精品解析：湖北省荆门市龙泉中学2024-2025学年高二上学期期中数学试题

龙泉中学2024—2025学年（上）高二期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知向量，若共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线列出方程，求出，即可得解. 【详解】因为，共线， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程，结合倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】由，得， 所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，解得. 故选：D 3. 已知数据，，…，的极差为4，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别是（ ） A. 4，2 B. 4，18 C. 12，2 D. 12，18 【答案】D 【解析】 【分析】根据极差和方差的性质运算可得. 【详解】新数据的极差是原数据极差的3倍，所以新数据的极差为：； 新数据的方差是原数据方差的倍，所以新数据的方差为：. 故选：D 4. 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，由斜率的定义求解. 【详解】解：由图象知：， 故选：A 5. 圆：与圆：的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 【答案】A 【解析】 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系的判断公式，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 两圆的圆心距， 则圆心距，所以两圆相内切. 故选：A 6. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求得圆心到直线的距离，进而利用垂径定理求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 圆心到直线的距离，所求弦长为. 故选：. 【点睛】本题考查直线被圆所得弦长的求解问题，关键是熟练掌握垂径定理，属于基础题. 7. 设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：利用椭圆焦点三角形的二级结论直接计算即可. 解法二：设，根据椭圆定义结合余弦定理可得，进而可得面积. 【详解】解法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式. 解法二：由椭圆方程可知：， 设， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 故选：C. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及已知得，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次方程，进而求渐近线. 【详解】由双曲线定义知，又，则，， 在中，，，则， 所以，可得，则， 所以的渐近线方程为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的离心率为，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分焦点在x轴或y轴上，即，或结合离心率讨论求解. 【详解】当时，焦点在x轴上，此时离心率为， 解得，满足 当时，焦点在y轴上，此时离心率为， 解得，满足 综上m的值为或3， 故选：AD． 10. 设直线：，：，圆C：，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则或-1 B. 若，则 C. 恒过定点 D. 被圆C截得的弦长最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线平行与垂直的充要条件求解的值即可判断A，B；根据含参直线一般方程确定定点坐标即可判断C；根据直线与圆相的位置关系，求解相交弦长的最小值即可判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，故A不正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，直线：，整理得， 令得，故直线恒过定点，故C正确； 对于D，圆C：的圆心，半径，设点为，则在圆内， 则当时，直线被圆截得的弦长最小， 因为，所以直线被圆截得的弦长的最小值为， 又，所以，此时解得，故存在使得被圆C截得的弦长最小值为4，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ） A. 实轴长为4 B. 双曲线为等轴双曲线 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可. 【详解】设该双曲线标准方程为，则. 对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意； 对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，， 可解得，符合题意； 对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意； 对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得. 【详解】因为与对立且，所以， 又与相互独立且， 所以. 故答案为： 13. 已知向量，若与垂直，则_____________ . 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求出，进而根据模的坐标表示计算即可. 【详解】由题意与垂直， 则，解得， 所以，则. 故答案为：. 14. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由图，题意，双曲线对称性可得为直角三角形，然后设，由及勾股定理可表示出a，c，即可得答案. 【详解】由双曲线对称性及，可知， 则为以为顶点的直角三角形.又由双曲线对称性， 可知四边形为平行四边形，结合， 可知四边形为矩形，则为直角三角形. 设，则. 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示. （1）求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数； （2）按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率. 【答案】（1），2.4h （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得m，再利用中位数的计算公式直接计算； （2）根据分层抽样等比例的性质直接计算人数，再根据古典概型公式计算即可. 【小问1详解】 由，解得. 因为，所以中位数在内， 设中位数为x，则，得， 即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h. 【小问2详解】 由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.25，0.05， 则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人. 记时间段内的5人分别为a，b，c，d，e，记时间段内的1人为M，则从这6人中选出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个， 2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个， 所以这2人来自不同分组的概率为. 16. 如图，在直三棱柱中，，E，F分别为、BC的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 在直三棱柱中，即平面，， 又平面，所以，，如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，所以，即； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱的性质及，建立空间直角坐标系，根据，即可证明； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，，，所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以点到平面的距离. 17. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 18. 已知抛物线与圆相交于、两点，且. （1）求抛物线的方程; （2）若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称性，设，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及抛物线的焦半径公式可求得的周长. 【小问1详解】 因为，根据圆与抛物线的对称性，不妨设， 因为点在圆上，所以， 解得（负值舍去），所以的方程是. 【小问2详解】 由消去并整理得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 所以， ， 所以的周长为. 19. 如图，椭圆的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， （1）若轴，求的面积； （2）若，求点的坐标； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，直接求出，即可求解； （2）设，直线的方程为，联立椭圆方程，求出，结合条件得到，即可求出，从而求解； （3）直接求出的纵坐标，从而得到，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，由椭圆，得，， 则，，，所以，， 当时，由，得，所以， 所以的面积为． 【小问2详解】 设，，则直线的方程为， 由，消可得，整理得， 所以，得， 所以， 因为，所以，可得， 所以，解得，代入，得出， 所以点的坐标为. 【小问3详解】 设，由（2）得，则直线的方程为， 由，消得到， 所以，得， 得到， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙泉中学2024—2025学年（上）高二期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知向量，若共线，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 3. 已知数据，，…，的极差为4，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别是（ ） A. 4，2 B. 4，18 C. 12，2 D. 12，18 4. 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 圆：与圆：的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 6. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的离心率为，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 10. 设直线：，：，圆C：，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则或-1 B. 若，则 C. 恒过定点 D. 被圆C截得的弦长最小值为4 11. 已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ） A. 实轴长为4 B. 双曲线为等轴双曲线 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则__________. 13. 已知向量，若与垂直，则_____________ . 14. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示. （1）求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数； （2）按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率. 16. 如图，在直三棱柱中，，E，F分别为、BC的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 17. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 18. 已知抛物线与圆相交于、两点，且. （1）求抛物线的方程; （2）若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 19. 如图，椭圆的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， （1）若轴，求的面积； （2）若，求点的坐标； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $