5.1 二元一次方程和它的解（五大题型提分练）（题型专练）数学新教材北京版七年级下册

5.1 二元一次方程和它的解 题型一 二元一次方程的概念辨析 1．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、是二元一次方程，故符合题意； B、含有未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，不是二元一次方程，故不符合题意； D、是一元一次方程，不是二元一次方程，故不符合题意； 故选：A． 2．下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【答案】A 【解析】解：下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是①；⑤， 故选：． 3．下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 【答案】⑤ 【解析】解：①，不是方程； ②，仅含有一个未知数，不是二元一次方程； ③整理得：，不是二元一次方程； ④中含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程； ⑤整理得：，是二元一次方程； 综上，是二元一次方程的有：⑤， 故答案为：⑤． 题型二 二元一次方程概念的理解 1．将方程改写成用含x的代数式表示y的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 移项，得， 两边都除以，得． 故选：D． 2．已知是一个二元一次方程，则 部分可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：是一个二元一次方程， 部分可能是， 故选：D． 3．已知是关于，的二元一次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【解析】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 5．若方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】6 【解析】解：是关于，的二元一次方程， ，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．已知是关于的二元一次方程，则 ． 【答案】 【解析】解：∵是关于的二元一次方程， ∴， 解得． 故答案为：． 题型三 求二元一次方程的解 1．下列4组数据中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边，所以不是二元一次方程的解，故选项A不符合题意； B．当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边，所以是二元一次方程的解，故选项B符合题意； C．当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边，所以不是二元一次方程的解，故选项C不符合题意； D．当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边，所以不是二元一次方程的解，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不是方程的解， 故选：D． 3．下面二元一次方程的解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：将代入A，，不成立，故A不符合题意； 将代入B，，不成立，故B不符合题意； 将代入C，，不成立，故C不符合题意； 将代入D，，成立，故D符合题意； 故选：D． 4．关于、的二元一次方程的非负整数解有（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【解析】解： ，其中、为非负整数， 那么时，， 时，， 时，， 时，， 共4组， 故选：B． 5．已知二元一次方程，当时， ． 【答案】1 【解析】解：把代入方程， 得， 解得． 故答案为：1 6．定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（  ） A．有且只有一组解 B．有无数组解 C．无解 D．有且只有两组解 【答案】B 【解析】解：根据题意得：， ∴有无数组可以满足， 故选：B． 题型四 已知二元一次方程的解求参数 1．已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】解：代入二元一次方程，得 ， 解得：， 故选：C． 2．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．2 B． C．8 D．1 【答案】A 【解析】解：把代入方程得：，即， 则， 故选：A． 3．已知是方程的一个解，则 ． 【答案】 【解析】解：把代入方程，得， 解得． 故答案为：． 4．（1）根据表中所给的x的值以及x与y的对应关系，填写下表： x 1 2 3 4 5 6 7 （2）根据上表，写出二元一次方程的三个解． 【答案】（1）见解析；（2），，（答案不唯一） 【解析】解：（1）填写表格如下： x 1 2 3 4 5 6 7 2 5 8 11 14 17 （2）由表格知，二元一次方程的三个解为： ，，（答案不唯一）． 5．如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 【答案】A 【解析】解：把代入，得， ∴， 则， 把代入，得， ∴， ∴二元一次方程为：， 把代入，得， ∴， ∴． 故选：A． 6．已知和是方程的两个解，求的值． 【答案】3 【解析】解：当时，得到，解得； 当时，得到，则，解得； ． 题型五 二元一次方程的应用 1．小明带50元去商店买作业本和笔，作业本的单价为5元，笔的单价为2元．购买作业本a本、笔b支，他的钱刚好够用．a的值可能是（   ） A．7 B．8 C．8.8 D．9 【答案】B 【解析】解：依题意得：， ∴， ∵，均为非负整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故选：B． 2．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】A 【解析】解：设购买种奖品件，种奖品件， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 共有2种购买方案． 故选：A． 3．某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 种购买方案． 【答案】4 【解析】解：设购买支笔记本，个碳素笔， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或， 共有4种不同的购买方案． 故答案为：4． 4．小明要把一根长5米的钢管截成2米长和1米长两种规格的钢管（两种规格都要有），请你帮小明计算一下，能截2米长和1米长的钢管各 根． 【答案】1根和3或2根和1 【解析】解：设能截2米长和1米长的钢管各根和根， ∴， ∴， ∴能截2米长和1米长的钢管各1根和3根，或2根和1根； 故答案为：1根和3，或2根和1． 5．某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为秒和秒的两种广告．若要求每种广告播放不止1次（至少2次），问两种广告的播放次数有哪几种安排方式？ 【答案】播放秒的广告的次数是2次，播放秒的广告的次数是3次；播放秒的广告的次数是4次，播放秒的广告的次数是2次 【解析】解：设播放秒的广告x次，播放秒的广告y次， 根据题意得：． ∵且均为整数， ∴解得：或 则两种广告的播放次数有两种安排方式： 播放秒的广告的次数是2次，播放秒的广告的次数是3次；播放秒的广告的次数是4次，播放秒的广告的次数是2次 6．2024年诸暨美人城盛大开业，小聪与几个好朋友一起去街区消费购买同山烧饼和西施桂花糕．已知他们总共带有100元现金，已经买了5个同山烧饼和8个西施桂花糕，每个同山烧饼8元，每个西施桂花糕4元． (1)问他们最多还能再购买几个同山烧饼? (2)若再购买x个同山烧饼和y个西施桂花糕，恰好把现金用完，且，则同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买多少个? 【答案】(1)他们最多还能再购买3个同山烧饼 (2)同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买6个 【解析】（1）解：设他们还能再购买个同山烧饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为3， 答：他们最多还能再购买3个同山烧饼． （2）解：由题意得：， 整理得：， ∵都是正整数，且， ∴或， ∴或， 答：同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买6个． 1．若是关于字母，的二元一次方程的一个解，代数式的值是 ． 【答案】 【解析】解：把，代入，得， ， ， ， ， 故答案为：． 2．某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（   ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】解：∵A商品每件进价40元，利润率为， ∴A商品每件售价为元， 设购买A商品x件，购买B商品y件， 当打折前购买的总金额不超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当打折前购买的总金额超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； ∴如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元， ∵， ∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ∴①②③的说法都正确， 故选：D． 3．盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了 个标有数字的球． 【答案】 【解析】解：设摸出标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴， ∴标有数字的球有个， 故答案为：． 4．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 5．甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值． 【答案】， 【解析】解：由题意得： 把代入 得：， 解得：， 方程组为， 因为乙将一个方程中的写成了相反数， 所以把代入方程组得：， 把代入方程得：． 6．已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 【答案】5 【解析】解：把代入方程， 得， 解得． 把代入方程， 得， 解得， ． 7．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 8．小明的妈妈在打扫房间时，不小心把一块钟表（钟表盘上均匀分布着60条刻度线）摔坏了．小明找到一块带有指针的残片，其上的时针和分针恰好分别指向两条相邻的刻度线． (1)若这块残片所表示的时间是2时t分，求t的值． (2)除了（1）中的答案，你知道这块残片所表示的时间还可以是时中的几时几分吗？写出你的求解过程． 【答案】(1) (2)9时48分 【解析】（1）解：此钟表一共有60条刻度线，两条相邻刻度线间叫1格． 时针每分钟走（格）． 以分针、时针均在刻度12处为起点，则时针走了格，分针走了格． ①当分针在前时，因为时针和分针恰好分别指向两条相邻的刻度线，所以，解得； ②当时针在前时，同理，，解得（不合题意，舍去）． 综上所述，． （2）设这块残片所表示的时间是时分，其中都为正整数．以分针、时针均在刻度12处为起点，则时针走了格，分针走了格． 因为为整数， 所以，． ①当分针在前时，．可知当时，，即为（1）中的答案． ②当时针在前时，，可知当时，，符合题意，即这块残片所表示的时间是9时48分． 答：这块残片所表示的时间还可以是9时48分． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 二元一次方程和它的解 题型一 二元一次方程的概念辨析 1．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 3．下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 题型二 二元一次方程概念的理解 1．将方程改写成用含x的代数式表示y的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是一个二元一次方程，则 部分可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于，的二元一次方程，则的取值范围是 ． 4．如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 5．若方程是关于，的二元一次方程，则 ． 6．已知是关于的二元一次方程，则 ． 题型三 求二元一次方程的解 1．下列4组数据中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 3．下面二元一次方程的解为的是（    ） A． B． C． D． 4．关于、的二元一次方程的非负整数解有（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 5．已知二元一次方程，当时， ． 6．定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（  ） A．有且只有一组解 B．有无数组解 C．无解 D．有且只有两组解 题型四 已知二元一次方程的解求参数 1．已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 2．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．2 B． C．8 D．1 3．已知是方程的一个解，则 ． 4．（1）根据表中所给的x的值以及x与y的对应关系，填写下表： x 1 2 3 4 5 6 7 （2）根据上表，写出二元一次方程的三个解． 5．如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 6．已知和是方程的两个解，求的值． 题型五 二元一次方程的应用 1．小明带50元去商店买作业本和笔，作业本的单价为5元，笔的单价为2元．购买作业本a本、笔b支，他的钱刚好够用．a的值可能是（   ） A．7 B．8 C．8.8 D．9 2．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 3．某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 种购买方案． 4．小明要把一根长5米的钢管截成2米长和1米长两种规格的钢管（两种规格都要有），请你帮小明计算一下，能截2米长和1米长的钢管各 根． 5．某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为秒和秒的两种广告．若要求每种广告播放不止1次（至少2次），问两种广告的播放次数有哪几种安排方式？ 6．2024年诸暨美人城盛大开业，小聪与几个好朋友一起去街区消费购买同山烧饼和西施桂花糕．已知他们总共带有100元现金，已经买了5个同山烧饼和8个西施桂花糕，每个同山烧饼8元，每个西施桂花糕4元． (1)问他们最多还能再购买几个同山烧饼? (2)若再购买x个同山烧饼和y个西施桂花糕，恰好把现金用完，且，则同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买多少个? 1．若是关于字母，的二元一次方程的一个解，代数式的值是 ． 2．某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（   ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 3．盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了 个标有数字的球． 4．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 5．甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值． 6．已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 7．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 8．小明的妈妈在打扫房间时，不小心把一块钟表（钟表盘上均匀分布着60条刻度线）摔坏了．小明找到一块带有指针的残片，其上的时针和分针恰好分别指向两条相邻的刻度线． (1)若这块残片所表示的时间是2时t分，求t的值． (2)除了（1）中的答案，你知道这块残片所表示的时间还可以是时中的几时几分吗？写出你的求解过程． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$