精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

临澧一中2024-2025高二年级下学期入学考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线x+y+m＝0（m∈R）的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 在等差数列中，已知，则的值为（　　） A. B. 45 C. D. 120 3. 设等比数列的公比为q，若，则（ ） A. 1 B. C. 或2 D. 或1 4. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角等于，，是棱上两点，，，且，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 7. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的准线l与双曲线C：（，）交于A、B两点，，为曲线C的左右焦点，在l左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于E点，，则的面积为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 对任意的，方程所表示的曲线可能为（ ） A. 双曲线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 圆 10. 已知圆，直线，则下列命题中正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相离 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 11. 设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）． A. 若，则数列为等比数列 B. 若，则数列为等比数列 C. 若，则数列为等差数列 D. 若，则数列为等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为______． 13. 若数列满足，，，则______； 14. ､是椭圆：的左､右焦点，点为椭圆上一点，点在轴上，满足，若，则椭圆的离心率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值. 16. 已知数列中，，，前项和为，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过两点作准线的垂线，垂足分别为、两点，以线段为直径的圆过点，求圆的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点． （1）求证：∥； （2）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 19. 如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值； （3）若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2024-2025高二年级下学期入学考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线x+y+m＝0（m∈R）的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】将已知直线方程化为斜截式，得斜率，由，即可求得倾斜角. 【详解】将已知直线方程化为斜截式，所以斜率，则 故选：C 【点睛】本题考查求直线的倾斜角，属于基础题. 2. 在等差数列中，已知，则的值为（　　） A. B. 45 C. D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质计算． 【详解】∵，∴， 故选：C. 3. 设等比数列的公比为q，若，则（ ） A. 1 B. C. 或2 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列的性质求出，再求出公比.. 【详解】等比数列中，，而，解得， 即，解得，所以或. 故选：D 4. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得的值. 【详解】向量， 若， 则， . 故选：C. 5. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为平面的方程为，故其法向量为， 因为直线的方程为，故其方向向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 6. 如图，二面角等于，，是棱上两点，，，且，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知 ， 所以 ， 由，得， 又因为， 所以 ， 所以，即. 故选：D. 7. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设在渐近线上，结合角的关系求出即可代入渐近线结合离心率公式计算求解. 【详解】由题双曲线一条渐近线为，不妨设在该渐近线上， 则可得， 由得，故， 所以，所以， 所以或，由对称性不妨设即， 因为即，所以， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 8. 抛物线的准线l与双曲线C：（，）交于A、B两点，，为曲线C的左右焦点，在l左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于E点，，则的面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点是中点，结合是等边三角形，以及余弦定理，求得，利用三角形面积公式即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下： 由，可得E为的中点，又O为的中点， ∴， ∵为等边三角形，∴，， ∴，. 抛物线的准线l：， ∴的边长为，， 在中，由余弦定理可得：. 即， 解得：，，. . 则的面积为. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，由抛物线方程求准线方程，涉及余弦定理，属综合困难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 对任意的，方程所表示的曲线可能为（ ） A. 双曲线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别讨论的范围求方程所表示的曲线，即可得正确选项. 【详解】当时，，，方程可化为，此时为直线； 当且时，，，且，此时原方程可化为，此时表示椭圆； 当时，时，可化简为表示圆， 当时，，，方程可化为，此时为直线； 当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线； 当时，，原方程即，此时轨迹不存在； 当时，，，此时方程表示的轨迹不存在； 当时，，，原方程即，此时轨迹不存在； 当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线， 综上所述：方程所表示的曲线可能为双曲线、椭圆、圆， 故选：ACD. 10. 已知圆，直线，则下列命题中正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相离 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】求出直线所过的定点即可判断选项；求出圆与轴的交点坐标，进而求出弦长可判断选项；根据直线过的定点在圆内可判断选项；当直线截得的弦长最短时，，，即可求出直线方程，进而判断选项. 【详解】将直线的方程整理为， 由，解得：，则无论为何值，直线过都定点，故选项正确； 令，则，解得，故圆被轴截得的弦长为，故不正确； 因为，所以点在圆的内部，直线与圆相交，故不正确； 圆心，半径为，，当截得的弦长最短时，，， 则直线的斜率为，此时直线的方程为，即，故正确． 故选：. 11. 设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）． A. 若，则数列为等比数列 B. 若，则数列为等比数列 C. 若，则数列为等差数列 D. 若，则数列为等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由与的关系可推出，若则，由可证明为等比数列；由A求出数列的通项公式从而可由求得的通项公式；若则，可推出判断C选项；此时由可推出，即可判断D选项. 【详解】因为即，所以． 若，则，所以． 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 由A知，则， 当时，， 由，，可得，，， 即，故B错误； 若，则，所以由，得， 此时数列为等差数列，故C正确； 由C知，则当时，， 所以，，此时数列为等差数列，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据斜率是否存在设直线方程再结合点到直线距离求参即可. 【详解】由题意知在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为，所以切线方程为，所以， 所以，所以，所以切线方程为． 综上，切线方程为或. 故答案为：或. 13. 若数列满足，，，则______； 【答案】 【解析】 【分析】 根据递推关系，少递推一项再相减，从而得到，再利用累乘法求得答案. 【详解】∵， ∴， 两式相减得：， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查数列的递推关系求通项，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意累乘法的运用. 14. ､是椭圆：的左､右焦点，点为椭圆上一点，点在轴上，满足，若，则椭圆的离心率为___________. 【答案】##0.875 【解析】 【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定与的关系，再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答. 【详解】由得：以、为一组邻边的平行四边形的以点M为起点的对角线对应的向量与共线， 由知，平分，因此这个平行四边形是菱形，有， 又，于是得，令椭圆的半焦距为c， 在中，，由余弦定理得：， 即，则有，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案. 【小问1详解】 设圆心为，半径为, 则由题意得，故该圆的方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 由垂径定理得：，解得. 16. 已知数列中，，，前项和为，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）构造，两式作差得到即可得到即可得证． （2）利用裂项相消法求和． 【详解】解：（1）证明：① 令得， ②， ②①得③， ， 在③中可约去得， 即， 又，是以首项为1，公差为1的等差数列． （2）易得，， ． 【点睛】本题考查由证明数列为等差数列以及裂项相消法求和，属于中档题. 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过两点作准线的垂线，垂足分别为、两点，以线段为直径的圆过点，求圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得抛物线的标准方程. （2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据圆心和半径写出圆的方程，代入点坐标来求得正确答案. 【小问1详解】 抛物线的焦点到准线的距离， 所以抛物线的标准方程是. 【小问2详解】 由（1）得抛物线的标准方程是，焦点，准线方程， 依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为， 由消去并化简得，， 设， 则， ，所以，即， ， 所以圆的方程为， 即，将代入得，解得， 所以圆的方程为. 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点． （1）求证：∥； （2）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明； （2）根据题意可在平面，建系，利用空间向量求面面夹角； （3）设，求点G的坐标，根据线面平行的向量关系分析运算. 【小问1详解】 因为//，平面，平面， 所以//平面， 又因为平面，平面平面直线l， 所以∥. 【小问2详解】 取的中点，连接， 由题意可得：//，且， 则为平行四边形，可得//， 且平面PAD，则平面PAD， 由平面PAD，则， 又因为△PAD为等边三角形，则为的中点，可得， ，平面，则平面， 如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，即， 由题意可知：平面PAD的法向量， 可得， 所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值. 【小问3详解】 由（2）可得：， 设，，则， 可得，解得， 即，可得， 若∥平面AEF，则， 可得，解得， 所以存在点，使得∥平面AEF，此时. 19. 如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值； （3）若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大． 【答案】（1）； （2）证明见解析，定值为1； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出a，b得椭圆的方程作答. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立结合中点问题推理计算作答. （3）利用（2）中信息求出直线的方程，与抛物线方程联立，求出面积的函数关系，借助均值不等式求解作答. 【小问1详解】 令椭圆的半焦距为c，依题意，，，解得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 显然直线不垂直于坐标轴，设的方程为，设， 由消去x得：，， 则，而C是AB的中点，即有，于是， 满足，因此， 所以点C的横坐标是定值，该定值为1. 【小问3详解】 由直线过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，得直线和直线l的斜率互为相反数， 则由（1）得直线的方程为，即， 由消去x得：，， 设，则， ，点到直线：的距离， 由C是AB的中点得的面积， 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，的面积取得最大值，此时. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $