专题06 二元一次方程组应用的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北京版2024）

专题06 二元一次方程组应用的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、应用二元一次方程组之分配问题 1 类型二、应用二元一次方程组之方案问题 3 类型三、应用二元一次方程组之销售、利润问题 7 类型四、应用二元一次方程组之图表问题 9 类型五、二元一次方程组与不等式的综合应用问题 14 类型六、二元一次方程组与不等式组的综合应用问题 16 压轴能力测评（15题） 20 解题知识必备 1. 分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 压轴题型讲练 类型一、应用二元一次方程组之分配问题 例题：（23-24七年级·全国·课后作业）某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【变式训练1】（2023·吉林白山·一模）在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【变式训练2】（22-23八年级上·贵州毕节·期末）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ 类型二、应用二元一次方程组之方案问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【变式训练】 1.（24-25八年级上·山东德州·开学考试）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【变式训练】 2.（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 类型三、应用二元一次方程组之销售、利润问题 例题：（22-23八年级下·辽宁本溪·开学考试）某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表： 冰墩墩 雪容融 进价（元/个） 120 70 标价（元/个） 160 100 (1)求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个? (2)如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那么商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利多少元? 【变式训练】 1.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 2.（24-25八年级上·福建福州·开学考试）古田水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点．当季是水蜜桃成熟的季节，市场上水蜜桃的销量也与日俱增，某水蜜桃种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的水蜜桃，对总计1000斤的水蜜桃进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：礼盒装每箱8斤，售价100元；简易装每箱18斤，售价180元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水蜜桃（箱数为整数且两种方式至少各有一箱）． (1)若这批水蜜桃全部售完，销售总收入10700元，请问礼盒装共包装了多少箱，简易装共包装了多少箱？ (2)若水蜜桃种植大户留下箱礼盒装水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，应该如何分配两种打包方式才能使销售总收入达到11420元，求此时a的值． 类型四、应用二元一次方程组之图表问题 例题：（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 2.（23-24七年级下·全国·课后作业）某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表： 需甲种材料 需乙种材料 1件A型工艺品 1件B型工艺品 (1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？ (2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？ 3.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． (3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 类型五、二元一次方程组与不等式的综合应用问题 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）小丽利用暑假进行勤工俭学，摆摊销售A、B两种商品，其进价和售价如下表： 进价/元 售价/元 A 2 3.5 B 2.5 4.5 (1)小丽第一次用350元购进A、B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A、B两种商品各多少件？ (2)若小丽第二次共购进A、B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？ 【变式训练】 1．（2025年江西省中考模拟预测数学试题）近年来，江西省委、省政府十分重视生态环境保护，某公交公司为落实省委，省政府的政策要求，计划购买型和型两种型号的新能源公交车若干辆，若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需340万元；若购买型公交车3辆，型公交车4辆，共需820万元． (1)求购买型和型公交车每辆各需多少万元？（用二元一次方程解答） (2)若该公交公司购买型和型公交车的总费用不超过1640万元，共购买14辆，则该公交公司哪种购买型车的量最少？这种购车方案应花费多少钱呢？ 2．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）2023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元． (1)该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？ (2)该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下： 甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件； 乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折． 若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？ 类型六、二元一次方程组与不等式组的综合应用问题 例题：（22-23七年级下·湖南湘西·期末）中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【变式训练】 1．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）为保持空气质量的良好率，降低空气污染，昆明某公交公司决定更换节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种新能源公交车，其中每台的价格，年载客量如下表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)现准备计划购买型和型两种新能源公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）李庄古镇随着宜宾文旅的火爆“出圈”，已成为宜宾一大文旅IP．在今年“五一”假期5天时间里，古镇共迎来万游客．颇具古镇特色的“李庄三白”（李庄白肉，李庄白酒，李庄白糕）备受游客青睐，其中具有不同口味的李庄白糕备受美食爱好者喜爱．某特色专卖店将不同口味的李庄白糕包装成A，B两种礼品盒售卖．已知3件A类礼品盒和4件B类礼品盒的成本需要310元；5件A类礼品盒和8件B类礼品盒的成本需要570元． (1)求一件A类礼品盒和一件B类礼品盒的成本价分别是多少元？ (2)已知A类礼品盒的销售单价为70元，B类礼品盒的销售单价为50元．该特色店计划在五一期间，每天包装A、B两类礼品盒共100件，要使每天成本总费用不超过4250元，且销售总额超过5440元，该特色店有几种包装方案？那种方案的总利润最高？总利润量高是多少钱？ 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何?”意思是现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）某工厂有26名工人，一个工人每天可加800个螺栓或1000个螺帽，1个螺栓与2个螺帽配套．现要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余．若设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在周长为的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）鸡兔同笼问题为：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设笼中有鸡只，兔只，根据以上信息，请列出方程组 ． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）从北京到张家口若乘高铁，所用时间约为；若乘坐京张铁路（詹天佑主持修建的我国第一条铁路）的直达列车，所用时间约为．已知直达列车的平均时速比高铁慢，京张铁路比京张高铁全长多，设京张铁路全长，京张高铁全长，根据题意，可列方程组为 ． 6．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 三、解答题 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子． (1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子； (2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？ 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学为落实教育部出台的《关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》，保障学生每天在校内，校外各有1个小时的体育活动时间，决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买1个篮球和2个足球需花费260元，购买3个篮球和5个足球需花费700元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用为2000元，且至少购买足球15个，那么最多购买多少个篮球？ 10．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个种徽章需元；购买4个A种徽章和5个种徽章需元． (1)每个A种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、两种徽章共个，已知购进的A种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 11．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）为开设艺体素养提升课程，志远学校从商店购买篮球和足球，若购买12个篮球和10个足球共需1220元；购买6个篮球和14个足球共需1060元． (1)篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校去商店购买时，恰逢商店打八折促销，购买这两种球共花费960元，该学校有哪几种购买方案？ 12．（24-25七年级上·广东湛江·期末）列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）北京烤鸭被誉为世界珍味．在某烤鸭公司成立周年庆上，对烤鸭与烤鸭包推出两种优惠方式： 方式一：买1只烤鸭送笼烤鸭包； 方式二：购买烤鸭的数量超过只时，超过的烤鸭与全部烤鸭包打八折． 已知小鑫选择方式一购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元；小杰选择方式二购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元． (1)求烤鸭与烤鸭包的原价； (2)若小杰准备购买只烤鸭，并为每只烤鸭搭配（）笼烤鸭包，则选择哪种购买方式会更划算？ 14．（24-25八年级上·河南郑州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元． (1)问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． (3)在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． 15．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二元一次方程组应用的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、应用二元一次方程组之分配问题 1 类型二、应用二元一次方程组之方案问题 3 类型三、应用二元一次方程组之销售、利润问题 7 类型四、应用二元一次方程组之图表问题 9 类型五、二元一次方程组与不等式的综合应用问题 14 类型六、二元一次方程组与不等式组的综合应用问题 16 压轴能力测评（15题） 20 解题知识必备 1. 分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 压轴题型讲练 类型一、应用二元一次方程组之分配问题 例题：（23-24七年级·全国·课后作业）某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得：， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 【变式训练1】（2023·吉林白山·一模）在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【答案】该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双，根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双． 【变式训练2】（22-23八年级上·贵州毕节·期末）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ 【答案】(1)甲、乙型车分别需要8辆、10辆 (2)乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握建立方程组是解题关键． （1）设需要甲型车a辆，乙型车b辆，根据“120吨物资”和“运费9600元”建立方程组，解方程组即可得； （2）设需要乙型车x辆，丙型车y辆，根据“甲、乙、丙型车共14辆”，“一次运完全部物资”建立关于x，y的方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）设甲、乙型车分别需要a辆、b辆． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆； （2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆， 根据题意得， 解得， 此时总运费为（元）． 答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元． 类型二、应用二元一次方程组之方案问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆 (2)共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设购买A型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为240万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元， 由题意可得， 解得， 答：购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆， 由题意可得， ∴， ∵，，m和n均为整数， ∴或或． 答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·山东德州·开学考试）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元 (2)该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元，根据“1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元， 由题意得：， 解得：， ∴，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元； （2）解：设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆． 【变式训练】 2.（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 (2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆 (3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车4辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元． 类型三、应用二元一次方程组之销售、利润问题 例题：（22-23八年级下·辽宁本溪·开学考试）某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表： 冰墩墩 雪容融 进价（元/个） 120 70 标价（元/个） 160 100 (1)求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个? (2)如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那么商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利多少元? 【答案】(1)该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个. (2)商场将毛绒玩具全部售出后会获利1840元. 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进个，雪容融毛绒玩具购进个，根据某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意列式计算即可． 【详解】（1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进个，雪容融毛绒玩具购进个， 由题意得：， 解得：， 答：该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个； （2）（元， 答：商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利1840元． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 【答案】(1)帽子件，手套件 (2)元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设第一次购买顶帽子，副手套，由题意得，即可求解； （2）设第二次购买了顶帽子，副手套，由题意得：，求出即可求解； 【详解】（1）解：设第一次购买顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， 故：第一学年购买帽子件，手套件 （2）解：设第二次购买了顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， ∴学校需要准备资金：（元） 2.（24-25八年级上·福建福州·开学考试）古田水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点．当季是水蜜桃成熟的季节，市场上水蜜桃的销量也与日俱增，某水蜜桃种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的水蜜桃，对总计1000斤的水蜜桃进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：礼盒装每箱8斤，售价100元；简易装每箱18斤，售价180元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水蜜桃（箱数为整数且两种方式至少各有一箱）． (1)若这批水蜜桃全部售完，销售总收入10700元，请问礼盒装共包装了多少箱，简易装共包装了多少箱？ (2)若水蜜桃种植大户留下箱礼盒装水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，应该如何分配两种打包方式才能使销售总收入达到11420元，求此时a的值． 【答案】(1)礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱； (2)礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解． （1）设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装箱，根据等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装了箱，根据等量关系可得出关于的方程，根据，都是正整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：设礼盒装共包装了箱，简易装共包装了箱，由题意，得： ， 解得：， 答：礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱； （2）解：设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装了箱， 由题意，得：， 解得：， ∵，都是正整数，且， ∴且， ∴， ∵，，都是正整数 ∴， ∴，， 答：礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9． 类型四、应用二元一次方程组之图表问题 例题：（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 【答案】(1)， (2)第三组答对8次 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程解决实际问题． （1）根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设第三组答对n次，根据根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得： （2）解：设第三组答对n次，根据题意，得 ， 解得， 答：第三组答对8次． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【答案】(1)a，b的值分别为800，600 (2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数． 【详解】（1）解：由题意得   解得： ∴a，b的值分别为800，600； （2）由题意得捐款总额为：（元） 设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y； 可得：；整理得：， 即； 又∵x、y均为正整数 ， ∴    ； 即方案一：中学生7人，小学生4人； 方案二：中学生4人，小学生8人； 方案三：中学生1人，小学生12人； 2.（23-24七年级下·全国·课后作业）某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表： 需甲种材料 需乙种材料 1件A型工艺品 1件B型工艺品 (1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？ (2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？ 【答案】(1)制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件 (2)306元，264元 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，另外还涉及有理数混合运算的应用； （1）设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，根据等量关系：两种工艺品所需甲种材料为，两种工艺品所需乙种材料为，列出二元一次方程组，并求解即可； （2）分别计算出制作1件两种型号的工艺品需要的费用，则可计算出制作A，B两种型号的工艺品各需材料费． 【详解】（1）解：设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件， 由题意，得，解得； 答：利用这些材料能制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件． （2）解：制作1件A种型号的工艺品需要（元）， 则制作A种型号的工艺品需材料费（元）； 制作1件B种型号的工艺品需要（元）， 则制作B种型号的工艺品需材料费（元）． 答：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费306元，264元． 3.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． (3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能，理由见解析 (3)见解析 【知识点】二元一次方程的解、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据近2周的销售情况表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）不能实现利润为1200元的目标，设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总利润每台的销售利润销售数量，结合销售完、两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，结合，需为正整数，即可得出不能实现利润为1200元的目标； （3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元． （2）不能实现利润为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 不符合题意，舍去， 即不能实现利润为1200元的目标． （3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 该公司共有3种购买方案， 方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇； 方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇； 方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 类型五、二元一次方程组与不等式的综合应用问题 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）小丽利用暑假进行勤工俭学，摆摊销售A、B两种商品，其进价和售价如下表： 进价/元 售价/元 A 2 3.5 B 2.5 4.5 (1)小丽第一次用350元购进A、B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A、B两种商品各多少件？ (2)若小丽第二次共购进A、B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？ 【答案】(1)第一次购进种商品50件、种商品100件 (2)至少需要购进种商品50件 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设第一次购进种商品件、种商品件，根据第一次购进两种商品的成本、销售完的利润建立方程组，解方程组即可得； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，根据利润不低于400元建立不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：设第一次购进种商品件、种商品件， 由题意得：， 解得， 答：第一次购进种商品50件、种商品100件． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得：， 解得， 答：至少需要购进种商品50件． 【变式训练】 1．（2025年江西省中考模拟预测数学试题）近年来，江西省委、省政府十分重视生态环境保护，某公交公司为落实省委，省政府的政策要求，计划购买型和型两种型号的新能源公交车若干辆，若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需340万元；若购买型公交车3辆，型公交车4辆，共需820万元． (1)求购买型和型公交车每辆各需多少万元？（用二元一次方程解答） (2)若该公交公司购买型和型公交车的总费用不超过1640万元，共购买14辆，则该公交公司哪种购买型车的量最少？这种购车方案应花费多少钱呢？ 【答案】(1)型公交车每辆需108万元，型公交车需124万元 (2)购买型车6辆，型车8辆时购买型车的量最少，应花1640万元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题． （1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需340万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需820万元”可列出二元一次方程组解决问题； （2）设型公交车购买辆，则型公交车购买辆．，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1640万元”可列出不等式组探讨得出答案即可得到购车方案，利用一次函数的性质可求最少总费用． 【详解】（1）解：设型公交车每辆需万元，型公交车需万元． 由题意得：，解得 所以，型公交车每辆需108万元，型公交车需124万元． （2）解：设型公交车购买辆，则型公交车购买辆． 由题意得： 解得： 所以，当时，购买型车的量最少，应花（万元） 答：购买型车6辆，型车8辆时购买型车的量最少，应花1640万元． 2．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）2023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元． (1)该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？ (2)该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下： 甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件； 乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折． 若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？ 【答案】(1)A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元 (2)当时，在甲厂家购买较省钱； 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样； 当时，在乙厂家购买较省钱 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元. 由题意，得，解方程组即可． （2）根据题意，得在甲厂家购买需：（元）； 在乙厂家购买需：，分类计算解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，正确理解题意，建立不等式模型，方程组模型是解题的关键． 【详解】（1）设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元. 由题意，得， 解得， 答：A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元.． （2）解：在甲厂家购买需：（元）； 在乙厂家购买需：（元）. 当在甲厂家购买较省钱时： ，解得， 当时，在甲厂家购买较省钱. 当在甲、乙两个厂家购买花费一样时： ，解得， 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样. 当在乙厂家购买较省钱时： ，解得， 当时，在乙厂家购买较省钱. 综上所述：当时，在甲厂家购买较省钱； 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样； 当时，在乙厂家购买较省钱. 类型六、二元一次方程组与不等式组的综合应用问题 例题：（22-23七年级下·湖南湘西·期末）中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨 (2)第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆；第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆；第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆．大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车辆，根据题意可以列出不等式组，从而可以求得有几种方案，然后求出各方案的费用即可得出结论． 【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，则 ， 解得． 即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨； （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车（）辆，由题意可得， 解得： 故有三种派车方案， 第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆； 第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆； 第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆． 元； 元； 元； ∵ ∴大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）为保持空气质量的良好率，降低空气污染，昆明某公交公司决定更换节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种新能源公交车，其中每台的价格，年载客量如下表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)现准备计划购买型和型两种新能源公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少． 【答案】(1)， (2)购买型公交车8辆，型公交车2辆 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，正确列式并准确解答时解题的关键． （1）列出二元一次方程组计算即可． （2）设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，列出不等式组计算出方案，根据利润计算法计算利润，比较大小即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为，的值为150； （2）解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆， 依题意得：， 解得：． 又∵为整数， ∴可以为，，． 当时，，购买总费用为（万元）； 当时，，购买总费用为（万元）； 当时，，购买总费用为（万元）． 答：总费用最少的购买方案为：购买型公交车8辆，型公交车2辆． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）李庄古镇随着宜宾文旅的火爆“出圈”，已成为宜宾一大文旅IP．在今年“五一”假期5天时间里，古镇共迎来万游客．颇具古镇特色的“李庄三白”（李庄白肉，李庄白酒，李庄白糕）备受游客青睐，其中具有不同口味的李庄白糕备受美食爱好者喜爱．某特色专卖店将不同口味的李庄白糕包装成A，B两种礼品盒售卖．已知3件A类礼品盒和4件B类礼品盒的成本需要310元；5件A类礼品盒和8件B类礼品盒的成本需要570元． (1)求一件A类礼品盒和一件B类礼品盒的成本价分别是多少元？ (2)已知A类礼品盒的销售单价为70元，B类礼品盒的销售单价为50元．该特色店计划在五一期间，每天包装A、B两类礼品盒共100件，要使每天成本总费用不超过4250元，且销售总额超过5440元，该特色店有几种包装方案？那种方案的总利润最高？总利润量高是多少钱？ 【答案】(1)一件A类礼品盒成本价为50元，一件B类礼品盒的成本价是40元 (2)共有三种包装方案；当每天包装A类礼品盒25件，每天包装B类礼品盒75件时，其利润最高；最高利润为1250元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，准确理解题意，正确列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）设一件A类礼品盒成本价为x元，一件B类礼品盒的成本价是y元，根据等量关系：3件A类礼品盒和4件B类礼品盒的成本需要310元；5件A类礼品盒和8件B类礼品盒的成本需要570元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设每天包装A类礼品盒m件，则每天包装B类礼品盒件，根据：每天成本总费用不超过4250元，且销售总额超过5440元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可求得方案数；再求出每种方案的总利润并比较即可． 【详解】（1）解：设一件A类礼品盒成本价为x元，一件B类礼品盒的成本价是y元， 由题意，得：， 解得：； 答：一件A类礼品盒成本价为50元，一件B类礼品盒的成本价是40元； （2）解：设每天包装A类礼品盒m件，则每天包装B类礼品盒件， 由题意，得：， 解不等式组得：； 由于m为正整数，所以m取23，24，25； 故共有三种包装方案： 第一种方案：每天包装A类礼品盒23件，每天包装B类礼品盒77件； 此时总利润为：（元）； 第二种方案：每天包装A类礼品盒24件，每天包装B类礼品盒76件； 此时总利润为：（元）； 第三种方案：每天包装A类礼品盒25件，每天包装B类礼品盒75件； 此时总利润为：（元）； 由上知，第三种方案：每天包装A类礼品盒25件，每天包装B类礼品盒75件时，其利润最高，最高利润为1250元． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何?”意思是现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，能读懂题意，并根据题意正确列等量关系是解决问题的关键．由“共换了斗酒”和“一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，共拿斗谷子”分别列式即可得． 【详解】解：设清酒斗，醑酒斗， 由“共换了斗酒”得， 由“一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，共拿斗谷子”得， 故得方程组：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）某工厂有26名工人，一个工人每天可加800个螺栓或1000个螺帽，1个螺栓与2个螺帽配套．现要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余．若设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．根据“工厂现有26个工人”和“1个螺栓与2个螺帽配套，每天做的螺杆和螺母完整配套且没有剩余”分别列二元一次方程即可． 【详解】解：设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽， 根据“工厂现有26个工人”可得：， 根据“1个螺栓与2个螺帽配套，每天做的螺杆和螺母完整配套且没有剩余”可得：，即， 因此列二元一次方程组为：． 故选A． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在周长为的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用。设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴图中阴影部分面积． 故选：A． 二、填空题 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）鸡兔同笼问题为：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设笼中有鸡只，兔只，根据以上信息，请列出方程组 ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 根据实际可知，鸡有两条腿，兔子有四条腿，再根据有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，即可列出相应的方程组． 【详解】解，设鸡只，兔只，则可列方程组为， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）从北京到张家口若乘高铁，所用时间约为；若乘坐京张铁路（詹天佑主持修建的我国第一条铁路）的直达列车，所用时间约为．已知直达列车的平均时速比高铁慢，京张铁路比京张高铁全长多，设京张铁路全长，京张高铁全长，根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．根据“京张铁路比京张高铁全长多”得，根据“直达列车的平均时速比高铁慢”得，得出方程组即可． 【详解】解：设京张铁路全长，京张高铁全长，根据题意，得 ． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为：0． 三、解答题 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量． 【答案】黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设黄金每枚重x两，白银每枚重y两，根据甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），再建立方程组求解即可． 【详解】解：设黄金每枚重x两，白银每枚重y两， 根据题意，得 解得 ∴丙袋的重量为（两）． 答：黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子． (1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子； (2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？ 【答案】(1)甲组每天加工200袋粽子，乙组每天加工150袋粽子 (2)4天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用． （1）设甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子，甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子．据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设甲组需要加工天，则乙组加工天．这份粽子订单为袋，据此列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子， 根据题意，得 解得 答：甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子． （2）设甲组需要加工天，则乙组加工天． 根据题意，得， 解得． 答：甲组需要加工4天． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学为落实教育部出台的《关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》，保障学生每天在校内，校外各有1个小时的体育活动时间，决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买1个篮球和2个足球需花费260元，购买3个篮球和5个足球需花费700元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用为2000元，且至少购买足球15个，那么最多购买多少个篮球？ 【答案】(1)一个篮球100元，一个足球80元 (2)8个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用（其他问题），一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程组或不等式是解题的关键． （1）设购买一个篮球需花费元，一个足球需花费元，由题意可得二元一次方程组，解方程组即可求出答案； （2）设购买个篮球，由题意可得一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设购买一个篮球需花费元，一个足球需花费元， 由题意，得： ， 解得：， 答：购买一个篮球需花费100元，一个足球需花费80元； （2）解：设购买个篮球， 由题意，得：， 解得：， 答：该校此次最多购买8个篮球． 10．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个种徽章需元；购买4个A种徽章和5个种徽章需元． (1)每个A种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、两种徽章共个，已知购进的A种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 【答案】(1)每个A种徽章的价格为元，每个B种徽章的价格为元 (2)购进A种徽章的个数是 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组应用，理解题意并列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格分别为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A种徽章的个数是． 11．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）为开设艺体素养提升课程，志远学校从商店购买篮球和足球，若购买12个篮球和10个足球共需1220元；购买6个篮球和14个足球共需1060元． (1)篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校去商店购买时，恰逢商店打八折促销，购买这两种球共花费960元，该学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价是60元，足球的单价是50元 (2)见解析 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． （1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买12个篮球和10个足球共需1220元；购买6个篮球和14个足球共需1060元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个篮球，n个足球，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：篮球的单价是60元，足球的单价是50元； （2）解：设购买m个篮球，n个足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴该学校共有3种购买方案， 方案1：购买15个篮球，6个足球； 方案2：购买10个篮球，12个足球； 方案3：购买5个篮球，18个足球． 12．（24-25七年级上·广东湛江·期末）列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【答案】(1)名工人 (2)应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人”进行列式，得，可解得答案； （2）设名工人生产桌子，由“张桌子配把椅子”进行列式，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， 答：调入名工人； （2）解：由（1）知，调入名工人后，车间有工人（人）， 设名工人生产桌子，则名工人生产椅子， ∵每天组装的桌椅刚好配套， ∴， 解得：， ∴， 答：应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）北京烤鸭被誉为世界珍味．在某烤鸭公司成立周年庆上，对烤鸭与烤鸭包推出两种优惠方式： 方式一：买1只烤鸭送笼烤鸭包； 方式二：购买烤鸭的数量超过只时，超过的烤鸭与全部烤鸭包打八折． 已知小鑫选择方式一购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元；小杰选择方式二购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元． (1)求烤鸭与烤鸭包的原价； (2)若小杰准备购买只烤鸭，并为每只烤鸭搭配（）笼烤鸭包，则选择哪种购买方式会更划算？ 【答案】(1)烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼； (2)见解析． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、方案选择、一元一次不等式的应用．解决本题的关键是根据不同的购买方式列不等式． 设烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼，根据小鑫和小杰的购买方式和费用列二元一次方程组，解方程组求出烤鸭和烤鸭包的单价； 分别用含的代数式表示出两种购买方式所需的费用，如果按照方式一购买划算，可得不等式；如果按照方式二购买划算，可得不等式；如果两种购买方式所需费用相同，则可得方程，解不等式可以确定当购买不同数量的烤鸭时选用哪种方式更划算． 【详解】（1）解：设烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼， 根据题意得：， 解得：， 答：烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼； （2）解：方式一的费用为元， 方式二的费用为元． 当，解得．选择方式一的购买方式更划算； 当，解得时，选择方式二的购买方式更划算； 当，解得时，两种购买方式一样划算． 答：当为每只烤鸭搭配烤鸭包数量为笼时，两种购买方式一样划算； 当为每只烤鸭搭配的烤鸭包数量小于笼时，选择方式一更划算； 当为每只烤鸭搭配的烤鸭包数量大于笼时，选择方式二更划算． 14．（24-25八年级上·河南郑州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元． (1)问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． (3)在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． 【答案】(1)每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元 (2)共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆 (3)方案一获得利润最大，最大利润为万元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程根的计算，理解数量关系，正确列式计算是解题的关键． （1）设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买型车辆，购买型车辆，由此列式，代值计算即可求解； （3）根据利润的计算，进行比价即可求解． 【详解】（1）解：设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元， ∴， 解得，， ∴每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元； （2）解：设购买型车辆，购买型车辆， ∴， ∴， ∴是的倍数，且是正整数， 当时，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆； （3）解：方案一：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； 方案二：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； 方案三：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； ∵， ∴方案一获得利润最大，最大利润为万元． 15．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的分配问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$