3.1 裁纸（公因数和最大公因数） 同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（青岛版）

3.1 裁纸（公因数和最大公因数） 姓名: 班级: 1、公因数和最大公因数的意义：几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的一个公因数叫作最大公因数。 几个数的公因数中，最大公因数是其他公因数的倍数。 2、求公因数和最大公因数的方法：有列举法、筛选法，求两个数的最大公因数还可以用短除法。 列举法：先找出每个数的因数，在找出共有的因数。 筛选法：先找出较小的因数，再从这些因数中找出哪些是大数的因数，就是公因数，最大的那个数就是最大公因数。 一、选择题 1．已知和的最大公因数是1，那么的最小公倍数是（    ）。 A． B． C． 2．两个数的（    ）的个数是无限的。 A．最大公因数 B．公倍数 C．公因数 3．6是24和36的（    ）。 A．因数 B．最大公因数 C．公因数 4．把两根长度分别为12厘米和20厘米的彩带剪成长度一样的短彩带，并且没有剩余，每根短彩带最长是（    ）厘米。 A．2 B．4 C．1 5．下面需要运用“最大公因数”来解决问题的是（    ）。 A．一堆糖果不到30块，2人或5人平均分都刚好分完，这堆糖果最多有多少块？ B．五（1）班男生有27人，女生有18人，男女生分别分组做游戏，要使每组人数相同每组最多有多少人？ C．小明和爸爸每天绕街心花园晨跑，小明15分钟跑一圈，爸爸12分钟跑一圈，如果父子同时同地起跑，至少多少分钟后两人再次在起点相遇？ 二、填空题 6．已知a÷b＝8，那么a和b的最大公因数是( )。 7．鲁绣是一种古老的传统刺绣工艺，历史悠久。张阿姨家的鲁绣专卖店进了48件山水鲁绣桌布，54件花鸟鲁绣桌布，现在要把这两种鲁绣桌布分别装进包装袋，要求每袋的鲁绣桌布件数相同，最少需要准备( )个包装袋。 8．12和18的最大公因数是( )；10和15的最小公倍数是( )。 9．把两根长度分别为30厘米和24厘米的木条锯成长度一样、整厘米的小木条，并且没有剩余，每根小木条最长是( )厘米。 10．a＝2×3×m，b＝3×5×m，a和b的最大公因数是21，那么a和b的最小公倍数是( )。 三、判断题 11．两个数没有最大的公倍数，也没有最小的公因数。( ) 12．3和7没有公因数。 ( ) 13．两个数的公因数的个数是有限的。( ) 14．两个数的公因数一定小于这两个数中的任何一个数。( ) 15．最简分数的分子和分母只有公因数1。( ) 四、计算题 16．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 17和51          45和25          14和21          24和18 五、解答题 17．一块长方形布，长是15分米，宽是9分米。要把它裁成正方形手绢（没有剩余）。手绢的边长最长是多少分米？能裁多少块？ 18．五年级二班王老师要把47支钢笔和31本字帖奖励给参与“创建文明城市小小志愿者”活动的同学，每名同学得到的奖品种类和数量完全相同。最后剩下1本字帖和2支钢笔。最多有几名同学获奖？ 19．张叔叔要把两根长分别是24分米和16分米的木条，锯成一些长度相等的短木条且没有剩余。短木条最长是多少分米？一共能锯成几根？ 20．小明准备把三根分别长30厘米、48厘米、66厘米的木棒截成一些长度相等的小木棒（最后没有剩余），截成的小木棒最长是多少厘米？一共能截成多少段这样的小木棒？ 21．鲜花店用下面两种鲜花来扎成同样的花束（正好用完，没有剩余）。 （1）最多能扎成多少束？ （2）每束中每种鲜花各有多少枝？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 裁纸（公因数和最大公因数） 姓名: 班级: 1、公因数和最大公因数的意义：几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的一个公因数叫作最大公因数。 几个数的公因数中，最大公因数是其他公因数的倍数。 2、求公因数和最大公因数的方法：有列举法、筛选法，求两个数的最大公因数还可以用短除法。 列举法：先找出每个数的因数，在找出共有的因数。 筛选法：先找出较小的因数，再从这些因数中找出哪些是大数的因数，就是公因数，最大的那个数就是最大公因数。 一、选择题 1．已知和的最大公因数是1，那么的最小公倍数是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】两个数的最大公因数：两个数的公有质因数的乘积；如果两个数成倍数关系，最大公因数是较小的数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的最小公倍数：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；如果两个数成倍数关系，最小公倍数为较大的数；如果两个数为互质数，最小公倍数是两个数的乘积；据此解答。 【详解】因为和的最大公因数是1，所以X和Y为互质数，最小公倍数为XY。 已知和的最大公因数是1，那么的最小公倍数是XY。 故答案为：B 2．两个数的（    ）的个数是无限的。 A．最大公因数 B．公倍数 C．公因数 【答案】B 【分析】一个数的因数是有限的，所以两个数的公因数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，两个数的最小公因数和最小公倍数只有一个，由此解决问题即可。 【详解】A．两个数的最大公因数是有限的，不符合题意； B．两个数的公倍数是无限的，符合题意； C．两个数的公因数是有限的，不符合题意； 故答案为：B 【点睛】此题考查两个数的公因数和公倍数的个数：两个数的公因数是有限的；两个数的公倍数的个数是无限的；紧扣定义解答问题。 3．6是24和36的（    ）。 A．因数 B．最大公因数 C．公因数 【答案】C 【分析】两个数都能被一个数整除，则这个数是两个数的公因数，其中最大的一个公因数是最大公因数。据此可得出答案。 【详解】24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3，最大公因数是2×2×3＝12，12是6的倍数，则6是24和36的公因数。 故答案为：C 4．把两根长度分别为12厘米和20厘米的彩带剪成长度一样的短彩带，并且没有剩余，每根短彩带最长是（    ）厘米。 A．2 B．4 C．1 【答案】B 【分析】彩带剪成长度一样的短彩带，并且没有剩余，求每根短彩带最长是多少，就是求12和20的最大公因数，先把12和20分解质因数，再把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，据此解答。 【详解】12＝2×2×3 20＝2×2×5 12和20的最大公因数为：2×2＝4。 即每根短彩带最长是4厘米。 故答案为：B 5．下面需要运用“最大公因数”来解决问题的是（    ）。 A．一堆糖果不到30块，2人或5人平均分都刚好分完，这堆糖果最多有多少块？ B．五（1）班男生有27人，女生有18人，男女生分别分组做游戏，要使每组人数相同每组最多有多少人？ C．小明和爸爸每天绕街心花园晨跑，小明15分钟跑一圈，爸爸12分钟跑一圈，如果父子同时同地起跑，至少多少分钟后两人再次在起点相遇？ 【答案】B 【分析】一堆糖果2人或5人平均分都刚好分完，说明这堆糖果的数量是2和5的公倍数； 要使每组人数相同，每组的人数应是27和18的公因数，求每组最多有多少人，就是求27和18的最大公因数； 根据题意，两人再次在起点相遇，至少经过的时间应是15和12的最小公倍数； 根据题意，这个合唱队至少的人数比12和15的最小公倍数多5人。 【详解】A．这堆糖果的数量是2和5的公倍数，需要运用“公倍数”来解决问题； B．求每组最多有多少人，就是求27和18的最大公因数，需要运用“最大公因数”来解决问题； C．两人再次在起点相遇，至少经过的时间是15和12的最小公倍数，需要运用“最小公倍数”来解决问题； 故答案为：B 二、填空题 6．已知a÷b＝8，那么a和b的最大公因数是( )。 【答案】b 【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小数，据此分析。 【详解】已知a÷b＝8，说明a是b的8倍，a和b的最大公因数是b。 7．鲁绣是一种古老的传统刺绣工艺，历史悠久。张阿姨家的鲁绣专卖店进了48件山水鲁绣桌布，54件花鸟鲁绣桌布，现在要把这两种鲁绣桌布分别装进包装袋，要求每袋的鲁绣桌布件数相同，最少需要准备( )个包装袋。 【答案】17 【分析】要求每袋的鲁绣桌布件数相同，也就是求48和54的最大公因数，确定每袋的件数，再进一步用除法计算出最少需要准备多少个包装袋。 【详解】48＝2×2×2×2×2×3 54＝2×3×3×3 所以最大公因数是：2×3＝6 48÷6＋54÷6 ＝8＋9 ＝17（个） 最少需要准备17个包装袋。 【点睛】此题属于最大公因数问题，根据求两个数的最大公因数的方法解决问题。 8．12和18的最大公因数是( )；10和15的最小公倍数是( )。 【答案】 6 30 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 2×3＝6 12和18的最大公因数是6； 10＝2×5 15＝3×5 2×3×5＝30 10和15的最小公倍数是30。 【点睛】本题考查了求最大公因数和最小公倍数的方法。 9．把两根长度分别为30厘米和24厘米的木条锯成长度一样、整厘米的小木条，并且没有剩余，每根小木条最长是( )厘米。 【答案】6 【分析】已知两根木条锯成长度一样、整厘米的小木条，并且没有剩余，求每根小木条最长是多少厘米，就是求30和24厘米的最大公因数，最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 30和24的最大公因数：2×3＝6 每根小木条最长是6厘米。 【点睛】本题考查了最大公因数的求法和应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。 10．a＝2×3×m，b＝3×5×m，a和b的最大公因数是21，那么a和b的最小公倍数是( )。 【答案】210 【分析】因为a和b公有的质因数有3和m，根据a和b最大的公因数是21，据此可以求出m的值；再把A和B公有的质因数和独有的质因数相乘，就可求出a和b的最小公倍数。 【详解】由题可知，a和b的最大公因数为3×m＝21，所以m＝7。 A和B的最小公倍数是2×3×5×7 ＝6×5×7 ＝30×7 ＝210 那么a和b的最小公倍数是210。 三、判断题 11．两个数没有最大的公倍数，也没有最小的公因数。( ) 【答案】× 【分析】两个数公有因数叫做这两个数的公因数；其中最大的叫最大公因数。 两个数公有倍数叫做这两个数的公倍数；其中最小的叫最小公倍数。 根据最大公因数、最小公倍数的意义可知：两个数的公因数是有限的，最小公因数是1，有最大公因数；两个数的公倍数是无限的，有最小公倍数，没有最大公倍数。 【详解】如：3的因数有：1，3； 6的因数有：1，2，3，6； 3和6的公因数是：1，3； 3的倍数：3，6，9，12，15，18…； 6的倍数：6，12，18…； 3和6的公倍数是：6，12，18…； 所以，3和6没有最大的公倍数，最小的公因数是1。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查公因数、公倍数的意义及应用，可以举例论证。 12．3和7没有公因数。 ( ) 【答案】✕ 【详解】略 13．两个数的公因数的个数是有限的。( ) 【答案】√ 【详解】两个数的公因数的个数是有限的。 如：15和25的公因数有：1和5。 故答案为：√。 14．两个数的公因数一定小于这两个数中的任何一个数。( ) 【答案】× 【分析】两个数公有因数叫做这两个数的公因数。据此举例说明，得出结论。 【详解】如：5和10 5的因数有：1，5； 10的因数有：1，2，5，10； 5和10的公因数有：1，5； 其中公因数的5等于这两个数中的其中一个数，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】解题的关键是掌握两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数。 15．最简分数的分子和分母只有公因数1。( ) 【答案】√ 【分析】根据最简分数的意义，分数的分子和分母是互质数的分数叫做最简分数；又因为互质的两个数只有公因数1，以此解决问题。 【详解】最简分数的分子和分母的公因数只有1，这种说法是正确的。 故答案为：√ 四、计算题 16．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 17和51          45和25          14和21          24和18 【答案】17，51；5，225；7，42；6，72 【分析】求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数和独有质因数的乘积，据此进行计算即可。 【详解】 则17和51的最大公因数是17； 最小公倍数是17×3＝51 则45和25的最大公因数是5； 最小公倍数是5×9×5＝225 则14和21的最大公因数是7； 最小公倍数是7×2×3＝42 则24和18的最大公因数是2×3＝6； 最小公倍数是2×3×4×3＝72 五、解答题 17．一块长方形布，长是15分米，宽是9分米。要把它裁成正方形手绢（没有剩余）。手绢的边长最长是多少分米？能裁多少块？ 【答案】3分米；15块 【分析】根据题意可知，要把这块布裁成正方形手绢（没有剩余），则15和9的最大公因数就是手绢的边长；分别用长和宽除以手绢的边长，再将商相乘，即可求出能裁多少块。 【详解】15＝3×5 9＝3×3 所以15和9的最大公因数是3，即手绢的边长最长是3分米。 （15÷3）×（9÷3） ＝5×3 ＝15（块） 答：手绢的边长最长是3分米，能裁15块。 18．五年级二班王老师要把47支钢笔和31本字帖奖励给参与“创建文明城市小小志愿者”活动的同学，每名同学得到的奖品种类和数量完全相同。最后剩下1本字帖和2支钢笔。最多有几名同学获奖？ 【答案】15名 【分析】由题意可知，王老师一共奖励了47－2＝45（支）钢笔，31－1＝30（本）字帖，每名同学得到的奖品种类和数量完全相同，则获得奖励的同学人数既是45的因数，也是30的因数，求得到奖品的同学最多有多少人就是求45和30的最大公因数，据此解答。 【详解】31－1＝30（本） 47－2＝45（支） 30和45的最大公因数：3×5＝15 答：最多有15名同学获奖。 【点睛】本题主要考查最大公因数的应用，准确求出30和45的最大公因数是解答题目的关键。 19．张叔叔要把两根长分别是24分米和16分米的木条，锯成一些长度相等的短木条且没有剩余。短木条最长是多少分米？一共能锯成几根？ 【答案】8分米；5根 【分析】要把两根木条锯成同样长且最长的短木条，每根短木条的长度应是两根木条长度的最大公因数。24和16的最大公因数8，即短木条最长是8分米；再分别用两条木条的长度除以8求出每根木条所锯成的短木条的根数；最后把两根木条所锯成的短木条的根数相加。 【详解】24和16的最大公因数是8，短木条最长是8分米。 24÷8＝3（根） 16÷8＝2（根） 3＋2＝5（根） 答：短木条最长是8分米，一共能锯成5根。 【点睛】在解决此类问题时，要先求最大公因数，然后再解决问题。 20．小明准备把三根分别长30厘米、48厘米、66厘米的木棒截成一些长度相等的小木棒（最后没有剩余），截成的小木棒最长是多少厘米？一共能截成多少段这样的小木棒？ 【答案】6厘米；24段 【分析】把三根分别长30厘米、48厘米、66厘米的木棒截成一些长度相等的小木棒（最后没有剩余），截成的小木棒最长的长度就是30、48和66的最大公因数；再用三根木棒的长度分别除以它们的最大公因数求出商，最后再相加即可求出一共能截成多少段这样的小木棒。 【详解】 2×3＝6（厘米） 30÷6＋48÷6＋66÷6 ＝5＋8＋11 ＝13＋11 ＝24（段） 答：截成的小木棒最长是6厘米，一共能截成24段这样的小木棒。 21．鲜花店用下面两种鲜花来扎成同样的花束（正好用完，没有剩余）。 （1）最多能扎成多少束？ （2）每束中每种鲜花各有多少枝？ 【答案】（1）12束 （2）康乃馨6枝；百合5枝 【分析】（1）根据题意，用72枝康乃馨和60枝百合扎成同样的花束，正好用完，没有剩余，说明扎的花束数量是72和60的公因数；求最多能扎多少束，就是求72和60的最大公因数；先把72、60分解质因数，再把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数。 （2）分别用两种鲜花的总枝数除以扎的束数，即可求出每束中每种鲜花各有的枝数。 【详解】（1）72＝2×2×2×3×3 60＝2×2×3×5 72和60的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多能扎成12束。 答：最多能扎成12束。 （2）72÷12＝6（枝） 60÷12＝5（枝） 答：每束中康乃馨有6枝，百合有5枝。 1 学科网（北京）股份有限公司 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