平移前后的两个图形可以重合；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。 【题型1 平移的概念】 【例1】（23-24七年级·湖南长沙·期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子． 【答案】 ② ① ③ 【分析】要一次性通关，先推阻碍其它箱子的箱子，然后推动其它箱子即可． 【详解】要想使游戏一次性通关，则三个箱子要把右边的三个阴影位置占完，且每个箱子只能占一个位置； 观察三个箱子的位置，发现②号箱子会阻碍其余两个箱子的移动，因此要先推动②号箱子，其余两个箱子才能推动；然后推动①号箱子，最后推动③号箱子可以使得步数最少． 故答案为：②，①，③ 【点睛】本题考查平移变换，解答本题的关键要明确推箱子游戏的规则． 【变式1-1】（23-24七年级·浙江绍兴·期末）下列物体的运动属于平移的是（    ） A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千 C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象；根据平移的定义：将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动方式叫做平移，进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 汽车方向盘的转动，不是平移，不符合题意；     B. 小红荡秋千，不是平移，不符合题意；     C. 电梯上顾客的升降运动,是平移，符合题意；     D. 火车在弯曲的铁轨上行驶，不是平移，不符合题意；     故选：C． 【变式1-2】（23-24七年级·安徽宿州·期末）现实世界中平移现象无处不在，下列汉字可由其中一部分平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的性质，进行判断即可． 【详解】解：根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字可以通过平移得到， ∴“”可以通过平移得到． 故选：A． 【变式1-3】（23-24七年级·湖北孝感·阶段练习）如图，图案⑥是由①②③④⑤五种基本图形中的两种拼接而成的，这两种基本图形是（） A．①⑤ B．②⑤ C．③⑤ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查图形的平移，结合所给基本图形将图案⑥中间的阴影部分进行分割，通过平移，即可得出答案． 【详解】解：图案⑥可变为（如下图），观察图形可得，组成图案⑥的基本图形是②⑤， 【题型2 平移的性质】 【例2】（23-24七年级·福建福州·期末）如图，长方形中，线段、相交于点O，，，那么三角形可以看作由 平移得到的． 【答案】 【分析】根据平移的性质，可得答案． 【详解】解：在长方形中，、相交于点O，，，那么三角形可以看作是三角形平移得到的，平移的距离是线段的长． 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【变式2-1】（23-24七年级·北京·期中）在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为 cm2． 【答案】25 【分析】观察图形可得一匹飞马的面积正好是边长是5cm的小正方形的面积． 【详解】解：由平移规律可得，一匹“飞马”部分的面积为(cm2)， 故答案为：25 【点睛】本题考查了图形的平移，认真观察图形的形成过程是解题的关键． 【变式2-2】（23-24七年级·甘肃武威·期末）某酒店准备在一个楼梯铺设一种地毯，已知楼梯的宽为2米，楼梯的侧面如图所示，则买地毯的面积至少是（　　）m2． A．9 B．11 C．18 D．27 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，所铺地毯的长为，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 【变式2-3】（23-24七年级·辽宁丹东·期末）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要平移的性质，根据平移得到，从而可得与n的关系式，根据即可求解． 【详解】解：由题意可得点B向右平移4个单位长度得到点，点向右平移4个单位长度得到点，……，点向右平移4个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：， 故答案为：． 【题型3 简单平移作图】 【例3】（23-24七年级·吉林·期中）如图，平移四边形，使点移动到，作出平移后的四边形，并指出平移的方向和平移的距离． 【答案】见解析，平移的方向是射线的方向，平移的距离是线段的长 【分析】此题考查图形的平移，作图的关键是确定平移的方向和距离．因为点A平移后的对应点已经确定，所以方向和距离也是确定的，只需要连接，然后过其余三点作的平行线，并在其平行线上截取等于的线段，即可得到其它对应点，然后连接即可． 【详解】解：如答图所示，平移方法如下： ①连结； ②分别过点、、作的平行线、、； ③在射线上截取．按同样的方法截取，； ④连结、、、，得四边形，则四边形就是所要求作的图形． 平移的方向是射线的方向，平移的距离是线段的长． 【变式3-1】（23-24七年级·广东清远·期末）如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可； （2）根据平移的性质进行判断． 【详解】（1）解：如图，△DEF为所作； ； （2）解：线段与的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 【变式3-2】（23-24七年级·河北石家庄·期末）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，则线段和线段有什么关系？ 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 【分析】本题考查平移变换和线段之间的位置关系，熟练掌握网格中图形平移的方法是解题的关键， （1）根据题中的平移方法平移即可得到， （2）连结，由图可得平行且相等． 【详解】（1）解：由题可得： 就是所要求作的三角形，如下图： （2）解：连结，如下图所示： 由图可得：线段和线段为平行且相等． 【变式3-3】（23-24七年级·河北邯郸·期中）将方格纸中的图形先向下平移4格，再向左平移4格，画出两次平移后分别得到的图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平移作图，根据平移的性质，作出对应点的坐标，然后再顺次连接即可． 【详解】解：如图，四边形为第一次平移后的图形；四边形为第二次平移后的图形． 【考点2 轴对称】 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 4．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 5．画轴对称图形 轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下： （1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； （2）连接这对对应点； （3）画出对应点所连线段的垂直平分线． 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 【注意】画对称轴的依据：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据． 【题型4 轴对称图形的识别】 【例4】（23-24七年级·广东汕尾·期末）2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船发射圆满成功，中国航天实现第五次太空会师．下列航天图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据此概念进行分析即可． 【详解】解：A.选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B. 选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C. 选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D. 选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式4-1】（23-24七年级·吉林·阶段练习）如图所示的轴对称图形有 条对称轴． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称的定义，画出图中的对称轴，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 该轴对称图形有4条对称轴． 故答案为：4． 【变式4-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）在线段、等腰三角形、直角三角形和圆这四个图形中，是轴对称图形的有 个． 【答案】3 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可； 【详解】解：线段、等腰三角形和圆都能找到一条(或多条) 直线，使图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 直角三角形(等腰直角三角形除外) 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 所以是轴对称图形的有3个， 故答案为：3． 【变式4-3】（23-24七年级·河北保定·期末）如图，将矩形纸片沿虚线按箭头方向向右对折，再将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再把纸片打开，打开后的展开图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点.根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断. 【详解】∵第三个图形是三角形， ∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A， ∵再展开可知两个短边正对着， ∴选择答案D，排除B与C． 故选D． 【题型5 轴对称的性质】 【例5】（23-24七年级·江苏南通·期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，先由折叠的性质得到，再由三角形外角的性质得到，，据此可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-1】（23-24七年级·辽宁抚顺·阶段练习）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（    ） A．中线 B．边的垂直平分线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，根据题意可得，即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，， 则是的角平分线， 故选：D． 【变式5-2】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）如图，与关于直线对称，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称的性质求出的度数，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【详解】解： 与关于直线对称， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）如图，在一个规格为(即个小正方形)的球台上，有两个小球. 若击打小球，经过球台边的反弹后，恰好击中小球，那么小球击出时，应瞄准球台边上的点 . 【答案】P2 【分析】认真读题，作出点A关于P1P2所在直线的对称点A′，连接A′B与P1P2的交点即为应瞄准的点． 【详解】如图，应瞄准球台边上的点P2． 故答案为：P2. 【点睛】本题考查了生活中的轴对称现象问题；解决本题的关键是理解击球问题属于求最短路线问题． 【题型6 作轴对称图形】 【例6】（23-24七年级·四川成都·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图，四边形就是一个“格点四边形”．    (1)在图中方格纸中画一个格点四边形使得它和四边形关于直线对称； (2)求图中四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，，的对应点，，，， 顺次连接即可； （2） 分成两个三角形的面积进行计算即可； 【详解】（1）解：如图，四边形为所求；      （2） 【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案的知识， 注意格点不规则图形面积的求解方法， 可以用“构图法”， 也可以用分割法 ． 【变式6-1】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）如图，以虚线为对称轴，那么“甲”字的对称图形是 字． 【答案】由 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．根据轴对称的性质可得答案． 【详解】解：“甲”字的对称图形是“由”字， 故答案为：由 【变式6-2】（23-24七年级·江西萍乡·期末）小芳设计了这样一个游戏：在方格内有3个小圆，其余方格都是空白，请你分别在下面四个图中的某个方格内补画一个小圆，使补画后的图形为轴对称图形. 【答案】见解析 【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形 【详解】如图所示：    【点睛】本题考查轴对称图形的定义．掌握相关定义是解题的关键． 【变式6-3】（2024七年级·江苏·专题练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 【答案】5 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． ． 故答案为：5． 【题型7 尺规作垂直平分线、角平分线】 【例7】（2024七年级·全国·专题练习）如图，在河岸的同侧有两村，在河边修一水泵站，使其到两村所用的水管最短（两村不共用水管）．另修一码头，使其与两村的距离相等．试画出所在的位置（不写画法，保留画图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短以及线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，作出关于的对称点，连接即可作出水泵站；作线段的垂直平分线即可作出码头 【详解】解：如图所示，两点的位置即为所求 【变式7-1】（23-24七年级·广东汕头·阶段练习）如图，中，，． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，直接写出的面积为： ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 根据角平分线的作法即可完成作图； 【详解】解：如图，角平分线即为所作. 【变式7-2】（23-24七年级·陕西宝鸡·期末）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】连接，作线段的垂直平分线l交于点C，点C即为所求． 【详解】解：如图，点C即为所求．    【点睛】本题考查作图，复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题． 【变式7-3】（23-24七年级·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，．请解答下列问题：    作图一：作的角平分线交于点D； 作图二：作边的垂直平分线，分别交，于点D，E． (1)选择其中一种作图用尺规完成．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，与的面积有什么关系？试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）根据尺规作一个内角平分线和垂直平分线的方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的性质，角平分线的性质，结合三角形面积公式进行解答即可． 【详解】（1）解：作图一：即为所求作的的角平分线，如图所示：    作图二：即为所求作的线段的垂直平分线，如图所示：    （2）解：∵在中，，， ∴，， 作图一：过点D作与点E，如图所示：    ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 作图二：连接，如图所示：    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线和垂直平分线，角平分线的性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线性质和角平分线的性质． 【考点3 旋转】 旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 中心对称图形的定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。 【题型8 旋转的相关概念】 【例8】（23-24七年级·甘肃庆阳·期中）将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形旋转，分析出图中图形的构造方式即可求解． 【详解】解：此图形可看作由一个基本图形旋转组成的，故这个角度可以是或的整数倍， 故选C． 【变式8-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 【变式8-2】（23-24七年级·甘肃庆阳·期末）如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转角的定义解答即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后与重合，C与N是对应点， ∴下列角一定等于的是． 故选A． 【变式8-3】（23-24七年级·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形， ∴旋转角为：，，旋转中心为点A， 根据网格可知：， ∴，故A、B、D正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意． 故选：C． 【题型9 旋转的性质及应用】 【例9】（23-24七年级·贵州黔南·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则 的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质．由旋转得，则．根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解∶由旋转得， ， ． ， 故答案为：． 【变式9-1】（23-24七年级·江苏常州·期末）如图所示，将等边三角形ABC分割成大小相同的9个小等边三角形，分别标上数字1，2，3，…，9，那么标有数字2的小等边三角形绕它下面的顶点O旋转180°，可以和标有数字 的小等边三角形重合． 【答案】7 【详解】解：由题意可得：标有数字2的小等边三角形绕它下面的顶点O旋转180°， 可以和标有数字7的小等边三角形重合． 故答案为7． 【变式9-2】（23-24七年级·云南曲靖·期末）一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查三角板，平行线的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握题意，可得，，根据，可得，则，即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式9-3】（23-24七年级·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解． 【详解】解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为； 根据网格可得 ②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 根据网格可得 综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为 故答案为或；． 【题型10 旋转作图】 【例10】（23-24七年级·江苏连云港·开学考试）按要求画图：    (1)以直线l为对称轴，画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形； (2)将图②所示的三角形绕点O顺时针旋转，画出旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据对称图形的性质找到对应点，再依次连接即可求解 （2）将边绕点O顺时针旋转得到，同理得，连接即可求解 【详解】（1）解：根据对称图形的性质找到对应点，再依次连接， 如图所示，即为所求．    （2）将边绕点O顺时针旋转得到，同理得，连接， 如图所示，即为所求．    【点睛】本题考查了作图——对称图形、作图——旋转图形，熟练掌握其画法是解题的关键． 【变式10-1】（23-24七年级·全国·课后作业）如图，绕点旋转后，顶点的对应点为点，试确定顶点的对应点的位置以及旋转后的三角形．    【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质，作图即可． 【详解】解：设点的对应点为点，连接，则即为旋转角，作，且，如图，顶点的对应点的位置在点处，为绕点旋转后得到的三角形．    【点睛】本题考查旋转作图，熟练掌握旋转的三要素，是解题的关键． 【变式10-2】（23-24七年级·辽宁沈阳·阶段练习）画出小旗先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移3格后的图． 【答案】见解析 【分析】根据图形旋转与平移的特点作图即可； 【详解】解：作图如下： 【点睛】本题考查了图形的旋转与平移，旋转时要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度；平移时要注意平移的方向和距离；掌握旋转和平移的性质是解题的关键． 【变式10-3】（23-24七年级·陕西商洛·期末）如图，绕点O旋转后，点G是点B的对应点，画出旋转后的三角形． 【答案】见解析 【分析】根据旋转变换的性质画出图形即可． 【详解】解：连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转一个等于的角度，得到线段，连接，便得到旋转后的． 如图， 即为所求三角形， 【点睛】本题主要考查了旋转变换，熟练掌握旋转的性质，并根据旋转的性质找到对应点的位置是解题的关键． 【题型11 确定旋转中心】 【例11】（23-24七年级·上海浦东新·期末）如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个． 【答案】3 【分析】根据三角形旋转后能与等边三角形重合，确定旋转中心，即可得到答案． 【详解】解：以点B为旋转中心，顺时针旋转，能与等边三角形重合； 以C为旋转中心，逆时针旋转，能与等边三角形重合； 以的中点为旋转中心，旋转，能与等边三角形重合； 则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个． 故答案为：3 【点睛】此题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角是解题的关键． 【变式11-1】（23-24七年级·辽宁营口·期末）如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”） 【答案】 平移 【分析】图形平移前后对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心. 【详解】根据题意可得：图①与图②的对应点位置不变，通过平移可以得到； 根据旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A. 故填平移；A. 【点睛】此题考查图形的旋转变换中旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心. 【变式11-2】（23-24七年级·广东广州·期中）如图所示，已知正方形中的可以经过旋转得到． (1)图中哪一个点是旋转中心？ (2)按什么方向旋转；旋转角度是多少？ (3)如果．求的长？ 【答案】(1)旋转中心为C点 (2)逆时针；旋转角度为 (3) 【分析】本题考查找旋转中心，旋转方向和旋转角，旋转的性质： （1）根据图形确定旋转中心即可； （2）根据图形确定旋转方向和旋转角度即可； （3）根据旋转的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：旋转中心为C点； （2）解：由图可知：绕点C点逆时针旋转，可以得到； ∴旋转方向为：逆时针，旋转角度为； （3）解：∵旋转， ∴． 【变式11-3】（23-24七年级·北京朝阳·期末）如图，将经旋转后到达的位置．问：    (1)旋转中心是哪一点？ (2)如果M是边的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 【答案】(1)旋转中心是点A (2)经过旋转后，点M转到了边的中点处 【分析】本题考查了图形的旋转变化； （1）观察图形，找到公共顶点可得出旋转中心； （2）因为旋转前后是对应边，故的中点M，旋转后就是的中点了． 【详解】（1）∵将经旋转后到达的位置，它们的公共顶点为A， ∴旋转中心是点A． （2）∵旋转前后是对应边，M是边的中点， ∴经过旋转后，点M转到了边的中点处． 【题型12 中心对称的概念与性质】 【例12】（23-24七年级·福建福州·期中）下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称的知识，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的概念可得，与成中心对称的如图所示： ， 故选：D． 【变式12-1】（23-24七年级·四川成都·期末）下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（   ） A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心 B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段 C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分 D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质．根据中心对称的性质，①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案． 【详解】解：A、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心，故本选项错误； B、成中心对称的两个图形中，对称中心一定平分连接对称点的线段，故本选项错误； C、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项错误； D、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项正确． 故选：D． 【变式12-2】（23-24七年级·广东广州·期中）如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等角对等边，中心对称图形的性质，根据等角对等边得到，再根据中心对称图形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与关于原点成中心对称， ∴． 【变式12-3】（23-24七年级·山东济南·期末）如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据正方形的性质和中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O旋转后与重合， ∴与成中心对称的是． 故选：A． 【题型13 画与原图成中心对称的图形】 【例13】（23-24七年级·陕西咸阳·期中）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，画出关于点C成中心对称的，点A、B的对称点分别为、．    【答案】见解析 【分析】根据成中心对称图形的特征可得到对应点，再依次连接即可． 【详解】解：点A关于点C对称得到对应点， 同理可得，依次连接即可， 如图所示，即为所求．    【点睛】本题考查了作图——中心对称图形，熟练掌握中心对称图形对应点的特征是解题的关键． 【变式13-1】（2024七年级·全国·专题练习）如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 【答案】见解析 【分析】本题考查确定对称中心，补全中心对称图形，根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：如图所示，的交点即为O，即为所求． 【变式13-2】（23-24七年级·湖北咸宁·期末）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作关于点对称的； (2)在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题的关键． （1）利用中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于点O的对称点、、，再顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，分别作出点B、C绕点A顺时针方向旋转得到对应点、，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； ； （2）解：如图，即为所作； ． 【变式13-3】（23-24七年级·江苏常州·阶段练习）按下列要求在网格中作图： （1）将图①中的图形先向右平移3格，再向上平移2格，画出两次平移后的图形； （2）将图②中的图形绕点O旋转180°，画出旋转后的图形； （3）将图③中的图形沿线段AB翻折，画出翻折后的图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画图； （2）利用网格特点和中心对称的性质画图； （3）利用网格特点和轴对称的性质画图． 【详解】（1）如图①； （2）如图②； （3）如图③． 【点睛】本题主要考查图形的平移，旋转，轴对称变化，熟练掌握平移，旋转，轴对称变化的概念是解题的关键． 【题型14 中心对称图形的概念】 【例14】（23-24七年级·北京平谷·期末）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．东北地理与农业生态研究所 B．山西煤炭化学研究所 C．生态环境研究中心 D．西安光学精密机械研究所 【答案】B 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可得到答案． 【详解】解：将一个图形旋转后仍然与原图形重合，故此图形为中心对称图形， A、东北地理与农业生态研究所不是中心对称图形，故选项A不符合题意， B、山西煤炭化学研究所是中心对称图形，故选项B符合题意； C、生态环境研究中心不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、西安光学精密机械研究所不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选B． 【变式14-1】（23-24七年级·辽宁营口·期末）蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是 图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 【答案】中心对称 【分析】本题考查了中心对称图形知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形， 故答案为：中心对称． 【变式14-2】（23-24七年级·山东德州·期中）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 【变式14-3】（23-24七年级·江西上饶·期末）如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当= 时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形. 【答案】或或 【分析】本题考查了利用旋转设计图案的知识，首先根据图示，可得原来的图案是一个正三角形；然后要使两张图案构成的图形是中心对称图形，则两张图案构成的图形是正六边形；最后根据正六边形的中心角是，可得它至少旋转，据此解答即可． 【详解】解：要使两张图案构成的图形是中心对称图形， 则两张图案构成的图形至少是正六边形， ∵正六边形的中心角是， ∴要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它旋转角度需是的整数倍，且旋转后三角形不能与原三角形重合， 所以旋转角可以是或或． 故答案为：或或． 【考点4 简单的图案设计】 【题型15 分析图案的形成过程】 【例15】（23-24七年级·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答． 【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意； 图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移． 故选：D． 【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况． 平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 【变式15-1】（23-24七年级·全国·单元测试）经过平移、旋转或轴对称的变换后，不能得到如图所示的图形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A.经过平移可得到图形； B.经过平移和旋转可得到图形； C. 经过平移、旋转或轴对称的变换后，都不能得到图形； D.经过旋转可得到图形. 故选C. 【变式15-2】（23-24七年级·山东德州·期中）如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处(    )    A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】观察图形，发现原图是后单位图形平移得到，据此即可求解． 【详解】解：由图可知，此图案由如图的图形平移而成，   ∴空白处应该为：   故选B． 【点睛】本题考查了图案设计，平移的性质，观察得出单位图形是解题的关键． 【变式15-3】（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（  　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行手动操作，答案就能很直观的呈现. 【详解】按照图中顺序进行操作，展开后心形图案应该靠近正方形上下两边，且关于中间折线对称，故只有B选项符合. 故选B. 【点睛】本题考查剪纸问题，解决此类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴，一般的方法是动手操作，拿张纸按照题中的要求进行操作. 【题型16 简单的图案设计】 【例16】（23-24七年级·湖南·期中）下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们． 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另个两个不同的图案．画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠；（2）所设计的图案（不含方格纸）必须一个是中心对称图形，另一个是轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】根据要求分别设计两个图案即可． 【详解】解：中心对称图形： 轴对称图形 【点睛】本题考查利用旋转或轴对称设计图案，关键是理解中心对称和轴对称的概念，按照要求作图． 【变式16-1】（23-24七年级·广西·期中）图①、图②均为的正方形网格，点A，B，C在格点上． (1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）； (2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）． 【答案】(1)图形见解析； (2)图形见解析 【分析】（1）利用中心对称图形和轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可； （2）利用中心对称图形和轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可． 【详解】（1）解：如图①，作点B关于直线的对称点D， 四边形即为所求作； （2）解：如图②，四边形即为所求作． 【点睛】本题考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确把握中心对称和轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【变式16-2】（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义画出图形； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）所求图形，如图所示． ．   （2）所求图形，如图所示． ．   【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义． 【变式16-3】（2024·浙江宁波·一模）图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案； （2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形． ． 【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.5 图形的变换全章专项复习【4大考点16种题型】 【苏科版2024】 【考点1 平移】 1 【题型1 平移的概念】 1 【题型2 平移的性质】 2 【题型3 简单平移作图】 3 【考点2 轴对称】 5 【题型4 轴对称图形的识别】 6 【题型5 轴对称的性质】 7 【题型6 作轴对称图形】 8 【题型7 尺规作垂直平分线、角平分线】 9 【考点3 旋转】 10 【题型8 旋转的相关概念】 10 【题型9 旋转的性质及应用】 12 【题型10 旋转作图】 13 【题型11 确定旋转中心】 14 【题型12 中心对称的概念与性质】 15 【题型13 画与原图成中心对称的图形】 16 【题型14 中心对称图形的概念】 17 【考点4 简单的图案设计】 18 【题型15 分析图案的形成过程】 18 【题型16 简单的图案设计】 19 【考点1 平移】 (1)平移的定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。 (2)平移的性质：平移前后的两个图形可以重合；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。 【题型1 平移的概念】 【例1】（23-24七年级·湖南长沙·期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子． 【变式1-1】（23-24七年级·浙江绍兴·期末）下列物体的运动属于平移的是（    ） A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千 C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶 【变式1-2】（23-24七年级·安徽宿州·期末）现实世界中平移现象无处不在，下列汉字可由其中一部分平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级·湖北孝感·阶段练习）如图，图案⑥是由①②③④⑤五种基本图形中的两种拼接而成的，这两种基本图形是（） A．①⑤ B．②⑤ C．③⑤ D．②④ 【题型2 平移的性质】 【例2】（23-24七年级·福建福州·期末）如图，长方形中，线段、相交于点O，，，那么三角形可以看作由 平移得到的． 【变式2-1】（23-24七年级·北京·期中）在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为 cm2． 【变式2-2】（23-24七年级·甘肃武威·期末）某酒店准备在一个楼梯铺设一种地毯，已知楼梯的宽为2米，楼梯的侧面如图所示，则买地毯的面积至少是（　　）m2． A．9 B．11 C．18 D．27 【变式2-3】（23-24七年级·辽宁丹东·期末）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则的值为 ． 【题型3 简单平移作图】 【例3】（23-24七年级·吉林·期中）如图，平移四边形，使点移动到，作出平移后的四边形，并指出平移的方向和平移的距离． 【变式3-1】（23-24七年级·广东清远·期末）如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 【变式3-2】（23-24七年级·河北石家庄·期末）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，则线段和线段有什么关系？ 【变式3-3】（23-24七年级·河北邯郸·期中）将方格纸中的图形先向下平移4格，再向左平移4格，画出两次平移后分别得到的图形． 【考点2 轴对称】 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 4．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 5．画轴对称图形 轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下： （1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； （2）连接这对对应点； （3）画出对应点所连线段的垂直平分线． 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 【注意】画对称轴的依据：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据． 【题型4 轴对称图形的识别】 【例4】（23-24七年级·广东汕尾·期末）2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船发射圆满成功，中国航天实现第五次太空会师．下列航天图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24七年级·吉林·阶段练习）如图所示的轴对称图形有 条对称轴． 【变式4-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）在线段、等腰三角形、直角三角形和圆这四个图形中，是轴对称图形的有 个． 【变式4-3】（23-24七年级·河北保定·期末）如图，将矩形纸片沿虚线按箭头方向向右对折，再将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再把纸片打开，打开后的展开图为（   ） A． B． C． D． 【题型5 轴对称的性质】 【例5】（23-24七年级·江苏南通·期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级·辽宁抚顺·阶段练习）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（    ） A．中线 B．边的垂直平分线 C．高线 D．角平分线 【变式5-2】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）如图，与关于直线对称，则的度数为 度． 【变式5-3】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）如图，在一个规格为(即个小正方形)的球台上，有两个小球. 若击打小球，经过球台边的反弹后，恰好击中小球，那么小球击出时，应瞄准球台边上的点 . 【题型6 作轴对称图形】 【例6】（23-24七年级·四川成都·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图，四边形就是一个“格点四边形”．    (1)在图中方格纸中画一个格点四边形使得它和四边形关于直线对称； (2)求图中四边形的面积． 【变式6-1】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）如图，以虚线为对称轴，那么“甲”字的对称图形是 字． 【变式6-2】（23-24七年级·江西萍乡·期末）小芳设计了这样一个游戏：在方格内有3个小圆，其余方格都是空白，请你分别在下面四个图中的某个方格内补画一个小圆，使补画后的图形为轴对称图形. 【变式6-3】（2024七年级·江苏·专题练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 【题型7 尺规作垂直平分线、角平分线】 【例7】（2024七年级·全国·专题练习）如图，在河岸的同侧有两村，在河边修一水泵站，使其到两村所用的水管最短（两村不共用水管）．另修一码头，使其与两村的距离相等．试画出所在的位置（不写画法，保留画图痕迹）． 【变式7-1】（23-24七年级·广东汕头·阶段练习）如图，中，，． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，直接写出的面积为： ． 【变式7-2】（23-24七年级·陕西宝鸡·期末）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    【变式7-3】（23-24七年级·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，．请解答下列问题：    作图一：作的角平分线交于点D； 作图二：作边的垂直平分线，分别交，于点D，E． (1)选择其中一种作图用尺规完成．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，与的面积有什么关系？试说明理由． 【考点3 旋转】 旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 中心对称图形的定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。 【题型8 旋转的相关概念】 【例8】（23-24七年级·甘肃庆阳·期中）将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 【变式8-2】（23-24七年级·甘肃庆阳·期末）如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24七年级·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【题型9 旋转的性质及应用】 【例9】（23-24七年级·贵州黔南·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则 的度数为 ． 【变式9-1】（23-24七年级·江苏常州·期末）如图所示，将等边三角形ABC分割成大小相同的9个小等边三角形，分别标上数字1，2，3，…，9，那么标有数字2的小等边三角形绕它下面的顶点O旋转180°，可以和标有数字 的小等边三角形重合． 【变式9-2】（23-24七年级·云南曲靖·期末）一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，则 ． 【变式9-3】（23-24七年级·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 【题型10 旋转作图】 【例10】（23-24七年级·江苏连云港·开学考试）按要求画图：    (1)以直线l为对称轴，画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形； (2)将图②所示的三角形绕点O顺时针旋转，画出旋转后的图形． 【变式10-1】（23-24七年级·全国·课后作业）如图，绕点旋转后，顶点的对应点为点，试确定顶点的对应点的位置以及旋转后的三角形．    【变式10-2】（23-24七年级·辽宁沈阳·阶段练习）画出小旗先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移3格后的图． 【变式10-3】（23-24七年级·陕西商洛·期末）如图，绕点O旋转后，点G是点B的对应点，画出旋转后的三角形． 【题型11 确定旋转中心】 【例11】（23-24七年级·上海浦东新·期末）如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个． 【变式11-1】（23-24七年级·辽宁营口·期末）如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”） 【变式11-2】（23-24七年级·广东广州·期中）如图所示，已知正方形中的可以经过旋转得到． (1)图中哪一个点是旋转中心？ (2)按什么方向旋转；旋转角度是多少？ (3)如果．求的长？ 【变式11-3】（23-24七年级·北京朝阳·期末）如图，将经旋转后到达的位置．问：    (1)旋转中心是哪一点？ (2)如果M是边的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 【题型12 中心对称的概念与性质】 【例12】（23-24七年级·福建福州·期中）下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24七年级·四川成都·期末）下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（   ） A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心 B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段 C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分 D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分 【变式12-2】（23-24七年级·广东广州·期中）如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 【变式12-3】（23-24七年级·山东济南·期末）如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【题型13 画与原图成中心对称的图形】 【例13】（23-24七年级·陕西咸阳·期中）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，画出关于点C成中心对称的，点A、B的对称点分别为、．    【变式13-1】（2024七年级·全国·专题练习）如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 【变式13-2】（23-24七年级·湖北咸宁·期末）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作关于点对称的； (2)在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【变式13-3】（23-24七年级·江苏常州·阶段练习）按下列要求在网格中作图： （1）将图①中的图形先向右平移3格，再向上平移2格，画出两次平移后的图形； （2）将图②中的图形绕点O旋转180°，画出旋转后的图形； （3）将图③中的图形沿线段AB翻折，画出翻折后的图形． 【题型14 中心对称图形的概念】 【例14】（23-24七年级·北京平谷·期末）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．东北地理与农业生态研究所 B．山西煤炭化学研究所 C．生态环境研究中心 D．西安光学精密机械研究所 【变式14-1】（23-24七年级·辽宁营口·期末）蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是 图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 【变式14-2】（23-24七年级·山东德州·期中）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【变式14-3】（23-24七年级·江西上饶·期末）如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当= 时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形. 【考点4 简单的图案设计】 【题型15 分析图案的形成过程】 【例15】（23-24七年级·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【变式15-1】（23-24七年级·全国·单元测试）经过平移、旋转或轴对称的变换后，不能得到如图所示的图形的是(　　) A． B． C． D． 【变式15-2】（23-24七年级·山东德州·期中）如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处(    )    A．A B．B C．C D．D 【变式15-3】（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（  　） A． B． C． D． 【题型16 简单的图案设计】 【例16】（23-24七年级·湖南·期中）下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们． 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另个两个不同的图案．画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠；（2）所设计的图案（不含方格纸）必须一个是中心对称图形，另一个是轴对称图形． 【变式16-1】（23-24七年级·广西·期中）图①、图②均为的正方形网格，点A，B，C在格点上． (1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）； (2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）． 【变式16-2】（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【变式16-3】（2024·浙江宁波·一模）图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$