精品解析：浙江省“新阵地教育联盟”2025届高三上学期第二次联考数学试题

浙江省“新阵地教育联盟”2025届高三上学期第二次联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，得集合,再由交集定义计算即得. 【详解】 故选：A. 2. 已知复数是虚数单位则（ ） A. 复平面内z对应的点在第二象限 B. C. z虚部是2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数与复平面的关系得到对应点的位置，共轭复数与复数的关系得到，由的系数得到虚部的值，由实部和虚部求得复数的模长，从而得解. 【详解】对应的点为，在第四象限，故A错误； ，故B正确； z的虚部是，故CD错误. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可 【详解】充分性： 因为，所以， 所以所以“”不是“”的充分条件； 必要性： 因为，所以又 所以所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 等差数列的前n项和为满足若成等比，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】运用等差数列的前n项和公式及基本量关系求得再根据等比数列性质公式求得结合等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d， 由得， 解得， 所以 成等比，∴， ∴， ，显然，否则这与成等比数列矛盾， 故解得 故选：B. 5. 年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数. 第x天 1 2 3 4 5 新增y人 2 3 5 8 12 已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给数据，及参考公式，求线性回归方程即可. 【详解】由题中的数据可知 所以 所以 所以y关于x的线性回归方程为 故选：D 6. 下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（ ） A. 底面半径母线圆锥 B. 底面半径母线的圆柱 C. 半径的球 D. 上、下底面半径分别为母线的圆台 【答案】C 【解析】 【分析】利用表面积计算公式计算选项中的每个表面积，然后即可得出答案. 【详解】对于A， 对于B， 对于C， 对于D， 由上易知，选项C的表面积与其他三个不同. 故选：C 7. 正整数数列满足，使得的不同个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据递推公式依次计算即可. 【详解】由题意知，，则或， （1）当时，，则或， 若，则；若，则； 若，则或； 若，则或； （2）当时，，得，则或； 若，得； 若，得. 综上，的值共有6个. 故选：C 8. 函数若有两个零点的零点为则关于的不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的零点即为与交点的横坐标，的零点即为与交点的横坐标，画出图象，数形结合可得答案. 【详解】令得 则的零点即为与交点的横坐标， 令得 则的零点即为与交点的横坐标， 画出的图象， 由图可知：从上到下的三条直线分别说明，，成立， 可得选项D、B、C可能成立， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两个班级各有6名候选人参加校学生会干部竞选.其中，甲班中男生2名，乙班中男生3名.则下列说法正确的有（ ） A. 从12人中选出两人担任主持人，恰好一男一女当选的情况有35种 B. 某选手得分是，则该选手得分的第70百分位数是 C. 从12人中随机选择一人总结会议，已知选到的是女生，则她来自甲班的概率是 D. 5名男生随机抽选3人担任男寝楼长，其中甲班男生当选人数为X人，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据组合数计算可得A正确，利用百分位数的定义计算可得B正确，再由条件概率计算公式可求得C错误，根据超几何分布公式计算求得概率，再由期望值公式代入计算可得D正确. 【详解】对于A，易知12人中共有男7女，分别从5个男生和7个女生中各选一人，可得共种，即A正确; 对于B，显然8个数据已经按照从小到大的顺序排列好，， 所以第70百分位数是第6个数是，可得B错误； 对于C，记“选到女生”为事件A，“来自甲班”为事件 B， 则，所以C错误； 对于D，服从超几何分布，且的所有可能取值为0，1，2； 易知; 所以期望值，可得D正确. 故选：AD 10. 如图，已知四边形中，，与垂直并相交于点，且满足，，以为折痕，将四边形翻折，形成三棱锥，且满足二面角大小为.则下列对于三棱锥的说法正确的有（ ） A. 对任意，三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 当且仅当时，三棱锥的表面积为 D. 外接球半径的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，，即为二面角的平面角，从而求出点到平面的距离，即可判断A，首先证明，再由勾股定理说明，即可判断B，根据对称性可得判断C，设是的外心，是三棱锥外接球球心，则三棱锥外接球的半径，求出的最小值，即可判断D. 【详解】对于A：，， 为二面角的平面角，， 而，所以点到平面的距离， 是定值，故A正确； 对于B：，，平面，所以平面， 又平面，， 因，所以， 所以,又，平面，平面，故B正确； 对于C：由B可知，当时，，， 又，， 所以，， 所以 考虑对称性，当时三棱锥的表面积也是该值，故C错误； 对于D：由B可知平面，三棱锥改为C为顶点画法，如下图所示： 设是的外心，是三棱锥外接球球心， 所以三棱锥外接球的半径， 又，，， 当且仅当，即是直角三角形时，外接球半径最小值为， 此时，即，解得或， 所以当时三棱锥外接球的半径取得最小值为，故D正确. 故选：ABD 11. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，过程中总要用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线在第一象限内的图象如图所示，则下列关于曲线C的说法正确的有（ ） A. 共有4条对称轴 B. 围成的封闭图形内最大能放入半径为1的圆 C. 周长大于25 D. 围成的封闭图形的面积小于14 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据方程分析对称性即可；对于B：可证，结合图形即可得结果；对于C：根据对称性结合方程可得当时恒成立，结合图形即可得结果；对于D：可知，结合图形分析求解. 【详解】对于选项A：因为代入方程，方程不变， 可知曲线的对称轴为轴、轴、直线与直线， 先根据对称性可以得到完整曲线，如图 所以根据图形可知曲线共有4条对称轴，故A正确； 对于选项B：结合图2， 根据对称性，研究第一象限 则，则， 所以内部圆半径最大，故B错误； 对于选项C：如图2， 根据对称性，只需证：当时，恒成立， 即证：当时恒成立，显然成立， 结合对称性，曲线长度大于“四角星”形状图形的周长，故C正确； 对于选项D：如图3，以为圆心，4为半径作圆弧，到距离为， 根据对称性，研究第一象限， 只需证：时，， 可得， 则 ， 所以第一象限内圆弧在曲线上方， 面积，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于分析曲线的对称性，结合对称性只研究第一象限部分即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是__________写一个即可 【答案】 【解析】 【分析】设，由向量投影向量的模长公式建立等式，得到满意题意的向量坐标. 【详解】设 则满足方程的点均可. 故答案为：. 13. 如图，椭圆的右顶点A是抛物线的焦点，过A作x轴的垂线交于点B，线段BO与交于点D，F是焦点则的离心率__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用给定条件，求出点的坐标，再借助比例式建立方程求出离心率. 【详解】令，直线：，在椭圆中，令，得， 点，在抛物线中，令，得， 由，得，即，而， 解得，所以的离心率 故答案为： 14. 函数上存在互异两点A，B，若曲线在A，B处的切线均为直线l，且l在A，B之间与无公共点，则l的斜率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用导数求出切线斜率和切线方程，代入两个切点的横坐标，利用斜率相等得到切点横坐标的关系，然后代入两个切点的横坐标得到两个截距相等，利用截距相等，运算后得出结论. 【详解】设切点为 切线方程为：, 设切点，切点，切线的斜率为k， 则有即 将切点，代入切线方程，求得切线在y轴上的截距为， 将切点，代入切线方程，求得切线在y轴上的截距为， 则有 ①当时，由得： ； 所以，即， 所以； 当时，满足与l在A，B之间无公共点. ②当 时，由得： 即③， 结合③式可知，是与l的公共点，且在A，B之间，该情况无解. 综上所述，切线l的斜率为 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知 （1）求的最小正周期; （2）若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，再由周期公式得解； （2）由正弦定理求出，再由三角函数求出范围，结合三角形面积公式得解. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ，即 所以或得舍 由边AC上的高， 根据正弦定理得： 是锐角三角形， ，， 16. 如图，在三棱柱中四边形是正方形，且是锐角，已知点A到平面的距离为 （1）求证：平面 （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建系，求得平面法向量，由向量法求证； （2）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 以B为原点，方向为轴，垂直于平面向上方向为z轴，建系. 设 面 则 设平面的法向量为 则即， 令，可得， 平面的法向量为 点A到平面的距离为 面 【小问2详解】 设平面的法向量 则所以 令则所以平面的法向量 设平面的法向量 则所以 令则 所以平面的法向量 所以平面与平面夹角的余弦值 17. 已知函数 （1）若求的单调区间; （2）若在上不单调，求的取值范围. 【答案】（1）上单调递增区间为单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令即可求解； （2）求导可得，设，则，解之即可求解. 【小问1详解】 的定义域为， ， 令或，或， 在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 18. 等轴双曲线的顶点，到其渐近线的距离为过点作斜率为的直线l，l与的左、右支分别交于点A （1）求的方程; （2）若且求的值; （3）过点A再作斜率为的直线交双曲线于另一点C，若满足是坐标原点求k的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由等轴双曲线的定义结合点到线的距离公式即可求解； （2）由题设出直线l的方程并与的方程联立，借助韦达定理求得的值，从而求得的值； （3）分别设出直线的方程并与双曲线方程联立，借助韦达定理分别表示，求得知C两点关于原点对称，从而；再设直线并与的方程联立，由韦达定理得根据求得的范围，进而得斜率的范围. 【小问1详解】 由题意得解得 . 【小问2详解】 设 代入双曲线方程，得： 由韦达定理可得： 令，则， 所以解得 A，B三点共线， . 【小问3详解】 设 代入双曲线方程得： 由韦达定理，得，即 同理可得： C两点关于原点对称， 设 由韦达定理得： 解得：所以 19. 在方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”. （1）如图1，在的方格中，用表示方格位置为自上向下的第行，自左向右的第列.已知，棋子初始位置为格，经过一次移动来到格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线; （2）如图2，在两张不同的的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利”?若能，请画出路线;若不能，请说明理由初始方格任意选择 （3）在的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值初始方格任意选择 【答案】（1）作图见解析 （2）不能，理由见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）根据移动的规则即可作图求解， （2）作出具体路线即可求解第一个图，根据25个格子中偶数格有13个，奇数格有12个，结合|偶数格-奇数格以及图中涂黑的格子即可求解图2. （3）先证明时不成立，根据为偶数，要想胜利需要必须挖去3个奇数格，3格偶数格，这与3个奇数与3个偶数之和为奇数矛盾，举例说明成立即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 参考走法不唯一 对于第二个方格，则不能达成“胜利”， 理由如下： 设表示中值，例如： 则在方格中，共有25个 将是偶数的称为偶数格，奇数的称为奇数格， 易知，偶数格有13个，奇数格有12个， 按照题意，当移动到奇数格时，下一步将移动到偶数格，当移动到偶数格时，下一步将移动到奇数格， 若要达成“胜利”，|偶数格-奇数格 而中，涂黑了即两个奇数格，一格偶数格，此时剩下12个偶数格，10个奇数格， 无论如何移动都不能达成“胜利”. 【小问3详解】 首先判断 然后证明：时不成立.证明如下： 将挖去的6格记为 其中与均为的一种排列， 为偶数， 由（2）可知，若要在方格中挖去6格达成“胜利”， 必须挖去3个奇数格，3格偶数格. 而3个奇数与3个偶数之和为奇数矛盾. 不可能挖去6格. 最后证明：时，能成立，如图： 挖法和走法均不唯一. 综上所述， n最大值为 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省“新阵地教育联盟”2025届高三上学期第二次联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是虚数单位则（ ） A. 复平面内z对应的点在第二象限 B. C. z的虚部是2 D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 等差数列前n项和为满足若成等比，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数. 第x天 1 2 3 4 5 新增y人 2 3 5 8 12 已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个几何体中，表面积与其他三个不同是（ ） A. 底面半径母线的圆锥 B. 底面半径母线圆柱 C. 半径的球 D. 上、下底面半径分别为母线的圆台 7. 正整数数列满足，使得的不同个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 函数若有两个零点的零点为则关于的不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两个班级各有6名候选人参加校学生会干部竞选.其中，甲班中男生2名，乙班中男生3名.则下列说法正确的有（ ） A. 从12人中选出两人担任主持人，恰好一男一女当选的情况有35种 B. 某选手得分是，则该选手得分的第70百分位数是 C. 从12人中随机选择一人总结会议，已知选到的是女生，则她来自甲班的概率是 D. 5名男生随机抽选3人担任男寝楼长，其中甲班男生当选人数为X人，则 10. 如图，已知四边形中，，与垂直并相交于点，且满足，，以为折痕，将四边形翻折，形成三棱锥，且满足二面角大小为.则下列对于三棱锥的说法正确的有（ ） A. 对任意，三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 当且仅当时，三棱锥的表面积为 D. 外接球半径的最小值为 11. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，过程中总要用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线在第一象限内的图象如图所示，则下列关于曲线C的说法正确的有（ ） A. 共有4条对称轴 B. 围成的封闭图形内最大能放入半径为1的圆 C. 周长大于25 D. 围成的封闭图形的面积小于14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是__________写一个即可 13. 如图，椭圆的右顶点A是抛物线的焦点，过A作x轴的垂线交于点B，线段BO与交于点D，F是焦点则的离心率__________. 14. 函数上存在互异两点A，B，若曲线在A，B处的切线均为直线l，且l在A，B之间与无公共点，则l的斜率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知 （1）求的最小正周期; （2）若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围. 16. 如图，在三棱柱中四边形是正方形，且是锐角，已知点A到平面的距离为 （1）求证：平面 （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17 已知函数 （1）若求的单调区间; （2）若在上不单调，求的取值范围. 18. 等轴双曲线的顶点，到其渐近线的距离为过点作斜率为的直线l，l与的左、右支分别交于点A （1）求的方程; （2）若且求的值; （3）过点A再作斜率为的直线交双曲线于另一点C，若满足是坐标原点求k的取值范围. 19. 在的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”. （1）如图1，在的方格中，用表示方格位置为自上向下的第行，自左向右的第列.已知，棋子初始位置为格，经过一次移动来到格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线; （2）如图2，在两张不同的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利”?若能，请画出路线;若不能，请说明理由初始方格任意选择 （3）在的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值初始方格任意选择 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$