第一章 三角形的证明（压轴专练）（十大题型）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第一章 三角形的证明（压轴专练）（十大题型） 目录： 题型1：手拉手模型 题型2：倍长中线、类倍长中线模型 题型3：截长补短模型 题型4：三角形的传统解答证明题 题型5：旋转问题 题型6：折叠问题 题型7：动点问题 题型8：最值问题 题型9：数学活动题 题型10：三角形的证明在平面直角坐标系的应用 题型1：手拉手模型 1．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用， （1）证明．得到．利用为等边三角形，得到，再利用点A，D，E在同一直线上，可得，即可得； （2）证明，可得，，再证明，利用勾股定理求解即可； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，可得，证明是等边三角形，证明，再证明、、在同一条直线上，求出，利用勾股定理求解即可． 【解析】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ②由①得：△， ∴； 故答案为：①；②． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴． ∵点，，在同一直线上， ∴． ∴． ∴． ∴； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示：，， 则， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 即D、P、E在同一条直线上， ∴， 在中，=， 即的长为． 【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中． 2．【探究发现】（1）如图所示，和均为等边三角形，绕点C旋转，其中，交于点M，交于点N，交于点O，如图1所示当旋转到点B、C、E在同一条直线上时，以下结论成立的是： ①；②；③平分；④． 【类比探究】（2）当旋转到外部时，且点B、C、E不在同一条直线上时，如图2，（1）中结论仍然成立的是： （只填序号）若②正确请进行论证，若不正确，请说明理由； 【类比应用】（3）当旋转到与有部分重叠时，如图3，（1）中结论仍然成立的是： （只填序号）若③正确请进行论证若不正确，请说明理由； 【答案】（1）①②③④；（2）①②③，理由见解析；（3）①②③，理由见解析 【分析】（1）①根据全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质即可证明；②利用三角形内角和定理及等量代换即可证明；③连接，过点C作，由全等三角形的性质及角平分线的性质即可证明；④利用等边三角形的性质及全等三角形的判定即可证明； （2）证明方法同（1）类似； （3）证明方法同（1）类似． 【解析】解：（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①成立； 在中， ， ∴，故结论②成立； 如图所示：连接，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴平分；结论③成立； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，结论④成立； 故答案为：①②③④； （2）∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①成立； 在中， ， ∴，故结论②成立； 如图所示：连接，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴平分；结论③成立； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，结论④不成立； 故答案为：①②③； （3）∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①成立； 在中， ， ∴，故结论②成立； 如图所示：连接，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴平分；结论③成立； ∵， ∴， 无法找出另外相同的两个角，故结论④不成立； 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，理解题意作出相应图形，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型2：倍长中线、类倍长中线模型 3．（1）如图1，点是线段的中点，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）①如图2，在中，，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，探究之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）相等；平行     （2）①，详见解析；② 【分析】（1）由中点的定义可得，，然后可证，然后根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可解答； （2）①延长到T，使得，连接．先说明、，平行线公理得出，由勾股定理可得，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后运用等量代换即可解答；②长到T，使得，连接，延长交于点J．再证可得，再说明是等腰直角三角形，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【解析】（1）解：结论：，理由如下：． 如图1中，∵点O是线段的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：相等；平行． （2）解：①结论：． 理由：延长到T，使得，连接． ∵， ∴同理（1）可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3中，延长到T，使得，连接，延长交于点J． ∵， ∴同理可证，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，即． ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解答本题的关键． 4．已知：等腰和等腰中，，，． （1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ； （2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点； （3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由已知条件可得，对顶角，则，根据即可的； （2）过点作的垂线交的延长线于,证明，得,进而可得，再证明即可得证点为中点； （3）延长至，使得，连接，设交于点，先证明，进而证明，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得，进而证明，再根据,证明，根据已知条件求得最后证明即可． 【解析】（1）设交于，如图1， 是等腰和是等腰 即 故答案为 （2）如图2，过点作的垂线交的延长线于, 是等腰和是等腰 又 又 即是的中点 （3）延长至，使得，连接，设交于点，如图 即 是等腰和是等腰 在与中， （SAS） ， 点是的中点 ， （SAS） （SAS） ， 即 ， 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键． 题型3：截长补短模型 5．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【解析】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 6．阅读与理解： 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图），怎样证明呢？ 分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以，点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 感悟与应用： （1）如图（a），在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图（b），在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长． 【答案】（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14 【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案； （2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得； ②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案． 【解析】解：（1）BC−AC＝AD． 理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠ECD， 又CD＝CD， ∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°， ∴∠CED＝2∠CBA， ∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE， ∴∠CBA＝∠BDE， ∴DE＝BE， ∴AD＝BE， ∵BE＝BC−CE＝BC−AC， ∴BC−AC＝AD． （2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠MAC， ∵AC＝AC， ∴△ADC≌△AMC（SAS）， ∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12， ∵CD＝BC＝12， ∴CM＝CB， ∴∠B＝∠CMB， ∵∠CMB＋∠CMA＝180°， ∴∠B＋∠D＝180°； ②设BN＝a， 过点C作CN⊥AB于点N， ∵CB＝CM＝12， ∴BN＝MN＝a， 在Rt△BCN中，， 在Rt△ACN中，， 则， 解得：a＝3， 即BN＝MN＝3， 则AB＝8+3+3=14， ∴AB=14． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果． 题型4：三角形的传统解答证明题 7．已知：在中，，点D在边上，， (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E在延长线上，且，过点E作于点F，交于点H．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作交延长线于点G，若D为中点，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）设，证明，在中，证明，则，即可得到结论； （2）证明，即可得到结论； （3）延长，相交于点I，过点A作于点J．证明，再证明，得到，证明，得到，，证明，则，设，则，得到，解得．则，得到，，，勾股定理求出，则，即可得到的长． 【解析】（1）证明：设， ∵ ∴ ∵ ∴在中，， ∴ ∴平分； （2）设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，相交于点I，过点A作于点J． ∵ ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵ D为中点， ∴， ∴, ∴， 解得． ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 8．如图1，已知，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点． (1)探究：与的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． (2)如图2，若，，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，若，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出的值． 【答案】(1)．理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）作于，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）仿照（1）的证明方法证明； （3）作于，要使得结论成立，则有，可得，可得． 【解析】（1）解：结论：． 理由：如图1，过点作于，则， ，， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：猜想：． 证明：如图2中，过点作于，则． ，． ，是等边三角形． ． ，， ． ． ． ，， 是等边三角形． ，． ，． ，， 在和中， ， ． ， 故； （3）结论：， 理由：如图3中，过点作于，则． 要使得结论成立，则有， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型5：旋转问题 9．如图1，为等腰直角三角形，．将边绕点顺时针旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)当，，三点共线时，求的值； (3)若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)为或或. 【分析】（1）先证明，，结合，，可得，，再进一步可得结论； （2）如图，过作于，可得，，结合，，三点共线，，可得，，，，求解，从而可得答案； （3）如图，是等腰三角形，分三种情况：当时，如图，当时，如图，当时，再画出图形，利用数形结合解答即可. 【解析】（1）证明：由题意得，，， ∴， ∵为等腰直角三角形，． ∴，， ∴，， ∴； （2）解：如图，过作于，而，， ∴，， ∵，，三点共线，， ∴， ∴， 由平行线间距离处处相等可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，∵是等腰三角形， 当时，而， ∴，， ∴设，， ∴，而，， ∴， ∴， 而， ∴在上， ∴， 解得：， ∴， 如图，当时， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：为或或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，旋转的性质，作出图形利用数形结合，清晰的分类讨论是解本题的关键. 10．如图，在等腰三角形中，，M为平面内一点． (1)当点M在的延长线上时，连接； ①如图1，若，交于点N，，求的长； ②如图2，若，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，若G为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图3，若，点M在的角平分线上运动（不与点B重合），取中点E，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，设，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1)①，②，理由见解析 (2)当点在上方时，；当点在与之间时，；当点在下方时， 【分析】（1）①证即可得解； ②见中点构造倍长中线，延长至点，使得，连接，，易证，再证，得到是等边三角形，即可得解； （2）分类讨论，当点在上方时，当点在与之间时，当点在下方时，由题易知是等边三角形，在下方作等边，连接，易证，从而得到垂直平分，即可得解． 【解析】（1）解：解：①在 中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，， ∵为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）∵，，点M在的角平分线上 ∴是等边三角形， ∴， 当点在上方时，如图，在下方作等边，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在与之间时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在下方时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴直线垂直平分，则， ∴，， ∴． 综上，当点在上方时，；当点在与之间时，；当点在下方时，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型6：折叠问题 11．如图，，点是射线上的一个定点，点是射线上的一个动点，连接， 把沿折叠，点落在所在平面内的点处． (1)如图，点在的内部，若，，则 ． (2)如图，若，，折叠后点在直线上方，与交于点，且，求的度数及折痕的长． (3)如图，若折叠后，直线，垂足为点，且，，直接写出此时的长． 【答案】(1)； (2)，折痕的长为； (3)的长为或． 【分析】（）根据折叠的性质和三角形内角和定理即可解决问题； （）过点作于点，证明，进而可以解决问题； （）分两种情况讨论并画图，若折叠后直线于点，若点在线段上，若点在线段的延长线上，然后根据勾股定理即可解决问题； 本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 【解析】（1）解：∵，， ∴，， 由翻折可知：，， ∴，即， 故答案为：； （2）解：由翻折可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴折痕的长为； （3）解：若折叠后，直线于点，如图， ∵，， ∴， 若点在线段上，如图， 由折叠可知：，， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； 若点在线段的延长线上，如图， 由折叠可知：，， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得：， 综上所述：的长为或． 题型7：动点问题 12．已知正三角形的边长为，为内部（含边上）的一点，过点作，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)如图，点在边上； ①当为中点时，判断点与点是否重合，并说明理由； ②当时，求出的长； (2)如图，点在内部，且在线段上，连接，求的取值范围． 【答案】(1)①不重合，理由见解析；②或 (2) 【分析】（）①根据是等边三角形，得出，，再结合垂直得出，当为中点时，根据所对直角边等于斜边的一半推出，即可判断；②当时，连接，设，则，表示出，分两种情况，列方程解出值，进而得到，，再运用勾股定理解答即可求解； （）结合由（）证出，设，表示出，运用勾股定理表示出，再求出的范围即可求解； 本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】（1）解：①点与点不重合，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 当为中点时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点与点不重合； ②当时，连接，设， 则， ∴，， ∴，， 当时，， 解得， ∴，， ∴，， ∴； 当时，， 解得， ∴，， ∴，， ∴； 综上，的长为或； （2）解：当点在内部，且在线段上， 由（）知：，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，的值最小，最小值为，此时点与点重合， ∵点在内部， ∴， ∴． 题型8：最值问题 13．在等腰中，，的垂直平分线分别交，于，两点． (1)如图1，连接，若，的周长为19，直接写出的长； (2)若是的中线． ①如图2，交于点，若，求证：； ②如图3，是的中点，是射线上的动点，连接，作等边，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)7 (2)①理由见解析；②的最小值是 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）①过作于H，连接，，根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质得到，，再利用含30度角的直角三角形的性质得到，，然后利用线段的和与差求解即可； ②以为边作等边三角形，过L作于H，延长线于，利用等边三角形的性质得到，，证明得到，根据垂线段最短，当时，最小，即最小，最小值为的长，由平行线间的距离处处相等得，进而可求解． 【解析】（1）解：∵的垂直平分线分别交，于，，， ∴，， ∵的周长为19， ∴， ∵等腰中，， ∴； （2）解：①如图2，过作于H，连接，，则， ∵垂直平分线， ∴， ∵等腰中，，是的中线， ∴，，即垂直平分， ∴，则， ∴， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②如图3，以为边作等边三角形，过L作于H，延长线于，则，，， ∵是的中点，， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由垂线段最短得，当时，最小，即最小，最小值为的长， ∵， ∴与平行， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，构造等边三角形和全等三角形是解答的关键． 14．已知：等边中，D为延长线上一点，连接，点E在上，连接，． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，点F为线段上一点，连接交于点G，若点G为中点，求证：； (3)如图3，点F为线段上一动点，作F关于的对称点，连接，．交于点K，点D在的延长线上运动，始终满足，连接，交于点G，当F'D取得最大值时，此时，求整个运动过程中的最小值． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)6 【分析】（1）在上取一点P，使，证明，则，可得是等边三角形，求出，即可得平分； （2）在上取一点P，使，过点F作交于Q，证明，可得，由（1）知，，，根据线段的和差以及三角形外角的性质的，再证，即可得出结论； （3）在上取一点P，使，过点F作交于N，证明，则，当时，最小，则最小，过点C作于H，在中，，因此，，即整个运动过程中的最小值为6． 【解析】（1）证明：如图1所示，在上取一点P，使， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分； （2）证明：如图2所示，过点F作交于Q， ， ， 点G为中点， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）如图3，点F为线段上一动点，作F关于的对称点，， 当最大时，有最大值， 是等边三角形， ， ， 时，有最大值， 在上取一点P，使，过点F作交于N， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， 当时，最小，则最小， 过点C作于H， 是等边三角形， ， 在中，， ， ， 即整个运动过程中的最小值为6． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形内角和，正确作出辅助线是解题的关键． 题型9：数学活动题 15．在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 【操作发现】 （1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值． 小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路： 思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）； 【类比探究】 （2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明； 此时_________（直接写出结果）； （3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明； ②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）． 【答案】（1），；（2），证明见解析；；（3），证明见解析； 【分析】（1）先证明是等边三角形，得出再证明，得出，，进而，分别计算Q和L的值，并计算比值即可； （2）延长到E，使，连接，先得出，再证明，得出，，进而得出，再证明，即可得出； （3）在上截取，连接，先证明，得出，，进而得出，再证明，得出，即可得出；先求出，再求出的周长即可得出答案． 【解析】解：（1），； 理由如下： ，， 是等边三角形， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ； ，， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 等边的周长， ； （2）， 理由如下： 如图2，延长到E，使，连接， 图2 是等边三角形， ， ，， ， ， 即， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ； 根据（1）可得 （3）， 理由如下： 如图3，在上截取，连接， 图3 由（2）知：， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； ②． 如图3，等边的周长为L， 图3 ， 的周长 ． 故答案为． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法． 题型10：三角形的证明在平面直角坐标系的应用 16．如图，在平面直角坐标系中，点为轴负半轴上一点，点为第三象限内一点，点的横坐标为b，且． (1)如图1，______；________，为_______三角形． (2)如图2，点在线段上（点不与点、点重合），点在线段的延长线上，连接且．求与的数量关系，并证明． (3)如图3，在（2）的条件下，以为边作等边，点在第二象限内，线段的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，交于点，连接，当时，求点的横坐标． 【答案】(1)，等边 (2)，过程见解析 (3) 【分析】对于（1），先根据绝对值和完全平方数的非负性求出a，b的值，可知，再根据可得是等边三角形； 对于（2），作，交于点C，可知，进而说明是等边三角形，再根据得，即可得出，然后证明，可得； 对于（3），过点E作，分别交x轴于点D，K，可得是等边三角形，再根据“边角边”证明，可得，再设，则，根据线段垂直平分线的性质得，则，再根据含直角三角形的性质得，可得，然后说明，根据全等三角形的性质得，再结合等边三角形的性质得，接下来根据证明，可得，进而得出，则可求，再求出，即可得出答案． 【解析】（1）∵， 即， ∴， 解得， ∴点，点B的横坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：，等边； （2）如图所示，过点F作，交于点C， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）过点E作，分别交x轴于点D，K， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∵是线段的垂直平分线， ∴，则， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ 在中，根据勾股定理，得， ∴点． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质和判定，平面直角坐标系内点的坐标，勾股定理等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在x轴正半轴上，且，的面积． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，点、在第一象限直线上，连接，．若，且M在的垂直平分线上，，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点C、点D分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且，点E在线段上，F在线段上，连接，，点G在平分线上，连接并延长交于点H，过H作y轴平行线交直线于点P，连接，交x轴于点Q，若，坐标为，且G到x轴的距离为，，，求P点纵坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据的面积，计算即可求解； （2）设，得，结合题意可知，进而得，，可知，的，即可证明结论； （3）在截取，则垂直平分，由此先证明，过点作，，，过点作，过点作，则，，，证明，，得，，，再证，得，则，再证，得，可得，，求得，可知，即可求解． 【解析】（1）解：∵的面积，， ∴，则， ∴点的坐标为； （2）证明：设， ∵， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）∵， ∴，则， ∵坐标为， ∴， 在截取，则垂直平分， ∴，则，， ∵，则， ∴，则， 由三角形内角和可知，， ∴， 过点作，，，过点作，过点作， 则，，， ∵点G在平分线上， ∴，，则， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，则， ∴，而G到x轴的距离为， ∴， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 则， 则点的纵坐标为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，角平分线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明（压轴专练）（十大题型） 目录： 题型1：手拉手模型 题型2：倍长中线、类倍长中线模型 题型3：截长补短模型 题型4：三角形的传统解答证明题 题型5：旋转问题 题型6：折叠问题 题型7：动点问题 题型8：最值问题 题型9：数学活动题 题型10：三角形的证明在平面直角坐标系的应用 题型1：手拉手模型 1．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 2．【探究发现】（1）如图所示，和均为等边三角形，绕点C旋转，其中，交于点M，交于点N，交于点O，如图1所示当旋转到点B、C、E在同一条直线上时，以下结论成立的是： ①；②；③平分；④． 【类比探究】（2）当旋转到外部时，且点B、C、E不在同一条直线上时，如图2，（1）中结论仍然成立的是： （只填序号）若②正确请进行论证，若不正确，请说明理由； 【类比应用】（3）当旋转到与有部分重叠时，如图3，（1）中结论仍然成立的是： （只填序号）若③正确请进行论证若不正确，请说明理由； 题型2：倍长中线、类倍长中线模型 3．（1）如图1，点是线段的中点，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）①如图2，在中，，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，探究之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 4．已知：等腰和等腰中，，，． （1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ； （2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点； （3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积． 题型3：截长补短模型 5．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 6．阅读与理解： 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图），怎样证明呢？ 分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以，点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 感悟与应用： （1）如图（a），在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图（b），在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长． 题型4：三角形的传统解答证明题 7．已知：在中，，点D在边上，， (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E在延长线上，且，过点E作于点F，交于点H．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作交延长线于点G，若D为中点，，求的长． 8．如图1，已知，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点． (1)探究：与的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． (2)如图2，若，，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，若，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出的值． 题型5：旋转问题 9．如图1，为等腰直角三角形，．将边绕点顺时针旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)当，，三点共线时，求的值； (3)若是等腰三角形，请直接写出的度数． 10．如图，在等腰三角形中，，M为平面内一点． (1)当点M在的延长线上时，连接； ①如图1，若，交于点N，，求的长； ②如图2，若，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，若G为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图3，若，点M在的角平分线上运动（不与点B重合），取中点E，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，设，请用含的式子表示的度数． 题型6：折叠问题 11．如图，，点是射线上的一个定点，点是射线上的一个动点，连接， 把沿折叠，点落在所在平面内的点处． (1)如图，点在的内部，若，，则 ． (2)如图，若，，折叠后点在直线上方，与交于点，且，求的度数及折痕的长． (3)如图，若折叠后，直线，垂足为点，且，，直接写出此时的长． 题型7：动点问题 12．已知正三角形的边长为，为内部（含边上）的一点，过点作，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)如图，点在边上； ①当为中点时，判断点与点是否重合，并说明理由； ②当时，求出的长； (2)如图，点在内部，且在线段上，连接，求的取值范围． 题型8：最值问题 13．在等腰中，，的垂直平分线分别交，于，两点． (1)如图1，连接，若，的周长为19，直接写出的长； (2)若是的中线． ①如图2，交于点，若，求证：； ②如图3，是的中点，是射线上的动点，连接，作等边，连接，若，直接写出的最小值． 14．已知：等边中，D为延长线上一点，连接，点E在上，连接，． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，点F为线段上一点，连接交于点G，若点G为中点，求证：； (3)如图3，点F为线段上一动点，作F关于的对称点，连接，．交于点K，点D在的延长线上运动，始终满足，连接，交于点G，当F'D取得最大值时，此时，求整个运动过程中的最小值． 题型9：数学活动题 15．在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 【操作发现】 （1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值． 小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路： 思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）； 【类比探究】 （2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明； 此时_________（直接写出结果）； （3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明； ②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）． 题型10：三角形的证明在平面直角坐标系的应用 16．如图，在平面直角坐标系中，点为轴负半轴上一点，点为第三象限内一点，点的横坐标为b，且． (1)如图1，______；________，为_______三角形． (2)如图2，点在线段上（点不与点、点重合），点在线段的延长线上，连接且．求与的数量关系，并证明． (3)如图3，在（2）的条件下，以为边作等边，点在第二象限内，线段的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，交于点，连接，当时，求点的横坐标． 17．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在x轴正半轴上，且，的面积． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，点、在第一象限直线上，连接，．若，且M在的垂直平分线上，，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点C、点D分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且，点E在线段上，F在线段上，连接，，点G在平分线上，连接并延长交于点H，过H作y轴平行线交直线于点P，连接，交x轴于点Q，若，坐标为，且G到x轴的距离为，，，求P点纵坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$