第一章 三角形的证明单元培优卷（题型专攻）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

第一章 三角形的证明单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第1章 三角形的证明，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，则的周长是（     ） A．31 B．41 C．51 D．61 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长等于，，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴的周长为：； 故选C． 2．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，中，， 于点 D，与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等解答． 【详解】解：，， ，， ． 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，三线合一．过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故选：C． 5．等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等．根据三角形的内角和为，进行分类讨论即可 【详解】解：①当底角为时，顶角， ②当顶角为时，顶角度数， 综上：顶角度数为或； 故选：A． 6．如图，在中，，交于点D，，则长为（   ） A．7.5 B．8 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，证明是解题的关键．由已知，求得，再由，得到，即可求得，且根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半，可得，再由，得到，即可得出，计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ，， ， ． 故选：B． 7．如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出以及，得出，同理得出，……，进而得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ， 同理，， 以此类推：． 故选：C． 8．已知如图，平分于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则的最小值是（  ） A．2 B．3 C．4 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线性质，含30度角直角三角形的性质，垂线段最短的应用，能得出要使最小时Q的位置是解此题的关键．根据垂线段最短得出当时，的值最小，根据角平分线性质得出，求出即可． 【详解】解：当时，的值最小， ∵平分，， ∴，， ∴， 故选：A． 9．已知中，，，，，于点D，的平分线交于点E，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积．过E作于H，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到，求出，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，求出，即可求出的面积． 【详解】解：过E作于H， ∵平分， ∵， ∴， ∵，于点D， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：A． 10．若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由，则，即，故是直角三角形，不符合题意； B、由，，则最大角，则不是直角三角形，符合题意； C、由，，，则，所以是直角三角形，且，不符合题意； D、由，，，则，所以是直角三角形，且，不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的定义垂直平分线的性质三角形内角和定理，根据作图，得出平分，然后根据，求出，由垂直平分线，得到，然后利用三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】由作图可得，平分，垂直平分线 ∵ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 12．如图，在中，是的平分线，交于E，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边是解题的关键． 根据平行线角平分线得到等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 13．已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握二次根式，绝对值的非负性是解题的关键． 首先根据二次根式，绝对值的非负性得出，，的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：， ，， ，， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 14．如图，，平分，为上的任意一点，，交于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同位角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 15．如图，在中，为边的垂直平分线，于点，交的延长线于点，若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据线段和差可得的长，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 16．如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了格点作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理与网格．取格点，得到，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：取格点，连接，，如图， 由网格的性质，知， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”． （1）先根据角平分线的判定得出是的角平分线，然后根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）先根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：因为，，且， 所以是的角平分线， 因为在中，， 所以是的中点． （2）解：因为是的中点，， 所以， 因为，， 所以， ， 所以， 答：的面积为． 18．利用无刻度的直尺在正方形网格纸中完成以下画图：    (1)在边上找一点P，使得点P到两边距离相等； (2)在射线上找一点Q，使得．（保留画图痕迹） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合小网格的特征，作出的角平分线与的交点，即为点P，进行作答； （2）结合小网格的特征，作出的垂直平分线与射线的交点，即为点Q，进行作答； 【详解】（1）解：点P如图所示：    （2）解：点Q如图所示： 19．如图，在中，，的垂直平分线交于点E． (1)当时，___________； (2)当的周长为时，的长度是___________； (3)如果，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，即可得出答案； （2）由（1）得，结合的周长求出，即可得出答案； （3）由（2）得的周长，代入数据即可得出答案． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 又， ． 故答案为：． （2）解：由（1）得，， 的周长， 又， ． 故答案为：． （3）解：由（2）得，的周长， 又，， 的周长， 的周长是． 20．如图，在中，，． (1)作的垂直平分线交于点，垂足为；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)结合（1）中作图，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作图：作线段的垂直平分线，三角形内角和定理及等腰三角形的性质 （1）利用尺规作图，以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线即为垂直平分线， 交于点，垂足为； （2）先根据已知条件求出的度数，再由垂直平分线的性质得到，从而得出，最后用求解． 【详解】（1）如图，直线即为所求作的图形． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容是解题关键． （1）证即可； （2）由题意得，推出，由（1）可知，，据此即可求解； 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ∴ ； （2）解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 即的度数为． 22．如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用证明，进而可得，然后利用三线合一即可得出结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余可得，再结合，即可得出的形状． 【详解】（1）证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 又， 是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三线合一，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． 23．如图，在四边形中中，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）详见解析；（2）. 【分析】（1）根据平行线的性质，得，结合条件，即可证明； （2）由，，可得： ，根据，， 得： ∴= . 【详解】（1）证明：， 在和中，   ， （2）解：，   ， ， ，   ． 【点睛】熟悉三角形全等的判定方法：，根据等腰三角形的性质和平行线的性质，求角度，关键是找到图形中的等量关系，进行等量代换. 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在中，，，平分，，过点作，点为边上一动点（可与端点重合），连接， (1)当F点为中点时，求的面积． (2)若为直角三角形时，求的值． (3)记，，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）如图，过作于，根据角平分的性质定理得到，再根据含角的直角三角形的性质得到的长，由三角形面积即可求解； （2）根据题意，分类讨论：如图所示，当时，可证，得到，则；如图所示，当时，根据含角的直角三角形的性质得到，，， 由勾股定理得到，则，；由此即可求解； （3）如图，过作于，过作于，根据含角的直角三角形的性质得到，则的面积，求出，同理得到，勾股定理得到，则，所以有的面积，解得，由，结合二次根式的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于， 平分，， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 是中点， ， 的面积； （2）解：如图所示，当时， ， ， ，， ∴， ， ； 如图所示，当时， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过作于，过作于， 平分，，， ， 的面积， ， ，， ， ， ， 的面积， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，函数关系式的求解，掌握直角三角形的性质，勾股定理，函数关系的计算，分类讨论思想，数形结合分式是解题的关键． 25．在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动．变换条件如下：如图1，直线，，两两相交于A，B，C三点，得知是等边三角形，点E是直线上一动点（点E不与点A，C重合），点F在直线上，连接，，使． (1)张老师首先提出了这样一个问题：如图1，当E是线段的中点时，确定线段与的数量关系，请你直接写出结论：________（填“>”“<”或“=”）． (2)“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图2，过点E作，交于点D．（请你补充完整证明过程） (3)“缜密”小组提出的问题是：若动点E的运动位置如图3所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段与的数量关系是否发生变化？请你予以证明． 【答案】(1)= (2)见解析 (3)线段与的数量关系不变，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作平行线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质可知，从而得出答案； （2）过点E作，交于点D，得是等边三角形，再利用证明，即可证明结论； （3）由（2）同理可证明结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：=； （2）解：仍然成立，过点E作，交于点D， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：线段与的数量关系不变， 证明：如图，过点点E作，交于点D， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第1章 三角形的证明，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，则的周长是（     ） A．31 B．41 C．51 D．61 2．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 3．如图，中，， 于点 D，与相等的角是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（   ） A．或 B． C．或 D． 6．如图，在中，，交于点D，，则长为（   ） A．7.5 B．8 C． D．9 7．如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（   ） A． B． C． D． 8．已知如图，平分于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则的最小值是（  ） A．2 B．3 C．4 D．不能确定 9．已知中，，，，，于点D，的平分线交于点E，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 10．若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，的度数为 ． 12．如图，在中，是的平分线，交于E，若，则 ． 13．已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 14．如图，，平分，为上的任意一点，，交于点，于点，若，则的长为 ． 15．如图，在中，为边的垂直平分线，于点，交的延长线于点，若，则的长为 ． 16．如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的面积． 18．利用无刻度的直尺在正方形网格纸中完成以下画图：    (1)在边上找一点P，使得点P到两边距离相等； (2)在射线上找一点Q，使得．（保留画图痕迹） 19．如图，在中，，的垂直平分线交于点E． (1)当时，___________； (2)当的周长为时，的长度是___________； (3)如果，求的周长． 20．如图，在中，，． (1)作的垂直平分线交于点，垂足为；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)结合（1）中作图，连接，求的度数． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 23．如图，在四边形中中，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在中，，，平分，，过点作，点为边上一动点（可与端点重合），连接， (1)当F点为中点时，求的面积． (2)若为直角三角形时，求的值． (3)记，，求关于的函数表达式． 25．在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动．变换条件如下：如图1，直线，，两两相交于A，B，C三点，得知是等边三角形，点E是直线上一动点（点E不与点A，C重合），点F在直线上，连接，，使． (1)张老师首先提出了这样一个问题：如图1，当E是线段的中点时，确定线段与的数量关系，请你直接写出结论：________（填“>”“<”或“=”）． (2)“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图2，过点E作，交于点D．（请你补充完整证明过程） (3)“缜密”小组提出的问题是：若动点E的运动位置如图3所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段与的数量关系是否发生变化？请你予以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$