专题14 长方体和正方体的认识、周长、面积与体积-2024-2025学年小升初数学专题复习讲练

2024-2025学年小升初数学复习讲义(通用版) 专题14 《长方体和正方体的认识、周长、面积与体积》 目   录 第一部分 知识结构导图 第二部分 专题知识梳理 第三部分 真题复习精练 （选择题、填空题、判断题、图形计算题、解答题） 知识点一 长方体和正方体的认识 名称 长方体 正方体 图形 展开图 相同点 面 6个 6个 棱 12条 12条 顶点 8 个 8个 不同点 面的特点 6个面一般是长方形,也可能有2个相对的是正方形 　6个面都是相同的正方形 面的大小 相对的面的面积相等 　6个面的面积都相等　 棱长 相对的棱的长度相等 　6条棱的长度都相等　 联系 正方体是特殊的长方体 知识点二 长方体和正方体的表面积 1.表面积:一个立体图形所有面的面积总和叫作它的表面积。  2.长方体和正方体的表面积。 (1)长方体的表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高),用字母表示为:S=2(ab+ah+bh)。　 (2)正方体的表面积=6×棱长×棱长,用字母表示为:S=6a2。 知识点三 长方体和正方体的体积 1.体积:一个立体图形所占空间的大小叫作它的体积。  2.长方体的体积(容积)=长×宽×高,用字母表示为:V=abh　 3.正方体的体积(容积)=棱长×棱长×棱长,用字母表示为:V=a3　 一、选择题 1．（2022·陕西汉中·小升初真题）将一个正方体木块加工成一个最大的圆柱形木块，圆柱形木块上的底面直径是20cm，这个正方体木块的体积是（     ）。 A．8000cm3 B．4000cm3 C．2000cm3 D．1000cm3 2．（2022·山东德州·小升初真题）如图中每个小正方体的体积是1立方分米，大长方体的体积是（     ）。 A．72立方分米 B．84立方分米 C．90立方分米 3．（2022·河南焦作·小升初真题）下面图（     ）可能是如图中单孔纸箱的展开图。 A．B． C． D． 4．（2022·河南商丘·小升初真题）将一个正方体切成8个相等的小正方体后，表面积增加54平方厘米，原来正方体的体积是（     ）立方厘米。 A．18 B．27 C．36 D．64 5．（2022·四川广元·小升初真题）用一根长72cm的铁丝正好围成一个长方体框架，则相交于同一个顶点的所有棱长的和是（     ）cm。 A．36 B．24 C．18 D．12 6．（2022·浙江杭州·小升初真题）把一个棱长3分米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（     ）。 A．9立方分米 B．9.42立方分米 C．7.065立方分米 D．21.195立方分米 7．（2022·天津北辰·小升初真题）一个长方体的棱长总和是60厘米，长、宽、高的比是5∶4∶6。这个长方体的高是（     ）厘米。 A．4 B．6 C．24 D．20 8．（2023·四川·小升初真题）一种圆柱茶叶桶的容量是314毫升，茶叶公司准备设计一种长方体包装盒，这种盒子刚好能装下两桶茶叶，这种盒子的容积至少是（　　）。 A．628毫升 B．800毫升 C．1000毫升 D．942毫升 9．（2023·四川·小升初真题）如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点1重合的点是点（　　）。 A．6和11 B．6和10 C．7和11 D．7和10 10．（2022·广东广州·小升初真题）下列图形中，（     ）不是正方体的展开图。 A． B． C． D． 11．（2023·四川成都·小升初真题）两个相同的长方体的长、宽、高分别为6厘米、6厘米、20厘米，以长、宽为底面分别削成一个圆锥和圆柱，那么削去的体积比是（     ）。（取3） A． B． C． D． 12．（2023·四川成都·小升初真题）如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线、，那么这两条对角线的夹角等于（     ）。 A．60° B．75° C．90° D．135° 13．（2024·四川绵阳·小升初真题）如图，如果将一石块放入A容器中，水位上升3.14厘米。如果将该石块放入B容器中，水位上升的厘米数是（石块放在A、B容器中均全部被水淹没，水都没有溢出，容器厚度忽略不计）（     ）。 S（底面）＝78.5cm2 A．3.14厘米 B．4厘米 C．6.28厘米 14．（2022·山东德州·小升初真题）用做一个，“4”的对面是“（     ）”。 A．1 B．3 C．5 15．（2024·广西柳州·小升初真题）下面的图形中，能折成正方体的是（     ）。 A． B． C． 二、填空题 16．（2024·陕西西安·小升初真题）一个长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米和3厘米，这个长方体的表面积为( )平方厘米。 17．（2023·陕西西安·小升初真题）淘气想用铁丝做一个长10dm，宽8dm，高6dm的长方体框架，至少需要( ) dm的铁丝；如果用这么长的铁丝改做成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )dm。 18．（2023·四川成都·小升初真题）在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了( )分米。 19．（2023·四川成都·小升初真题）一个长方体的长、宽、高都是质数，且它前面与上面的面积之和是2004平方厘米，则这个长方体的体积是( )立方厘米。 20．（2024·广西柳州·小升初真题）一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 21．（2024·四川巴中·小升初真题）一个长方体所有棱长的和是96厘米，它的长宽高的比是5∶4∶3。它的表面积( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 22．（2024·浙江湖州·小升初真题）一块长8cm、宽6cm、高5cm的长方体木块，它的体积是( )cm3；如果把它锯成长3cm、宽3cm、高2cm的小长方体，最多可以锯( )个这样的小长方体。 23．（2024·陕西西安·小升初真题）将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 24．（2024·陕西西安·小升初真题）如图，A由36个小立方体积木块堆成，把A推倒后变成B，再利用这堆小立方体积木块在C上四个四个往上堆成一幢“大楼”，则这幢“大楼”的层数为( )层。 25．（2023·河北秦皇岛·小升初真题）有一个正方体，每个面上分别写着汉字：数、学、奥、林、匹、克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。“奥”的对面是( )，“林”的对面是( )，“数”的对面是( )。 (1)　          　(2)　    　       　(3) 26．（2023·四川成都·小升初真题）甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深( )厘米。 三、判断题 27．（2022·河北秦皇岛·小升初真题）长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用“底面积×高”计算。( ) 28．（2022·山西太原·小升初真题）用4个同样大小的正方体可以拼成一个大的正方体。( ) 29．（2022·陕西西安·小升初真题）一个底面是正方形的长方体和一个圆柱体高相等，底面周长也相等，则此长方体和圆柱体的体积之比是。( ) 30．（2022·山东聊城·小升初真题）当圆柱、正方体、长方体的底面周长相等，高也相等时，圆柱的体积最大。( ) 31．（2022·广西贵港·小升初真题）圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果把长方体的前、后、左、右四个面称为侧面，那么，长方体的侧面积也可以用“底面周长×高”计算。( ) 32．（2022·河南郑州·小升初真题）正方体的棱长扩大3倍，表面积就扩大9倍，体积也扩大9倍。( ) 33．（2022·四川绵阳·小升初真题）用8个1立方分米的正方体堆成一个大正方体，大正方体的底面周长是16分米。( ) 34．（2022·内蒙古通辽·小升初真题）一个正方体的棱长是6厘米，它的体积和表面积一样大。( ) 35．（2023·河北邯郸·小升初真题）表面积相等的两个正方体，它们的体积一定相等。( ) 36．（2023·四川成都·小升初真题）体积是1立方厘米的几何体，一定是棱长为1厘米的正方体。    ( ) 四、计算题 37．（2022·河南周口·小升初真题）计算正方体的表面积。 38．（2022·陕西西安·小升初真题）计算图形的表面积。 39．（2024·全国·小升初模拟）计算下图的表面积。（单位：分米） 40．（2024·全国·小升初模拟）计算下图的体积。（单位：厘米） 41．（2024·辽宁·小升初模拟）求如图物体的体积。 42．（2023·全国·小升初模拟）计算下面组合图形的体积。（单位：分米，π取3.14） 43．（2024·四川乐山·小升初真题）求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 44．（2022·贵州铜仁·小升初真题）求下面立体图形的体积（单位：分米） 45．（2022·陕西榆林·小升初真题）计算下面组合图形的体积。（单位：dm） 46．（2022·广东江门·小升初真题）计算下面组合图形的表面积。 五、解答题 47．（2023·陕西西安·小升初真题）一个圆锥形的沙堆，底面积是1884平方米，高4米，把这堆沙铺在宽10米的公路路面上，如果铺0.02米厚，能铺多长？ 48．（2022·江苏淮安·小升初真题）一个高4.8分米的铁皮油桶，底面是边长2.5分米的正方形（铁皮的厚度忽略不计）。把这样的一桶油注入容积是1.25升的瓶子里，需要装多少瓶？ 49．（2023·广东揭阳·小升初模拟）一个圆柱体的底面半径和高都等于一个正方体的棱长，这个正方体的体积是512立方米，求圆柱的体积是多少立方米？ 50．（2022·广东深圳·小升初真题）一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？ 51．（2022·重庆璧山·小升初真题）一根绳子长12米，现要捆扎一种礼盒（如图）。如果结头处要用掉绳子25厘米，这根绳子最多可以捆扎几个这样的礼盒？（单位：厘米） 52．（2022·天津北辰·小升初真题）一辆货车箱是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸后堆成一个高是8分米的圆锥体，沙堆底面面积是多少平方米？ 53．（2024·四川绵阳·小升初真题）一个长方体的模型，所有棱长的和是72分米，长、宽、高的比是4∶3∶2，这个长方体模型的体积是多少立方分米？ 54．（2024·四川绵阳·小升初真题）一个长方体的模型，所有棱长的和是72分米，长、宽、高的比是，这个长方体模型的体积是多少立方分米？ 55．（2024·四川乐山·小升初真题）为防止铁质零件生锈，需将零件浸入防锈油。现将一个底面是边长10厘米的正方形，高12厘米的长方体铁质零件放入—个底面直径20厘米，高20厘米的圆柱形容器浸防锈油，那么容器内至少需要注入多少升防锈油才能完全将零件浸没？ 56．（2022·湖南怀化·小升初真题）将一块长6分米、宽5分米、高4分米的长方体实心铁锤放入一个底面直径8分米、高10分米、水深8分米的圆柱体中，水会溢出多少？（π取3.14） 57．（2022·四川绵阳·小升初真题）用一条长108厘米的铁丝做成一个长方体模型，要求长、宽、高的比为2∶3∶4，如果每个面都用铁皮做成铁盒，那么这个铁盒的体积是多少？ 58．（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 59．（2023·陕西西安·小升初真题）一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？ 60．（2022·福建龙岩·小升初真题）明明要做一个长方体无盖玻璃容器。如图所示，这是这个玻璃容器相邻的两个面，按这样的规格可以制作出几种不同的玻璃容器。 （1）制作这个无盖玻璃容器最少要用多少平方分米的玻璃？（粘接处忽略不计） （2）如果向容器中注满水，需要水多少升？（粘接处忽略不计） 61．（2022·广东广州·小升初真题）吴老师买了一套新房，客厅长6米，宽4米，高3米。请同学们帮吴老师算一算装修所需要的部分材料。 （1）客厅准备用边长5分米的方砖铺地面，需要多少块？ （2）准备粉刷客厅的四周墙壁和顶面，门窗、电视墙等10平方米不粉刷，实际粉刷的面积是多少平方米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年小升初数学复习讲义(通用版) 专题14 《长方体和正方体的认识、周长、面积与体积》 目   录 第一部分 知识结构导图 第二部分 专题知识梳理 第三部分 真题复习精练 （选择题、填空题、判断题、图形计算题、解答题） 知识点一 长方体和正方体的认识 名称 长方体 正方体 图形 展开图 相同点 面 6个 6个 棱 12条 12条 顶点 8 个 8个 不同点 面的特点 6个面一般是长方形,也可能有2个相对的是正方形 　6个面都是相同的正方形 面的大小 相对的面的面积相等 　6个面的面积都相等　 棱长 相对的棱的长度相等 　6条棱的长度都相等　 联系 正方体是特殊的长方体 知识点二 长方体和正方体的表面积 1.表面积:一个立体图形所有面的面积总和叫作它的表面积。  2.长方体和正方体的表面积。 (1)长方体的表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高),用字母表示为:S=2(ab+ah+bh)。　 (2)正方体的表面积=6×棱长×棱长,用字母表示为:S=6a2。 知识点三 长方体和正方体的体积 1.体积:一个立体图形所占空间的大小叫作它的体积。  2.长方体的体积(容积)=长×宽×高,用字母表示为:V=abh　 3.正方体的体积(容积)=棱长×棱长×棱长,用字母表示为:V=a3　 一、选择题 1．（2022·陕西汉中·小升初真题）将一个正方体木块加工成一个最大的圆柱形木块，圆柱形木块上的底面直径是20cm，这个正方体木块的体积是（     ）。 A．8000cm3 B．4000cm3 C．2000cm3 D．1000cm3 【答案】A 【分析】将一个正方体木块加工成一个最大的圆柱形木块，圆柱形木块上的底面直径是20cm，这个圆柱体的底面直径、高相等，都等于原来正方体的棱长，根据正方体的体积计算公式：V＝a3，代入数据计算即可即可求出这个正方体木块的体积。 【详解】20×20×20 ＝400×20 ＝8000（cm3） 这个正方体木块的体积是8000cm3。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．（2022·山东德州·小升初真题）如图中每个小正方体的体积是1立方分米，大长方体的体积是（     ）。 A．72立方分米 B．84立方分米 C．90立方分米 【答案】C 【分析】通过观察图形可知，这个长方体的长是6分米，宽是5分米，高是3分米，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】6×5×3 ＝30×3 ＝90（立方分米） 则大长方体的体积是90立方分米。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．（2022·河南焦作·小升初真题）下面图（     ）可能是如图中单孔纸箱的展开图。 A．B． C． D． 【答案】C 【分析】四个选项中的图属于正方体展开图的“1－4－1”型，折成正方体后，两“1”面相对，“4”中的第个与第三个面相对，第二个与第四个面相对，这个单孔纸箱的孔与涂色面相邻，据此即可作出选择。 【详解】A．折成正方体后是双孔，不符合题意； B．折成正方体，孔与涂色面相对，不符合题意； C．折成正方体，孔与涂色面相邻，符合题意； D．折成正方体，孔与涂色面相对，不符合题意； 可能是图中单孔纸箱的展开图。 故答案为：C 【点睛】弄清四个选项中的各图折成正方体后，一是弄清是单孔还双孔，二是弄清孔与面是相邻还是相对。 4．（2022·河南商丘·小升初真题）将一个正方体切成8个相等的小正方体后，表面积增加54平方厘米，原来正方体的体积是（     ）立方厘米。 A．18 B．27 C．36 D．64 【答案】B 【分析】把一个大正方体切成8个相等的小正方体，需要切3次，每切一次都增加2个原来正方体的面，由此可知共增加了2×3＝6（个）原正方体的面； 用增加的表面积除以6，即可求出原来正方体一个面的面积，进而求出正方体的棱长，然后根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出原来正方体的体积。 【详解】增加的面：2×3＝6（个） 正方体一个面的面积： 54÷6＝9（平方厘米） 因为9＝3×3，所以正方体的棱长是3厘米。 正方体的体积： 3×3×3＝27（立方厘米） 原来正方体的体积是27立方厘米。 故答案为：B 【点睛】抓住正方体切割的特点和增加的表面积求出一个切面的面积，进而求出正方体的棱长是解题的关键。 5．（2022·四川广元·小升初真题）用一根长72cm的铁丝正好围成一个长方体框架，则相交于同一个顶点的所有棱长的和是（     ）cm。 A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体的12条棱中互相平行的一组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，本题实质就是求（长＋宽＋高）的值，由此解答。 【详解】72÷4＝18（cm） 则相交于同一个顶点的所有棱长的和是18cm。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查长方体的特征和棱长总和的求法，关键是理解题意。 6．（2022·浙江杭州·小升初真题）把一个棱长3分米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（     ）。 A．9立方分米 B．9.42立方分米 C．7.065立方分米 D．21.195立方分米 【答案】C 【分析】把正方体削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的底面直径是正方体的棱长，高也是正方体的棱长，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】3.14×（3÷2）2×3× ＝3.14×1.52×3× ＝3.14×2.25×3× ＝3.14×2.25×1 ＝7.065（立方分米） 它的体积是7.065立方分米。 故答案为：C 【点睛】本题考查了圆锥体积公式的灵活应用，熟记相关公式是解答本题的关键。 7．（2022·天津北辰·小升初真题）一个长方体的棱长总和是60厘米，长、宽、高的比是5∶4∶6。这个长方体的高是（     ）厘米。 A．4 B．6 C．24 D．20 【答案】B 【分析】根据长方体的棱长总和＝ （a＋b＋h）×4，首先用棱长总和除以4求出长、宽高的和，已知长、宽、高的比是5∶4∶6，利用按比例分配的方法，求出长方体的高是多少厘米即可。 【详解】60÷4＝15（厘米） 15× ＝15× ＝6（厘米） 即这个长方体的高是6厘米。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和公式的灵活运用，按比例分配的方法及应用，关键是熟记公式。 8．（2023·四川·小升初真题）一种圆柱茶叶桶的容量是314毫升，茶叶公司准备设计一种长方体包装盒，这种盒子刚好能装下两桶茶叶，这种盒子的容积至少是（　　）。 A．628毫升 B．800毫升 C．1000毫升 D．942毫升 【答案】B 【分析】根据题意可知长方体的长是圆柱茶叶桶的底面半径的4倍，宽是圆柱茶叶桶的底面半径的2倍，据此可得长方体包装盒的底面积与圆柱茶叶桶的底面积之间的关系，由于高相等，从而可得这种盒子的容积。 【详解】解：设圆柱茶叶桶的底面半径为r厘米，则 圆柱茶叶桶的底面积为3.14r2平方厘米， 长方体包装盒的底面积为4r×2r＝8r2平方厘米， 则这种盒子的容积至少是314×＝800（毫升） 即这种盒子的容积至少是800毫升。 故答案为：B 【点睛】考查了圆柱和长方体的体积计算，本题关键是理解等高的圆柱和长方体的体积比等于底面积之比。 9．（2023·四川·小升初真题）如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点1重合的点是点（　　）。 A．6和11 B．6和10 C．7和11 D．7和10 【答案】C 【分析】由正方体展开图特征得出：折叠成正方体后，1点所在的正方形分别和点7、点11所在的2个正方形相交，1点与点7和点11重合，据此选择。 【详解】由分析得出：当还原折成纸盒时，与点1重合的点是点7和点11。 故答案为：C 【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是运用空间想象能力把展开图折成正方体，找到重合的点。 10．（2022·广东广州·小升初真题）下列图形中，（     ）不是正方体的展开图。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每－行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构， 即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。据此解答。 【详解】A．，不符合正方体展开图的特征，不是正方体展开图；符合题意； B．，符合正方体展开图的“1－4－1”型，是正方体展开图，不符合题意； C．，符合正方体展开图的“1－4－1”型，是正方体展开图，不符合题意； D．，符合正方体展开图的“1－4－1”型，是正方体展开图，不符合题意。 故答案为：A 【点睛】熟练掌握正方体展开图的特征是解答本题的关键。 11．（2023·四川成都·小升初真题）两个相同的长方体的长、宽、高分别为6厘米、6厘米、20厘米，以长、宽为底面分别削成一个圆锥和圆柱，那么削去的体积比是（     ）。（取3） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以长和宽为底面分别削成一个圆锥和圆柱，也就是圆锥和圆柱的底面直径和长方体的宽一样长6厘米，高就是20厘米。分别求出圆柱和圆锥的体积，再用长方体的体积分别减去圆柱和圆锥的体积。再求出削去的体积比。注意：长方体的体积＝长×宽×高，圆柱的体积＝（r表示圆柱底面的半径，h表示圆柱的高），圆锥的体积＝（r表示圆锥底面的半径，h表示圆锥的高）。 【详解】长方体的体积：6×6×20＝720（立方厘米） 圆柱的体积：6÷2＝3（厘米） 3×32×20 ＝3×9×20 ＝540（立方厘米） 削成圆柱后削去的体积：720－540＝180（立方厘米） 圆锥的体积：×3×32×20 ＝×3×9×20 ＝180（立方厘米） 削成圆锥后削去的体积：720－180＝540（立方厘米） 削去的体积比为540∶180＝3∶1 故答案为：A 12．（2023·四川成都·小升初真题）如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线、，那么这两条对角线的夹角等于（     ）。 A．60° B．75° C．90° D．135° 【答案】A 【分析】正方体的六面全是完全形同的正方形，则每个正方形的对角线是也是相等的。连接BC，因为BC、AB、AC都是相同正方形的对角线，所以AB＝BC＝AC，三角形ABC是等边三角形，三个内角也相等，三角形的内角和是180°，则每个角都是60°。 【详解】180°÷3＝60° 则这两条对角线的夹角等于60°。 故答案为：A 13．（2024·四川绵阳·小升初真题）如图，如果将一石块放入A容器中，水位上升3.14厘米。如果将该石块放入B容器中，水位上升的厘米数是（石块放在A、B容器中均全部被水淹没，水都没有溢出，容器厚度忽略不计）（     ）。 S（底面）＝78.5cm2 A．3.14厘米 B．4厘米 C．6.28厘米 【答案】B 【分析】根据题意，石块放在A、B容器中均全部被水淹没，水都没有溢出，水上升部分的体积等于石块的体积。 如果将一石块放入A容器中，水上升部分是一个长12.5厘米、宽8厘米、高3.14厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出石块体积。 如果将该石块放入B容器中，水上升部分是一个底面积为78.5平方厘米的圆柱体，根据圆柱的高＝圆柱的体积÷底面积，即可求出容器B中水位上升的高度。 【详解】12.5×8×3.14 ＝100×3.14 ＝314（立方厘米） 314÷78.5＝4（厘米） 如果将该石块放入B容器中，水位上升的厘米数是4厘米。 故答案为：B 14．（2022·山东德州·小升初真题）用做一个，“4”的对面是“（     ）”。 A．1 B．3 C．5 【答案】B 【分析】正方体有6个面，12条棱，当沿着某棱将正方体剪开，可以得到正方体的展开图形，很显然，正方体的展开图形不是唯一的，但也不是无限的，事实上，正方体的展开图形有且只有11种，11种展开图形又可以分为4种类型： 141型：中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形。231型：中间一行3个作侧面，共3种基本图形。222型：中间两个面，只有1种基本图形。33型：中间没有面，两行只能有一个正方形相连，只有1种基本图形。根据正方体展开此图属于正方体展开图的“141”型，做成一个正方体后，数字“1”与“2”相对，“3”与“4”相对，“5”与“6”相对。 【详解】 用做一个，“4”的对面是 “3”。 故答案为：B 15．（2024·广西柳州·小升初真题）下面的图形中，能折成正方体的是（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。 【详解】图A属于正方体展开图的“1－4－1”结构，能折成正方体；图B、图C不属于正方体展开图，不能折成正方体。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查正方体展开图的特征，熟记正方体展开图的11种特征是解题的关键。 二、填空题 16．（2024·陕西西安·小升初真题）一个长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米和3厘米，这个长方体的表面积为( )平方厘米。 【答案】94 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算。 【详解】（5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 则这个长方体的表面积是94平方厘米。 17．（2023·陕西西安·小升初真题）淘气想用铁丝做一个长10dm，宽8dm，高6dm的长方体框架，至少需要( ) dm的铁丝；如果用这么长的铁丝改做成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )dm。 【答案】 96 8 【分析】根据题意，求铁丝的长度就是求长方体的棱长之和，长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据计算；正方体有12条棱，每条棱长度相等，则用求出的铁丝长度除以12，即可求出正方体的棱长。 【详解】（10＋8＋6）×4 ＝24×4 ＝96（dm） 96÷12＝8（dm） 则至少需要96dm的铁丝；这个正方体的棱长是8dm。 【点睛】掌握长方体的棱长之和公式、正方体棱长的特征是解题的关键。 18．（2023·四川成都·小升初真题）在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了( )分米。 【答案】0.9 【分析】水的水位只有3.6分米，则可以将水看成一个长20分米、宽9分米、高3.6分米的长方体，则水的体积是＝长×宽×高。放入正方体方块虽然水位上升了，但是水的体积没有发生改变。但是底面积发生可改变。现在水的高度＝水的体积÷底面积。注意：求的是水位上升的高度。水位上升的高度＝现在水的高度－开始水的高度。 【详解】20×9×3.6＝648（立方分米） ＝180－36 ＝144（平方分米） 648÷144＝4.5（分米） 4.5－3.6＝0.9（分米） 则水位上升了0.9米。 19．（2023·四川成都·小升初真题）一个长方体的长、宽、高都是质数，且它前面与上面的面积之和是2004平方厘米，则这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】5845或334641 【分析】一个长方体前面的面积＝长×高，上面的面积＝长×宽，则长×高＋长×宽＝长×（高＋宽）＝2004，将2004分解质因数，2004＝2×2×3×167，则长是167。剩下的2×2×3＝12，则12是高和宽的和，分成两个质数相加。12＝5＋7，则宽和高分别是5和7。或者长是3，剩下的668＝2×2×167＝（331＋337），分成两个质数相加，则宽和高可取331和337，再根据长方体的体积＝长×宽×高。代入数据求解即可。 【详解】长、宽、高都是质数， 2004＝2×2×3×167＝12×167＝（5＋7）×167 2004＝3×167×2×2＝3×668＝（331＋337）×3 长、宽、高分别是167厘米、5厘米、7厘米 或者长、宽、高分别是3厘米、331厘米、337厘米 167×5×7＝5845（立方厘米） 3×331×337＝334641（立方厘米） 这个长方体的体积是5845立方厘米或者334641立方厘米。 20．（2024·广西柳州·小升初真题）一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 4 8 【分析】根据正方体的表面积公式S＝6a2以及积的变化规律可知，一个正方体棱长扩大到原来的2倍，则它的表面积扩大到原来的（2×2）倍； 根据正方体的体积公式V＝a3以及积的变化规律可知，一个正方体棱长扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（2×2×2）倍。 【详解】2×2＝4 2×2×2＝8 一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 21．（2024·四川巴中·小升初真题）一个长方体所有棱长的和是96厘米，它的长宽高的比是5∶4∶3。它的表面积( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 376 480 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，已知棱长总和是96厘米，所以长＋宽＋高＝96÷4＝24（厘米）。因为长宽高的比是5∶4∶3，所以总份数是5＋4＋3＝12（份）。长占5份，长＝24×＝10（厘米）；宽占4份，宽＝24×＝8（厘米）；高占3份，高＝24×＝6（厘米）； 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2＝（10×8＋10×6＋8×6）×2； 体积＝长×宽×高＝10×8×6； 【详解】96÷4＝24（厘米） 5＋4＋3＝12（厘米） 长：（厘米） 宽：（厘米） 高：（厘米） 表面积为： （10×8＋10×6＋8×6）×2 ＝（80＋60＋48）×2 ＝（140＋48）×2 ＝188×2 ＝376（平方厘米） 体积为： 10×8×6 ＝80×6 ＝480（立方厘米） 它的表面积376平方厘米，体积是480立方厘米。 22．（2024·浙江湖州·小升初真题）一块长8cm、宽6cm、高5cm的长方体木块，它的体积是( )cm3；如果把它锯成长3cm、宽3cm、高2cm的小长方体，最多可以锯( )个这样的小长方体。 【答案】 240 8 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，所得结果即为这个长方体的体积；再用除法求出长方体木块的长里面包含多少个3cm，长方体木块的宽里面包含多少个3cm，长方体木块的高里面包含多少个2cm，最后用乘法求出最多可以锯的个数。 【详解】8×6×5 ＝48×5 ＝240（cm3） 8÷3＝2（个）……2（cm） 6÷3＝2（个） 5÷2＝2（个）……1（cm） 2×2×2＝8（个） 因此长方体木块的体积是240cm3，最多可以锯8个这样的小长方体。 23．（2024·陕西西安·小升初真题）将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 【答案】6.25 【分析】已知正方体实心铁块的棱长总和是60厘米，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体铁块的棱长；再根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积。 已知把这块正方体实心铁块锻造成一个长方体实心铁块，铁块的体积不变；根据长方体的高＝体积÷长÷宽，求出长方体铁块的高。 【详解】60÷12＝5（厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 125÷10÷2 ＝12.5÷2 ＝6.25（厘米） 这个长方体铁块的高是6.25厘米。 24．（2024·陕西西安·小升初真题）如图，A由36个小立方体积木块堆成，把A推倒后变成B，再利用这堆小立方体积木块在C上四个四个往上堆成一幢“大楼”，则这幢“大楼”的层数为( )层。 【答案】9 【分析】观察图A可知，这个大长方体是由4×3×3＝36个小正方体组成的，假设每个小正方体的棱长是1，则这个由36个小正方体堆成的大长方体的体积就是12×3＝36，长方体的体积＝长×宽×高。再观察C图可知，堆成的“大楼”是一个底面积为2×2＝4的长方体，利用长方体的体积公式即可求出这幢“大楼”的高。 【详解】假设每个小正方体的棱长是1，则36个小正方体的体积之和是：12×3＝36 36÷（2×2）＝36÷4＝9（层） 这幢“大楼”的层数为9层。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活应用。 25．（2023·河北秦皇岛·小升初真题）有一个正方体，每个面上分别写着汉字：数、学、奥、林、匹、克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。“奥”的对面是( )，“林”的对面是( )，“数”的对面是( )。 (1)　          　(2)　    　       　(3) 【答案】 克 学 匹 【分析】从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”“匹”，从图（2）可知,“奥”的对面不“数”“学”。所以，“奥”的对面一定是“克”。从图（2）可知，“数”的对面不“奥”“学”，从图（3）可知，“数”的对面不是“克”“林”,所以“数”的对面一是“匹”。剩下“学”的对面一定是“林”。 【详解】根据分析可知：“奥”的对面是克，“林”的对面是学，“数”的对面是匹。 【点睛】此题根据排除法解答较合适。如果直接思考某个汉字的对面是什么汉字比较困难，可以换一种思维式，想想某个汉字的对面不是什么字。 26．（2023·四川成都·小升初真题）甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深( )厘米。 【答案】8 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用10×10×6.28即可求出水的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh＝πr2h，用水的体积÷3.14÷52即可求出全部倒入甲容器后，水的深度。 【详解】10×10×6.28＝628（立方厘米） 628÷3.14÷52 ＝628÷3.14÷25 ＝8（厘米） 水深8厘米。 三、判断题 27．（2022·河北秦皇岛·小升初真题）长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用“底面积×高”计算。( ) 【答案】× 【分析】长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积×高来计算，但是圆锥的体积＝×底面积×高，由此即可判断。 【详解】由分析可得：因为圆锥的体积计算是×底面积×高，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查了长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积公式的灵活应用。 28．（2022·山西太原·小升初真题）用4个同样大小的正方体可以拼成一个大的正方体。( ) 【答案】× 【分析】根据正方体的特征，12条棱都相等；那么拼成的大正方体的棱长至少由2个同样的小正方体的棱长组成，根据正方体体积V＝a3即可求出至少需要同样的小正方体的个数。 【详解】如图： 2×2×2＝8 至少用8个同样大小的正方体才能拼成一个大的正方体。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查正方体的特征以及正方体体积公式的运用。 29．（2022·陕西西安·小升初真题）一个底面是正方形的长方体和一个圆柱体高相等，底面周长也相等，则此长方体和圆柱体的体积之比是。( ) 【答案】√ 【分析】由题可知，长方体和圆柱的体积公式都是V＝Sh，因为长方体的底面是正方形，长方体和圆柱的高相等，假设高为h，底面周长为C，正方形的边长为a，圆的半径为r，分别代入体积公式求出长方体和圆柱体的体积，进行比较即可。 【详解】假设高为h，圆柱体的周长为C，正方形的边长为a，圆的半径为r，则正方形的周长可表示为C＝4a，圆的周长表示为C＝2πr。 因为长方体和圆柱体的底面周长相等，所以4a＝2πr。 长方体的底面积是： 圆柱的底面积是： 长方体的底面积与圆柱体的底面积的比是： ∶＝ 因为它们的高相等，所以长方体的体积是圆柱体体积的， 所以长方体和圆柱体的体积之比是。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查长方体、圆柱体体积公式的灵活运用。 30．（2022·山东聊城·小升初真题）当圆柱、正方体、长方体的底面周长相等，高也相等时，圆柱的体积最大。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱、正方体、长方体的体积都可以用“底面积×高”来计算，它们的高相等，比较圆柱、正方体、长方体的底面积，底面积越大，体积越大，据此解答。 【详解】当圆形、正方形、长方形周长相等时，形状越接近圆形，面积越大，则圆的面积＞正方形的面积＞长方形的面积，由“”可知，＞＞，所以当圆柱、正方体、长方体的底面周长相等，高也相等时，圆柱的体积最大。 故答案为：√ 【点睛】熟记周长相等的圆形、正方形、长方形，圆形的面积最大，掌握圆柱、正方体、长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 31．（2022·广西贵港·小升初真题）圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果把长方体的前、后、左、右四个面称为侧面，那么，长方体的侧面积也可以用“底面周长×高”计算。( ) 【答案】√ 【分析】根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果把长方体的前、后、左、右四个面称为侧面，那么，长方体的侧面积也可以用“底面周长×高”计算；据此判断。 【详解】因为长方体的前后面的面积＝长×高×2，长方体左右面的面积＝宽×高×2，也就是长方体的侧面积也可以用“底面周长×高”，因此题干中的结论是正确的； 故答案为：√ 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆柱的侧面积公式及应用，长方体的表面积公式及应用。 32．（2022·河南郑州·小升初真题）正方体的棱长扩大3倍，表面积就扩大9倍，体积也扩大9倍。( ) 【答案】× 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 【详解】正方体的表面积扩大倍数：3×3＝9 正方体的体积扩大倍数：3×3×3＝27 因此，正方体的棱长扩大3倍，表面积就扩大9倍，体积也扩大9倍，这种说法是错误的。 故答案为：× 【点睛】此题考查了正方体的表面积及体积的计算公式，以及积的变化规律。 33．（2022·四川绵阳·小升初真题）用8个1立方分米的正方体堆成一个大正方体，大正方体的底面周长是16分米。( ) 【答案】× 【分析】8个1立方分米的正方体一共有8立方分米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，可知大正方体的棱长是2分米，根据底面周长公式，用2×4即可求出大正方体的底面周长。 【详解】8×1＝8（立方分米） 8＝2×2×2 2×4＝8（分米） 用8个1立方分米的正方体堆成一个大正方体，大正方体的底面周长是8分米。原题干说法错误。 故答案为：× 34．（2022·内蒙古通辽·小升初真题）一个正方体的棱长是6厘米，它的体积和表面积一样大。( ) 【答案】× 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，表面积＝棱长×棱长×6，已知正方体棱长是6厘米，计算可得出体积和表面积，需要注意的是体积单位是立方厘米，表面积单位是平方厘米。据此可得出答案。 【详解】正方体的体积为：（立方厘米）； 表面积为：（平方厘米） 正方体的体积和表面积虽然数值相等，但单位不同，不能进行比较。即题干表述错误。 故答案为：× 35．（2023·河北邯郸·小升初真题）表面积相等的两个正方体，它们的体积一定相等。( ) 【答案】√ 【分析】根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，由此可知：如果两个正方体的表面积相等，那么这两个正方体的棱长也相等，所以它们的体积相等。据此判断。 【详解】由分析可知： 表面积相等的两个正方体，它们的体积一定相等，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查正方体的表面积公式和体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。 36．（2023·四川成都·小升初真题）体积是1立方厘米的几何体，一定是棱长为1厘米的正方体。    ( ) 【答案】× 【分析】可以用举反例的方法进行判断，如长方体的长是2厘米。宽是1厘米，高是0.5厘米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体的体积，再进行比较，即可解答。 【详解】如长方体的长是2厘米。宽是1厘米，高是0.5厘米。 体积：2×1×0.5 ＝2×0.5 ＝1（立方厘米） 积是1立方厘米的几何体，不一定是棱长为1厘米的正方体。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】举反例是解决判断的常用的一种简洁有效的手段。 四、计算题 37．（2022·河南周口·小升初真题）计算正方体的表面积。 【答案】486cm2 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】9×9×6 ＝81×6 ＝486（cm2） 38．（2022·陕西西安·小升初真题）计算图形的表面积。 【答案】329.04cm2 【分析】根据图示，图形的表面积包括正方体的表面积和圆柱的侧面积，据此解答。 【详解】3.14×6×6＋6×6×6 ＝3.14×36＋216 ＝113.04＋216 ＝329.04（cm2） 表面积是329.04cm2。 39．（2024·全国·小升初模拟）计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】248平方分米 【分析】表面积是指物体外表面积，通常是指物体表面的总面积。上面的两个小长方形和凹进去的长方形合在一起恰好就是一个长方体的表面积。则表面积＝长方体的表面积＋4个长方形的面积＋4个小正方形的面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方形的长是6分米，宽是2分米，面积＝长×宽。正方形的边长是2分米，面积＝边长×边长。 【详解】 ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 则图形的表面积是248平方分米。 40．（2024·全国·小升初模拟）计算下图的体积。（单位：厘米） 【答案】2607.5立方厘米 【分析】观察题意可知，立体图形的体积相当于长方体的体积减去圆柱的体积，长方体的长30厘米、宽5厘米、高20厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，用30×5×20即可求长方体的体积；圆柱的底面直径是10厘米，高是5厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×（10÷2）2×5即可求出圆柱的体积，据此求出立体图形的体积。 【详解】30×5×20＝3000（立方厘米） 3.14×（10÷2）2×5 ＝3.14×52×5 ＝3.14×25×5 ＝392.5（立方厘米） 3000－392.5＝2607.5（立方厘米） 立体图形的体积是2607.5立方厘米。 41．（2024·辽宁·小升初模拟）求如图物体的体积。 【答案】7822.5立方厘米 【分析】观察图形可知，这个图形的体积等于长30厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体的体积减去底面直径为10厘米，高30厘米的圆柱体积的一半，据此利用长方体和圆柱体的体积公式计算即可解答。 【详解】 物体的体积是7822.5立方厘米。 42．（2023·全国·小升初模拟）计算下面组合图形的体积。（单位：分米，π取3.14） 【答案】110.56立方分米 【分析】这个图形的体积等于圆锥和长方体的体积之和。已知长方体的体积＝abh，圆锥的体积＝πr2h，据此代入数据求出两部分的体积，再把它们加起来即可。 【详解】 ＝110.56（立方分米） 立体图形的体积是110.56立方分米。 43．（2024·四川乐山·小升初真题）求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 【答案】214.2立方厘米 【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积×＋长方体的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求解。 【详解】3.14×22×10×＋6×10×2 ＝3.14×4×10×＋60×2 ＝94.2＋120 ＝214.2（立方厘米） 图形的体积是214.2立方厘米。 44．（2022·贵州铜仁·小升初真题）求下面立体图形的体积（单位：分米） 【答案】11140立方分米 【分析】根据图示，可以先求出下面正方体的体积，然后加上上面个圆柱的体积解答。上面圆柱的直径是20分米，高是20分米，根据圆柱的体积公式求出圆柱的体积后，再除以2，求出个圆柱的体积，再加上正方体的体积解答即可。 【详解】20×20×20＋3.14×（20÷2）2×20÷2 ＝8000＋3.14×100×20÷2 ＝8000＋3140 ＝11140（立方分米） 45．（2022·陕西榆林·小升初真题）计算下面组合图形的体积。（单位：dm） 【答案】110.56dm3 【分析】这个图形的体积等于圆锥和长方体的体积之和。长方体的体积＝长×宽×高，圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，据此代入数据求出两部分的体积，再把它们加起来即可。 【详解】 ＝110.56（dm3） 46．（2022·广东江门·小升初真题）计算下面组合图形的表面积。 【答案】88m2 【分析】通过观察图形可知，由于两个长方体和一个正方体粘合在一起，把中间正方体的上面向上平移，左边长方体比正方体高出部分的面补在前面，同理右边长方体比正方体高出部分的面补在后面，如下图，所以整个图形的表面积相当于一个长为6m，宽为2m，高为4m的长方体表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋长×高）×2，据此解答。 【详解】据分析可知，组合图形的表面积为： （6×4＋6×2＋4×2）×2 ＝（24＋12＋8）×2 ＝44×2 ＝88（m2） 五、解答题 47．（2023·陕西西安·小升初真题）一个圆锥形的沙堆，底面积是1884平方米，高4米，把这堆沙铺在宽10米的公路路面上，如果铺0.02米厚，能铺多长？ 【答案】12560米 【分析】已知圆锥形沙堆的底面积是1884平方米，高4米，根据圆锥的体积公式VSh，求出沙堆的体积； 再把这堆沙铺在宽10米、厚0.02米的公路路面上，根据长方体的体积公式V＝abh，可知长方体的长a＝V÷b÷h，据此求出能铺的长度。 【详解】1884×4 ＝628×4 ＝2512（立方米） 2512÷10÷0.02 ＝251.2÷0.02 ＝12560（米） 答：能铺12560米。 48．（2022·江苏淮安·小升初真题）一个高4.8分米的铁皮油桶，底面是边长2.5分米的正方形（铁皮的厚度忽略不计）。把这样的一桶油注入容积是1.25升的瓶子里，需要装多少瓶？ 【答案】24瓶 【分析】先根据长方体的体积公式求出这样一桶油的体积是：2.5×2.5×4.8＝30立方分米＝30升，根据除法的意义，计算出里面有多少个1.25升，就可以装几瓶。 【详解】2.5×2.5×4.8÷1.25 ＝30÷1.25 ＝24（瓶） 答：需要装24瓶。 【点睛】此题考查长方体体积公式的计算和除法意义的灵活应用。 49．（2023·广东揭阳·小升初模拟）一个圆柱体的底面半径和高都等于一个正方体的棱长，这个正方体的体积是512立方米，求圆柱的体积是多少立方米？ 【答案】1607.68立方米 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝π×半径2×高，因为半径和高相等，圆柱的体积＝π×半径3，根据题意可知，圆柱的底面半径和高等于一个正方体的棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即正方体体积＝棱长3，由此可知，圆柱的体积＝π×正方体的体积，据此求出圆柱的体积。 【详解】3.14×512＝1607.68（立方米） 答：圆柱的体积是1607.68立方米。 【点睛】本题考查利用等量代换的方法解答问题，关键明确圆柱的体积与正方体体积之间的关系。 50．（2022·广东深圳·小升初真题）一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？ 【答案】650cm2；1500cm3 【分析】长方形铁皮从四个角各切掉一个正方形制作盒子，盒子所用铁皮的面积即这块铁皮的面积；长方形铁皮长为30cm，宽为25cm，四个角分别切掉边长为的正方形，做成的盒子底面长、宽分别为（cm）， （cm），高为5cm，根据长方体的容积公式可求出容积。 【详解】盒子用的铁皮即切掉正方形的长方形面积，即： （cm2） 做成的盒子底面长为（cm）， 宽为（cm），高为5cm，则盒子的容积为： （cm3） 答：这个盒子用了650cm2的铁皮；它的容积有1500cm3。 【点睛】本题主要考查的是长方体的容积及长方形底面、侧面展开图，解题的关键是找出围成盒子的长、宽、高，再进行解答。 51．（2022·重庆璧山·小升初真题）一根绳子长12米，现要捆扎一种礼盒（如图）。如果结头处要用掉绳子25厘米，这根绳子最多可以捆扎几个这样的礼盒？（单位：厘米） 【答案】11个 【分析】捆扎一个礼盒需要的绳子长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋结头长度，绳子长度÷捆扎一个礼盒需要的绳子长度，结果用去尾法保留近似数即可。 【详解】12米＝1200厘米 10×2＋15×2＋8×4＋25 ＝20＋30＋32＋25 ＝107（厘米） 1200÷107≈11（个） 答：这根绳子最多可以捆扎11个这样的礼盒。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体棱长总和公式，理解去尾法保留近似数的现实意义。 52．（2022·天津北辰·小升初真题）一辆货车箱是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸后堆成一个高是8分米的圆锥体，沙堆底面面积是多少平方米？ 【答案】90平方米 【分析】根据题意，长方体的体积与圆锥的体积相等，先根据：长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体的体积，再根据：圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高；据此解答。 【详解】8分米＝0.8米 4×1.5×4×3÷0.8 ＝6×4×3÷0.8 ＝24×3÷0.8 ＝72÷0.8 ＝90（平方米） 答：沙堆底面面积是90平方米。 【点睛】此题考查了圆锥与长方体的体积计算，关键灵活运用公式解答。 53．（2024·四川绵阳·小升初真题）一个长方体的模型，所有棱长的和是72分米，长、宽、高的比是4∶3∶2，这个长方体模型的体积是多少立方分米？ 【答案】192立方分米 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4的逆运算，用72除以4可得长、宽、高的和，又知长、宽、高的比是4∶3∶2，则可知长是长、宽、高的和的，宽是长、宽、高的和的，高是长、宽、高的和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出长、宽、高，再代入长方体的体积公式计算即可得解。 【详解】（分米） （分米） （分米） （分米） （立方分米） 答：这个长方体模型的体积是192立方分米。 54．（2024·四川绵阳·小升初真题）一个长方体的模型，所有棱长的和是72分米，长、宽、高的比是，这个长方体模型的体积是多少立方分米？ 【答案】192立方分米 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4的逆运算，用72除以4可得长、宽、高的和，又知长、宽、高的比是4∶3∶2，则可知长是长、宽、高的和的，宽是长、宽、高的和的，高是长、宽、高的和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出长、宽、高，再代入长方体的体积公式计算即可得解。 【详解】72÷4＝18（分米） （分米） （分米） （分米） 8×6×4＝192（立方分米） 答：这个长方体模型的体积是192立方分米。 55．（2024·四川乐山·小升初真题）为防止铁质零件生锈，需将零件浸入防锈油。现将一个底面是边长10厘米的正方形，高12厘米的长方体铁质零件放入—个底面直径20厘米，高20厘米的圆柱形容器浸防锈油，那么容器内至少需要注入多少升防锈油才能完全将零件浸没？ 【答案】1.94升 【分析】根据题意，作图如下： 先将长方体倒卧在圆柱形容器内，注入防锈油，当容器内防锈油的高度是10厘米时，就能完全将零件浸没，此时防锈油的体积＝10厘米高的圆柱体积－长方体的体积。根据圆柱的体积：V＝πr2h，长方体的体积：V＝abh，代入数据，分别求出体积，再相减即可。 【详解】3.14×（20÷2）2×10－10×10×12 ＝3.14×100×10－1200 ＝3140－1200 ＝1940（立方厘米） 1940立方厘米＝1940毫升＝1.94升 答：容器内至少需要注入1.94升防锈沺才能完全将零件浸没。 56．（2022·湖南怀化·小升初真题）将一块长6分米、宽5分米、高4分米的长方体实心铁锤放入一个底面直径8分米、高10分米、水深8分米的圆柱体中，水会溢出多少？（π取3.14） 【答案】19.52升 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，圆柱的体积公式：V＝Sh，用圆柱体内水的体积加上长方体实心铁锤的体积减去长方体玻璃缸的容积即可。 【详解】6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方分米） （8÷2）2×3.14×8 ＝16×3.14×8 ＝50.24×8 ＝401.92（立方分米） （8÷2）2×3.14×10 ＝16×3.14×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方分米） 120＋401.92－502.4 ＝521.92－502.4 ＝19.52（立方分米） 19.52立方分米＝19.52升 答：水会溢出19.52升。 【点睛】此题主要考查长方体的体积（容积）公式，正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 57．（2022·四川绵阳·小升初真题）用一条长108厘米的铁丝做成一个长方体模型，要求长、宽、高的比为2∶3∶4，如果每个面都用铁皮做成铁盒，那么这个铁盒的体积是多少？ 【答案】648立方厘米 【分析】先用“”求出长方体的一条长、宽、高的和，再根据按比例分配知识分别求出长方体的长、宽、高；进而根据“长方体的体积长宽高”解答即可。 【详解】（厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （立方厘米） 答：这个铁盒的体积是648立方厘米。 【点睛】考查了长方体有关棱长的应用、按比例分配及长方体体积，综合题，牢记公式是关键。 58．（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 【答案】455立方厘米 【分析】已知1刀增加2个切面，平切两刀增加4个（长×宽）的长方形面积，竖切两刀增加4个（长×高）的长方形面积，增加的总面积是624平方厘米，所以长×宽×4＋长×高×4＝624，4×长×（宽＋高）＝624，先把624分解质因数，624＝2×2×2×2×3×13，已知长是质数且最大，则长为13厘米，宽＋高＝12，又已知宽和高也是质数，且宽＞高，则把12拆分成2个质数相加，也就是12＝5＋7，据此得出长方体的长、宽、高，进而根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【详解】624＝2×2×2×2×3×13 长＞宽＞高 长是13厘米， 2×2×3＝12 12＝5＋7 宽为7厘米，高为5厘米， 13×7×5＝455（立方厘米） 答：这个长方体的体积是455立方厘米。 【点睛】本题主要考查了质数的认识、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 59．（2023·陕西西安·小升初真题）一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？ 【答案】最小22厘米；最大34厘米 【分析】如图1所示，要使周长最小，尽量剪开高与宽，剪1条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），4条高1厘米（绿色），那么周长最小是（3×1＋2×2＋1×4）×2厘米； 如图2所示，要使周长最大，尽量剪开长与宽，剪4条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），1条高1厘米（绿色），那么周长最大是（3×4＋2×2＋1×1）×2厘米。 【详解】 周长最小： （3×1＋2×2＋1×4）×2 ＝（3＋4＋4）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） 周长最大： （3×4＋2×2＋1×1）×2 ＝（12＋4＋1）×2 ＝17×2 ＝34（厘米） 答：这个平面图形的周长最小是22厘米，最大是34厘米。 【点睛】把长方体纸盒剪开后展开，需剪开它的七条棱才可能展开成平面图。关键看剪的方法，要是平面图周长最小，剪开的7条棱的长度要尽量小；要使平面图周长最大，剪开的7条棱的长度就要尽量的大。 60．（2022·福建龙岩·小升初真题）明明要做一个长方体无盖玻璃容器。如图所示，这是这个玻璃容器相邻的两个面，按这样的规格可以制作出几种不同的玻璃容器。 （1）制作这个无盖玻璃容器最少要用多少平方分米的玻璃？（粘接处忽略不计） （2）如果向容器中注满水，需要水多少升？（粘接处忽略不计） 【答案】（1）160平方分米 （2）192升 【分析】（1）1．如图：可以制作成长是8分米，宽是6分米，高是4分米的长方体； 2．如图：可以制作成长是8分米，宽是4分米，高是6分米的长方体； 3．如图：可以制作成长是6分米，宽是4分米，高是8分米的长方体。 然后根据长方体的五个面的面积公式：S＝（ah＋bh）×2＋ab，据此求出制作这个无盖玻璃容器需要的玻璃面积，最后进行比较即可。 （2）根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（1）1．（8×4＋6×4）×2＋8×6 ＝（32＋24）×2＋48 ＝56×2＋48 ＝112＋48 ＝160（平方分米） 2．（8×6＋4×6）×2＋8×4 ＝（48＋24）×2＋32 ＝72×2＋32 ＝144＋32 ＝176（平方分米） 3．（6×8＋4×8）×2＋6×4 ＝（48＋32）×2＋24 ＝80×2＋24 ＝160＋24 ＝184（平方分米） 答：制作这个无盖玻璃容器最少要用160平方分米的玻璃。 （2）6×4×8 ＝24×8 ＝192（立方分米） ＝192（升） 答：如果向容器中注满水，需要水192升。 【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。 61．（2022·广东广州·小升初真题）吴老师买了一套新房，客厅长6米，宽4米，高3米。请同学们帮吴老师算一算装修所需要的部分材料。 （1）客厅准备用边长5分米的方砖铺地面，需要多少块？ （2）准备粉刷客厅的四周墙壁和顶面，门窗、电视墙等10平方米不粉刷，实际粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】（1）96块；（2）74平方米 【分析】（1）先把5分米化为0.5分米，然后根据长方形的面积公式，用6×4即可求出客厅的底面积，再根据正方形的面积公式，用0.5×0.5即可求出一块方砖的面积，最后根据除法的意义，用6×4÷（0.5×0.5）即可求出需要方砖多少块； （2）根据题意可知，粉刷的面积等于上面、前面、后面、左面、右面的面积和减去门窗、电视墙等的面积，据此6×4＋6×3×2＋4×3×2－10用即可求出粉刷的面积。 【详解】（1）5分米＝0.5米 6×4÷（0.5×0.5） ＝24÷0.25 ＝96（块） 答：需要96块。 （2）6×4＋6×3×2＋4×3×2－10 ＝24＋36＋24－10 ＝84－10 ＝74（平方米） 答：实际粉刷的面积是74平方米。 【点睛】本题主要考查了长方体表面积公式的灵活应用。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$