第七章 复数全章综合测试卷-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（    ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（5分）（23-24高一下·辽宁·期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）（24-25高二·全国·单元测试）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 6．（5分）（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（5分）（23-24高三上·安徽·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·湖南长沙·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若复数为纯虚数，则 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．若i为虚数单位，n为正整数，则 D．若，则的最大值是2 10．（6分）（23-24高一下·贵州·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．． B．． C．在复平面内对应的点位于实轴上，则． D．在复平面内的点在直线上． 11．（6分）（23-24高一下·山东济南·期末）任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 13．（5分）（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 14．（5分）（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，点A对应的复数为1，点B对应的复数为3＋i，将向量绕点A按逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，得向量，则点C对应的复数为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·河北·期末）已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 16．（15分）（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，在复平面上对应的点分别为，． (1)若，求的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 17．（15分）（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 18．（17分）（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）关于的实系数一元二次方程． (1)若方程有一个根是，求的值； (2)当时，方程的两个虚根满足，求的值． 19．（17分）（23-24高一下·江苏南京·期末）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”． (1)求实数； (2)定义复数的一种运算“”：，求． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（    ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据复数的共轭复数的定义判断命题（1），根据实部和虚部的定义判断命题（2），根据复数的几何意义判断（3），根据复数的定义判断（4）. 【解答过程】因为复数 的共轭复数， 若为实数，则，此时，命题（1）正确， 复数 的实部为，虚部为， 复数 的虚部是实数，（2）错误； 因为复数 在复平面上的对应点为， 复平面上的点对应复数，（3）正确； 复数不能比较大小，命题（4）错误， 故选：C. 2．（5分）（23-24高一下·辽宁·期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】利用复数的运算结合复数的几何意义求解. 【解答过程】因为，所以， 所以， 则在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 3．（5分）（24-25高二·全国·单元测试）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解. 【解答过程】 ， 故选：C. 4．（5分）（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点D的坐标为，然后由题意得，从而可求出的值，进而可求得点D对应的复数. 【解答过程】由题知，点，设点D的坐标为， 则有，. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 即，得，所以点D对应的复数为. 故选：C. 5．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【解题思路】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确. 【解答过程】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 因为， 所以不是方程的一个复根，所以B不正确； 对于C中，设复数，可得， 所以， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，设，由，可得， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误. 故选：C. 6．（5分）（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】先根据定义结合复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【解答过程】由题意可得， 即， 所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A. 7．（5分）（23-24高三上·安徽·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出、，再由复数的运算和共轭复数可得结果． 【解答过程】若是关于的实系数方程的一个复数根， 则另一个复数根为， 由韦达定理可得得，解得， 则，所以， 故有. 故选：A． 8．（5分）（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【解题思路】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·湖南长沙·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若复数为纯虚数，则 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．若i为虚数单位，n为正整数，则 D．若，则的最大值是2 【解题思路】利用复数的基本概念判断A；利用复数的代数表示法及其几何意义判定B与D；利用虚数单位的运算性质判定C． 【解答过程】解：A．若复数为纯虚数，则，，故正确，符合题意； B．复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故错误，不符合题意； C．若为虚数单位，为正整数，则，故错误，不符合题意； D．若，则，对应复平面内单位圆上的两动点，可得的最大值是2，故正确，符合题意． 故选：AD． 10．（6分）（23-24高一下·贵州·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．． B．． C．在复平面内对应的点位于实轴上，则． D．在复平面内的点在直线上． 【解题思路】根据复数的除法得出复数，再结合复数乘法可判断A,根据模长判断B,根据复数的类型求参判断C,化简复数得出对应点即可判断D. 【解答过程】对于由得． ，故A错； 对于，故正确； 对于C．，因为点在实轴上，所以，故C正确； 对于，对应复平面内的点的坐标为， 且，故D正确． 故选：BCD. 11．（6分）（23-24高一下·山东济南·期末）任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 【解题思路】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则，逐项进行运算求解. 【解答过程】选项A：， 故， 又因为， 所以，选项A正确； 选项B：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以选项B错误； 选项C：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以 所以选项C正确； 选项D：当，时， 由棣莫弗定理得，， 当时， ，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数， 所以选项D错误； 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 1 ． 【解题思路】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【解答过程】由，得，解得． 故答案为：1． 13．（5分）（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 【解题思路】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【解答过程】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14．（5分）（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，点A对应的复数为1，点B对应的复数为3＋i，将向量绕点A按逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，得向量，则点C对应的复数为 . 【解题思路】根据复数的三角形式的表示，结合复数加减法的几何意义即可求解. 【解答过程】对应的复数为，逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍， 即可得对应的复数为 设点C对应的复数为z，则，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·河北·期末）已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 【解题思路】（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值； （2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围. 【解答过程】（1）由z1为纯虚数， 则，解得m＝－2. （2）由，得 ∴ ∵， ∴当时，，当时，， ∴实数的取值范围是. 16．（15分）（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，在复平面上对应的点分别为，． (1)若，求的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）可得出：，，然后根据复数的除法运算得出复数，然后即可得出的共轭复数； （2）进行复数的运算得出，然后根据条件得出关于的不等式，然后解出的范围即可． 【解答过程】（1）根据题意知：，， ， ； （2），且在复平面上对应的点在第四象限， ，解答， 实数的取值范围为． 17．（15分）（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 【解题思路】（1）根据公式，即可直接得出答案； （2）设，根据三角恒等变换表示出，然后根据已知得出的值，代入即可得出答案. 【解答过程】（1）由已知可得，， 所以，. （2）由已知可设， 则. 所以， . 由已知可得，所以， 所以，. 又，所以. 所以，. 18．（17分）（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）关于的实系数一元二次方程． (1)若方程有一个根是，求的值； (2)当时，方程的两个虚根满足，求的值． 【解题思路】（1）将代入方程，根据实部、虚部为0求得的值； （2）用求根公式直接求出两个虚根，代入求的值． 【解答过程】（1）因为为方程的一根， 所以，即 ， 所以且 ，故 ， 所以 （2）方程有两个虚根，则，故 ， 因为的两个虚根为， 所以，故 ， 所以满足条件. 综上：. 19．（17分）（23-24高一下·江苏南京·期末）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”． (1)求实数； (2)定义复数的一种运算“”：，求． 【解题思路】（1）根据，由是“理想复数求解； （2）由（1）知，再由求解. 【解答过程】（1）解：由题得， ， 是“理想复数”， ， ； （2）由（1）知， 所以， 由， 得， . 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$