第七章 平行线拐点模型必考五大类型（40题）（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版2024）

第七章 平行线拐点模型必考五大类型（40题） 【人教版2024】 【类型1 平行线中单拐点模型】 1 【类型2 平行线中单拐点+角平分线模型】 3 【类型3 平行线中双拐点模型】 6 【类型4 平行线中双拐点+角平分线模型】 9 【类型5 平行线中多拐点模型】 10 【类型1 平行线中单拐点模型】 1．（2024秋•安宁区校级期末）如图，若AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝65°，则∠P＝（　　） A．45° B．50° C．65° D．115° 2．（2024春•泰兴市月考）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝110°，则∠C的度数是（　　） A．120° B．110° C．140° D．90° 3．（2024秋•丰泽区期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（　　） A．270° B．250° C．230° D．180° 4．（2024春•临淄区期末）如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 5．（2024秋•长安区校级期末）如图，直线l1∥l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB交直线l1于点C，若∠1＝15°，则∠2＝（　　） A．105° B．115° C．100° D．95° 6．（2024秋•新县期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是（　　） A．38° B．44° C．46° D．48° 7．（2024春•江津区校级月考）如图，AB∥CD，BE⊥EF，DF⊥CD，∠B＝40°，则∠EFD的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 8．（2024•华蓥市模拟）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝150°，∠CDE＝70°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．35° D．45° 9．（2024秋•青山区期末）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 10．（2024春•琼山区校级月考）下列结论：①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型2 平行线中单拐点+角平分线模型】 1．（2024春•醴陵市校级期末）如图，AB∥CD，BF、DF分别为∠ABM、∠CDM的平分线，∠BFD＝135°，则∠M＝（　　） A．95° B．85° C．80° D．90° 2．（2024春•江北区期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝3α，则∠E＝（　　） A．3α B．60°+α C．60°+2α D．60°+3α 3．（2024春•阳信县期末）如图，已知AB∥CD，点F，G分别在直线AB，CD上，∠BFE的平分线FQ所在直线与∠CGE的平分线相交于点P，若∠BFE＝50°，∠CGE＝140°，则∠GPQ的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 4．（2024春•银州区校级期末）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．150° 5．（2024春•武昌区期末）如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 6．（2024春•海淀区校级期中）如图，直线AB∥CD，点E，F分别是直线AB，CD上的点，点G为直线AB，CD之间的一点，连接EG，FG，∠AEG的平分线交CD于点H，若∠DFG＝38°，3∠EHD+2∠G＝372°，则∠CHE的度数为（　　） A．116° B．118° C．120° D．122° 7．（2024春•西湖区校级期中）如图所示，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．分别在∠BEO和∠OFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠BEO+∠DFO＝　 　°，∠EMN﹣∠MNF＝　 　°． 8．（2024•萍乡模拟）如图，∠AEC＝80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向同方向作射线AB和CD，且AB∥CD，若∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则∠APC的大小为 　 　． 9．（2024春•凉州区校级期末）已知EF∥GH，A和B分别是直线EF和GH上的点，C是这两条直线之间的一点． （1）如图1，①已知∠CAE+∠CBG＝110°，那么∠ACB＝　 　． ②在①的条件下，作∠CAE与∠CBG的平分线AD与BD相交于点D，求∠ADB的度数． （2）如图2，作∠CAF与∠CBH的平分线AD与BD相交于点D，若∠ACB＝α，求∠ADB的度数（用含α的代数式表示），并证明你的结论． （3）如图3，作∠CAE的平分线与∠CBH的平分线所在的直线AD与BD相交于点D，若∠ACB＝α，请直接写出∠ADB的度数（用含α的代数式表示）． 10．（2024春•泰兴市期中）如图1，∠ACB＝90°，MA∥BN． （1）①如果∠MAC＝30°，求∠CBN的度数； ②设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系：　 　； （2）如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； （3）在（2）的条件下，若∠MAC＝40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP．已知∠FEP＝10°，求∠BPE的度数． 【类型3 平行线中双拐点模型】 1．（2024春•阿荣旗期末）直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，∠1＝15°，则∠2＝（　　） A．15° B．25° C．35° D．20° 2．（2024秋•沈丘县期末）如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　） A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180° 3．（2024春•茌平区期末）越野滑雪是冬奥会的一个重要比赛项目，是借助滑雪用具，运用登山，滑降，转弯滑行等基本技术，滑行于雪山、雪原的运动项目．为了保证运动员的安全，在修建赛道时要避开冰带，陡角和狭窄地带．如图在修建赛道时为了避开冰带需拐弯绕之，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 4．（2024春•福田区期中）中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知AB∥CD，∠C＝90°，∠B＝78°，∠E＝98°，则∠F的度数是（　　） A．106° B．110° C．118° D．120° 5．（2024春•章丘区期末）如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE的度数为（　　） A．90° B．110° C．80° D．100° 6．（2024春•江西校级月考）如图，AB∥EF，∠C＝90°，若∠α＝30°，∠γ＝40°，则∠β＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 7．（2024春•瓦房店市期末）如图，已知∠A＝30°，∠C＝112°，AB∥CD，则∠G﹣∠E的值为 　 　． 8．（2024春•武威月考）如图，已知AB//EF，∠B＝40°，∠E＝30°，则∠C﹣∠D的度数为 　 　． 9．（2024春•海淀区校级期中）如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的等量关系式是 　 　． 10．（2024春•江夏区校级月考）图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AG恰好经过点C，且B，C，D在一条直线上，若AG∥EF，∠B＝∠D+15°，∠E＝105°． （1）求∠B﹣∠DCG的度数． （2）连接AE，当∠AEF与∠DCG满足怎样数量关系时，BD∥AE．并说明理由． 【类型4 平行线中双拐点+角平分线模型】 1．（2024春•白塔区校级期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝140°，则∠DCE＝（　　） A．58° B．70° C．50° D．40° 2．（2024春•慈溪市期中）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M＝　 　． 3．（2024春•和平区校级月考）已知直线AB∥CD，E为两直线间一定点，∠DCE＝24°，若点F为平面内一动点，且满足∠ABF＝52°，连接BF，EF，则∠BFE的平分线与∠CEF的平分线所在直线交于点G，则∠GFE+∠FEG＝　 　． 4．（2023秋•渭城区期末）如图，已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD之间的点． （1）如图1，若∠E＝100°，求∠B+∠D的度数； （2）若∠B＝36°，∠D＝108°． ①如图2，请探索∠F﹣∠E的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 【类型5 平行线中多拐点模型】 1．（2024春•烟台期末）如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为 　 　． 2．（2024春•玄武区期末）如图，AB∥CD，DE⊥EF，FG⊥EF，∠ABG＝150°，∠CDE＝140°，则∠BGF＝　 　． 3．（2024春•法库县期末）观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2＝180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn＝　 　度． 4．（2024春•芜湖期中）已知AB∥CD，请完成以下问题： （1）如图1，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的度数之间的等量关系是 　 　； （2）如图2，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝50°，则∠GHM＝　 　． 5．（2024春•武威月考） （1）如图1，AB∥CD，则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系？ （2）如图2，若AB∥CD，又能得到什么结论？ 6．（2024春•景县期末）模型与应用． 【模型】 （1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1+∠MEN+∠2＝360°． 【应用】 （2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为　 　． 如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为　 　． （3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1O与∠CMnMn﹣1的角平分线MnO交于点O，若∠M1OMn＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n﹣1的度数．（用含m、n的代数式表示） 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线拐点模型必考五大类型（40题） 【人教版2024】 【类型1 平行线中单拐点模型】 1 【类型2 平行线中单拐点+角平分线模型】 9 【类型3 平行线中双拐点模型】 24 【类型4 平行线中双拐点+角平分线模型】 32 【类型5 平行线中多拐点模型】 38 【类型1 平行线中单拐点模型】 1．（2024秋•安宁区校级期末）如图，若AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝65°，则∠P＝（　　） A．45° B．50° C．65° D．115° 【分析】过P作平行于AB的直线，根据内错角相等可得出三个角的关系，然后将∠B＝50°，∠D＝65°代入，即可求∠BPD的度数． 【解答】解：如图，过P点作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥PO∥AB， ∴∠BPO＝∠B，∠OPD＝∠D， ∵∠BPD＝∠BPO+∠OPD， ∴∠BPD＝∠B+∠D． ∵∠B＝50°，∠D＝65°， ∴∠BPD＝∠B+∠D＝50°+65°＝115°． 故选：D． 2．（2024春•泰兴市月考）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝110°，则∠C的度数是（　　） A．120° B．110° C．140° D．90° 【分析】过点C作CF∥AB，由平行线性质可得∠B，∠D，∠BCF，∠DCF的关系，进而求得∠BCD． 【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB． ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+∠DCF＝180°， ∵∠B＝130°，∠D＝110°， ∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝70°， ∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝120°． 故选：A． 3．（2024秋•丰泽区期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（　　） A．270° B．250° C．230° D．180° 【分析】过点B作BG∥AE，根据铅笔模型进行计算，即可解答． 【解答】解：过点B作BG∥AE， ∴∠BAE+∠ABG＝180°， ∵CD∥AE， ∴CD∥BG， ∴∠DCB+∠CBG＝180°， ∴∠BAE+∠ABG+∠DCB+∠CBG＝360°， 即∠DCB+∠CBA+∠BAE＝360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝270°， 故选：A． 4．（2024春•临淄区期末）如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【分析】过点A作AF∥BE，利用平行线的性质可得∠BAF＝∠3，从而可得∠CAF＝∠3﹣∠1，然后利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AF∥CD，从而可得∠CAF+∠2＝180°，进而可得∠3﹣∠1+∠2＝180°，即可解答． 【解答】解：过点A作AF∥BE， ∴∠BAF＝∠3， ∵∠CAF＝∠BAF﹣∠1， ∴∠CAF＝∠3﹣∠1， ∵CD∥BE， ∴AF∥CD， ∴∠CAF+∠2＝180°， ∴∠3﹣∠1+∠2＝180°， 即∠2+∠3﹣∠1＝180°， 故选：D． 5．（2024秋•长安区校级期末）如图，直线l1∥l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB交直线l1于点C，若∠1＝15°，则∠2＝（　　） A．105° B．115° C．100° D．95° 【分析】利用三角形内角和定理可得的∠ADC度数，再利用平行线的性质可得∠3的度数，即可解答． 【解答】解：如图， ∵AC⊥AB， ∴∠A＝90°， ∵∠1＝15°， ∴∠ADC＝180°﹣90°﹣15°＝75°， ∵l1∥l2， ∴∠3＝∠ADC＝75°， ∴∠2＝180°﹣75°＝105°． 故选：A． 6．（2024秋•新县期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是（　　） A．38° B．44° C．46° D．48° 【分析】延长DC交AE于F，根据两直线平行，同位角相等，可得∠CFE＝∠BAE＝82°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E＝∠DCE﹣∠CFE． 【解答】解：如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥FD，∠BAE＝82°， ∴∠CFE＝∠BAE＝82°， ∵∠DCE＝120°， ∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝120°﹣82°＝38°， 故选：A． 7．（2024春•江津区校级月考）如图，AB∥CD，BE⊥EF，DF⊥CD，∠B＝40°，则∠EFD的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，得到FN∥EM∥CD，推出∠MEB＝∠B＝40°，∠EFN＝∠MEF，DF⊥FN，求出∠MEF＝90°﹣40°＝50°，得到∠EFN＝50°，即可求出∠EFD＝∠EFN+∠DFN＝140°． 【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB， ∵AB∥CD， ∴FN∥EM∥CD， ∴∠MEB＝∠B＝40°，∠EFN＝∠MEF， ∵BE⊥EF，DF⊥CD， ∴∠BEF＝90°，DF⊥FN， ∴∠MEF＝90°﹣40°＝50°， ∴∠EFN＝50°， ∴∠EFD＝∠EFN+∠DFN＝50°+90°＝140°． 故选：C． 8．（2024•华蓥市模拟）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝150°，∠CDE＝70°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．35° D．45° 【分析】过点C作CF∥AB，则AB∥DE∥CF，根据平行线的性质可得到∠BCF＝∠ABC＝150°，∠DCF＝180°﹣∠CDE＝110°，即可求得∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝40°． 【解答】解：如图，过点C作CF∥AB， 则AB∥DE∥CF． ∴∠BCF＝∠ABC＝150°，∠DCF+∠CDE＝180°． ∵∠CDE＝70°， ∴∠DCF＝180°﹣70°＝110°． ∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝150°﹣110°＝40°． 故选：B． 9．（2024秋•青山区期末）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 【分析】作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：作EF∥AB． ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴CD∥EF， ∴∠BAE+∠FEA＝180°，∠C＝∠FEC＝γ， ∴α+（β﹣γ）＝180°， 故选：C． 10．（2024春•琼山区校级月考）下列结论：①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【解答】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C＝360°， 故①错误； ②如图2， ∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4， ∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B． 【类型2 平行线中单拐点+角平分线模型】 1．（2024春•醴陵市校级期末）如图，AB∥CD，BF、DF分别为∠ABM、∠CDM的平分线，∠BFD＝135°，则∠M＝（　　） A．95° B．85° C．80° D．90° 【分析】作FE∥AB，MN∥AB，得出AB∥EF∥CD∥MN，先求出∠1+∠2＝135°，得出∠ABM+∠CDM＝270°，再根据平行线性质得出∠ABM+∠BMN+∠CDM+∠DMN＝360°，进而得出结论． 【解答】解：作FE∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD∥MN， ∴∠BFE＝∠1，∠DFE＝∠2 ∵∠BFD＝135°＝∠BFE+∠DFE， ∴∠1+∠2＝135°， ∵BF、DF分别为∠ABM、∠CDM的平分线， ∴， ∴∠ABM+∠CDM＝2×135°＝270°， ∵AB∥CD∥MN， ∴∠ABM+∠BMN＝180°，∠CDM+∠DMN＝180°， ∴∠ABM+∠BMN+∠CDM+∠DMN＝360°， ∴∠BMN+∠DMN＝360°﹣270°＝90°， ∴∠BMD＝90°， 故选：D． 2．（2024春•江北区期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝3α，则∠E＝（　　） A．3α B．60°+α C．60°+2α D．60°+3α 【分析】过F作FK∥AB，得到FK∥CD，推出∠BFK＝∠ABF，∠CFK＝∠DCG，由角平分线定义得到∠ABF＝∠EBF，∠ECG＝∠DCG，设∠ABF＝x°，∠DCG＝y°，求出∠BFC＝∠BFK﹣∠CFK＝x°﹣y°，∠ECF＝180°﹣y°，由四边形内角和是360°，得到∠E+∠BFC＝360°﹣（∠EBF+∠ECF），因此∠E+2∠BFC＝180°，而∠E﹣∠BFC＝3α，即可求出∠E＝60°+2α． 【解答】解：过F作FK∥AB， ∵AB∥CD， ∴FK∥CD， ∴∠BFK＝∠ABF，∠CFK＝∠DCG， ∵BF平分∠ABE，CG平分∠DCE， ∴∠ABF＝∠EBF，∠ECG＝∠DCG， 设∠ABF＝x°，∠DCG＝y°， ∴∠EBF＝∠BFK＝x°，∠CFK＝∠ECG＝y°， ∴∠BFC＝∠BFK﹣∠CFK＝x°﹣y°，∠ECF＝180°﹣y°， ∵∠E+∠BFC＝360°﹣（∠EBF+∠ECF）， ∴∠E+∠BFC＝360°﹣（x°+180°﹣y°）＝180°﹣∠BFC， ∴∠E+2∠BFC＝180°， ∵∠E﹣∠BFC＝3α， ∴∠E＝60°+2α． 故选：C． 3．（2024春•阳信县期末）如图，已知AB∥CD，点F，G分别在直线AB，CD上，∠BFE的平分线FQ所在直线与∠CGE的平分线相交于点P，若∠BFE＝50°，∠CGE＝140°，则∠GPQ的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【分析】根据平行线的性质可得∠BMG＝∠CGP，根据角平分线的定义得：∠BFQ∠BFE，∠CGP∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝∠GMF﹣∠PFM＝∠CGP﹣∠BFQ，代入计算即可得到答案． 【解答】解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠BMG＝∠CGP， ∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，∠BFE＝50°，∠CGE＝140°， ∴∠BFQ∠BFE＝25°，∠CGP∠CGE＝70°， ∴∠GPQ＝∠BMG﹣∠PFM＝∠CGP﹣∠BFQ＝70°﹣25°＝45°． 故选：C． 4．（2024春•银州区校级期末）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．150° 【分析】过G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠2＝∠5，∠6＝∠4，进而可得∠FGH＝∠2+∠4，再利用平行线的性质进行等量代换可得3∠1＝150°，求出∠1的度数，然后可得答案． 【解答】解：过G作GM∥AB， ∴∠2＝∠5， ∵AB∥CD， ∴MG∥CD， ∴∠6＝∠4， ∴∠FGH＝∠5+∠6＝∠2+∠4， ∵FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线， ∴∠1＝∠2∠EFG，∠3＝∠4EHD， ∴∠E+∠1+∠2+∠EHD＝150°， ∵AB∥CD， ∴∠ENB＝∠EHD， ∴∠E+∠1+∠2+∠ENB＝150°， ∵∠1＝∠E+∠ENB， ∴∠1+∠1+∠2＝150°， ∴3∠1＝150°， ∴∠1＝50°， ∴∠EFG＝2×50°＝100°． 故选：C． 5．（2024春•武昌区期末）如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 【分析】过点E作EG∥AB，根据猪脚模型可得：∠MEN＝∠1+∠CNE，∠F＝∠AMF+∠4，再利用角平分线的定义可得∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4，从而可得∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4），然后进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EG∥AB， ∴∠1＝∠MEG， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠GEN＝∠CNE， ∵∠MEN＝∠MEG+∠GEN， ∴∠MEN＝∠1+∠CNE， 同理可得：∠F＝∠AMF+∠4， ∵ME平分∠AMF，NF平分∠CNE， ∴∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4， ∴∠MEN＝∠1+2∠4，∠F＝2∠1+∠4， ∵∠MEN+54°＝2∠F， ∴∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4）， ∴∠1＝18°， ∴∠AMF＝2∠1＝36°， 故选：B． 6．（2024春•海淀区校级期中）如图，直线AB∥CD，点E，F分别是直线AB，CD上的点，点G为直线AB，CD之间的一点，连接EG，FG，∠AEG的平分线交CD于点H，若∠DFG＝38°，3∠EHD+2∠G＝372°，则∠CHE的度数为（　　） A．116° B．118° C．120° D．122° 【分析】过G作GM∥AB，得到MG∥CD，推出∠MGE＝∠BEG，∠MGF＝∠DFG，得到∠EGF＝∠BEG+∠DFG＝∠BEG+38°，由角平分线定义得到∠AEH＝∠GEH，由平行线的性质推出AB∥CD，得到∠AEH＝∠DHE，由3∠EHD+2∠G＝372°，得到3∠AEH+2（∠BEG+38°）＝372°，由邻补角的性质得到∠2AEH+∠BEG＝180°，求出∠AEH＝64°，得到∠DHE＝64°，即可求出∠CHE＝180°﹣64°＝116°． 【解答】解：过G作GM∥AB， ∵AB∥CD， ∴MG∥CD， ∴∠MGE＝∠BEG，∠MGF＝∠DFG， ∴∠MGE+∠MGF＝∠BEG+∠DFG， ∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG＝∠BEG+38°， ∵EH平分∠AEG， ∴∠AEH＝∠GEH， ∵AB∥CD， ∴∠AEH＝∠DHE， ∵3∠EHD+2∠G＝372°， ∴3∠AEH+2（∠BEG+38°）＝372°， ∵∠2AEH+∠BEG＝180°， ∴∠AEH＝64°， ∴∠DHE＝64°， ∴∠CHE＝180°﹣64°＝116°． 故选：A． 7．（2024春•西湖区校级期中）如图所示，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．分别在∠BEO和∠OFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠BEO+∠DFO＝　 　°，∠EMN﹣∠MNF＝　 　°． 【分析】过点O作OG∥AB，易得AB∥OG∥CD，过点M作MK∥AB，由∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，结合∠EOF＝100°，得到∠BEO+∠DFO＝260°，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，由∠BEO+∠DFO＝260°，可求x﹣y＝40°，进而求解． 【解答】解：过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点 N作NH∥CD，如图： ∵AB∥CD，OG∥AB， ∴AB∥OG∥CD， ∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°， ∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°， ∵∠EOF＝100°， ∴∠BEO+∠DFO＝260°， ∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO， 设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y， BEO+∠DFO＝260°； ∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°， ∴x﹣y＝40°， ∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD， ∴AB∥MK∥NH∥CD， ∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM， ∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y＝x﹣y＝40°， ∴∠EMN﹣∠FNM的值为40°， 故答案为：260；40． 8．（2024•萍乡模拟）如图，∠AEC＝80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向同方向作射线AB和CD，且AB∥CD，若∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则∠APC的大小为 　 　． 【分析】根据题意作图，过点E作EF∥AB，过点P作PQ∥AB，利用平行线的性质可得∠ECD﹣∠EAB＝∠AEC＝80°，再分情况讨论即可求得答案． 【解答】解：当P在∠ECD的角平分线时，过点E作EF∥AB，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF∥PQ， ∵EF∥AB，EF∥CD， ∴∠EAB+∠AEC+∠CEF＝180°，∠CEF+∠ECD＝180°， ∴∠EAB+∠AEC＝∠ECD，即∠ECD﹣∠EAB＝∠AEC＝80°， ∵PQ∥AB，PQ∥CD， ∴∠PAB+∠APC+∠CPQ＝180°，∠CPQ+∠PCD＝180°， ∴∠PAB+∠APC＝∠PCD，即∠PCD﹣∠PAB＝∠APC， 又∵点P为∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线的交点， ∴∠PAB∠EAB，∠PCD∠ECD， ∴∠APC＝∠PCD﹣∠PAB∠ECD∠EAB∠AEC＝40°， 当P在∠ECD的角平分线的反向延长线上时，过点E作EF∥AB，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF∥PQ， ∵EF∥AB，EF∥CD， ∴∠EAB+∠AEC+∠CEF＝180°，∠CEF+∠ECD＝180°， ∴∠EAB+∠AEC＝∠ECD，即∠ECD﹣∠EAB＝∠AEC＝80°， ∵PQ∥AB，PQ∥CD， ∴∠PAB＝∠QPA，∠PCD＝∠QPC， ∴∠APC＝∠QPA+∠QPC＝∠PAB+∠PCD， ∵点P为∠EAB的角平分线和∠ECD的角平分线的反向延长线的交点， ∴∠PAB∠EAB，∠PCD（360°﹣∠ECD）＝180°∠ECD， ∴∠APC＝∠PAB+∠PCD ∠EAB+180°∠ECD ＝180°（∠EAB﹣∠ECD） ＝180°+（﹣40°） ＝180°﹣40° ＝140°． 故答案为：40°或140°． 9．（2024春•凉州区校级期末）已知EF∥GH，A和B分别是直线EF和GH上的点，C是这两条直线之间的一点． （1）如图1，①已知∠CAE+∠CBG＝110°，那么∠ACB＝　 　． ②在①的条件下，作∠CAE与∠CBG的平分线AD与BD相交于点D，求∠ADB的度数． （2）如图2，作∠CAF与∠CBH的平分线AD与BD相交于点D，若∠ACB＝α，求∠ADB的度数（用含α的代数式表示），并证明你的结论． （3）如图3，作∠CAE的平分线与∠CBH的平分线所在的直线AD与BD相交于点D，若∠ACB＝α，请直接写出∠ADB的度数（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）①作CP∥EF，利用平行线的性质可得∠CAE＝∠ACP和∠CBG＝∠BCP，再进行角的和差运算即可； ②作DQ∥EF，利用①的结论可得∠ADB＝∠CAE+∠DBG，结合角平分线的定义求解即可； （2）由（1）①的方法可得：∠ACB＝∠CAE+∠CBG，∠ADB＝∠DAF+∠DBH，结合角平分线的定义求解即可； （3）作DM∥EF，根据平行线的性质可得∠ADB＝∠DBH−∠EAN，利用①的结论可得∠ADB＝∠CAE+∠DBG，结合角平分线的定义和邻补角的性质求解即可． 【解答】解：（1）①作CP∥EF，如图所示， ∵EF∥GH，CP∥EF ∴CP∥GH，∠CAE＝∠ACP， ∴∠CBG＝∠BCP， ∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝∠CAE+∠CBG， ∵∠CAE+∠CBG＝110°， ∴∠ACB＝110°， 故答案为：110°； ②作DQ∥EF，如图所示， ∵AD与BD分别是∠CAE与∠CBG的平分线， ∴∠DAE∠CAE，∠DBG∠CBG， ∴∠DAE+∠DBG（∠CAE+∠CBG）＝55°， 同①的方法可得：∠ADB＝∠DAE+∠DBG＝55°； （2）∠ADB＝180°−α，证明如下： ∵AD与BD分别平分∠CAF与∠CBH， ∴∠DAF∠CAF，∠DBH∠CBH， ∴∠DAF+∠DBH（∠CAF+∠CBH）， 由（1）①的方法可得：∠ACB＝∠CAE+∠CBG，∠ADB＝∠DAF+∠DBH， ∵∠ACB＝α， ∴∠ACB＝∠CAE+∠CBG＝α， ∴∠CAF+∠CBH＝（180°−∠CAE）+（180°−∠CBG）＝360°−（∠CAE+∠CBG）＝360°−α ∴∠ADB（∠CAF+∠CBH）（360°−α）＝180°−α， （3）作DM∥EF，如图所示， ∵EF∥GH，DM∥EF ∴DM∥GH，∠MDA＝∠EAN， ∴∠MDB＝∠DBH， ∴∠ADB＝∠MDB−∠MDN＝∠DBH−∠EAN， ∵AD与BD分别是∠CAE与∠CBH的平分线， ∴∠EAN∠CAE，∠DBH∠CBH ∴∠ADB（∠CBH−∠CAE） 由（1）①得：∠ACB＝∠CAE+∠CBG， ∵∠ACB＝α， ∴∠CAE＝α−∠CBG， ∴∠ADB（∠CBH−∠CAE）（∠CBH−α+∠CBG）， ∵∠CBH+∠CBG＝180°， ∴∠ADB（180°−α）＝90°−α 10．（2024春•泰兴市期中）如图1，∠ACB＝90°，MA∥BN． （1）①如果∠MAC＝30°，求∠CBN的度数； ②设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系：　 　； （2）如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； （3）在（2）的条件下，若∠MAC＝40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP．已知∠FEP＝10°，求∠BPE的度数． 【分析】（1）①过点C作CD∥AM，则有MA∥CD∥BN，然后得到∠ACD＝∠A＝30°，∠DCB+∠B＝180°，然后计算解题；②过点C作CD∥AM，则有∠ACD＝∠A＝α，∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣β，再根据直角得到结论； （2）由②可得∠MAC＝α，∠CBN＝β＝90°+α，然后根据角平分线的定义得到∠MAP∠MACα，∠NBP∠NBC（90°+α）＝45°α，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得∠MAP∠MAC＝20°，∠CBN＝90°+40°＝130°，∠APB＝135°，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【解答】解：（1）①过点C作CD∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥CD∥BN， ∴∠ACD＝∠A＝30°，∠DCB+∠B＝180°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠DCB＝180°﹣60°＝120°； ②过点C作CD∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥CD∥BN， ∴∠ACD＝∠A＝α，∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣β， 又∵∠ACB＝90°， ∴α+180°﹣β＝90°， ∴β＝α+90°， 故答案为：β＝α+90°； （2）不发生变化，135°，理由为： 由②可得∠MAC＝α，∠CBN＝β＝90°+α， ∵∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P， ∴∠MAP∠MACα，∠NBP∠NBC（90°+α）＝45°α， 过点P作PE∥MA，则MA∥PE∥BN， ∴∠EPA＝∠MAPα，∠EPB＝180°﹣∠NBP＝180°﹣（45°α）＝135°α， ∴∠APB＝∠EPA+∠EPBα+135°α＝135°； （3）由（2）得∠MAP∠MAC＝20°，∠CBN＝90°+40°＝130°，∠APB＝135°， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝180°﹣∠CBE＝180°﹣130°＝50°， 过点P作PG∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥CD∥BN， ∴∠APG＝∠MAF＝20°，∠GPN＝∠PEB， ∴∠APN＝∠APG+∠GPN＝20°+∠PEB， 当点F在点P的左侧时，如图， 则∠PEB＝∠FEB+∠FEP＝50°+10°＝60°， ∴∠APN＝20°+∠PEB＝20°+60°＝80°， ∴∠BPE＝∠APB﹣∠APE＝135°﹣80°＝55°， 当点F在点P的右侧时，如图， 则∠PEB＝∠FEB﹣∠FEP＝50°﹣10°＝40°， ∴∠APN＝20°+∠PEB＝20°+40°＝60°， ∴∠BPE＝∠APB﹣∠APE＝135°﹣60°＝75°． 【类型3 平行线中双拐点模型】 1．（2024春•阿荣旗期末）直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，∠1＝15°，则∠2＝（　　） A．15° B．25° C．35° D．20° 【分析】先利用三角形外角性质得∠1+∠3＝125°，∠2+∠4＝85°，把两式相加得到∠1+∠3+∠2+∠4＝210°，再根据平行线的性质，由l1∥l2得到∠3+∠4＝180°，然后通过角度的和差计算得到∠1+∠2的度数，进一步即可求解． 【解答】解：延长AB两端，如图所示： ∵∠1+∠3＝125°，∠2+∠4＝85°， ∴∠1+∠3+∠2+∠4＝210°， ∵l1∥l2， ∴∠3+∠4＝180°， ∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°， ∵∠1＝15°， ∴∠2＝30°﹣15°＝15°． 故选：A． 2．（2024秋•沈丘县期末）如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　） A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180° 【分析】先过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，利用平行线的性质求得∠GEF和∠EFH，最后根据∠CFH＝∠3﹣∠EFH，求得∠4即可． 【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG∥FH， ∴∠1＝∠AEG， ∴∠GEF＝∠2﹣∠1， ∵EG∥FH， ∴∠EFH＝180°﹣∠GEF＝180°﹣（∠2﹣∠1）＝180°﹣∠2+∠1， ∴∠CFH＝∠3﹣∠EFH＝∠3﹣（180°﹣∠2+∠1）＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°， ∵FH∥CD， ∴∠4＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°， 故选：D． 3．（2024春•茌平区期末）越野滑雪是冬奥会的一个重要比赛项目，是借助滑雪用具，运用登山，滑降，转弯滑行等基本技术，滑行于雪山、雪原的运动项目．为了保证运动员的安全，在修建赛道时要避开冰带，陡角和狭窄地带．如图在修建赛道时为了避开冰带需拐弯绕之，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】首先根据题意作辅助线：过点B作BD∥AE，即可得AE∥BD∥CF，则可求得：∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，则可求得∠C的值． 【解答】解：过点B作BD∥AE，如图： ∵AE∥CF ∴AE∥BD∥CF， ∴∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°， ∵∠A＝120°，∠1+∠2＝∠ABC＝150°， ∴∠2＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°． 故选：D． 4．（2024春•福田区期中）中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知AB∥CD，∠C＝90°，∠B＝78°，∠E＝98°，则∠F的度数是（　　） A．106° B．110° C．118° D．120° 【分析】过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，从而可得AB∥FH∥EG∥CD，然后利用平行线的性质可得∠B+∠HFB＝180°，∠EFH＝GEF，∠C+∠CEG＝180°，从而可得∠HFB＝102°，∠CEG＝90°，进而可得∠EFH＝∠GEF＝8°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥FH∥EG∥CD， ∴∠B+∠HFB＝180°，∠EFH＝GEF，∠C+∠CEG＝180°， ∴∠HFB＝180°﹣∠B＝102°，∠CEG＝180°﹣∠C＝90°， ∴∠GEF＝∠CEF﹣∠CEG＝98°﹣90°＝8°， ∴∠EFH＝∠GEF＝8°， ∴∠EFB＝∠EFH+∠HFB＝102°+8°＝110°， 故选：B． 5．（2024春•章丘区期末）如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE的度数为（　　） A．90° B．110° C．80° D．100° 【分析】过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：∵EF⊥MN， ∴∠MFE＝90°， 如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB， ∵AB∥MN， ∴AB∥DG∥EH∥MN， ∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEH，∠HEF＝∠MFE＝90°， ∵∠DEF＝120°，∠BCD＝110°， ∴∠GDE＝∠DEH＝120°﹣90°＝30°，∠CDG＝180°﹣110°＝70°， ∴∠CDE＝∠CDG+∠GDE＝100°， 故选：D． 6．（2024春•江西校级月考）如图，AB∥EF，∠C＝90°，若∠α＝30°，∠γ＝40°，则∠β＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】首先构造辅助线，再利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系即可得解，解题的关键是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角． 【解答】解：如图，延长DC交AB于点G，延长CD交EF于点H， 在Rt△MGC中，∠1＝90°﹣α， 在△NHD中，∠2＝β−γ， ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠2， ∴90°﹣α＝β﹣γ， ∵∠α＝30°，∠γ＝40° ∴90°﹣30°＝β﹣40°， ∴∠β＝100°． 故选：B． 7．（2024春•瓦房店市期末）如图，已知∠A＝30°，∠C＝112°，AB∥CD，则∠G﹣∠E的值为 　 　． 【分析】过E作EN∥AB，过G作GM∥AB，得到NE∥GM∥CD，推出∠AEN＝∠A，∠NEG＝∠MGE，∠C+∠CGM＝180°，得到∠AEG＝∠MGE+30°，∠CGE＝68°+∠MGE，求出∠CGE﹣∠AEG＝68°﹣30°＝38°． 【解答】解：过E作EN∥AB，过G作GM∥AB， ∴NE∥GM∥CD， ∴∠AEN＝∠A，∠NEG＝∠MGE，∠C+∠CGM＝180°， ∴∠AEN+∠NEG＝∠A+∠MGE， ∴∠AEG＝∠MGE+30°， ∵∠C＝112°， ∴∠CGM＝180°﹣112°＝68°， ∴∠CGE＝68°+∠MGE， ∴∠CGE﹣∠AEG＝68°﹣30°＝38°． 故答案为：38°． 8．（2024春•武威月考）如图，已知AB//EF，∠B＝40°，∠E＝30°，则∠C﹣∠D的度数为 　 　． 【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据锯齿模型可得∠BCD+∠E＝∠B+∠CDE，然后进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF， ∴∠1＝∠B，∠E＝∠4， ∵AB∥EF， ∴CG∥DH， ∴∠2＝∠3， ∴∠BCD+∠E＝∠1+∠2+∠E＝∠B+∠3+∠4＝∠B+∠CDE， ∴∠BCD﹣∠CDE＝∠B﹣∠E＝40°﹣30°＝10°， 故答案为：10°． 9．（2024春•海淀区校级期中）如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的等量关系式是 　 　． 【分析】运用对顶角，内角和等知识点建立∠A、∠C、∠E、∠F之间的关系． 【解答】解：连接BD， ∵AB∥CD， ∴∠B和∠D为互补角， ∴∠B+∠D＝180°， ∵五边形内角和是540°， ∴∠A+∠E+∠EOD＝540°﹣∠B﹣∠D＝540°﹣180°＝360°， ∴∠A+∠E＝360°﹣∠EOD， ∵对顶角相等， ∴∠EOD＝∠COF， 又∵三角形内角和是180°， ∴∠COF＝180°﹣∠C﹣∠F， ∴∠A+∠E＝360°﹣（180°﹣∠C﹣∠F）＝180°+∠C+∠F， ∴∠A+∠E＝180°+∠C+∠F； 故答案为：∠A+∠E＝180°+∠C+∠F． 10．（2024春•江夏区校级月考）图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AG恰好经过点C，且B，C，D在一条直线上，若AG∥EF，∠B＝∠D+15°，∠E＝105°． （1）求∠B﹣∠DCG的度数． （2）连接AE，当∠AEF与∠DCG满足怎样数量关系时，BD∥AE．并说明理由． 【分析】（1）延长ED交AG于K，进而解答即可； （2）根据平行线的判定和性质解答即可． 【解答】解：（1）延长ED交AG于K， ∵AG∥EF， ∴∠CKD＝∠E． ∴∠B﹣∠DCG＝∠CDE+15°﹣∠DCG＝∠CKD+15°＝∠E+15°＝120°； （2）如图， 当∠AEF+∠DCG＝180°时，BD∥AE， ∵AG∥EF， ∴∠GAE+∠AEF＝180°， 又∵∠AEF+∠DCG＝180°， ∴∠GAE＝∠DCG， ∴BD∥AE． 【类型4 平行线中双拐点+角平分线模型】 1．（2024春•白塔区校级期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝140°，则∠DCE＝（　　） A．58° B．70° C．50° D．40° 【分析】根据平行线的性质可知∠BAF＝∠HBA＝50°，再根据平行线的性质可知∠ABC+∠BCE＝∠BCD+∠CBH＝180°即可解答． 【解答】解：过点A作AF∥MN，过点B作BH∥AF， ∴∠MOA＝∠FAO＝90°， ∵CD∥MN， ∴CD∥BH， ∵∠BAO＝140°， ∴∠BAF＝∠HBA＝∠BAO﹣∠FAO＝140°﹣90°＝50°， ∵CE∥BA，CD∥BH， ∴∠ABC+∠BCE＝∠BCD+∠CBH＝180°， ∴∠CBH+∠ABH+∠BCE＝∠DCE+∠BCE+∠CBH＝180°， ∴∠DCE＝∠ABH＝50°， 故选：C． 2．（2024春•慈溪市期中）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M＝　 　． 【分析】过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据已知易得：AB∥GN∥MP∥KH∥CD，再利用锯齿模型可得∠AEG+∠GHF＝∠EGH+∠HFD＝104°，然后利用角平分线的定义可得∠AEM∠AEG，∠MHF∠GHF，从而可得∠AEM+∠MHF＝52°，进而可得∠AEM+∠MHK＝32°，最后利用猪脚模型可得∠EMH＝∠AEM+∠MHK＝32°，即可解答． 【解答】解：过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD， ∵GN∥AB， ∴∠AEG＝∠EGN， ∵GN∥KH， ∴∠GHK＝∠NGH， ∵KH∥CD， ∴∠KHF＝∠HFD＝20°， ∴∠AEG+∠GHK+∠KHF＝∠EGN+∠NGH+∠HFD， ∴∠AEG+∠GHF＝∠EGH+∠HFD， ∵∠EGH＝84°，∠HFD＝20°， ∴∠AEG+∠GHF＝104°， ∵EM平分∠AEG，MH平分∠GHF， ∴∠AEM∠AEG，∠MHF∠GHF， ∴∠AEM+∠MHF（∠AEG+∠GHF）＝52°， ∵∠KHF＝20°， ∴∠AEM+∠MHK＝32°， ∵MP∥AB∥KH， ∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠MHK， ∴∠AEM+∠MHK＝∠EMP+∠PMH＝32°， 即∠EMH＝32°， 故答案为：32°． 3．（2024春•和平区校级月考）已知直线AB∥CD，E为两直线间一定点，∠DCE＝24°，若点F为平面内一动点，且满足∠ABF＝52°，连接BF，EF，则∠BFE的平分线与∠CEF的平分线所在直线交于点G，则∠GFE+∠FEG＝　 　． 【分析】根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在AB下方，一种是点F在AB上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果． 【解答】解：当点F在AB下方时， 过点F作HI∥AB，过点E作JK∥AB，如图1所示： 设∠GEK＝α， ∵AB∥CD， ∴AB∥HI∥JK∥CD， ∵∠DCE＝24°，∠ABF＝52°， ∴∠KEC＝∠DCE＝24°，∠BFH＝∠ABF＝52°， ∴∠GEC＝∠GEK+∠KEC＝α+24°， ∵EG平分∠CEF， ∴∠GEC＝∠GEF＝α+24°， ∴∠FEK＝∠FEG+∠GEK＝24°+2α， ∴∠BFE＝∠BFH+∠HFE＝24°+2α+52°＝76°+2α， ∵GF平分∠BFE， ∴， ∴∠GFE＝180°﹣∠EFT＝180°﹣（38°+α）＝142°﹣α， ∴∠GFE+∠FEG＝142°﹣α+α+24°＝166°； ②当点F在AB上方时，过点E作MN∥AB，如图2所示： 设∠PEN＝β， ∵∠DCE＝24°，∠ABF＝52°， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∵∠CEN＝∠DCE＝24°， ∴∠PEC＝∠PEN+∠CEN＝β+24°， ∵GE平分∠CEF， ∴∠FEP＝∠PEC＝β+24°， ∴∠GEF＝180°﹣∠FEP＝180°﹣（β+24°）＝156°﹣β， ∴∠FKA＝∠FEN＝∠FEP+∠PEN＝β+24°+β＝24°+2β， ∵∠FKA＝∠ABF+∠BFE， ∴∠BFE＝∠FKA﹣∠ABF＝24°+2β﹣52°＝2β﹣28°， ∵GF平分∠BFE， ∴， ∴∠GFE+∠FEG＝β﹣14°+156°﹣β＝142°， 综上所示：∠GFE+∠FEG的值为166°或142°， 故答案为：166°或142°． 4．（2023秋•渭城区期末）如图，已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD之间的点． （1）如图1，若∠E＝100°，求∠B+∠D的度数； （2）若∠B＝36°，∠D＝108°． ①如图2，请探索∠F﹣∠E的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 【分析】（1）：过点E作EM∥AB，则EM∥AB∥CD，然后根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM，∠D＝∠DEM，即可解题； （2）①如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，证明AB∥EN∥FP∥CD，可得∠1＝∠B＝36°，∠4＝180°﹣∠D＝72°，∠3＝∠2，再利用角的和差运算可得结论； ②如图，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，可得，，由三角形的内角和定理可得∠P＝180°﹣（∠2+∠PFE）＝∠3—∠2，结合①得：∠EFD﹣∠BEF＝36°，从而可得∠P＝18°． 【解答】解：（1）过点E作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴EM∥AB∥CD， ∴∠B＝∠BEM，∠D＝∠DEM， ∴∠B+∠D＝∠BE+∠DEM＝∠BED＝100°； （2）①∠EFD﹣∠BEF＝36°，是定值，理由如下： 如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EN∥FP∥CD，而∠B＝36°，∠D＝108°， ∴∠1＝∠B＝36°，∠4＝180°﹣∠D＝72°，∠3＝∠2， ∴∠EFD﹣∠BEF＝∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝∠4﹣∠1＝72°﹣36°＝36°； ②如图，∵EP平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴， ∴∠P＝180°﹣（∠2+∠PFE）＝180°﹣（∠2+180°﹣∠3）＝∠3﹣∠2， ∵由①得：∠EFD﹣∠BEF＝36°， ∴， ∴∠P＝18°． 【类型5 平行线中多拐点模型】 1．（2024春•烟台期末）如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为 　 　． 【分析】先延长AE，DG交于点Q，根据∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，以及∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，可得∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），再根据∠AEF+∠DGF＝∠H，可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠B+∠C+∠H，据此得出结论． 【解答】解：如图所示，延长AE，DG交于点Q， 由题可得，∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°， 又∵∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F， ∴∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F， 即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D）， 又∵∠AEF+∠DGF＝∠H， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D） ＝∠B+∠C+∠H ＝360°， 故答案为：360°． 2．（2024春•玄武区期末）如图，AB∥CD，DE⊥EF，FG⊥EF，∠ABG＝150°，∠CDE＝140°，则∠BGF＝　 　． 【分析】分别过点G、F、E作GH∥AB、FM∥AB、EN∥AB，结合垂直定义，根据平行线的判定与性质求解即可． 【解答】解：如图，分别过点G、F、E作GH∥AB、FM∥AB、EN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GH∥FM∥EN， ∴∠ABG+∠BGH＝180°，∠HGF＝∠MFG，∠MFE＝∠NEF，∠CDE+∠DEN＝180°， ∵∠ABG＝150°，∠CDE＝140°， ∴∠BGH＝30°，∠DEN＝40°， ∵DE⊥EF，FG⊥EF， ∴∠GFE＝∠MFG+∠MFE＝90°，∠FED＝∠NEF+∠DEN＝90°， ∴∠MFG＝90°﹣∠MFE，∠NEF＝90°﹣∠DEN＝50°＝MFE， ∴∠MFG＝40°＝∠HGF， ∴∠BGF＝∠BGH+∠HGF＝30°+40°＝70°， 故答案为：70°． 3．（2024春•法库县期末）观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2＝180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn＝　 　度． 【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3＝180°，∠5+∠6＝180°，∠7+∠8＝180°，∠4+∠2＝180°于是得到∠1+∠2＝10°，∠1+∠P1+∠2＝2×180，∠1+∠P1+∠P2+∠2＝3×180°，∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2＝4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn＝（n+1）×180°． 【解答】解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G， ∵AB∥CD， ∴AB∥P1E∥P2F∥P3G． 由平行线的性质可得出：∠1+∠3＝180°，∠5+∠6＝180°，∠7+∠8＝180°，∠4+∠2＝180° ∴（1）∠1+∠2＝180°，（2）∠1+∠P1+∠2＝2×180，（3）∠1+∠P1+∠P2+∠2＝3×180°，（4）∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2＝4×180°， ∴∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn＝（n+1）×180°． 故答案为：（n+1）×180． 4．（2024春•芜湖期中）已知AB∥CD，请完成以下问题： （1）如图1，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的度数之间的等量关系是 　 　； （2）如图2，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝50°，则∠GHM＝　 　． 【分析】（2）如图1中，作GM∥AB，FN∥AB，结论∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5，利用平行线的性质即可证明． （3）如图2中，作KG∥AB，HP∥AB，MN与HP交于点T，利用平行线的性质即可解决． 【解答】解：（1）如图1中， 如图2中，作GM∥AB，FN∥AB，EH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥GM∥FN∥EH∥CD， ∴∠1＝∠AEH，∠HEG＝∠EGM，∠MGF＝∠GFN，∠NFC＝∠5， ∴∠AEG+∠GFC＝∠1+∠EGF+∠5， 即∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5． 故答案为：∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5． （2）如图2中，作KG∥AB，HQ∥AB，MN与HQ交于点T． ∵AB∥CD，KG∥AB，HQ∥AB， ∴AB∥KG∥QH∥CD， ∴∠FGH＝∠EFA＝30°， ∵∠FGH＝90°， ∴∠KGH＝60°， ∴∠KGH＝∠GHQ＝60°，∠HTM＝∠CNP＝50°， ∵∠HTN＝∠QHM+∠M，∠M＝30°， ∴∠QHM＝20°， ∴∠GHM＝∠QHG﹣∠QHM＝40°． 故答案为：40°． 5．（2024春•武威月考） （1）如图1，AB∥CD，则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系？ （2）如图2，若AB∥CD，又能得到什么结论？ 【分析】（1）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥CD，根据平行公理可得AB∥EM∥FN∥GH，然后利用两直线平行，内错角相等求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【解答】解：（1）如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN∥GH， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D， ∴∠1+∠2+∠5+∠6＝∠B+∠3+∠4+∠D， 即∠E+∠G＝∠B+∠F+∠D； （2）与（1）同理，∠B+∠F1+∠F2+∠Fn﹣1+…+∠D＝∠E1+∠E2+…+∠En． 6．（2024春•景县期末）模型与应用． 【模型】 （1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1+∠MEN+∠2＝360°． 【应用】 （2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为　 　． 如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为　 　． （3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1O与∠CMnMn﹣1的角平分线MnO交于点O，若∠M1OMn＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n﹣1的度数．（用含m、n的代数式表示） 【分析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的判定得出EF∥AB，根据平行线的性质得出即可； （2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可； （3）过点O作SR∥AB，根据平行线的性质得出即可； 【解答】（1）证明：过点E作EF∥CD， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB， ∴∠1+∠MEF＝180°， 同理∠2+∠NEF＝180°， ∴∠1+∠2+∠MEN＝360°； 【应用】 （2） 过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD， ∵CD∥AB， ∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD， ∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°， 同理∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1）， 故答案为：900°，180°（n﹣1）； （3）解：过点O作SR∥AB， ∵AB∥CD， ∴SR∥CD， ∴∠AM1O＝∠M1OR 同理∠C MnO＝∠MnOR ∴∠A M1O+∠CMnO＝∠M1OR+∠MnOR， ∴∠A M1O+∠CMnO＝∠M1OMn＝m°， ∵M1O平分∠AM1M2， ∴∠AM1M2＝2∠A M1O， 同理∠CMnMn﹣1＝2∠CMnO， ∴∠AM1M2+∠CMnMn﹣1＝2∠AM1O+2∠CMnO＝2∠M1OMn＝2m°， 又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n﹣1+∠CMnMn﹣1＝180°（n﹣1）， ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n﹣1＝（180n﹣180﹣2m）°． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$