专题03 幂的运算45道压轴题型专训（9大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题03 幂的运算45道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 同底数幂乘法压轴题 题型二 幂的乘方与积的乘方压轴题 题型三 同底数幂除法压轴题 题型四 利用幂的运算比较大小 题型五 幂的运算相关应用题 题型六 幂的运算中有规律的计算 题型七 幂的新定义运算 题型八 幂的新定义运算（劳格数） 题型九 幂的新定义运算（抽象函数类） 【经典例题一 同底数幂乘法压轴题】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，则三者之间的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式，本题属于中等题型． 根据同底数幂的乘法公式即可求出的关系． 【详解】解：∵， ， ， ， ，， 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法公式即可求出a、b、c的关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴①，正确，符合题意； ∴②， ∴，正确，符合题意； ③，错误，不符合题意； ④，正确，符合题意； 综上，正确的结论是①②④，共3个， 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·阶段练习）阅读题：根据乘方的意义，得：，请你试一试，完成下列题目： （1）( )； （2）归纳、概括：( )； （3）如果，运用以上的结论计算 ． 【答案】 5 / 20 【分析】本题主要考查了有理数乘法、乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握逆用同底数幂相乘的法则成为解题的关键． （1）根据有理数的乘法以及乘方求解即可； （2）根据有理数的乘法以及乘方求解即可； （3）根据有理数的乘法以及逆用同底数幂相乘的运算法则即可． 【详解】解：（1）． 故答案为5． （2）． 故答案为：． （3）． 故答案为：20． 4．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：2x=3,2y=6,2z=12，试确定x，y，z之间的关系 【答案】x＋z＝2y 【详解】试题分析： 变形2y＝2×3＝2x＋1，得到y＝x＋1，变形2z＝12＝2×6＝2×2y＝2y＋1，得到z＝y＋1，从而得到x，y，z之间的关系． 试题解析： 因为2x＝3， 所以2y＝6＝2×3＝2×2x＝2x＋1， 2z＝12＝2×6＝2×2y＝2y＋1. 所以y＝x＋1，z＝y＋1. 两式相减，得 y－z＝x－y， 所以x＋z＝2y. 点睛：本题主要考查了同底数幂的乘法法则的逆用，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n(m，n是正整数)，逆用同底数幂的乘法法则，即am+n=am·an(m，n是正整数)；如果几个幂的底数相等，且幂也相等，则它们的指数也相等. 【经典例题二 幂的乘方与积的乘方压轴题】 6．（24-25九年级上·山东滨州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方和同底数幂相乘的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先将化简为，然后再根据积的乘方逆运用进行计算，即可求解； 【详解】解：原式=， ， ， ， ； 故选：D； 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 分为正奇数、为正偶数两种情况进行讨论，即可判断结论①；分为奇数、为偶数两种情况进行讨论，即可判断结论②；当时，等式成立，无论取何值，等式，均成立，由此即可判断结论③；分别对为偶数、为奇数以及为偶数、为奇数两种情况进行讨论，即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：①当为正奇数时，等式一定成立， 当为正偶数时，，等式不成立， 故结论①错误； ②当为奇数时，，等式不成立， 当为偶数时，等式成立， 故结论②错误； ③当时，等式成立， 无论取何值，等式，均成立， 故结论③错误； ④当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 故结论④正确； 综上，正确的结论为，共个， 故选：． 8．（24-25八年级上·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究，根据，得到，利用进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选B． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列算式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方法则逐个判断即可得． 【详解】解：①，则原算式错误； ②，则原算式正确； ③，则原算式正确； ④，则原算式错误； 综上，正确的是②③， 故答案为：②③． 10．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)72 (2)3 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 【经典例题三 同底数幂除法压轴题】 11．（2025七年级下·全国·专题练习）在①；②；③；④中，计算结果是的是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则．根据同底数幂的运算法则求解①；利用负整数指数幂的运算法则、同底数幂的运算法则求解②；利用幂的乘方的运算法则、同底数幂的运算法则求解③；利用幂的乘方的运算法则求解④． 【详解】解：①，此项不符合题意； ②，此项符合题意； ③，此项不符合题意； ④，此项符合题意， 综上所述，符合题意的有②④共2个． 故选：B． 12．（24-25九年级·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【详解】解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键． 13．（16-17七年级下·浙江杭州·期中）已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（          ） A． B． C．11 D．19 【答案】B 【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算即可得出结果． 【详解】解：x3a-2b=x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2，然后整体代入即可得原式=33÷42=． 故选:B． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是明确同底数幂的除法和幂的乘方的法则，然后逆用代入计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则= ． 【答案】1 【分析】先根据可得，再结合可得，由此结合可得，由此可得，进而可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键． 15．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 【经典例题四 利用幂的运算比较大小】 16．（24-25七年级下·河北保定·期中）对于数，，，的大小比较中，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，进行计算，即可解答． 【详解】解：，，， 故选：B 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂；熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 17．（24-25八年级上·四川内江·开学考试）比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘法把、、化为指数都为11的幂，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：因为355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511， 而125＜243＜256， 所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn（m，n是正整数）；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n＝anbn（n是正整数）． 18．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，，据此可得答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若，，，，则，，，的大小 用号连接． 【答案】 【分析】把，，，各数的指数转为相等，再比较底数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆运算法则，解答的关键是利用幂的乘方的逆运算法则把各数的指数转为相等． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． 【经典例题五 幂的运算相关应用题】 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）科学研究发现，一个水分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？已知一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为，一个氢原子的质量约为多少千克？ 【答案】个， 【分析】此题考查了本题考查了负指数幂的相关运算与用科学记数法表示数，根据题意列出算式，再把结果用科学记数法表示即可，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴水中大约有个水分子， ∵一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为， ∴一个氢原子的质量约为． 22．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意即可直接列出代数式； （2）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可； （3）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：当，时， ； （3）解：，， ． 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，科学记数法—表示较大的数，科学记数法—表示较小的数等知识点，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数，据此确定的值以及的值即可． 23．（23-24七年级下·全国·单元测试）某种液体每升含有个细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌，现在若要将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂为，要用多少升？ 【答案】要用这种杀菌剂滴，要用升 【分析】先求出3升含有细菌的个数，再求出杀死这些细菌需要的滴数，再用滴数除以每滴这种杀菌剂的升数，即可求解， 本题考查了同底数幂乘除法的实际应用，解题的关键是：理解题意正确列式． 【详解】解：根据题意知，要用这种杀菌剂（滴）， 要用（升）， 要用这种杀菌剂滴，要用升． 24．（23-24七年级上·上海·单元测试）人们常说“捡了芝麻丢了西瓜”，这是形容有的人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽视具有重要意义的大事，据测算，万粒芝麻才克，那一粒芝麻有多少千克？（用科学记数法表示）． 【答案】千克． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，科学记数法，设一粒芝麻有千克，根据题意列出方程即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设一粒芝麻有千克， 由题意得，， 解得， 答：一粒芝麻有千克． 25．（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 【答案】(1)1024 (2) 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类， （1）根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可； （2）先求出，再把上式中的所有的b替换成即可． 【详解】（1）解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 … 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故答案为：1024． （2）由已知得 把上式中的所有的b替换成得， 故答案为：． 【经典例题六 幂的运算中有规律的计算】 26．（24-25九年级上·安徽·阶段练习）找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 【答案】（1）；；（2）1622600；（3） 【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题； （2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可； （3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题． 【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝； 13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝； （2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103） ＝ ＝1622600； （3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503） ＝23×＝． 【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率． 27．（24-25八年级上·山东临沂·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 28．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）观察并验证下列等式： (1)续写等式： ；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：_______；（结果用因式乘积表示） (3)利用上述结论计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的各式即可得到答案； （2）根据题干中已知等式知从开始的连续个整数的立方和等于这个数的和的平方，据此可得； （3）提公因式，进而根据题意进行计算即可求解． 【详解】（1）由题意可得： ； 故答案为：． （2）； 故答案为：． （3） 【点睛】本题考查积的乘方以及数字规律，涉及整式混合运算，有理数运算等知识，综合程度较高． 29．（23-24七年级下·广东茂名·阶段练习）阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： (1)计算：________，________． (2)通过上述规律，归纳得出：________；________． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1；1 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题目所给公式，计算求解即可； （2）根据题意进行求解即可； （3）把原式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1；1； （2）解：由题意得，，， 故答案为：，； （3）解： ． 30．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”． 这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题． ①； ②； ③； ④； ⑤ …………… (1)等式⑥是___________． (2)___________（n为正整数）． (3)求的值． 【答案】(1) (2)（n为正整数） (3)11375 【分析】（1）根据所给式子可直接写出第⑥个式子； （2）根据规律计算即可； （3）根据前面式子的特点，通过变形可以求得计算出结果即可． 【详解】（1）观察规律可得等式⑥是， 故答案为：； （2） =   =（n为正整数）． 故答案为：（n为正整数） （3） = = =11375 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给的式子，探索出式子的一般规律，并能灵活应用规律进行运算是解题的关键． 【经典例题七 幂的新定义运算】 31．（23-24七年级下·广西贺州·期末）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 【答案】(1)96 (2)21 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：当时． ． 32．（23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查的是幂的含义，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义； （1）直接利用幂的含义证明即可； （2）根据负整数指数幂的含义可得结论； （3）根据负整数指数幂把化为，再结合同底数幂的除法运算可得结论． 【详解】（1）解：∵，m、n是正整数， ∴ ； （2）解：当，时，根据负整数指数幂的定义， 得， ∵， ∴． （3）解：∵m、n是正整数时， ． 33．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数，规定．例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，新定义： （1）根据新定义结合同底数幂乘法计算法则进行求解即可； （2）根据新定义结合同底数幂除法计算法则进行求解即可； （3）根据新定义结合同底数幂乘除法计算法则求出，，再由题意得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，； （3）解：由题意得，，， ∵的值与的值相等， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值与的值相等． 34．（24-25八年级上·福建莆田·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式，，，成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即，，，． (1)根据上述规定，填空： ________；(________； (2)求证： 【答案】(1)4， (2)见解析 【分析】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据积的乘方法则，结合定义计算． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：4；； （2）解：设，，， 则，，， ， ， ， 即． 35．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）定义：如果，那么为的“幸福指数”，记为．例如，那么2为的“幸福指数”，记为． (1)填空：______，（，______）． (2)若的“幸福指数”为，的“幸福指数”也为3，求的值． 【答案】(1)3，； (2) 【分析】本题考查幂的运算： （1）根据，那么为的“幸福指数”，记为直接求解即可得到答案； （2）根据，那么为的“幸福指数”，记为直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：3，； （2）解：∵的“幸福指数”为， ∴， ∵的“幸福指数”也为3， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 幂的新定义运算（劳格数）】 36．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 37．（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 38．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 【答案】(1)9； (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方的逆运算．根据题意得，，是解题的关键． （1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案． （2）由题意得，，，从而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 故答案为：9； ②∵，即， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，，， 则． 39．（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【详解】（1）解： ① ； ② ； ③， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 40．（24-25七年级下·全国·单元测试）对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2) ___________． (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据对数的定义得，结合底数的取值范围即可求得结果；、 （2）解法一：根据题目中提供的对数的性质进行计算即可； 解法二：设，利用对数的定义、幂的性质即可求得x的值； （3）逆用对数的性质：，即可求得结果． 【详解】（1）解：； ∴， ∴或（负数舍去）， 故； （2）解：解法一：； 解法二：设，则， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 【点睛】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点． 【经典例题九 幂的新定义运算（抽象函数类）】 41．（24-25八年级上·福建漳州·期中）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2)243 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：， ． ② ， 又， ， ， ． （2）解：依题意得，，， . 42．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空： ， ； (2)计算：； (3)若，，，则a、b、c满足什么关系式，并证明． 【答案】(1)2，3； (2)1； (3)，证明见解析． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （3）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出a，b的值然后解题即可． 【详解】（1）解：， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，3； （2）解：∵，， ∴； （3）解：． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；②2 (2) 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②由，则，即可求得n的值； （2）由，再由同底数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①由于， 而， 所以； 故答案为：125； ②， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：， ，，，，……，， ． 44．（23-24七年级下·江西抚州·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则________； ②若，则________； (2)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)27或 【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． （1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②， ， ； （2）解：， ， ， ， 当时，； 当时，； 的值为27或． 45．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 【答案】(1) (2)3，1.3，0.15 (3) 【分析】（1）根据劳格数的定义进行计算即可得到答案； （2）根据可得，代入进行计算即可得到的值，利用，求出，代入计算即可，根据得到，求出，代入计算即可得到答案； （3）分别表示出，，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：，为正数， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，1.3，0.15； （3）解：，，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下有理数的运算、幂的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 幂的运算45道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】题型一 同底数幂乘法压轴题 题型二 幂的乘方与积的乘方压轴题 题型三 同底数幂除法压轴题 题型四 利用幂的运算比较大小 题型五 幂的运算相关应用题 题型六 幂的运算中有规律的计算 题型七 幂的新定义运算 题型八 幂的新定义运算（劳格数） 题型九 幂的新定义运算（抽象函数类） 【经典例题一 同底数幂乘法压轴题】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，则三者之间的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·全国·阶段练习）阅读题：根据乘方的意义，得：，请你试一试，完成下列题目： （1）( )； （2）归纳、概括：( )； （3）如果，运用以上的结论计算 ． 4．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：2x=3,2y=6,2z=12，试确定x，y，z之间的关系 【经典例题二 幂的乘方与积的乘方压轴题】 6．（24-25九年级上·山东滨州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25八年级上·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列算式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 10．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【经典例题三 同底数幂除法压轴题】 11．（2025七年级下·全国·专题练习）在①；②；③；④中，计算结果是的是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（24-25九年级·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 13．（16-17七年级下·浙江杭州·期中）已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（          ） A． B． C．11 D．19 14．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则= ． 15．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【经典例题四 利用幂的运算比较大小】 16．（24-25七年级下·河北保定·期中）对于数，，，的大小比较中，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·四川内江·开学考试）比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若，，，，则，，，的大小 用号连接． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【经典例题五 幂的运算相关应用题】 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）科学研究发现，一个水分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？已知一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为，一个氢原子的质量约为多少千克？ 22．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 23．（23-24七年级下·全国·单元测试）某种液体每升含有个细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌，现在若要将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂为，要用多少升？ 24．（23-24七年级上·上海·单元测试）人们常说“捡了芝麻丢了西瓜”，这是形容有的人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽视具有重要意义的大事，据测算，万粒芝麻才克，那一粒芝麻有多少千克？（用科学记数法表示）． 25．（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 【经典例题六 幂的运算中有规律的计算】 26．（24-25九年级上·安徽·阶段练习）找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 27．（24-25八年级上·山东临沂·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 28．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）观察并验证下列等式： (1)续写等式： ；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：_______；（结果用因式乘积表示） (3)利用上述结论计算： 29．（23-24七年级下·广东茂名·阶段练习）阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： (1)计算：________，________． (2)通过上述规律，归纳得出：________；________． (3)请应用上述性质计算：． 30．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”． 这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题． ①； ②； ③； ④； ⑤ …………… (1)等式⑥是___________． (2)___________（n为正整数）． (3)求的值． 【经典例题七 幂的新定义运算】 31．（23-24七年级下·广西贺州·期末）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 32．（23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 33．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数，规定．例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 34．（24-25八年级上·福建莆田·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式，，，成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即，，，． (1)根据上述规定，填空： ________；(________； (2)求证： 35．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）定义：如果，那么为的“幸福指数”，记为．例如，那么2为的“幸福指数”，记为． (1)填空：______，（，______）． (2)若的“幸福指数”为，的“幸福指数”也为3，求的值． 【经典例题八 幂的新定义运算（劳格数）】 36．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 37．（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 38．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 39．（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 40．（24-25七年级下·全国·单元测试）对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2) ___________． (3)计算：． 【经典例题九 幂的新定义运算（抽象函数类）】 41．（24-25八年级上·福建漳州·期中）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 42．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空： ， ； (2)计算：； (3)若，，，则a、b、c满足什么关系式，并证明． 43．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 44．（23-24七年级下·江西抚州·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则________； ②若，则________； (2)若，求的值． 45．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$