精品解析：河南省南阳市桐柏县方树泉中学2024-2025学年八年级下学期开学数学试题

桐柏县方树泉中学2025年春期开学学情检测 八年级数学 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 实数，，0，，，3.121121112…（相邻每个2之间依次多一个1），，其中无理数的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列式子：，，，， ，，其中是分式的个数有（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知分式的值等于零，那么x的值是（ ） A. 4 B. C. D. 0 6. 若分式中的、的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的 D. 是原来的一半 7. 如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝40°，则∠CDE的度数为（　　） A. 50° B. 40° C. 60° D. 80° 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于E，D两点，，的周长为23，求的周长为（　　） A 13 B. 15 C. 17 D. 19 9. 如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点 F，交于点 O．若点O是的中点，则的长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：___________________ 12. 将展开后，结果不含x的一次项，则m的值为_______________． 13. 的结果为 ________． 14. 分式与 的最简公分母是_________ 15. 如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：；；；，正确的有_____________（填序号） 三．解答题（共75分） 16. 因式分解 （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 央视举办的《中国诗词大会》受到广泛的关注某中学学生会就《中国诗词大会》节目的喜爱程度，在校内进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D；根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次被调查对象共有_________人；被调查者“不太喜欢”有__________人； （2）将扇形统计图和条形统计图补充完整； （3）某中学约有500人，请据此估计“比较喜欢”的学生约有多少人？ 19. 下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：原式……第一步 ……第二步 ………第三步 …………第四步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误； 任务二：请写出正确的解答过程． 20. 如图，，垂足为，垂足为．求证： （1）； （2）． 21. 如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，求的面积？ 22. 用数学猜想解决问题 【探究活动】观察下列算式： 1①，②，③…… （1）由已知等式可猜想第n个等式为： ； （2）求值，要求写出过程； （3）猜想下列算式的结果（直接写结果） ． 【拓展应用】（4）仿照上面的探究过程写出下列式子的计算结果． ． 23. 如图1，在中，为锐角，点D为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果，， ①当点D在线段上时（与点B不重合），如图2，线段、所在直线的位置关系为___________，线段、的数量关系为___________； ②当点D在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果，是锐角，点D在线段上，当满足什么条件时，（点C、F不重合），并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 桐柏县方树泉中学2025年春期开学学情检测 八年级数学 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 实数，，0，，，3.121121112…（相邻每个2之间依次多一个1），，其中无理数的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数即无限不循环小数，解题关键是掌握初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．据此解答即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无理数； 0是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无理数； （相邻两个2之间依次多一个1）是无理数； 是分数，属于有理数； 即无理数的个数是， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算正确，符合题意； 故选D． 3. 下列式子：，，，， ，，其中是分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式A和B，如果中分母B含有字母，那么叫分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，其中是分式的是，，，共3个， 故选：B． 4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式有意义， ，解得， 故选：B． 5. 已知分式的值等于零，那么x的值是（ ） A. 4 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式有意义的条件，利用平方根解方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握分式值为零的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 根据分子为零且分母不为零的条件进行解答即可． 【详解】解：由题意可得： 且， 解得：， 故选：． 6. 若分式中的、的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的 D. 是原来的一半 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案． 【详解】解：分式中x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值是原来的， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变． 7. 如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝40°，则∠CDE的度数为（　　） A. 50° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A＝∠CDA＝40°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B＝20°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项． 【详解】∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝40°， ∴∠A＝∠CDA＝40°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED， ∵∠B+∠DCB＝∠CDA＝40°， ∴∠B＝20°， ∵∠B+∠EDB+∠DEB＝180°， ∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣20°）＝80°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB＝180°﹣40°﹣80°＝60°， 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟记“等边对等角”这一定理是解题的关键 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于E，D两点，，的周长为23，求的周长为（　　） A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解答此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质得出，，求出，，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：是的垂直平分线，， ∴，， 的周长为23， ， ， 的周长为， 的周长为15． 故选：B． 9. 如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要是综合运用了角平分线的性质定理和线段垂直平分线性质定理的逆定理，根据角平分线的性质，得，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，得点在的垂直平分线上；根据等角对等边，，则点在的垂直平分线上，从而可证是的垂直平分线，由此即可判断出结果． 【详解】解：∵为的角平分线，于，于， ∴，故选项A成立，不符合题意； ∴点在的垂直平分线上，， ∵， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，故选项B，C成立，不符合题意； ∵不一定相等， ∴不能确定是否相等， ∴不一定成立，故选项D不一定成立，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点 F，交于点 O．若点O是的中点，则的长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图知，由等腰三角形三线合一，得垂直平分，于是，结合平行线性质证，进一步可证，得，中，运用勾股定理求得答案． 详解】解连接，，， ， 由题意得：， 点O是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， , 在中， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一，中垂线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；连接辅助线运用等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：___________________ 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 根据命题都可以写成“如果”、“那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，从而得出答案． 【详解】解：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零； 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零； 12. 将展开后，结果不含x的一次项，则m的值为_______________． 【答案】##4.5##4 【解析】 【分析】将式子正确展开，找出一次项，令其系数等于0 即可． 【详解】解：将式子展开后得： ∵结果不含x的一次项， ∴，解得：， 故答案为： 【点睛】本题考查多项式乘积不含某一项，求字母的值，整式的混合运算法则，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，将式子正确展开． 13. 的结果为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．先对能因式分解的分子、分母因式分解，然后再约分即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 分式与 的最简公分母是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．观察两个分式的分母，利用公因式即可求解． 【详解】解：∵的分母为， 的分母为， ∴两个分式的最简公分母为， 故答案为：． 15. 如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：；；；，正确的有_____________（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用等式的性质可得，于是可证得，进而可得，故结论正确，，，然后利用可证得，于是可得，，故结论正确，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，于是可得，故结论正确，利用三角形外角的性质可得，故结论正确．据此即可得出答案． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， 即：， ， ，故结论正确， ， ， 即：， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，故结论正确， 又， 是等边三角形， ， ， ，故结论正确， ， ，故结论正确， 综上，正确的结论有， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），内错角相等两直线平行，三角形外角的性质，等角对等边等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三．解答题（共75分） 16. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了综合提公因式法和公式法因式分解． （1）原式变形为，先提出公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先提出公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去小括号，再合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 央视举办的《中国诗词大会》受到广泛的关注某中学学生会就《中国诗词大会》节目的喜爱程度，在校内进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D；根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次被调查对象共有_________人；被调查者“不太喜欢”有__________人； （2）将扇形统计图和条形统计图补充完整； （3）某中学约有500人，请据此估计“比较喜欢”的学生约有多少人？ 【答案】（1）50，5；（2）见解析；（3）该校500名学生中“比较喜欢”的有200人． 【解析】 【分析】（1）从两个统计图可得，“A组”的有15人，占调查人数的30%，可求出调查人数；再用调查人数乘以“D组”所占的百分比即可求出“D组人数”； （2）求出“C组”人数，即可补全条形统计图，求出“B组”“C组”所占的百分比即可补全扇形统计图； （3）样本中，“B组比较喜欢”占40%，因此估计总体500名学生中有40%的同学是“B组比较喜欢”； 【详解】解：（1）15÷30%=50人，“D组”人数：50×10%=5人， 故答案为：50，5； （2）“C组”人数：50-15-20-5=10人， “B组”所占百分比为：20÷50=40%， “C组”所占百分比为：10÷50=20%， 补全扇形和条形统计图如图所示： （3）500×40%=200人， 答：这所学校500名学生中估计“比较喜欢”的学生有200人． 【点睛】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． 19. 下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：原式……第一步 ……第二步 ………第三步 …………第四步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误； 任务二：请写出正确的解答过程． 【答案】任务一：①二，分式的基本性质；②三；任务二：解答见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． 任务一：观察小明的化简过程，根据分式的通分和约分需要注意的事项，进行解答即可； 任务二：先把能够分解因式的分母分解因式，再把分式通分，然后进行减法运算，最后约分即可． 【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第二步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，故答案为：二，分式的基本性质； ②第三步开始出现了错误， 故答案为：三； 任务二：正确解答过程如下： 原式 ． 20. 如图，，垂足为，垂足为．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接用即可证明； （2）由，可得出，由， 可得出，由即可得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：在和中 ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键． 21. 如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，求的面积？ 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求得，由折叠的性质，得，，，证得，可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解出的长，即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 在中，， 由折叠的性质，得，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 故的长为， ∴的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质、解一元一次方程，证明得出是解题的关键． 22. 用数学猜想解决问题 【探究活动】观察下列算式： 1①，②，③…… （1）由已知等式可猜想第n个等式为： ； （2）求的值，要求写出过程； （3）猜想下列算式的结果（直接写结果） ． 【拓展应用】（4）仿照上面的探究过程写出下列式子的计算结果． ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． （1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想； （2）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可； （3）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可； （4）类比（2）式将各加数化为两个分数的差的形式，求和即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23. 如图1，在中，为锐角，点D为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果，， ①当点D在线段上时（与点B不重合），如图2，线段、所在直线的位置关系为___________，线段、的数量关系为___________； ②当点D在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果，是锐角，点D在线段上，当满足什么条件时，（点C、F不重合），并说明理由． 【答案】（1）①，；②成立，见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得，，，根据 证明，则可得，，由此可得，即． ②当点D在的延长线上时①的结论仍成立．理由同小问①． （2）过点A作交的延长线于点G，易证， ，同小问（1），根据 证明，则可得，则，即． 【小问1详解】 ①∵中，，， ． ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ． ②当点D在的延长线上时①的结论仍成立． ∵中，，， ． ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ． 【小问2详解】 当时，（如图）． 理由：过点A作交延长线于点G， 则， ，， ， ， ， ∵四边形是正方形， ，， ， （同角的余角相等）， ， ， ，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$