专题04 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题04 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用（原卷版） 类型一 根的判别式的应用 （1）利用判别式判断方程根的情况 1．（2024秋•郑州期末）一元二次方程x2﹣x+2025＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（2024秋•太原期末）课堂上，同学们围绕一元二次方程2x2+▲x﹣5＝0的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（　　） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 3．（2024秋•盘龙区期末）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．（2024秋•东西湖区期末）数学家华罗庚曾有一首脍炙人口的数形结合诗：“数形本是相依偎，焉能分作两边飞，数无形时少直观，形缺数时难入微”请用数形结合的思想判断方程的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个实数根 C．有三个实数根 D．有四个实数根 （2）利用判别式求字母系数的值或取值范围 5．（2024秋•东台市期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1 6．（2024秋•番禺区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　． 7．（2024秋•蜀山区校级期末）（1）一元二次方程x2﹣x﹣6＝0在﹣2≤x≤2范围内有　 　个根； （2）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3m﹣3＝0在﹣2≤x≤2范围内有且只有一个根，则m的取值范围为　 　． 8．（2024秋•崇明区期末）已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． （3）根据字母系数判断方程根的情况 9．（2023•玉屏县模拟）在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数根的个数为（　　） A．0个 B．0或1个 C．2个 D．1或2个 10．（2024春•北仑区校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0两个不相等的实数根；其中正确的是（　　） A．②③④ B．①③④ C．②③ D．①② 类型二 根与系数关系的应用 （1）利用根与系数关系求代数式的值 11．（2024秋•郯城县期中）设方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么αβ﹣α﹣β的值等于 　﹣3　． 12．（2024•单县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则代数式m2+3m+n的值等于（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 13．（2024•九原区四模）已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 14．（2024秋•闵行区期中）设x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，有，请你根据以上材料解决问题：已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3m2+3n﹣mn的值等于 　 　． （2）利用根与系数关系求字母系数的值或取值范围 15．（2024•江阳区模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣1＝0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）＝3，则m的值等于 　 　． 16．（2023•紫金县三模）a、b为两个不等实数，，则（a﹣1）（b﹣1）的值等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 17．（2024秋•清新区期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则，.这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】 一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　； （2）【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1、x2，满足x1+x2＝2x1x2+5，求k的值． （3）【思维拓展】已知实数m，n，满足3m2+6m﹣5＝0，3n2+6n﹣5＝0，且m≠n，求的值． 18．（2024秋•南宁期末）小州与小冬在解方程x2+bx+c＝0时，小州写错了常数项，得到方程的两个根是2和﹣4，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是﹣1和3，则b与c的值分别是（　　） A．b＝2，c＝﹣8 B．b＝2，c＝﹣3 C．b＝﹣2，c＝8 D．b＝2，c＝3 19．（2024秋•贵州期末）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2＝0的两个实数根是x1，x2，且x1＝2x2，则m的值是（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D．1 20．（2024秋•榆中县期末）若x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0的两根，且x1x2＝﹣3，则k的值为 　2　． 21．（2024秋•让胡路区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣5＝0的两个实数根的平方和等于44，则m的值是　 　． 22．（2024•平远县期末）已知是关于x的一元二次方程的两个根，则a的值为 　 ． 类型三 一元二次的判别式及根与系数关系的综合应用 23．（2024秋•盐城期末）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若两根x1，x2满足，求k的值． 24．（2024秋•浦东新区期末）已知关于x的方程x2+2（k﹣2）x﹣6k＝0．若x＝2是此方程的一根，求k的值及方程的另一根． 25．（2024秋•廉江市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足x1x2＝6，求a的值． 26．（2024秋•顺德区期末）已知x2﹣2x+m＝0是关于x的一元二次方程． （1）当m＝﹣3时，求方程的解； （2）若x1、x2是方程的两个实数根，且x1•x2+2（x1+x2）＞0，求m的取值范围． 27．（2024秋•扬州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长，当这个矩形的对角线长为5时，求m的值． 28．（2024秋•广州期末）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 29．（2024秋•西城区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根比另一个根大3，求m的值． 30．（2024秋•新吴区期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且 ，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程x2+14x+33＝0 　 　“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2＝﹣121，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围． 31．（2024秋•西华县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3|m|＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用（解析版） 类型一 根的判别式的应用 （1）利用判别式判断方程根的情况 1．（2024秋•郑州期末）一元二次方程x2﹣x+2025＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【思路引领】求出判别式的值即可判断． 【完整解答】解：x2﹣x+2025＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2025＜0， ∴方程没有实数根． 故选：C． 【总结提升】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 2．（2024秋•太原期末）课堂上，同学们围绕一元二次方程2x2+▲x﹣5＝0的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（　　） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 【思路引领】先计算出判别式得到Δ＝▲2+40＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【完整解答】解：由条件可知：Δ＝▲2﹣4×2×（﹣5）＝▲2+40， ∵▲2≥0， ∴▲2+40＞0， ∴一定有两个不相等的实数根． 故选：B． 【总结提升】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 3．（2024秋•盘龙区期末）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【思路引领】先根据新定义把方程化为一元二次方程，再根据根的判别式的值得到Δ＝（k﹣3）2+4，所以Δ＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【完整解答】解：关于x的方程（k﹣3）⊗x＝1化为x2﹣（k﹣3）x＝1， 整理得x2﹣（k﹣3）x﹣1＝0， ∵Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣1） ＝（k﹣3）2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【总结提升】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 4．（2024秋•东西湖区期末）数学家华罗庚曾有一首脍炙人口的数形结合诗：“数形本是相依偎，焉能分作两边飞，数无形时少直观，形缺数时难入微”请用数形结合的思想判断方程的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个实数根 C．有三个实数根 D．有四个实数根 【思路引领】在同一坐标系中画出函数y1＝|x2﹣4x|与函数y2＝||图象，观察图象的交点数即可得出答案． 【完整解答】解：令y1＝|x2﹣4x|，y2＝||， 列表： 画图象： 由图象可知：函数y1＝|x2﹣4x|与函数y2＝||图象有4个交点，即断方程有4个实数根； 故选：D． 【总结提升】本题考查了画反比例函数和二次函数图象，绝对值的性质，利用图象交点判断方程的根的情况等，运用数形结合思想是解题关键． （2）利用判别式求字母系数的值或取值范围 5．（2024秋•东台市期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1 【思路引领】根据Δ＜0，构建不等式求解． 【完整解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2﹣m＝0没有实数根， ∴Δ＜0， ∴4﹣4（2﹣m）＜0， ∴4﹣8+4m＜0， ∴4m＜4， ∴m＜1． 故选：C． 【总结提升】本题考查根的判别式，解题的关键是理解题意，学会构建不等式求解． 6．（2024秋•番禺区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＞1且k≠2　． 【思路引领】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0，求出k的取值范围即可． 【完整解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0， 解得：k＞1且k≠2， 故答案为：k＞1且k≠2． 【总结提升】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键． 7．（2024秋•蜀山区校级期末）（1）一元二次方程x2﹣x﹣6＝0在﹣2≤x≤2范围内有　1　个根； （2）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3m﹣3＝0在﹣2≤x≤2范围内有且只有一个根，则m的取值范围为　m≤1或m＝﹣6+2．　． 【思路引领】（1）解一元二次方程x2﹣x﹣6＝0，即可判断在﹣2≤x≤2范围内有多少个根； （2）根据根的判别式的意义得Δ＝0，即m2+12m+12＝0，解得m＝﹣6±2，再根据题意分别解两不等式组，从而得到m取值范围． 【完整解答】解：（1）x2﹣x﹣6＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， ∴x﹣3＝0或x+2＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2， 在﹣2≤x≤2范围内有1个根， 故答案为：1； （2）x2﹣mx﹣3（m+1）＝0，Δ＝m2﹣4（﹣3m﹣3）＝0，即m2+12m+12＝0， 解得m＝﹣6±2， ∵此时﹣22， ∴﹣4≤m≤4， ∴m＝﹣6+2， ∵方程在﹣2＜x＜2的范围内有实数根， ∴或， 解第一个 得不等式组无解， 解或，得m≤1， ∴m取值范围为m≤1或m＝﹣6+2． 故答案为：m≤1或m＝﹣6±2． 【总结提升】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，根据题意得到关于m的方程和不等式组是解题的关键． 8．（2024秋•崇明区期末）已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 【思路引领】（1）根据Δ＝3，构建方程求解； （2）根据m≠0且Δ≥0，构建不等式求解． 【完整解答】解：（1）∵Δ＝3， ∴9m2﹣6m+1﹣9m2+4m ＝﹣2m+1＝3， ∴m＝﹣1； （2）由题意得：m≠0且Δ≥0， m≠0且﹣2m+1≥0， m≠0且， ∴m的取值范围是：m≠0且． 【总结提升】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． （3）根据字母系数判断方程根的情况 9．（2023•玉屏县模拟）在平面直角坐标系中，若直线y＝2x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数根的个数为（　　） A．0个 B．0或1个 C．2个 D．1或2个 【思路引领】先根据一次函数的性质得到a≤0，再计算根的判别式的意义得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【完整解答】解：∵直线y＝2x+a不经过第二象限， ∴a≤0， ∴Δ＝22﹣4a＝4﹣4a＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，方程ax2+2x+1＝0为2x+1＝0，实数根的个数为1个． 故选：D． 【总结提升】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质． 10．（2024春•北仑区校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0两个不相等的实数根；其中正确的是（　　） A．②③④ B．①③④ C．②③ D．①② 【思路引领】由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根得到ac2+bc+c＝0，只有c≠0时由ac+b+1＝0，则可对①进行判断；由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根得到Δ＝﹣4ac＞0，则可判断Δ＝b2﹣4ac＞0，于是可对②进行判断；计算出根的判别式，再利用求根公式解方程可对③进行判断；利用b＝2a+3c计算根的判别式得到Δ＝4（a+c）2+5c2＞0，则根据根的判别式的意义可对④进行判断． 【完整解答】解：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，当c≠0时，ac+b+1＝0，所以①错误； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则Δ＝﹣4ac＞0， 因为方程ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， 所以方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，所以②正确； ③若a﹣b+c＝0时，则b＝a+c，则Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2， ， 解得，x2＝﹣1，所以③正确； ④若b＝2a+3c，则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4a2+8ac+9c2＝4（a+c）2+5c2＞0，所以一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：A． 【总结提升】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 类型二 根与系数关系的应用 （1）利用根与系数关系求代数式的值 11．（2024秋•郯城县期中）设方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么αβ﹣α﹣β的值等于 　﹣3　． 【思路引领】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【完整解答】解：由题知， 因为方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β， 所以α+β＝1，αβ＝﹣2， 所以αβ﹣α﹣β＝αβ﹣（α+β）＝﹣2﹣1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【总结提升】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12．（2024•单县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则代数式m2+3m+n的值等于（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【思路引领】根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到m2+2m＝2026，m+n＝﹣2，再把原式变形为（m2+2m）+（m+n），由此代值计算即可． 【完整解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根， ∴m2+2m﹣2026＝0，m+n＝﹣2， ∴m2+2m＝2026， ∴m2+3m+n ＝（m2+2m）+（2m+2n） ＝（m2+2m）+（m+n） ＝2026+（﹣2） ＝2024， 故选：C． 【总结提升】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为（m2+2m）+（m+n）是解题的关键． 13．（2024•九原区四模）已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【思路引领】先利用根与系数的关系得α+β＝﹣2，αβ＝﹣9，再利用通分和完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【完整解答】解：根据根与系数的关系得α+β＝﹣2，αβ＝﹣9， 所以． 故选：A． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 14．（2024秋•闵行区期中）设x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，有，请你根据以上材料解决问题：已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3m2+3n﹣mn的值等于 　7　． 【思路引领】根据根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣1，根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣m﹣1＝0，进而得到m2＝m+1，再把所求式子变形为3（m+1）+3n﹣mn，进一步变形为3（m+n）﹣mn+3，据此代值计算即可． 【完整解答】解：由题意得，m+n＝1，mn＝﹣1，m2﹣m﹣1＝0， ∴m2＝m+1， ∴原式＝3（m+1）+3n﹣mn ＝3（m+n）﹣mn+3 ＝3×1﹣（﹣1）+3 ＝7， 故答案为：7． 【总结提升】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识点是关键． （2）利用根与系数关系求字母系数的值或取值范围 15．（2024•江阳区模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣1＝0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）＝3，则m的值等于 　0　． 【思路引领】先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣1，再利用（x1+2）（x2+2）＝3得到x1x2+2（x1+x2）+4＝3，所以﹣1﹣2m+4＝3，然后解m的方程即可． 【完整解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣1， ∵（x1+2）（x2+2）＝3， ∴x1x2+2（x1+x2）+4＝3， 即﹣1﹣2m+4＝3， 解得m＝0． 故答案为：0． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 16．（2023•紫金县三模）a、b为两个不等实数，，则（a﹣1）（b﹣1）的值等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【思路引领】根据题意得：a，b是方程x1的两个根，即：x2﹣x﹣1＝0，根据根与系数的关系得到a+b＝1，ab＝﹣1，代入代数式求值即可． 【完整解答】解：根据题意得：a，b是方程x1的两个根， 即：x2﹣x﹣1＝0， ∴a+b＝1，ab＝﹣1， ∴原式＝ab﹣（a+b）+1 ＝﹣1﹣1+1 ＝﹣1． 故选：A． 【总结提升】本题考查根与系数的关系，掌握若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解题的关键． 17．（2024秋•清新区期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则，.这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】 一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　； （2）【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1、x2，满足x1+x2＝2x1x2+5，求k的值． （3）【思维拓展】已知实数m，n，满足3m2+6m﹣5＝0，3n2+6n﹣5＝0，且m≠n，求的值． 【思路引领】（1）根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，用k表示x1+x2，x1x2，再建立关于k的方程即可解决问题． （3）将m，n看成方程3x2+6x﹣5＝0的两个根，再结合一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【完整解答】解：（1）由题知， 因为一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2， 所以． 故答案为：． （2）因为所给方程的两个实数根为x1、x2， 所以． 又因为x1+x2＝2x1x2+5， 所以2k+1＝2（）+5， 解得k1＝0，k2＝2， 所以k的值为0或2． （3）由题知， m，n可看成方程3x2+6x﹣5＝0的两个根， 所以m+n，mn， 所以． 【总结提升】本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 18．（2024秋•南宁期末）小州与小冬在解方程x2+bx+c＝0时，小州写错了常数项，得到方程的两个根是2和﹣4，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是﹣1和3，则b与c的值分别是（　　） A．b＝2，c＝﹣8 B．b＝2，c＝﹣3 C．b＝﹣2，c＝8 D．b＝2，c＝3 【思路引领】利用根与系数关系构建方程组求解． 【完整解答】解：由题意， ∴b＝2，c＝﹣3． 故选：B． 【总结提升】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决问题． 19．（2024秋•贵州期末）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2＝0的两个实数根是x1，x2，且x1＝2x2，则m的值是（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D．1 【思路引领】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，x1•x2＝m+2，再根据x1＝2x2，求出x1＝﹣2，x2＝﹣1，即可求解． 【完整解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝m+2， ∵x1＝2x2， ∴2x2+x2＝﹣3， 解得：x2＝﹣1， ∴x1＝2x2＝﹣2， ∴（﹣2）×（﹣1）＝m+2， 解得：m＝0， 故选：A． 【总结提升】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 20．（2024秋•榆中县期末）若x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0的两根，且x1x2＝﹣3，则k的值为 　2　． 【思路引领】由x1x2＝﹣3，利用根与系数的关系，即可求出k的值． 【完整解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0的两根，且x1x2＝﹣3， ∴﹣k﹣1＝﹣3， ∴k＝2． 故答案为：2． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 21．（2024秋•让胡路区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣5＝0的两个实数根的平方和等于44，则m的值是　1　． 【思路引领】先根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根据根的判别式判断即可． 【完整解答】解：设方程的两个实数根为x1，x2， 则， ∴， 令2m2+16m+26＝44，即m2+8m﹣9＝0， 解得：m1＝1，m2＝﹣9， 由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝16m+36≥0， 即：， 综上所述：m＝1． 故答案为：1． 【总结提升】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，． 22．（2024秋•平远县期末）已知是关于x的一元二次方程的两个根，则a的值为 　1　． 【思路引领】利用根与系数的关系得到，然后解关于a的方程即可． 【完整解答】解：根据根与系数的关系得， 解得a＝1， 故答案为：1． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 类型三 一元二次的判别式及根与系数关系的综合应用 23．（2024秋•盐城期末）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若两根x1，x2满足，求k的值． 【思路引领】（1）两个不相等的实根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据根与系数的关系可知x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣k，代入得到关于k的一元二次方程，求解即可． 【完整解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴Δ＝12﹣4×1×（﹣k）＞0， 解得：； （2）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣k， ∵， ∴﹣k﹣2×（﹣1）＝k2， 整理得，k2+k﹣2＝0， ∴（k﹣1）（k+2）＝0， k﹣1＝0或k+2＝0， 解得k1＝1，k2＝﹣2（舍去）． 【总结提升】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，因式分解法求一元二次方程，理解并掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 24．（2024秋•浦东新区期末）已知关于x的方程x2+2（k﹣2）x﹣6k＝0．若x＝2是此方程的一根，求k的值及方程的另一根． 【思路引领】先把方程的根代入方程，可以求出字母系数k值，然后根据根与系数的关系由两根之积可以求出另一个根． 【完整解答】解：把x＝2代入方程有： 4+4（k﹣2）﹣6k＝0， 解得k＝﹣2． ∴x2﹣8x+12＝0 设方程的另一个根是x2，则： 2•x2＝12， 解得x2＝6． ∴k＝﹣2，方程的另一根为6． 【总结提升】本题考查的是一元二次方程的解及根与系数的关系．解答此题的关键是熟知一元二次方程根的定义与及根与系数的关系． 25．（2024秋•廉江市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足x1x2＝6，求a的值． 【思路引领】（1）根据方程有两个的实数根，可知方程的判别式Δ≥0，据此列不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2a﹣1，代入中即可求解． 【完整解答】解：（1）由条件可知Δ≥0，即[﹣（2a﹣1）]2﹣4a2≥0， ∴； （2）由得，， ∴（2a﹣1）2﹣3a2＝6， 解得a1＝﹣1，a2＝5， ∵， ∴a＝﹣1． 【总结提升】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，则有，，掌握该知识点是解答本题的关键． 26．（2024秋•顺德区期末）已知x2﹣2x+m＝0是关于x的一元二次方程． （1）当m＝﹣3时，求方程的解； （2）若x1、x2是方程的两个实数根，且x1•x2+2（x1+x2）＞0，求m的取值范围． 【思路引领】（1）将m＝﹣3代入方程，并对所得方程进行求解即可． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【完整解答】解：（1）将m＝﹣3代入方程得， x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 所以方程的解为x1＝﹣1，x2＝3． （2）因为x1、x2是方程的两个实数根， 所以x1+x2＝2，x1x2＝m． 又因为x1•x2+2（x1+x2）＞0， 所以m+2×2＞0， 解得m＞﹣4． 又因为Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0， 解得m≤1， 所以m的取值范围是：﹣4＜m≤1． 【总结提升】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程﹣公式法，熟知一元二次方程根与系数的关系及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 27．（2024秋•扬州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长，当这个矩形的对角线长为5时，求m的值． 【思路引领】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣1）2，则Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）设矩形的两邻边长为a、b，利用根与系数的关系得a+b＝m+5＞0，ab＝3m+6＞0，再根据勾股定理得到a2+b2＝25，则（a+b）2﹣2ab＝25，所以（m+5）2﹣2（3m+6）＝25，然后解方程得到满足条件的m的值． 【完整解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4（3m+6） ＝m2﹣2m+1 ＝（m﹣1）2≥0， ∴不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）设矩形的两邻边长为a、b， 根据根与系数的关系得a+b＝m+5＞0，ab＝3m+6＞0， ∵a2+b2＝25， ∴（a+b）2﹣2ab＝25， 即（m+5）2﹣2（3m+6）＝25， 整理得m2+4m﹣12＝0， 解得m1＝﹣6（舍去），m2＝2， ∴m的值为2． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式和矩形的性质． 28．（2024秋•广州期末）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 【思路引领】（1）根据一元二次方程有实数根得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝k+1，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【完整解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0， ∴k≤3； （2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1， ∵4， ∴， ∴， ∴k1＝5，k2＝﹣3， 又k≤3， ∴k＝﹣3， 经检验k＝﹣3是分式方程的解． 所以k＝﹣3． 【总结提升】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 29．（2024秋•西城区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根比另一个根大3，求m的值． 【思路引领】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝m2，则Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）设方程的两根分别为t，t+3，利用根与系数的关系得t+t+3＝m+4，t（t+3）＝2m+4，先消去m得到t2+3t＝2（2t﹣1）+4，解得t1＝﹣1，t2＝2，然后计算m的值． 【完整解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×（2m+4） ＝m2+8m+16﹣8m﹣16 ＝m2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设方程的两根分别为t，t+3， 根据根与系数的关系得t+t+3＝m+4，t（t+3）＝2m+4， ∴m＝2t﹣1 t2+3t＝2（2t﹣1）+4， 整理得t2﹣t﹣2＝0， 解得t1＝﹣1，t2＝2， 当t＝﹣1时，m＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3； 当t＝2时，m＝2×2﹣1＝3， 综上所述，m的值为±3． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根与系数的关系． 30．（2024秋•新吴区期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且 ，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程x2+14x+33＝0 　是　“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2＝﹣121，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围． 【思路引领】（1）解方程x2+14x+33＝0得x1＝﹣11，x2＝﹣3，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（k+9）＜0，x1x2＝k2+8＞0，则利用11x1+11x2+x1x2＝﹣121得到﹣11（k+9）+k2+8＝﹣121，解方程得k1＝5，k2＝6，当k＝5时，方程x2+14x+33＝0为“限根方程”；当k＝6时，方程x2+15x+44＝0不是“限根方程“，所以k的值为5； （3）先解方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0得x1＝m，x2＝﹣1，根据“限根方程”的定义，当m＜﹣1时，34或当﹣1＜m＜0时，34，然后据诶分别解不等式组得到m的取值范围． 【完整解答】解：（1）x2+14x+33＝0， （x+11）（x+3）＝0， x+11＝0或x+3＝0， 解得x1＝﹣11，x2＝﹣3， ∵﹣11＜﹣3＜0，34， ∴一元二次方程x2+14x+33＝0是“限根方程“； 故答案为：是； （2）根据题意得x1+x2＝﹣（k+9）＜0，x1x2＝k2+8＞0， ∵11x1+11x2+x1x2＝﹣121， ∴11（x1+x2）+x1x2＝﹣121， ∴﹣11（k+9）+k2+8＝﹣121， 整理得k2﹣11k+3＝0， 解得k1＝5，k2＝6， 当k＝5时，原方程化为x2+14x+33＝0，此方程为“限根方程”； 当k＝6时，原方程化为x2+15x+44＝0，解得x1＝﹣11，x2＝﹣5， ∵﹣11＜﹣4＜0，3， ∴一元二次方程x2+15x+44＝0不是“限根方程“； 综上所述，k的值为5； （3）解方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0得x1＝m，x2＝﹣1， 关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”， 当m＜﹣1时，34， 解得﹣4＜m＜﹣3； 当﹣1＜m＜0时，34， 解得m， 综上所述，m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3或m． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了解一元二次方程． 31．（2024秋•西华县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3|m|＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【思路引领】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，得出α+β＝2，再结合 α+2β＝5即可解决问题． 【完整解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3|m|）＝4+12|m|， 又∵|m|≥0， ∴4+12|m|≥4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由题知， ∵方程的两个实数根分别为α，β， ∴α+β＝2． 又∵α+2β＝5， ∴β＝3， 将β＝3代入方程得， 9﹣6﹣3|m|＝0， 解得m＝±1． 【总结提升】本题主要考查了根与系数的关系、绝对值及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及绝对值的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$