精品解析：河南省商丘市夏邑县第二初级中学教育集团2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年九年级（上）第二次数学限时作业 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 4. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比为，若点，则其对应点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值．“标杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图像如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要（　　）m． A. 2 B. 1 C. 6 D. 4 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E，连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ） A. 1.5 B. 1 C. 2 D. 2.5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则m的取值范围是 ____________． 12. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 13. 点是二次函数 图象上的两个点，则______ (填“”，“”或“”)． 14. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 15. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为 _____________ 三、解答题（共75分） 16. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）当方程无实数根时，求的取值范围． 17. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 18. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 19. 长寿阁（图1）坐落于夏邑长寿文化景区，是夏邑县十园八景之首．整阁以历史文化为立意，以多种艺术形式完整地讲述了夏邑县作为中华祖地、孔子祖籍的绚烂和悠久．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量长寿阁的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与长寿阁顶点在同一直线上，已知米，米，目测点与地面的距离米，到长寿阁的水平距离米． （1）求长寿阁的高度． （2）“景点简介”显示，长寿阁的高度为．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足的x取值范围． 21. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）斜坡上点B处有一棵树，点B的三等分点（且靠近点），小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 23. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级（上）第二次数学限时作业 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 3. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 4. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 5. 某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故选：D． 6. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转可得，，，即得，再根据三角形外角性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比为，若点，则其对应点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了两个图形的位似知识，由于位似的两个图形在原点的两旁，则点的两个坐标分别乘，即得B的坐标． 【详解】解：∵与位似，且原点O为位似中心，其位似比为，点， ∴. 故选：D. 8. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值．“标杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图像如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要（　　）m． A. 2 B. 1 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据杠杆的平衡条件列出方程，即可解得答案． 【详解】根据杠杆的平衡条件可得： ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握杠杆的平衡条件． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 10. 如图1，在中，，点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E，连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ） A. 1.5 B. 1 C. 2 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图形，相似三角形的判定与性质．当时，时，点D在上，利用，求出，再求出，从而求出a；当时，时，D点在上，利用，求出，，从而得出关于b的方程，解方程求出b的值，再计算即可． 【详解】解：由函数图象的拐点可得，， ∴， ∴， 如图，当时，时，点D在上，    ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴ ∴，即， 如图，当时，时，D点在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 解得或（舍去） ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则m的取值范围是 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得，解不等式组可得答案． 【详解】解：因为在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限， 所以， 解得． 故答案为：． 12. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 13. 点是二次函数 图象上的两个点，则______ (填“”，“”或“”)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，将点的坐标代入函数解析式，求出，进行判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴； 故答案为：． 14. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 15. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为 _____________ 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定及性质，分类讨论的思想是解题的关键．根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：当时，， ∵将矩形纸片折叠，折痕为， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则，     设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4或． 三、解答题（共75分） 16. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）当方程无实数根时，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）的取值范围是． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程可化为， 因式分解得， 解得，； 【小问2详解】 解：∵该方程无实数根， ∴， 解得， 即若该方程有无数根，的取值范围是． 17. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可列表格如下， A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种， ∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 18. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； 【小问3详解】 ， 当时，有最大值． 19. 长寿阁（图1）坐落于夏邑长寿文化景区，是夏邑县十园八景之首．整阁以历史文化为立意，以多种艺术形式完整地讲述了夏邑县作为中华祖地、孔子祖籍的绚烂和悠久．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量长寿阁的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与长寿阁顶点在同一直线上，已知米，米，目测点与地面的距离米，到长寿阁的水平距离米． （1）求长寿阁的高度． （2）“景点简介”显示，长寿阁的高度为．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1）米 （2）误差为，减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质得到是． （2）结合（1）的结论，求得误差，根据通过多次测量取平均值的方法减少误差，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得：， ∵ ∴． 答：的高度为米． 【小问2详解】 ∵“景点简介”显示，观星台的高度为， ∴本次测量结果的误差为， 减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足的x取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：依题意，点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． ∵，两点均在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的解析式为． 综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当时，x的取值范围为或． 21. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）斜坡上点B处有一棵树，点B的三等分点（且靠近点），小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 【答案】（1） （2） （3）这棵树的高为2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴抛物线最高点对坐标为； 【小问3详解】 解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， ∵，， ∴， ∴， 又∵点B是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴点C的横坐标为1， 将代入中，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， 答：这棵树的高为2． 23. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $