专题04 二元一次方程组的解法的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北京版2024）

专题04 二元一次方程组的解法的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二元一次方程的整数解 2 类型二、代入消元法解二元一次方程组 3 类型三、加减消元法解二元一次方程组 6 类型四、二元一次方程组的错解复原问题 9 类型五、构造二元一次方程组求解 12 类型六、二元一次方程组的特殊解法 13 压轴能力测评（15题） 16 解题知识必备 1. 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 2. 加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 压轴题型讲练 类型一、二元一次方程的整数解 例题：（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）写出方程 的一组整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能熟记二元一次方程的解的定义是解此题的关键，满足一个二次一次方程的一对未知数的值叫这个二元一次方程的解． 对式子进行变形将x看作已知数求出y，即可求解． 【详解】解：方程 ， 整理得：， 当时，， 则方程的一组整数解为： 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练1】（23-24七年级下·山东泰安·期中）方程的正整数解有 个． 【答案】2 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了解二元一次方程和二元一次方程的解，能理解二次一次方程的解的定义是解此题的关键．先根据等式的性质进行变形得出，再求出正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 即方程的正整数解有，，共2组， 故答案为：2． 【变式训练2】（22-23七年级下·湖南衡阳·阶段练习）方程的正整数解为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】根据二元一次方程取正整数解，可确定x、y的范围，即可求解． 【详解】解：当二元一次方程取正整数解时， ∴，解得， ∴当时，， 解得， ∴二元一次方程的正整数解是：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的求解，明确取值范围是解题的关键. 【变式训练3】（22-23七年级下·山东滨州·期末）请写出方程的所有正整数解 ． 【答案】， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】将x看作已知数求出y，即可确定出方程的正整数解． 【详解】解：方程， 解得， 当时，；当时，， 则方程的正整数解为，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 类型二、代入消元法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组： 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组（代入消元法），熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：， 把代入，得：， 方程组的解是：． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·期末）用代入法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1） 解：（1）， 把①代入②得：， 去括号得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2） 解： ， 由①得：③， 把③代入②得：， 去分母得：， 移项合并得：，即， 把代入③得：， 则方程组的解为． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键． （1）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案； （2）把②代入①，得，解得，进而求得即可得到答案； （3）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案． 【详解】（1）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 将代入③，得 方程组的解为． （2）解： 把②代入①，得 解得： 把代入②，得 方程组的解为． （3）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 把代入③，得 方程组的解为． 类型三、加减消元法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）解二元一次方程方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法：加减消元法和代入消元法． （1）方程组由得，，再求解即可； （2）方程组由得：解得，，再求解即可． 【详解】（1）解： ， 得，， 把代入①得，， 解得，， ∴方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得，， 把代入①得，， 解得，， 所以，方程组的解为． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据加减消元法可进行求解； （2）根据加减消元法可进行求解 【详解】（1）解：将①化简，得．③ ，得，解得． 将代入②，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：，得．③ ，得．④ ，得．⑤ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解是 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）消去，用加减消元法求解即可； （2）先化简，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：，得，③ ，得， 解得． 把号代入①，得， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组化简，得 ，得， 解得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为： 类型四、二元一次方程组的错解复原问题 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）解方程组： 解：解法一：由①，得．③ 将③代入①，得，即， 所以原方程组无解． 解法二：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得． 上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程． 【答案】上面的两种解答均不正确，理由和过程见解析 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式．根据二元一次方程组的解法分析即可． 【详解】解：上面的两种解答均不正确．理由如下： 解法一：犯了循环代入的错误，即③是由①变形得到的，再将其代入①，肯定恒等，应将③代入②． 解法二：最后没有写出方程组的解． 正确的解答过程如下： 由①，得③ 将③代入②，得，解得． 将代入③，得， ∴原方程组的解为． 【变式训练1】（23-24八年级上·山西忻州·期末）下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)一，等式右边没有乘3 (3) 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法与加减消元法是关键． （1）根据加减消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答； （2）根据加减消元法判断即可； （3）根据加减消元法，解二元一次方程组求解． 【详解】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：加减消元；等式的基本性质 （2）第一步开始出现错误，具体错误是等式右边没有乘3， 故答案为：一，等式右边没有乘以3； （3）解方程组: 解：由①，得③ ③②，得， 将代入①， 解得， 所以，原方程组的解为， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①得③………………第一步 ②③得……………第二步 ……………第三步 将代入①得………………第四步 所以，原方程组的解为……………第五步 (1)上述材料中小马同学解二元一次方程组的数学方法是 （填序号即可）； A．公式法      B．换元法      C．代入消元法      D．加减消元法 (2)上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是 （填序号即可）； A．转化思想    B．类比思想    C．分类讨论    D．数形结合 (3)第 步开始出现错误，请你直接写出原方程组的解 ． 【答案】(1)D (2)A (3)二， 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了数学常识和解二元一次方程组，理解数学常识是解题的关键； （1）根据解二元一次方程组的基本方法求解； （2）将“二元”转化为“一元”是转化思想； （3）利用加减消元法解方程． 【详解】（1）解： 小马同学解二元一次方程组的数学方法是加减消元法， 故选：D； （2）解：第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是：转换思想， 故选为：A； （3）解：从第二步开始出现错误， 解方程组： 解：①得③ ②③得 将代入①得 所以，原方程组的解为 故答案为：二，． 类型五、构造二元一次方程组求解 例题：（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）已知单项式和是同类项，则 ， ． 【答案】 /0.5 0 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．根据同类项的定义构建方程组求解即可． 【详解】单项式和是同类项， 可列方程组 解得即的值为，的值为0． 故答案为：，0． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、构造二元一次方程组求解、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 【变式训练2】（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）已知，则等于 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了二次一次方程组的应用、代数式求值等知识，正确建立方程组是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性可得，再解方程组可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 则， 故答案为：1． 类型六、二元一次方程组的特殊解法 例题：（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于，的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式训练1】（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 【变式训练2】（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为 ． 【答案】（2）  （3） 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （2）利用换元法解方程组即可； （3）设，进而得到，求解即可． 【详解】（2）设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （3）原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案． 【详解】解：A.把代入得：，，故该选项符合题意； B. 把代入得：，，故该选项不合题意； C. 把代入得：，故该选项不合题意； D. 把代入得：，故该选项不合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解．用含x的式子表示出y，求出所有的正整数解即可得出答案． 【详解】解：由得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴二元一次方程的正整数解有3组， 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（    ） A．由①得，再代入② B．由①得，再代入② C．由②得，再代入① D．由②得，再代入① 【答案】B 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代入消元法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．观察方程组第一个方程的特点可知，再代入②式，可得到没有分母的方程，最为简便，从而得到答案． 【详解】解：由①得，，再代入②， 得到，这种变形方法最为简便， 故选：B． 4．（24-25八年级上·重庆大足·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】加减消元法、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解方程组， 得到：， 故正确； 由可知， ， ， 又、取整数， 有或或或， 故正确； 对任意有理数都成立， ， ， ， ， 故正确． 正确的有三个． 故选：D ． 二、填空题 5．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知，则 ． 【答案】1 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了利用二元一次方程组求代数式的值，两个方程相加可得，从而可得答案．解题的关键是整体加减，使计算简便． 【详解】解： 由得：，即：， ∴， 故答案为：1． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 【答案】0 【知识点】绝对值非负性、加减消元法 【分析】本题考查的是非负数的性质，二元一次方程组的解法，根据非负数的性质可得，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 7．（2025七年级下·全国·专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则 ． 【答案】7 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，根据题意可得满足方程，满足方程，据此求出a、b的值，再解原方程求出x、y的值即可． 【详解】解：把代入，解得， 把代入，解得， ∴原方程组为 解得， ∴， 故答案为：7． 8．（24-25八年级上·河南郑州·期末）若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 设，则方程组可化为，根据题意得出，即可求出的值． 【详解】解：设，则方程组可化为， 方程组的解为， 方程组的解为， ， ， 方程组的解为， 故答案为： 三、解答题 9．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）将原方程组整理成一般式后，利用代入消元法求解可得； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 原方程组整理得， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 10．（24-25九年级上·重庆·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、代入消元法 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的步骤是解题关键． （1）利用代入消元法解出方程； （2）利用加减消元法解出方程． 【详解】（1）解：， 将②代入①得， 解得：， 把代入②得，， ∴原方程组的解为；． （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 11．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】（）利用加减法解答即可； （）先化简方程组，再利用加减法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组化简得，， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）运用适当的方法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解此题的关键． （1）先将方程组进行整理，再利用加减消元法计算即可得解； （2）先将方程组进行整理，再利用加减消元法计算即可得解． 【详解】（1）解：方程组整理，得， ，得， 即． 将代入①，得， 即， 则方程组的解为； （2）解：方程组整理，得 ，得， 即． 将代入①，得， 则方程组的解为． 13．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由①，得③．…………第一步 将③代入②，得，第二步 解得．…………第三步 将代入①，得，………………第四步 原方程组的解为………………第五步 任务： (1)这种解二元一次方程组的方法叫作_____，以上求解步骤中，小权同学从第_____步开始出现错误． (2)请用加减消元法写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)代入消元法，一 (2)，过程见解析 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）根据代入消元法的步骤进行判断即可； （2）得，，把代入①得，，解得，即可得到方程组的解． 【详解】（1）解：这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，以上求解步骤中，小权同学从第一步开始出现错误， 故答案为：代入消元法，一 （2） 得，， 把代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为 14．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求a，b的值． 【答案】，． 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组．根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解． 【详解】解：∵和的解相同， ∴，解得：， 将代入中，得：， 解得：． ∴，． 15．（24-25七年级上·广西贵港·期末）在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组； （1）设，，则方程组可化为，再进一步解方程组即可； （2）设，，则方程组可化为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：的解为， 的解为， 设，， 则方程组可变为：， ，解得：． （2）解：设，， 则可变为：， 的解为， 的解为， 即， 解得： 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组的解法的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二元一次方程的整数解 2 类型二、代入消元法解二元一次方程组 3 类型三、加减消元法解二元一次方程组 6 类型四、二元一次方程组的错解复原问题 9 类型五、构造二元一次方程组求解 12 类型六、二元一次方程组的特殊解法 13 压轴能力测评（15题） 16 解题知识必备 1. 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 2. 加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 压轴题型讲练 类型一、二元一次方程的整数解 例题：（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）写出方程 的一组整数解 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·山东泰安·期中）方程的正整数解有 个． 【变式训练2】（22-23七年级下·湖南衡阳·阶段练习）方程的正整数解为 ． 【变式训练3】（22-23七年级下·山东滨州·期末）请写出方程的所有正整数解 ． 类型二、代入消元法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组： 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·期末）用代入法解方程组： (1) (2) 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 类型三、加减消元法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）解二元一次方程方程组： (1)； (2) 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）解二元一次方程组： (1) (2) 类型四、二元一次方程组的错解复原问题 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）解方程组： 解：解法一：由①，得．③ 将③代入①，得，即， 所以原方程组无解． 解法二：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得． 上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程． 【变式训练1】（23-24八年级上·山西忻州·期末）下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 【变式训练2】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①得③………………第一步 ②③得……………第二步 ……………第三步 将代入①得………………第四步 所以，原方程组的解为……………第五步 (1)上述材料中小马同学解二元一次方程组的数学方法是 （填序号即可）； A．公式法      B．换元法      C．代入消元法      D．加减消元法 (2)上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是 （填序号即可）； A．转化思想    B．类比思想    C．分类讨论    D．数形结合 (3)第 步开始出现错误，请你直接写出原方程组的解 ． 类型五、构造二元一次方程组求解 例题：（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）已知单项式和是同类项，则 ， ． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）已知，则等于 ． 类型六、二元一次方程组的特殊解法 例题：（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【变式训练1】（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【变式训练2】（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为 ． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（    ） A．由①得，再代入② B．由①得，再代入② C．由②得，再代入① D．由②得，再代入① 4．（24-25八年级上·重庆大足·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 5．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知，则 ． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则 ． 8．（24-25八年级上·河南郑州·期末）若方程组的解为，则方程组的解为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 10．（24-25九年级上·重庆·期末）解方程组： (1) (2) 11．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）运用适当的方法解方程组： (1) (2) 13．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由①，得③．…………第一步 将③代入②，得，第二步 解得．…………第三步 将代入①，得，………………第四步 原方程组的解为………………第五步 任务： (1)这种解二元一次方程组的方法叫作_____，以上求解步骤中，小权同学从第_____步开始出现错误． (2)请用加减消元法写出此题正确的解答过程． 14．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求a，b的值． 15．（24-25七年级上·广西贵港·期末）在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$