专题05 二元一次方程组中含参数问题的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题05 二元一次方程组中含参数问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 1 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 3 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 4 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 6 类型五、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 8 类型六、二元一次方程组中的新定义型探究问题 13 压轴能力测评（18题） 16 解题知识必备 1. 二元一次方程的定义 二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程． 2. 二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 3. 解二元一次方程组 1.代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2.加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 压轴题型讲练 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 例题：（2024七年级下·浙江·专题练习）当方程是二元一次方程时，则 ， ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 2.（23-24七年级下·江西上饶·期末）若关于的方程是二元一次方程，则整数m的值为 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·吉林·期末）若是关于和的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知是方程的一个解，则的值为 ． 2.（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）已知是方程的解，则代数式的值为 3.（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ． 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）已知方程组 的解是，则m，n的值是 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 2.（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 3.（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是方程组的解，则的值为 ． 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组 的解满足，则等于 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x，y的方程组的解的和是k，则 ． 2.（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 3.（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 类型五、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）若关于的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为 . 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 2.（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 3.（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 类型六、二元一次方程组中的新定义型探究问题 例题：（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【变式训练】 1.（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 2.（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知是方程的一个解，那么常数a的值是（    ） A．5 B． C．3 D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于，的二元一次方程组的解为则被遮住的两个数和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）已知关于的二元一次方程组，下列结论正确的是（　　） ①当时，方程组的解也是的解； ②均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于字母、的方程是二元一次方程，则 ． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是二元一次方程的一个解，则 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组中的x，y互为相反数，则m的值为 ． 9．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解为整数，则满足条件的a的所有整数值的和为 ． 三、解答题 11．（22-23七年级下·贵州·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值： (2)求时，y的值． 12．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）定义：若点满足，则称点P为二元一次方程的坐标点． (1)若点为方程的坐标点，则______； (2)若为方程的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值． 13．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于x、y的方程组 (1)请写出方程 的一组正整数解； (2)不管m取任何值，方程：总有一个固定解，请求出这个解； (3)若方程组的解满足．，直接写出m的值． 14．（24-25八年级上·江西抚州·期末）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 15．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 16．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读理解． 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 17．（23-24七年级下·福建厦门·期中）阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． (1)请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） (2)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； (3)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 18．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与______（填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； (2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组其中a与都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． (4)【拓展】若一个关于x的方程的解为，则称之为“成章方程”，如：的解为，而 = 1；的解为，而，若关于x的方程为“成章方程”，请直接写出关于的方程的解：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程组中含参数问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 1 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 3 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 4 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 6 类型五、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 8 类型六、二元一次方程组中的新定义型探究问题 13 压轴能力测评（18题） 16 解题知识必备 1. 二元一次方程的定义 二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程． 2. 二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 3. 解二元一次方程组 1.代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2.加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 压轴题型讲练 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 例题：（2024七年级下·浙江·专题练习）当方程是二元一次方程时，则 ， ． 【答案】 3 0 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑． 【详解】解：方程是二元一次方程， 且， 即①且②， ①②，得， ， 把代入①，， ． 故答案为：3，0． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，有理数的乘方，掌握二元一次方程的含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出，，再代入求值即可． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， ，，， ，， ， 故答案为：． 2.（23-24七年级下·江西上饶·期末）若关于的方程是二元一次方程，则整数m的值为 【答案】1或2 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数的值，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当，即：时，此时方程化为：，为二元一次方程，满足题意； 当，即：时，则：， 解得：或， 当时，方程转化为：，即：，为二元一次方程，满足题意； 当时，方程转化为：，即：，为一元一次方程，不满足题意，舍去； 综上：或； 故答案为：1或2． 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·吉林·期末）若是关于和的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的问题，将二元一次方程的解代入方程求解一元一次方程即． 【详解】解：把代入方程中得：， 解得：． 故答案为：2． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键． 把代入，得，求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得：， 故答案为：2． 2.（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）已知是方程的解，则代数式的值为 【答案】2 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，根据二元一次方程解的定义得到，再利用整体代入求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：2 3.（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】23 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，把代入方程得，，再根据，进行整体代入求解即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， 把代入得，，即， ∴， 故答案为：23． 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）已知方程组 的解是，则m，n的值是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程组，得到关于m，n的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程的解．把代入方程组，求出m，n的值，即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 2.（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．把，的值代入方程组进行计算，求出，的值，然后再代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：把代入中得： ， 解得：， ， 故答案为：10． 3.（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是方程组的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的解，以及式子的值，求代数式的值，把代入方程组，由①②得，由①②得，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ 由①②得：， 即， ∴， 由①②得： 即， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组 的解满足，则等于 ． 【答案】5 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查已知二元一次方程组的情况求参数，所给两个方程作差可得，进而得到关于k的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 得：， ， ， 解得， 故答案为：5． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x，y的方程组的解的和是k，则 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的值，将两个方程相加，根据方程组的解的情况得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2.（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2025 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组；根据方程组中两个方程的特点，两个方程相加可得的值，由已知即可求得k的值． 【详解】解：方程两式相加得：， 即； 由于， 即， 解得：； 故答案为：2025． 3.（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不对，理由见解析 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （3）解：将代入，得： ， 化简得：， 该说法错误． 类型五、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）若关于的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为 . 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】把看作已知数由加减消元法求得，由方程组的解为整数，确定出的值即可． 【详解】解：， 得， 解得： ∵关于、的方程组的解为整数， ∴， ∴满足条件的所有的值的和为． 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 【答案】 / 或/或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解： （1）根据可得，代入求解即可； （2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）， ，代入， 得，解得， 故答案为：； （2）， ①②得， 解得：， 为整数，也为整数， ， 或， 故答案为：或． 2.（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法、二元一次方程的解 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ∴， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：，． （2）解：， ∴， ∴当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴是的约数， ∴或， 故或． 3.（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 【答案】(1) (2)0或 (3)当时；当时 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程： （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴只有，满足题意， ∴方程的正整数解为； 故答案为： ； （2）解；∵为负整数，， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）； 故答案为：0或； （3）解：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为 ∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数， ∴都是正整数， ∴当为正整数时，或或或； 当为正整数数，或， ∴只有当或时都是正整数， ∴或， ∴当时，；当时，。 类型六、二元一次方程组中的新定义型探究问题 例题：（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】根据新运算法则可得关于m、n的方程组，再两式相减可得答案. 【详解】解：因为， 所以，两式相减可得， 即； 故选：B. 【点睛】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是关键. 【变式训练】 1.（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【答案】（1）（2）/（2）（1） 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误； 故答案为：（1）（2）． 2.（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、代入消元法、新定义下的实数运算 【分析】本题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可得到； （2）根据表格的数据求得，即可求得这个方程的共轭二元一次方程； （3）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中与的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）解：方程中，当时，；当时，， ， 解得， 这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 共轭方程组的解是， ． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得． 故选C． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知是方程的一个解，那么常数a的值是（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，将代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及整体代换的思想在解题中的应用，掌握以上知识点是解答本题的关键． 将两个方程相加，得到，再将代入，即可求出的值． 【详解】解：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于，的二元一次方程组的解为则被遮住的两个数和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解满足方程组，是解答本题的关键． 将代入，解出的值，即为，再将，同时代入，即可求得的值． 【详解】解：已知，将代入，得， 解得，即为， 将，同时代入，得，即， 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）已知关于的二元一次方程组，下列结论正确的是（　　） ①当时，方程组的解也是的解； ②均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断． 【详解】解：①当时，方程组整理得， 由①+②可得， 当时，方程得， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； ②解方程组，①+②得 当，均为正整数时，则有或， ∴共有2对，故②错误； ③解方程组，①+②得 ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故③正确； ④解方程组，①+②得， 当方程组的解满足时， 解得，代入原方程组可得 解得，，故④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：A． 二、填空题 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于字母、的方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．利用二元一次方程定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是二元一次方程的一个解，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，解题的关键是掌握整体思想的运用． 将代入方程，得到，将所求式子变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：由于是方程的解， ， ， 故答案为：． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组中的x，y互为相反数，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、相反数的定义、加减消元法 【分析】考查了含参数二元一次方程组，相反数的概念，根据题意得到，然后结合求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵方程组中的x，y互为相反数， ∴， 联立得，， 解得， ∴将代入得，． 故答案为：2． 9．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了求整式的值，二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，将代入方程组，解关于、的二元一次方程组，即可求解；理解二元一次方程组解的定义，会解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解方程组得， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解为整数，则满足条件的a的所有整数值的和为 ． 【答案】8 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，利用加减消元法得到，再根据x、y都是整数，得到a是整数，即是整数，据此求出符合题意的整数a，再求和即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， ∵x、y都是整数， ∴a是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或， ∴满足条件的a的所有整数值的和为， 故答案为：8． 三、解答题 11．（22-23七年级下·贵州·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值： (2)求时，y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程的定义、二元一次方程的解 【分析】（1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得； （2）解：由（1）得，原方程为， 当时，则， 解得． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 12．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）定义：若点满足，则称点P为二元一次方程的坐标点． (1)若点为方程的坐标点，则______； (2)若为方程的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值． 【答案】(1)5 (2)或 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】（1）将点代入方程，即可解答． （2）将点代入方程，得再代入，即可解答． 【详解】（1）将点代入方程，得， 解得． （2）由题意得：，，b，c为正整数， ∴或． 【点睛】本题考查了解二元一次方程参数，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键 13．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于x、y的方程组 (1)请写出方程 的一组正整数解； (2)不管m取任何值，方程：总有一个固定解，请求出这个解； (3)若方程组的解满足．，直接写出m的值． 【答案】(1)或（写出一组即可） (2) (3) 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程的解 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参数． （1）令x取一正整数，代入求出y即可； （2）将原式进行变换后即可求出这个固定解； （3）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴方程 的一组正整数解为； 把代入得：， 解得：， ∴方程 的一组正整数解为； （2）解：方程， 整理得， 由于无论m取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解， ∴列出方程组， 解得：； （3）解：解方程组，得， 将代入， 解得． 14．（24-25八年级上·江西抚州·期末）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)与具有“邻好关系”，理由见解析 (2)2 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、代入消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用代入法解二元一次方程组得到，根据“邻好关系”的定义即可求解； （2）根据题意，运用得，，再根据“邻好关系”的定义即可求解． 【详解】（1）解：与具有“邻好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，，将代入①得，， ， ， 与具有“邻好关系”； （2）解：，得，， 与具有“邻好关系”， ， 解得，， k的值为2． 15．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种购买方案：方案一：购买8本笔记本和5支钢笔；方案二：购买1本笔记本和10支钢笔 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解材料提示的计算方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意，是的倍数，则可以取的值有，由此代入计算即可； （3）设购买本笔记本，支钢笔，由此列二元一次方程组，结合材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得，， ∵是正整数， ∴是的倍数， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方程的正整数解为； （2）解：∵为自然数，且，是的倍数， ∴， 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； ∴满足条件的整数有4个， 故答案为：4； （3）解：设购买本笔记本，支钢笔， ∴， ， 又均为正整数， 为5的正整数倍数， 或， 故有如下两种购买方案： 方案一：购买8本笔记本和5支钢笔； 方案二：购买1本笔记本和10支钢笔． 16．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读理解． 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了矩阵的定义，二元一次方程组的解，以及代数式求值等知识，理解矩阵的定义是解题的关键． （1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，然后得出，，然后代入式子求值即可． 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， 故答案为：． （2）∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． （3）∵矩阵对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：， 则， ∴． 17．（23-24七年级下·福建厦门·期中）阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． (1)请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） (2)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； (3)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 【答案】(1)否 (2)10 (3)或或或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识； （1）根据“可爱点”的定义分别判断即可； （2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案． （3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可． 【详解】（1）解：点，令， 得， ， 不是“可爱点”， 故答案为：否． （2）解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得 的值为10． （3）解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得， a，b为正整数， 或或或． 18．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与______（填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； (2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组其中a与都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． (4)【拓展】若一个关于x的方程的解为，则称之为“成章方程”，如：的解为，而 = 1；的解为，而，若关于x的方程为“成章方程”，请直接写出关于的方程的解：． 【答案】(1)具有 (2)4或6 (3)具有，； (4) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次方程解的综合应用、加减消元法 【分析】（1）求出方程组的解，然后根据“邻好关系”定义进行判断即可； （2）解方程组得出，根据方程组 的解与具有“邻好关系”，得出，解关于m的方程即可； （3）解方程组得出，根据a与都是正整数，得出或，求出当时，，，当时，，，根据，得出当时，方程组的解与是否具有“邻好关系”； （4）由定义得出，即，解方程得出， 把代入得：． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵， ∴方程组的解与具有“邻好关系”； 故答案为：具有． （2）解：由方程组得：， ∵方程组 的解与具有“邻好关系”， ∴， 解得：或． （3）解方程组得：， ∵a与都是正整数， ∴或， 当时，，， 当时，，， ∵， ∴当时，方程组的解与是否具有“邻好关系”，此时方程组的解为． （4）解：∵关于x的方程为“成章方程” ∴， ∴， 由得：， ∴， 把代入得：． 即． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义运算，解题的关键是理解定义，准确计算． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$