广东省广州市执信中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题

2024学年第一学期数学学科高三期末考试 试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 记等差数列的前 项和为，已知，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 4. 如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 设椭圆的一个焦点为，为 内一点，若 上存在一点 ，使得，则 的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，，，，，， 是平面上的动点，且满足的周长为，则面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X服从正态分布，且，则 B. 一组数据的第60百分位数为13.5 C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数 的值是－4 D. 若决定系数越小，则两个变量的相关性越强 10. 已知函数的定义域均为，且，则下列选项一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称 11. 椭圆与双曲线有共同的左焦点和右焦点，与离心率分别为，，它们在第一象限的交点为P（O为坐标原点），圆是的内切圆，过点P且与直线垂直的直线与交于，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. D. 过右焦点分别作直线，的垂线，垂足分别为M，N，则 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 已知展开式中各项的系数和为64，则展开式中含项的系数为__________. 14. 已知函数，曲线在 ， 两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于 ， 两点，设△面积为，若恒成立，则 的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求A的值； （2）若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若的导函数有最小值，且是增函数，求的取值范围． 17. 如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设 为的中点． （1）证明：平面； （2）设 为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 18. 已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是过的直线与C交于M，N两点的周长为 （1）求C的标准方程； （2）若记线段MN的中点为 （ⅰ）求R的坐标； （ⅱ）过R的动直线l与C交于P，Q两点，PQ，PN的中点分别是S和T，求面积的最大值. 19. 若数列满足，则称为“螺旋递增数列”． （1）设数列是“螺旋递增数列”，且，求和； （2）已知数列满足：，判断数列是不是“螺旋递增数列”，若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）设数列是“螺旋递增数列”，且，记数列的前 项和为．问是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 2024学年第一学期数学学科高三期末考试 试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】15 【14题答案】 【答案】1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）8 （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图，在平面ABC内过点 作直线， ∵平面，平面，∴，， ∴以 为坐标原点，分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ∵ 为的中点，∴， ∴，，， ∴，即， 又∵平面，平面，， ∴平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ） 【19题答案】 【答案】（1）， （2）是“螺旋递增数列”，证明见解析 （3）存在， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $